专题1 第08课时 函数的应用

2 (1)当m = 时，请你制订一个投放方案，使 5 得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其 最大值；
( 2 ) 讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电
视机金额的变化而变化的情况．
解析 设B型号电视机的价值为x万元(1 ≤ x ≤ 9)， 农民得到的补贴为y万元，则A型号电视机的价 值为(10 − x)万元． 1 由题意得y = (10 − x) + mln( x + 1) 10 1 = mln( x + 1) − x + 1. 10
(1) 证明：函数f ( x ) 在R上是减函数； ( 2 ) 求证：ABC是钝角三角形．
解析 (1)因为f ( x ) = aln (1 + e x ) − ( a + 1) x， ae x −(a + 1) − e x 所以f ′ ( x ) = − ( a + 1) = < 0恒 x x 1+ e 1+ e 成立，
m 1 − = 0，得x = 10m − 1. ( 2 )由y′ = x + 1 10 ①当10m − 1 ≤ 1，即0＜m ≤ 0.2时，y′ ≤ 0，y在
[1,9] 上是减函数，
故随B型电视机投放金额x的增加，农民得到 的补贴逐渐减少．
②当1＜10m − 1＜9，即0.2＜m＜1时， 当x ∈ [1,10m − 1]时，y′＞0；当x ∈ (10m − 1,9]时， y′＜0. 故当x ∈ [1,10m − 1]时，随B型电视机投放金额 x的增加，农民得到的补贴逐渐增加； 当x ∈ (10m − 1,9]时，随B型电视机投放金额x 的增加，农民得到的补贴逐渐减少． ③当10m − 1 ≥ 9，即m ≥ 1时， y在 [1,9] 上是增函数，故随B型电视机投放金额 x的增加，农民得到的补贴逐渐增加．
2
所以S∆ ANB = p | x1 − x2 |= 2p 2 k 2 + 2. 所以，当k = 0时， ∆ANB的面积最小，最小值为2 2 p 2 .
1．在类似问题中，即求图形面积或体积或距 离的最值，函数应用的最关键的步骤是把所求表示 为某个变量的函数．至于应该采用什么方法求最值， 要根据所得函数型来确定． 2．在研究图形的面积、体积等时，请注意对 图形进行分解或组合． 3．解析几何的运算中，联立方程组，转化为 二次方程是最基本的手段，也是最重要的手段．
切入点：可把∆ANB分解成两 个小三角形：∆ANC，∆BNC， 再把∆ANB的面积表示成直线 AB的斜率k的函数，根据函数 类型求解最小值．
解析 由题意可知，N (0，-p)， =2p， CN 则S ∆ ANB = S∆ ANC + S∆ BNC 1 = ( x1 ⋅ CN + x2 ⋅ CN ) 2 =p | x1－x2 | .
2 2 1 (1)当m = 时，y = ln( x + 1) − x + 1， 5 5 10 2 1 则y′ = − . 5( x + 1) 10 由y′ = 0，得x = 3. 当x ∈ (1,3) 时，y′＞0；当x ∈ ( 3,9 ) 时，y′＜0. 所以，当x = 3时，y取最大值，且ymax = 2 ln4－0.3+1 ≈ 1.3. 5 即厂家分别投放A、B两型号电视机7万元和3 万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约1.3万元．
切入点：利润=获利-亏损，获利=卖出数量×每台 获利，亏损=退回数量×每台亏损．
解析 设推销员每天从厂家买进x台计算器(5 ≤ x ≤ 20，x ∈ N)，利润为y元． 则他每月可以卖出(20 x + 10 × 5)台，每台可获 利15元， 每月退回厂家10 ( x − 5 )台，每台亏损10元，
uuu r uuu r 所以BA = ( x1 − x2，f ( x1 ) − f ( x2 ))， = ( x3 − BC
π
考点2 考点 函数在实际问题中的应用
例2(原创题)某计算器推销商从厂家买进计算器的 价格是每台15元，卖出的价格是每台30元，卖不 掉的计算器可以以每台5元的价格退回厂家．在一 个月(30天计算)里，他有20天每天可以卖出20台， 其余的10天每天只能卖出5台．但厂家要求他每天 买进的台数必须相同．试问该推销员每天从厂家 买进多少台计算器，才能使每月所获利润最大？ 他每月最多可以赚多少元？最少可以赚多少元？
