山东省淄博市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试卷 Word版含答案
2015淄博一模 山东省淄博市2015届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题word版含答案
山东省淄博市2015届高三下学期第一次模拟考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、复数31(ii i +是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、集合2{|{|log ,0}A x y B y y x x ===>，则A B 等于（ ）A ．RB ．φC ．[)0,+∞D ．()0,+∞3、某中学从高三甲乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛它们取得成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数为86，则x y +的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．104、已知函数()y f x x =+是偶函数，且()21f =，则()2f -=（ ）A ．-1B ．1C ．-5D ．55、将函数sin(2)6y x π=-图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）A ．3x π= B ．6x π= C ．12x π= D ．12x π=-6、已知命题:1p a ≠或2b ≠，命题:3q a b +≠，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7、函数1sin y x x=-的图象大致是（ ）8、函数()21x f x e x x =+++与()g x 的凸显关于直线230x y --=的距离的最小值是（ ） A．．9、某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图，侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．56 B ．34C ．12D ．16 10、过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的 切线交双曲线右支于点P ，切点1,T PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是（ ）A ．b a MO MT -=-B ．b a MO MT ->-C ．b a MO MT -<-D ．b a MO MT -=+第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
山东省淄博市高三数学一模试卷理(含解析)
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ）2．集合A={x|y=x}，B={y|y=log 2x ，x ∈R}，则A ∩B 等于（ ）3．已知命题p ：x ≠1或y ≠2，命题q ：x+y ≠3，则命题p 是q 的（ ）4．将函数y=sin （2x ﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（ ）5．函数y=的一段大致图象是（ ）C6．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：A ，B两个节目至少有一个选中，且A ，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）7．已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）C9．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）B C D10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有个．12．已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为．13．已知向量满足，，则的夹角为．14．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．18．为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．21．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）解：因为复数==所以复数在复平面内对应的点为（﹣2．集合A={x|y=x}，B={y|y=log2x，x∈R}，则A∩B等于（）y=x3．已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）4．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）=）图象向左平移个单位，2x+）x=x=5．函数y=的一段大致图象是（ ）C，所以，函数在（﹣∞，6．某班组织文艺晚会，准备从A ，B 等8个节目中选出4个节目演出，要求：A ，B 两个节目至少有一个选中，且A ，B 同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（ ）只有一个选中，则不同演出顺序有共有：7．已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）8．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）C四棱锥的体积为：×=﹣=9．函数f（x）=e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3=0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）Cd=．10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）|MT|=|PF﹣（（|OM|=|PF|MT|=|PF=×（﹣二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有 3 个．的值，12．已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b的值为﹣13 ．﹣﹣，﹣=；），13．已知向量满足，，则的夹角为．解：向量满足，==化为==．故答案为：．14．在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．⇒15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．）﹣间的距离为，可得最小正周期为﹣C=，由已知可得c=sin+﹣sin﹣﹣sin2cos2）﹣∵其图象两相邻对称轴间的距离为．2x﹣∴﹣＜，=，C=由已知∥可得17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．BD=2AD=2BD=2AD=2，2，，=（﹣，，（的法向量为，取的一个法向量为=的一个法向量为=＜=所成角（锐角）的余弦值为18．为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．在数列{a n}中，a3=1，S n是其前n项和，且S n=a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n的值．从而==成立的最，，得，∵从第二项起是首项为，公比为=．==A=，，==时，+，即时，使成立的最小正整数20．设函数f（x）=x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．=．分别解出=，由=．x＜．==时，，此时函数＜时，，令或，解得）或）在，由=≤，化为在（21．已知F1，F2分别是椭圆+y2=1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．=，﹣﹣+y 4，由此利用韦达定理结合已知条件，能求出•：的距离为=，的方程为+y，，﹣•﹣•﹣﹣﹣，﹣kk==y=﹣，y=，=，，∴=k==•=，﹣，﹣•为定值。
山东省淄博市高三数学一模试卷文(含解析)
