函数与三角形综合类型题教案(带答案)

将抛物线 y=ax2＋bx＋c 向右平移 p 个单位，得到的抛物线是 y=a(x－p)2＋b(x－p)＋c；向左平移 p 个单位，得到的抛 物线是 y=a(x＋p)2＋b(x＋p)＋c（即左正右负） ；向上平移 q 个单位，得到 y=ax2＋bx＋c＋q；向下平移 q 个单位，得 到 y=ax2＋bx＋c-q（即上正下负） 6. 二次函数 y=ax +bx+c 中 a, b, c 的符号的确定.（开口方向有 a 确定，开阔程度有 a 的绝对值确定，越小越开阔；C 为与 Y 轴的交点横坐标，a、b 的符号决定对称轴位置）
S＝
②当∠CPQ＝90°时，∵△CPQ∽△CBA，∴ ∴
CP CQ ， CB CA
10 2t t 25 10 25 5 符合题意。—12 分综合上述，在 P、Q 的移动过程中，当 t s 或 s 时，△PQC ，∴ t 8 10 7 13 7
能为直角三角形。——13 分
B 两点（点 A 在点 B 的左边） 例 7、如图，已知抛物线 C1 ： y a x 2 5 的顶点为 P ，与 x 轴相交于 A， ，点 A 的横
y A B
O
D
C
x
解： （1）OA=1，OC=2 则 A 点坐标为（0，1） ，C 点坐标
2
例3图
为（2，0）设直线 AC 的解
析式为 y=kx+b
0 b 1 2k b 0
5 3
1 k 解得 2 b 1
5 8
1 直线 AC 的解析式为 y x 1 2 5 5 ( 5 2)) 或 P3 (0， ) 4 4( 5 2)
A
D N
A
D N
A
D N
A
D N H
B
M 原图
C
B
E
M
C
B
M
F
C
B
M
C
解： （1）由题意知，当 M 、 N 运动到 t 秒时，如图① ，过 D 作 DE ∥ AB 交 BC 于 E 点，则四边形 ABED 是平行四边形． MC NC 10 2t t 50 ∵ AB ∥DE ， AB ∥ MN ．∴DE ∥ MN ．∴ ．∴ ． ．解得 t EC CD 10 3 5 17 （2）分三种情况讨论： DF 4 3 ① 当 MN NC 时，如图② 作 DF BC 交 BC 于 F ，则有 MC 2 FC 即．∵sin C ，∴cos C ， CD 5 5 3t 25 ∴10 2t 2 ，解得 t ． 5 8 3 60 ② 当 MN MC 时，如图③ ，过 M 作 MH CD 于 H．则 CN 2CH ，∴t 2 10 2t ．∴t ． 5 17 10 25 60 10 ③ 当 MC CN 时，如图④ ．则 10 2t t ． t ． 综上所述，当 t 、 或 时， △ MNC 为等腰三角形． 3 8 3 17 OABC OA OC OA 1 ， OC 2 ， xOy 例 3、 如图， 在平面直角坐标系 中， 矩形 的边 在 y 轴的正半轴上， 在 x 轴的正半轴上，
； （2） 顶点式：
； （3） 交点式：
.
b 2 4ac-b2 ，其图像关于直线 x ) + 2a 4a
对称，顶点坐标为
a O 口
x
对 称 轴 顶点坐标 最 增 减 性 值 当 x＝ 时，y 有最 值 当 x＝ 时，y 有最 值
在对称轴左侧 在对称轴右侧
y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而
2
二、典例分析
一、与等腰三角形相关 例 1、如图，平面直角坐标系中，四边形 OABC 为矩形，点 A、B 的坐标分别为（6，0） ， （6，8） 。动点 M、N 分别从 O、B 同时出发，以每秒 1 个单位的速度运动。其中，点 M 沿 OA 向终点 A 运动，点 N 沿 BC 向终点 C 运动。过点 N 作 NP⊥ BC，交 AC 于 P，连结 MP。已知动点运动了 x 秒。 （1）P 点的坐标为（ ， ） ； （用含 x 的代数式表示） （2）试求 ⊿ MPA 面积的最大值，并求此时 x 的值。 （3）请你探索：当 x 为何值时，⊿ MPA 是一个等腰三角形？
函数与三角形综合类型题教案
教师姓名 苏 辅导科目 初四数学 授课时间 教材版本 人教版 教辅材料 教师选印 教学目标 1、 学会对函数综合题如何分析的一般规律。掌握二次函数与三角形综合题的解题思路及分析方法。 授课纲要及重、难点提示 通过对典型二次函数综合题的剖析，使其掌握一般的解题分析方法及技巧，提高综合分析解决问题的能力。 重难点是灵活掌握二次函数大型综合题的解题思路及分析方法的掌握。 教学过程 一、复习 1. 二次函数的解析式： （1） 一般式： 2 y=ax 2 +bx+c 通 过 配 方 可 得 y=a(x+ （ ， ）. 3. 二次函数的图像和性质
1
y C N B
P O M A x