专题一 函数、导数与不等式
考点1 考点 函数思想的应用
例1(改编题)在平面直角坐标系xOy中，过定点C (0，p) 作直线与抛物线x 2 =2py ( p > 0 ) 相交于A( x1，y1 )，B( x2， y2 )两点，直线AB的斜率为k，点N 是点C关于坐标原点 O的对称点，求∆ANB的面积的最小值．
由题意知：y = 15 × ( 20 x + 50 ) − 10 × 10 × ( x − 5 ) = 200 x + 1250(5 ≤ x ≤ 20，x ∈ N)． 因为函数在 [5, 20] 上是增函数，所以x = 20时， y的最大值为200 × 20 + 1250 = 5250(元)． x = 5时，y的最小值为200 × 5 + 1250 = 2250(元)． 答：推销员每天从厂家买进20台计算器，才能 使每月所获利润最大．他每月最多可以赚5250元， 最少可以赚2250元．
利用函数解决实际应用问题，关键在于 认真审题，分析各部分的含义，找出题中的 数量关系，准确建立函数模型，然后用数学 方法求解．
变式2 某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机 参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机 的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得的 1 补贴分别为 p、mln(q + 1)(m＞0)万元．已知厂 10 家把总价值为10万元的A、B两种型号电视机投放 市场，且A、B两型号的电视机投放金额都不低于 1万元(精确到0.1，参考数据：ln4=1.4)．
要做好高考应用题，需注意以下三个 方面： 一、文字关：即阅读理解题意，罗列 题 思考可能采用的方法——审题．
二、建模关：建立数学模型．主要包括代 数建模、几何建模，其中代数建模主要利用函 数、数列、不等式、概率等知识进行建模，其 难度主要在理解题意，建立等式或不等式关系 上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立 直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问 题． 三、运算关：考查学生运算的稳定度，精 确度．
x2，f ( x3 ) − f ( x2 ))， uuu uuu r r 所以BA ⋅ BC = ( x1 − x2 ) ⋅ ( x3 − x2 ) + f ( x1 ) − f ( x2 ) ⋅ f ( x3 ) − f ( x2 ) ． f ( x3 ) − f ( x2 ) < 0， uuu uuu r r 所以BA ⋅ BC = ( x1 − x2 ) ⋅ ( x3 − x2 ) + f ( x1 ) − f ( x2 ) ⋅ f ( x3 ) − f ( x2 ) < 0. 从而B ∈ ( ，π )，即 ABC是钝角三角形． 2 又x1 − x2 < 0，x3 − x2 > 0，f ( x1 ) − f ( x2 ) > 0，
又直线AB的方程为y = kx = p， y = kx + p , 与抛物线方程联立得 2 x = 2 py
消去y得x 2 − 2pkx − 2p 2 = 0， 则x1 + x2 =2pk，x1 x2 =-2p 2， 于是 | x1 − x2 |= ( x1 − x2 )
2 2
= ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 =2p k + 1.
变式1 已知函数f ( x ) = aln (1 + e x ) − ( a + 1) x， (其中a > 0)， 到右依次是函数y = f ( x )图象上三点，且2x2 = x1 + x3 . 点A( x1，f ( x1 ))，B( x2，f ( x2 ))，C ( x3，f ( x3 ))从左
( 2 ) 证明：据题意A( x1，f ( x1 ))，B( x2，f ( x2 ))， C ( x3，f ( x3 ))且x1 < x2 < x3，
x1 + x2 由(1) 知f ( x1 ) > f ( x2 ) > f ( x3 )，x2 = . 2
+ 所以函数f ( x ) 在(−∞， ∞)上是单调减函数．