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．∅ C．，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A 为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．18．某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．19．在数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，且S n=a n+1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2（2S n+1）﹣2，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．20．设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：复数的分母实数化，然后判断复数对应的点所在象限．解答：解：因为复数===﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．点评：本题考查复数的基本运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．集合A={x|y=}，B={y|y=log2x，x＞0}，则A∩B等于（）A． R B．∅ C．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A和B，再利用两个集合的交集的定义求出 A∩B．解答：解：集合A={x|y=}={x|x≥0}，集合B={y|y=log2x，x＞0}=R，因为A⊆B，所以A∩B=A={x|x≥0}，故选：C．点评：本题考查函数的定义域及值域、两个集合的交集的定义和求法，属基础题．3．某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x+y的值为（）A． 7 B． 8 C． 9 D． 10考点：茎叶图．专题：概率与统计．分析：根据茎叶图中的数据，结合众数与中位数的概念，求出x与y的值即可．解答：解：根据茎叶图中的数据，得；甲班学生成绩的众数是83，∴x=3；乙班学生成绩的中位数是86，∴y=6；∴x+y=3+6=9．故选：C．点评：本题考查了茎叶图的应用问题，也考查了众数与中位数的应用问题，是基础题目．4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（） A．﹣1 B． 1 C．﹣5 D． 5考点：函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．解答：解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及抽象函数及其应用，同时考查了转化的思想，属于基础题．5．将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A． x= B． x= C． x= D． x=﹣考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．分析：根据本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程．解答：解：将函数y=sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为y=sin=sin（2x+）．令2x+=kπ+，k∈z，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．6．已知命题p：a≠1或b≠2，命题q：a+b≠3，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义集合不等式的性质从而得到答案．解答：解：∵命题q：a+b≠3，命题p：a≠1或b≠2，￢p：a=1且b=2，￢q：a+b=3，∴￢p⇒￢q，反之不成立，例如a=，b=．因此命题q是p的充分不必要条件．故选：B．点评：本题考查了命题之间的关系、充分必要条件的判定，考查了推理能力和计算能力，属于基础题．7．函数y=的图象大致是（）A． B． C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由f（﹣x）==﹣f（x）知函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，再研究函数x﹣sinx单调性选出答案．解答：解：f（﹣x）==﹣f（x），故函数为奇函数，图象应关于原点对称，排除BC，∵（x﹣sinx）′=1﹣cosx≥0，∴当x＞0时，函数x﹣sinx单调递增，故单调递减，D不符合，A符合，故选：A点评：本题主要考查函数的性质，对于函数图象的选择题，可结合排除法与函数的性质，灵活解题．8．曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为（）A． B． C． D． 2考点：点到直线的距离公式．专题：导数的综合应用．分析： f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，由e s+2s+1=2．解得s=0．可得切点P，因此曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离．解答：解：f′（x）=e x+2x+1，设与直线2x﹣y=3平行且与曲线f（x）相切于点P（s，t）的直线方程为：2x﹣y+m=0，则e s+2s+1=2．解得s=0．∴切点为P（0，2），∴曲线f（x）=e x+x2+x+1上的点到直线2x﹣y=3的距离的最小值为点P到直线2x﹣y=3的距离d==．故选：B．点评：本题考查了导数的几何意义、相互平行的直线斜率之间的关系、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A． B． C． D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体，从而求出该几何体的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是一个正方体，去掉一个正四棱锥所得的组合体；∵正方体的体积为V正方体=1×1×1=1，正四棱锥的体积为V正四棱锥=×1×1×=；∴该几何体的体积为V=V正方体﹣V正四棱锥=1﹣=．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求空间几何体的体积的应用问题，是基础题目．10．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2=a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A． b﹣a=|MO|﹣|MT| B． b﹣a＞|MO|﹣|MT| C． b﹣a＜|MO|﹣|MT| D． b﹣a=|MO|+|MT|考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先从双曲线方程得：a，b．连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|=b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点得出|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b，最后结合双曲线的定义得出答案．解答：解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|==b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|=|PF2|，∴|MO|﹣|MT|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=（|PF2|﹣|PF1|）+b=×（﹣2a）+b=b﹣a．故选A．点评：本题主要考查双曲线的定义及三角形中位线和直线与圆相切时应用勾股定理．解答的关键是熟悉双曲线的定义的应用，直线与圆的位置关系以及三角形中的有关结论．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有 3个．考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：本题考查条件结构，先根据算法语句写出分段函数，然后讨论x与2的大小选择相应的解析式，根据函数值求出自变量即可．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的值，当x≤2时，由y=x2﹣1=3可得x=2或﹣2；当x＞2时，由y=log2x=3可知x=8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．点评：本题考查条件结构，以及分段函数和根据函数值求出自变量的问题，属于基础题．12．在约束条件下，目标函数z=3x+2y的最大值是7 ．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．解答：解：作出不等式组对于的平面区域如图：由z=3x+2y，则y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=，经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（1，2），此时z min=3×1+2×2=7，故答案为：7点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13．