例 2、如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD 3 ， DC 5 ， BC 10 ，梯形的高为 4 ．动点 M 从 B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运 动．设运动的时间为 t （秒） ． （1）当 MN ∥ AB 时，求 t 的值； （2）试探究： t 为何值时， △ MNC 为等腰三角形．
2 2
5 4
2
5 4
5 4
1 或2 2
例 4.已知抛物线 y=ax 2 +bx-4 的图象与 x 相交与 A、B（点 A 在 B 的左边） ，与 y 轴相交与 C，抛物线过点 A（－1，0） 且 OB=OC．P 是线段 BC 上的一个动点，过 P 作直线 PE⊥x 轴于 E，交抛物线于 F． （1）求抛物线的解析式； （2）若△BPE 与△BPF 的两面积之比为 2∶3 时，求 E 点的坐标； （3）设 OE=t，△CPE 的面积为 S，试求出 S 与 t 的函数关系式；当 t 为何值时，S 有最大值，并求出最大值； （4）在（3）中，当 S 取得最大值时，在抛物线上求点 Q，使得△QEC 是以 EC 为底边的等腰三角形，求 Q 的坐标． y
2
坐标是 1 ． （1）求 P 点坐标及 a 的值； （2）如图 1，抛物线 C2 与抛物线 C1 关于 x 轴对称，将抛物线 C2 向左平移，平移后的抛物线记为 C3 ， C3 的顶点为 M ，
M 关于点 A 成中心对称时，求 C3 的解析式 y a x h k ； 当点 P ，
C
y
N
B
A Q1
O
E
B
x
Q
P Q2 C F
O M
P
A
x
例5图
例6图
例4图
二、与直角三角形相关
例 5、.如图所示， 四边形 OABC 为直角梯形，A（4，0） ，B（3，4） ，C（0，4） ． 点 M 从 O 出发以每秒 2 个单位长 A B 度的速度向 运动；点 N 从 同时出发，以每秒 1 个单位长度的速度向 C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动 点也随之停止运动．过点 N 作 NP 垂直 x 轴于点 P ，连结 AC 交 NP 于 Q，连结 MQ． （1）谁能先到达终点 （填 M 或 N） ；
∵△ECQ∽△CBA，∴ ∴S 与 t 之间的函数关系式为：
3 2 1 1 3 3 5 2 15 5 PC·QE＝ （10－2t） · t ＝ t ＋3t—5 分（2）∵ S (t ) ，∴ t s 时，△PQC 的面积 2 2 5 5 2 4 2 5 15 2 最大，最大面积是 cm —7 分（3）在 P、Q 的移动过程中，△PQC 能为直角三角形。分两种情况：—8 分 4 CO CP ①当∠PQC＝90°时，∵△CPQ∽△CAB，∴ ， CB CA 10 2t t 40 ，∴ t 5 符合题意。—10 分 ∴ 13 10 8
3
解： （1）∵矩形 ABCD 中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm， 又∵运动的时间为 t 秒（0＜x＜5） ，∴AP＝2t cm，CQ＝t cm， CP＝（10－2t）cm。————————2 分 过 Q 点作 OE⊥AC 于 E 点.
QE CQ ， AB CA QE t 3 ∴ ，∴ QE t 6 10 5
5 ． 4 （1）求直线 AC 的解析式． （2）在 y 轴上是否存在点 P ，直线 PD 与矩形对角线 AC 交于点 M ，使得 △DMC 为等腰三角形？若存在，直接写出 ．．．．
点 D 在边 OC 上且 OD 所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）抛物线 y x 2 经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点 D 和点 E（点 E 在 y 轴正半轴上） ， 且 △ODE 沿 DE 折叠后点 O 落在边 AB 上 O 处？
x
4
y
C1
N E F Q A H
O
G R
B x
P
C4
解： （1）由抛物线 C1： y a( x 2) 2 5 得顶点 P 的坐标为（2，5）∵ 点 A（－1，0）在抛物线 C1 上∴a
5 . 9
（2）连接 PM，作 PH⊥ x 轴于 H，作 MG⊥ x 轴于 G..∵ 点 P、M 关于点 A 成中心对称,∴ PM 过点 A，且 PA＝MA.. ∴ △PAH≌ △MAG..∴ MG＝PH＝5，AG＝AH＝3.∴ 顶点 M 的坐标为（ 4 ，5）∵ 抛物线 C2 与 C1 关于 x 轴对称，抛物 线 C3 由 C2 平移得到∴ 抛物线 C3 的表达式 y
y 随 x 的增大而 y 随 x 的增大而 ，k ＝ .（要求掌握过程） 明确二次函数的平移规律：