若直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切，则k= ±2．考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：联立方程组消y的x的一元二次方程，由△=0解方程可得．解答：解：联立消去y并整理得（k2+1）x2+6kx+8=0，由直线y=kx+3与圆x2+y2=1相切可得△=36k2﹣32（k2+1）=0，解得k=±2故答案为：±2点评：本题考查直线与圆的位置关系，属基础题．14．已知向量满足，，则的夹角为．考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：利用向量数量积运算及其性质即可得出．解答：解：向量满足，，∴==，化为=，∴=．故答案为：．点评：本题考查了向量数量积运算及其性质，属于基础题．15．对于函数f（x），若存在区间A=，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）=cos x；②f（x）=x2﹣1；③f（x）=|x2﹣1|；④f（x）=log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：根据同域函数及同域区间的定义，再根据函数值域的求解即可找到①②③三个函数的一个同域区间，而通过判断f（x）和函数y=x交点的情况，容易判断函数④不存在同域区间．解答：解：①f（x）=，x∈时，f（x）∈，所以①存在同域区间；②f（x）=x2﹣1，x∈时，f（x）∈，所以②存在同域区间；③f（x）=|x2﹣1|，x∈时，f（x）∈，所以③存在同域区间；④f（x）=log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y=x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．点评：考查对同域函数及同域区间的理解，二次函数、余弦函数的值域的求解，知道通过判断函数f（x）和函数y=x图象交点的情况来判断函数是否存在同域区间的方法．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（Ⅰ）化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx）﹣1，由其图象两相邻对称轴间的距离为，可得最小正周期为T=π，即可解得ω．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin（2C﹣）=1，解得C=，由已知∥可得b﹣3a=0①，由余弦定理，又已知c=，即可解得7=a2+b2﹣ab②，联立方程可解得a，b的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣=sinωxcosωx﹣﹣=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1=sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T=π，∴ω=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）=1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣=，即C=由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，又已知c=∴7=a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a=1，b=3．点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数的应用，考查了余弦定理的应用，三角函数周期公式的应用，属于基本知识的考查．17．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：CF∥平面ADE；（Ⅱ）证明：BD⊥AE．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，将问题转化为证明四边形CFGD是平行四边形即可；（Ⅱ）由数量关系可得BD⊥AD，从而由面面垂直的性质即得结论．解答：证明：（Ⅰ）取AE得中点G，连结FG，DG，则有FG∥AB且FG=AB=2，又因为DC∥AB，CD=2，所以FG∥DC，FG∥DC，所以四边形CFGD是平行四边形．所以CF∥GD，又因为GD⊂平面ADE，CF⊄平面ADE，所以CF∥平面ADE；（Ⅱ）因为BC⊥CD，BC=CD=2，所以BD=．同理EA⊥ED，EA=ED=2，所以AD=．又因为AB=4，及勾股定理知BD⊥AD，又因为平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD=AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面EAD，又因为AE⊂平面EAD，所以BD⊥AE．点评：本题考查线面垂直的判定及面面垂直的性质，作出恰当的辅助线、找到所给数据中隐含的条件是解决本题的关键，属中档题．18．某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B的考生有20人．（Ⅰ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数；（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；（Ⅲ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A，在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）易得小组共80人，可得“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=6；（Ⅱ）由平均数的定义可得平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，列举可得总的基本事件数共28个，其中两人的两科成绩均为A的共6个，由概率公式可得．解答：解：（Ⅰ）∵“代数”科目的成绩为B的考生有20，∴该小组有20÷0.25=80（人）∴该小组同学中“几何”科目成绩为A的人数为80×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=80×0.075=6（人）；（Ⅱ）∵等级A，B，C，D，E分别对应5分、3分、2分、1分，∴该小组考生“代数”科目的平均分为：1×0.2+2×0.1+3×0.375+4×0.25+5×0.075=2.9；（Ⅲ）∵两科考试中共有12人次得分等级为A，又恰有4人两科成绩等级均为A，∴还有4人有且只有一个科目得分等级为A，记得到成绩为A的8人编号为1﹣8，其中1﹣4号时两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，构成的基本事件有：（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（1，7）（1，8），（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（2，7）（2，8），（3，4）（3，5）（3，6）（3，7）（3，8），（4，5），（4，6）（4，7）（4，8），（5，6）（5，7）（5，8），（6，7）（6，8）共28个，其中两人的两科成绩均为A的为（1，2）（1，3）（1，4），（2，3）（2，4），（3，4）共6个，∴所求概率为P==点评：本题考查列举法求基本事件数及事件发生的概率，涉及分布直方图，属基础题．19．在数列{a n}中，a1=，其前n项和为S n，且S n=a n+1﹣（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2（2S n+1）﹣2，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，数列{c n}的前n项和为T n，求使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值．考点：数列与不等式的综合；数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由S n=a n+1﹣，得，两式作差后可得数列{a n}是首项为，公比为2 的等比数列，由等比数列的通项公式得，代入S n=a n+1﹣求得S n；（Ⅱ）把S n代入b n=log2（2S n+1）﹣2，结合c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn求得c n，然后利用裂项相消法及等比数列的前n项和得答案．解答：解：（Ⅰ）由S n=a n+1﹣，得，两式作差得：a n=a n+1﹣a n，即2a n=a n+1（n≥2），∴，又，得a2=1，∴，∴数列{a n}是首项为，公比为2的等比数列，则，；（Ⅱ）b n=log2（2S n+1）﹣2=，∴c n•b n+3•b n+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，即，，+（2﹣1+20+…+2n﹣2）===．由4T n＞2n+1﹣，得，即，n＞2014．∴使4T n＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值为2015．点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了数列的分组求和、裂项相消法求数列的和及等比数列的前n项和，是中档题．20．设函数f（x）=x2﹣ax+lnx（a为常数）．（Ⅰ）当a=3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当0＜a＜2时，试判断f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x0∈，使不等式f（x0）＜mlna对任意a∈（0，）恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）先对f（x）求导，根据导数研究函数的单调性，进而求出函数的极值；（Ⅱ）利用基本不等式确定导函数在0＜a＜2时的正负，然后判断f（x）的单调性；（Ⅲ）采用分离参数m的方法转化成求函数g（a）=在（0，）上的最值问题．解答：解：依题意f′（x）=，（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），当a=3时，f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=，当时，f′（x）＜0；f（x）单调递减；当0＜x＜，或x＞1时，f′（x）＞0；f（x）单调递增；所在f（x）极小值=f（1）=﹣2，f（x）极大值=f（）=﹣．（Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x+﹣a，因为2x+，（当且仅当x=时，等号成立）因为0＜a＜2，所以f′（x）=2x+﹣a＞0在（0，+∞）上恒成立，故f（x）在（0，+∞）上是增函数．（Ⅲ）当a∈（0，）时，由（Ⅱ）知，f（x）在上单调递增，所以f（x）max=f（1）=1﹣a．故问等价于：当a∈（0，）时，不等式1﹣a＜mlna恒成立，即m＜恒成立．记g（a）=，则g′（a）=，令M（a）=﹣alna﹣1+a，M′（a）=﹣lna＞0，所以M（a）在a∈（0，）上单调递增，M（a）＜M（）=，故g′（a）＜0，所以g（a）=在a∈（0，）上单调递减，所以M=﹣，即实数m的取值范围为（﹣]．点评：本题考查了用导数研究函数的极值、最值及单调性问题，还考查了恒成立问题的处理方法，综合性较强．解决恒成立问题常转化成求函数的最值问题解决．21．已知F1，F2分别是椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，F2是抛物线C2：y2=2px （p＞0）的焦点，P（，m）是C1与C2在第一象限的交点，且|PF2|=．（Ⅰ）求C1与C2的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M， N两点，T为直线x=4上任意一点，且T不在x轴上．（i）求的取值范围；（ii）若OT恰好一部分线段MN，证明：TF2⊥MN．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据已知条件建立关系式求出P的值，进一步确定抛物线方程．进一步利用求得a和b的值，确定椭圆的方程．（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）进一步求出②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2），则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0利用根和系数的关系进一步利用恒等变形求出．（ii）设线段MN的中点坐标为Q（x Q，y Q）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：，进一步求出OT的直线方程为：，则直线TF2的斜率为：，进一步化简得到；，从而得到结论．解答：解：（Ⅰ）因为点P（，m）在抛物线上，且|PF2|=，抛物线的准线方程为x=﹣，所以：解得：P=2所以抛物线的方程为：y2=4x将点P（，m）代入y2=4x解得：m=，所以P（）点P在椭圆上，且椭圆的焦点F2（1，0），所以：解得：a2=4，b2=3所以：椭圆的方程为：（Ⅱ）（i）①若直线的斜率不存在，则MN的直线方程为：x=1．此时M，N（）②若直线MN的斜率存在，设直线的方程为：y=k（x﹣1）设交点M（x1，y1），N（x2，y2）则：消去y得到：（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，所以：（x1+x2）+1]=由于k2≥0所以：所以的取值范围：（ii）证明：设线段MN的中点坐标为Q（x Q，y Q）由（i）得到：，所以直线OT的斜率：OT的直线方程为：，得到：T（4，﹣）直线TF2的斜率为：所以；则：TF2⊥MN点评：本题考查的知识要点：抛物线方程和椭圆方程的确定，圆锥曲线和直线方程的关系，一元二次方程根和系数的关系，分类讨论思想在做题中的应用，直线垂直的充要条件的应用．。
2015年山东省淄博市高考一模数学试卷(理科)【解析版】
2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝log2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．R B．∅C．[0，+∞）D．（0，+∞）3．（5分）已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要4．（5分）将函数y＝sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝﹣5．（5分）函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．6．（5分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860B．1320C．1140D．10207．（5分）已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）A．x﹣y＞0B．x+y＜0C．x﹣y＜0D．x+y＞08．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）＝e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3＝0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．210．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a＝|MO|﹣|MT|B．b﹣a＞|MO|﹣|MT|C．b﹣a＜|MO|﹣|MT|D．b﹣a＝|MO|+|MT|二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有个．12．（5分）已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b 的值为．13．（5分）已知向量满足，，则的夹角为．14．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z＝3x+2y的最大值的取值范围是（请用区间表示）．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是（请写出所有正确的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数f（x）＝sinωx sin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝0，若向量＝（1，sin A）与向量＝（3，sin B）共线，求a，b的值．17．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．18．（12分）为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．19．（12分）在数列{a n}中，a3＝1，S n是其前n项和，且S n＝a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n＝log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4＝1+n（n+1）（n+2）•，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n 的值．20．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+y2＝1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．2015年山东省淄博市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题．每小题5分．共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：因为复数＝＝＝﹣1+i，所以复数在复平面内对应的点为（﹣1，1）在第二象限．故选：B．2．（5分）集合A＝{x|y＝x}，B＝{y|y＝log2x，x∈R}，则A∩B等于（）A．R B．∅C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：由A中y＝x，得到x≥0，即A＝[0，+∞），由B中y＝log2x，得到y∈R，即B＝R，则A∩B＝[0，+∞），故选：C．3．（5分）已知命题p：x≠1或y≠2，命题q：x+y≠3，则命题p是q的（）A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：根据逆否命题的等价性，只需要判断x+y＝3与x＝1且y＝2的条件关系即可．若x＝0，y＝3时，满足x+y＝3，但此时x＝1且y＝2，不成立，即充分性不成立．若x＝1，y＝2时，则x+y＝3成立，即必要性成立．即x+y＝3是x＝1且y＝2的必要不充分条件，即“x≠1或y≠2”是“x+y≠3”的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）将函数y＝sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）A．x＝B．x＝C．x＝D．x＝﹣【解答】解：将函数y＝sin（2x﹣）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的函数的解析式为y＝sin[2（x+）﹣]＝sin（2x+），当x＝时，函数取得最大值，可得所得函数图象的一条对称轴的方程是x＝，故选：C．5．（5分）函数y＝的一段大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数为奇函数，排除B、C两项；又，所以，函数在（﹣∞，0），（0，+∞）上均为减函数，D 不正确．故选：A．6．（5分）某班组织文艺晚会，准备从A，B等8个节目中选出4个节目演出，要求：A，B两个节目至少有一个选中，且A，B同时选中时，它们的演出顺序不能相邻，那么不同演出顺序的和数为（）A．1860B．1320C．1140D．1020【解答】解：分两类：第一类，A，B只有一个选中，则不同演出顺序有种；第二类：A，B同时选中，则不同演出顺序有种．共有：+＝1140（种）．故选：C．7．（5分）已知x，y∈R，且2x+3y＞2﹣y+3﹣x，则下列各式中正确的是（）A．x﹣y＞0B．x+y＜0C．x﹣y＜0D．x+y＞0【解答】解：设f（x）＝2x﹣3﹣x，f′（x）＝2x ln2+3﹣x ln3＞0；∴f（x）在R上单调递增；又由2x+3y＞2﹣y+3﹣x得2x﹣3﹣x＞2﹣y﹣3y；∴f（x）＞f（﹣y）；∴x＞﹣y；∴x+y＞0．故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×＝，故组合体的体积V＝1﹣＝，故选：A．9．（5分）函数f（x）＝e x+x2+x+1与g（x）的图象关于直线2x﹣y﹣3＝0对称，P，Q分别是函数f（x），g（x）图象上的动点，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．2【解答】解：∵f（x）＝e x+x2+x+1，∴f′（x）＝e x+2x+1，∵函数f（x）的图象与g（x）关于直线2x﹣y﹣3＝0对称，∴函数f（x）到直线的距离的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．直线2x﹣y﹣3＝0的斜率k＝2，由f′（x）＝e x+2x+1＝2，即e x+2x﹣1＝0，解得x＝0，此时对于的切点坐标为（0，2），∴过函数f（x）图象上点（0，2）的切线平行于直线y＝2x﹣3，两条直线间距离d就是函数f（x）图象到直线2x﹣y﹣3＝0的最小距离，此时d＝，由函数图象的对称性可知，|PQ|的最小值为2d＝2．故选：D．10．（5分）过双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点F1，作圆x2+y2＝a2的切线交双曲线右支于点P，切点为T，PF1的中点M在第一象限，则以下结论正确的是（）A．b﹣a＝|MO|﹣|MT|B．b﹣a＞|MO|﹣|MT|C．b﹣a＜|MO|﹣|MT|D．b﹣a＝|MO|+|MT|【解答】解：连OT，则OT⊥F1T，在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝b．连PF2，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，∴|OM|＝|PF2|，∴|MO|﹣|MT|＝|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）＝（|PF2|﹣|PF1|）+b＝×（﹣2a）+b＝b﹣a．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x的个数共有3个．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y＝的值，当x≤2时，由y＝x2﹣1＝3可得x＝2或﹣2；当x＞2时，由y＝log2x＝3可知x＝8；即输出结果为3时，则输入的实数x的值是8，2或﹣2．故答案为：3．12．（5分）已知不等式|8x+9|＜7和不等式ax2+bx＞2的解集相同，则实数a+b 的值为﹣13．【解答】解：不等式|8x+9|＜7的解集为（﹣2，﹣）；ax2+bx＞2可化为ax2+bx﹣2＞0，故﹣2﹣＝﹣；﹣2•（﹣）＝，解得a＝﹣4，b＝﹣9；故a+b＝﹣13；故答案为：﹣13．13．（5分）已知向量满足，，则的夹角为．【解答】解：向量满足，，∴＝＝，化为＝，∴＝．故答案为：．14．（5分）在约束条件下，当3≤m≤5时，目标函数z＝3x+2y 的最大值的取值范围是[7，8]（请用区间表示）．【解答】解：由⇒交点为A（2，0），B（4﹣m，2m﹣4），C （0，m），C'（0，4），当3≤m＜4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8当4≤m≤5时可行域是△OAC'此时，z max＝8故答案为：[7，8]．15．（5分）对于函数f（x），若存在区间A＝[m，n]，使得{y|y＝f（x），x∈A}＝A，则称函数f（x）为“同域函数”，区间A为函数f（x）的一个“同城区间”．给出下列四个函数：①f（x）＝cos x；②f（x）＝x2﹣1；③f（x）＝|x2﹣1|；④f（x）＝log2（x﹣1）．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是①②③（请写出所有正确的序号）【解答】解：①f（x）＝，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以①存在同域区间；②f（x）＝x2﹣1，x∈[﹣1，0]时，f（x）∈[﹣1，0]，所以②存在同域区间；③f（x）＝|x2﹣1|，x∈[0，1]时，f（x）∈[0，1]，所以③存在同域区间；④f（x）＝log2（x﹣1），判断该函数是否有同域区间，即判断该函数和函数y＝x是否有两个交点；而根据这两个函数图象可以看出不存在交点，所以该函数不存在同域区间．故答案为：①②③．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．（12分）已知函数f（x）＝sinωx sin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝，f（C）＝0，若向量＝（1，sin A）与向量＝（3，sin B）共线，求a，b的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝sinωx sin（+ωx）﹣cos2ωx﹣＝sinωx cosωx﹣﹣＝sin2ωx﹣cos2ωx﹣1＝sin（2ωx）﹣1∵其图象两相邻对称轴间的距离为．∴最小正周期为T＝π，∴ω＝1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）＝sin（2x）﹣1∴sin（2C﹣）＝1∵0＜C＜π，∴﹣＜2C﹣＜，∴2C﹣＝，即C＝由已知∥可得sin B﹣3sin A＝0，在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a＝0①由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，又已知c＝∴7＝a2+b2﹣ab②由①②联立，可解得：a＝1，b＝3．17．（12分）如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，AB＝4，BC＝CD＝EA＝ED＝2，F是线段EB的中点．（Ⅰ）证明：BD⊥AE；（Ⅱ）求平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵BC⊥CD，BC＝CD＝2，∴BD＝2，同理EA⊥ED，EA＝ED＝2，∴AD＝2，又∵AB＝4，∴由勾股定理得BD⊥AD，又∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥平面AED，又∵AE⊂平面ADE，∴BD⊥AE．（Ⅱ）解：取AD的中点O，连结OE，则OE⊥AD，∵平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD，∴OE⊥平面ABCD，取AB的中点F，连结OF，则OF∥BD，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则D（﹣，0，0），C（﹣2，，0），E（0，0，），＝（﹣，，0），＝（），设平面CDE的法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，得平面CDE的一个法向量为＝（1，1，﹣1），又平面ADE的一个法向量为＝（0，1，0），设平面ADE和平面CDE所成角（锐角）为θ，cosθ＝|cos＜＞|＝＝，∴平面ADE和平面CDE所成角（锐角）的余弦值为．18．（12分）为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：①锻炼时间不超过1小时，免费；②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．【解答】解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A1、A2、A3，乙付费0元、2元、3元为事件B1、B2、B3．则P（A1）＝0.4，P（A2）＝0.5，P（A3）＝1﹣0.4﹣0.5＝0.1，P（B1）＝0.5，P （B2）＝0.3，P（B3）＝1﹣0.5﹣0.3＝0.2．由题意可知：A i与B i相互独立，设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则M＝A1B1+A2B2+A3B3，∴P（M）＝P（A1）P（B1）+P（A2）P（B2）+P（A3）P（B3）＝0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2＝0.37．（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ＝0）＝P （A1）P（B1）＝0.4×0.5＝0.2，P（ξ＝2）＝P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）＝0.4×0.3+0.5×0.5＝0.37，P（ξ＝3）＝P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）＝0.4×0.2+0.1×0.5＝0.13，P（ξ＝4）＝P（A2）P（B2）＝0.5×0.3＝0.15，P（ξ＝5）＝P（A2）P（B3）+P （A3）P（B2）＝0.5×0.2+0.1×0.3＝0.13，P（ξ＝6）＝P（A3）P（B3）＝0.1×0.2＝0.02．Eξ＝0×0.2+2×0.37+3×0.13+4×0.15+5×0.13+6×0.02＝2.5．19．（12分）在数列{a n}中，a3＝1，S n是其前n项和，且S n＝a n+1（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n＝log2S n，数列{c n}满足c n•b n+3•b n+4＝1+n（n+1）（n+2）•，数列{c n}的前n项和为T n，当n＞1时，求使T n＜2n+成立的最小正整数n 的值．【解答】解：（Ⅰ）当n＝1时，a1＝a2，当n＝2时，a1+a2＝a3＝1，∴，由，得a n＝a n+1﹣a n，即2a n＝a n+1，n≥2，＝2，n≥2，∵，∴数列{a n}从第二项起是首项为，公比为2的等比数列，∴a n＝，∴．（Ⅱ）由S n＝2n﹣2，得b n＝log2S n＝n﹣2，∵c n•b n+3•b n+4＝1+n（n+1）（n+2）•＝1+n（n+1）（n+2）•2n﹣2，c n＝+n•2n﹣2，∴T n＝+1×2﹣1+2×20+3×2+…+n•2n﹣2，令A＝＝＝，令B＝1×2﹣1+2×2+3×21+4×22+…+（n﹣1）•2n﹣12B＝1×20+2×21+3×22+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，﹣B＝2﹣1+20+2+22+…+2n﹣2﹣n•2n﹣1，B＝（n﹣1），∴T n＝+＝，当n＞1时，＜2n+，即＜，∴n2+n﹣12＞0，（n+4）（n﹣3）＞0，n＞3，∴当n＞1时，使成立的最小正整数n的值为n＝4．20．（13分）设函数f（x）＝x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝3时，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞1，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）对任意x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＜2+a恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a＝3时，f（x）＝﹣x2+3x﹣lnx（x＞0）．f′（x）＝﹣2x+3﹣＝．当x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．∴f（x）极大值＝f（1）＝2，f（x）极小值＝＝．（Ⅱ）当a＞1时，f′（x）＝＝，当a＝2时，f′（x）＝≤0，函数f（x）在x＞0时单调递减；当1＜a＜2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜1或，此时函数f （x）单调递减；令f′（x）＞0，解得1＜x＜，此时函数f（x）单调递增．当a＞2时，，令f′（x）＜0，解得0＜x＜或x＞1，此时函数f（x）单调递减；令f′（x）＞0，解得＜x＜1，此时函数f（x）单调递增．综上可得：当1＜a＜2时，f（x）在x∈（0，1）或）单调递减；f （x）在上单调递增．当a＝2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减．当a＞2时，f（x）在或（1，+∞）上）单调递减；函数f（x）在上单调递增．（Ⅲ）假设存在a满足题意，不妨设0＜x1＜x2，由＜2+a恒成立，可得f（x2）﹣ax2﹣2x2＜f（x1）﹣ax1﹣2x1，令g（x）＝f（x）﹣ax﹣2x，则g（x）＝，由题意可知：g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g′（x）＝（1﹣a）x﹣2﹣≤0，化为在（0，+∞）上恒成立，∴a≥1．21．（14分）已知F1，F2分别是椭圆+y2＝1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F2的直线交椭圆于M，N两点，求•的取值范围；（Ⅲ）过椭圆的右顶点C的直线l与椭圆交于点D（点D异于点C），与y轴交于点P（点P异于坐标原点O），直线AD与BC交于点Q．证明：•为定值．【解答】解：（Ⅰ）∵F1，F2分别是椭圆E：+y2＝1（a＞1）的左、右焦点，A，B分别为椭圆的上、下顶点，F2到直线AF1的距离为．∴2•＝，b＝1，a2﹣b2＝c2，解得a＝，∴椭圆E的方程为+y2＝1．（Ⅱ）MN的斜率不存在时，MN：x＝1，解得M（1，），N（1，﹣），•＝﹣；MN的斜率存在时，设直线MN：y＝k（x﹣1），代入椭圆方程可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2＝，x1x2＝，•＝（x1﹣1，y1）•（x2﹣1，y2）＝（1+k2）[x1x2+1﹣（x1+x2）]＝（1+k2）•（+1﹣）＝﹣＝﹣∈[﹣1，﹣）．综上可得•的取值范围是[﹣1，﹣]；（Ⅲ）证明：∵椭圆的右顶点C（，0），∴设直线CD：y＝k（x﹣），（k≠0），则P（0，﹣k），联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+4k2﹣2＝0，∴x C•x D＝，∴x D＝＝，设点Q（x′，y′），直线BC的方程为y＝（x﹣），A、D、Q三点共线，则有，∴，∴y′+＝，∴＝，又∵yD＝k（xD﹣），∴＝＝k﹣，将x D＝代入，得：＝，∴y′＝﹣，∴•＝（0，﹣k）•（x'，﹣）＝1．即•为定值1．。
【解析】山东省淄博市2015届高三数学三模试卷(理科) Word版含解析[ 高考]
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2015年山东省淄博市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（）A． 2i B．﹣2i C． 2+i D．﹣2+i2．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|y=e x，x∈R}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（1，2）3．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜的图象过点，则f（x）的图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．4．下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④若x＞0，则x＞sinx恒成立．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个5．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B．C．D．6．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A． 0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．已知函数f（x）=（x﹣1）的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则a2+b2的取值范围是（）A．上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，0） C．（0，2） D．（﹣2，0）10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是be2（e为双曲线的离心率），则e的值为（）A． B． C．或3 D．或二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.12．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则f（x）dx= ．13．设、、都是单位向量且•=0，则（+）•（+）的最大值为．14．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（Ⅰ）对任意a∈R，a*0=a；（Ⅱ）对任意Ra，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的序号为．15．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量是向量与的夹角，则的值为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．设向量=（sin2ωx，cos2ωx），=（cosφ，sinφ），其中|φ|＜，ω＞0，函数f （x）=的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与x轴的第一个交点为．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的对边分别是a′b′c′若f（C）=﹣1，，且a+b=2，求边长c．17．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，AC=AP=2．（Ⅰ）求证：PC⊥AE；（Ⅱ）求二面角A﹣CE﹣P的余弦值．18．某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计：乙队胜的概率乙队平的概率乙队负的概率与丙队比赛与丁队比赛注：各队之间比赛结果相互独立．（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）19．表是一个由正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等．已知a1，1=1，a2，3=8，a3，2=6．（Ⅰ）求数列{a2，n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n和S n．a1，1 a1，2 a1，3 a1，4…a2，1 a2，2 a2，3 a2，4…a3，1 a3，2 a3，3 a3，4…a4，1 a4，2 a4，3 a4，4………………20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣．（Ⅰ）证明：当a=1，x＞0时，f（x）＞0；（Ⅱ）若a＞1，讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅲ）设n∈N*，比较与n﹣ln（1+n）的大小，并加以证明．2015年山东省淄博市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z1=1﹣i，z2=1+i，则等于（）A． 2i B．﹣2i C． 2+i D．﹣2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：代入复数，利用复数的代数形式的乘除运算，求解即可．解答：解：∵复数z1=1﹣i，z2=1+i，则====﹣2i．故选：B．点评：本题考查复数的代数形式的乘除运算，基本知识的考查．2．设集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={y|y=e x，x∈R}，则A∩B=（）A．（0，3） B．（0，2） C．（0，1） D．（1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可．解答：解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即A=（﹣1，3），由B中y=e x＞0，得到B=（0，+∞），则A∩B=（0，3），故选：A．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜的图象过点，则f（x）的图象的一个对称中心是（）A． B． C． D．考点：正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得=2sinφ，结合（|φ|＜可得φ的值，由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则可求f（x）的图象的一个对称中心．解答：解：∵函数f（x）=2sin（2x+φ）（|φ|＜的图象过点，∴=2sinφ，由（|φ|＜，可得：φ=∴f（x）=2sin（2x+），∴由五点作图法令2x+=0，可解得：x=﹣，则f（x）的图象的一个对称中心是．故选：B．点评：本题主要考查了正弦函数的对称性，属于基本知识的考查．4．下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”；③“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的充分不必要条件；④若x＞0，则x＞sinx恒成立．A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个考点：复合命题的真假；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：①利用命题的否定定义即可判断出真假；②利用逆否命题的定义即可判断出真假；③利用复合命题真假的判定方法、充要条件的判定方法即可判断出真假；④若x＞0，令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0，即可函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，即可判断出真假．解答：解：①命题“∀x∈R，x﹣lnx＞0”的否定是“∃x0∈R，x0﹣lnx0≤0”，正确；②命题“若x﹣sinx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则x﹣sinx≠0”，正确；③“命题p∨q为真”，则p与q中至少有一个为真命题，取p真q假时，“命题p∧q为真”为假命题，反之：若“命题p∧q为真”，则p与q都为真命题，因此“命题p∨q为真”，∴“命题p∨q为真”是“命题p∧q为真”的必要不充分条件，因此是假命题；④若x＞0，令f（x）=x﹣sinx，则f′（x）=1﹣cosx≥0，因此函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（0）=0，则x＞sinx恒成立，正确．综上只有①②④是真命题．故选：C．点评：本题考查了简易逻辑的判定方法、利用导数研究函数的单调性，考查了推理能力，属于中档题．5．已知函数f（x）=x2+cosx，f′（x）是函数f（x）的导函数，则f′（x）的图象大致是（）A． B．C． D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：由于f（x）=x+cosx，得f′（x）=x﹣sinx，由奇函数的定义得函数f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，取x=代入f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合．解答：解：由于f（x）=x+cosx，∴f′（x）=x﹣sinx，∴f′（﹣x）=﹣f′（x），故f′（x）为奇函数，其图象关于原点对称，排除BD，又当x=时，f′（）=﹣sin=﹣1＜0，排除C，只有A适合，故选：A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力，同时考查导数的计算，属于中档题．6．如图是一个算法的流程图．若输入x的值为2，则输出y的值是（）A． 0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：利用循环结构，直到条件不满足退出，即可得到结论．解答：解：执行一次循环，y=0，x=0；执行第二次循环，y=﹣1，x=﹣2；执行第三次循环，y=﹣2，满足条件，退出循环故选C点评：本题考查循环结构，考查学生的计算能力，属于基础题．7．已知函数f（x）=（x﹣1）的三个零点值分别可以作为抛物线、椭圆、双曲线的离心率，则a2+b2的取值范围是（）A．解答：解：令函数f（x）=（x﹣1）=0，∴x=1是其中的一个根，所以f（x）=（x﹣1）的另外两个零点分别是一个椭圆一个双曲线的离心率，故g（x）=x2+（1+a）x+a+b+1，有两个分别属于（0，1），（1，+∞）的零点，故有g（0）＞0，g（1）＜0，即a+b+1＞0且2a+b+3＜0，利用线性规划的知识，可确定a2+b2的取值范围是（5，+∞）．故选：D．点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，简单线性规划，考查计算能力．8．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中，有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（）A． 432 B． 288 C． 216 D． 144考点：排列、组合及简单计数问题．专题：概率与统计．分析：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种．先排3个奇数：用插空法求得结果，再排除1在左右两端的情况，问题得以解决．解答：解：从2，4，6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有=6种，先排3个奇数，有=6种，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的4个空中，方法有=12种．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12=432种．若1排在两端，1的排法有•=4种，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数中插在3个奇数形成的3个空中，方法有=6种，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6=144种，故满足1不在左右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432﹣144=288种．故选：B．点评：本题主要考查排列、组合、两个基本原理的应用，注意不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法，属于中档题．9．已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2） B．（﹣∞，0） C．（0，2） D．（﹣2，0）考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围解答：解：当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣2x+3=﹣（x+1）2+4此时函数f（x）单调递减，∵不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在上恒成立∴x+a＜2a﹣x恒成立，即a＞2x恒成立，∵x∈，∴（2x）max=2（a+1）=2a+2，即a＞2a+2，解得a＜﹣2，当x≤0时，f（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1此时函数f（x）单调递减，∵不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在上恒成立∴x+a＜2a﹣x恒成立，即a＞2x恒成立，∵x∈，∴（2x）max=2（a+1）=2a+2，即a＞2a+2，解得a＜﹣2，综上所述：即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，过右焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，若抛物线y2=4cx的准线被双曲线截得的弦长是be2（e为双曲线的离心率），则e的值为（）A． B． C．或3 D．或考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，准线被双曲线C截得的弦长为：，可得=be2，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．解答：解：∵抛物线y2=4cx的准线：x=﹣c，它正好经过双曲线C：﹣=1（a＞b＞0）的左焦点，∴准线被双曲线C截得的弦长为：，∴=be2，即：c2=3ab，∴2c4=9a2（c2﹣a2），∴2e4﹣9e2+9=0∴e=或，又过焦点且斜率为1的直线与双曲线的右支交于两点，∴e=．故选：A．点评：本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系．由圆锥曲线的方程求焦点、离心率、双曲线的三参数的关系：c2=a2+b2注意双曲线与椭圆的区别．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分.12．若函数f（x）=x2+2x+2a与g（x）=|x﹣1|+|x+a|有相同的最小值，则f（x）dx= ．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：首先由已知得到a＞1，然后利用最小值相等得到a的值，然后求定积分．解答：解：由已知a＞1，并且f（x）=x2+2x+2a=（x+1）2+2a﹣1，它的最小值为2a﹣1，g（x）=|x﹣1|+|x+a|的最小值为1+a，所以2a﹣1=1+a解得a=2，所以f（x）dx==（）|=；故答案为：．点评：本题考查了二次函数、绝对值函数的最小值以及定积分的计算，关键是正确求出a值，然后计算定积分．13．设、、都是单位向量且•=0，则（+）•（+）的最大值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：由已知中、、都是单位向量且•=0，可设=（1，0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），进而根据和差角公式可将（+）•（+）的表达式转化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的性质得到（+）•（+）的最大值．解答：解：∵、、都是单位向量且•=0设=（1， 0），=（0，1），=（cosθ，sinθ），则（+）•（+）=（1，1）•（cosθ，1+sinθ）=cosθ+1+sinθ=sin（θ+）+1故（+）•（+）的最大值为故答案为：点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算，其中求出（+）•（+）的表达式，是解答本题的关键．14．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（Ⅰ）对任意a∈R，a*0=a；（Ⅱ）对任意Ra，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．关于函数f（x）=（e x）*的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0]．其中所有正确说法的序号为①②．考点：指数函数单调性的应用．专题：函数的性质及应用．分析：直线阅读新定义得出函数关系式函数f（x）=（e x）*=1+e x+，利用基本不等式，偶函数的定义判断即可．解答：解；根据得出：函数f（x）=（e x）*=1+e x+∵e x+≥2（x=0时等号成立）∴函数f（x）的最小值为3，故①正确；∵f（﹣x）=1+e﹣x=1+e x=f（x），函数f（x）为偶函数；故②正确；运用复合函数的单调性判断函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．故③不正确故答案：①②点评：本题考查了新定义的题目，基本不等式的运用，符合函数的单调性，综合性较强，但是难度不大．15．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量是向量与的夹角，则的值为．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据题意，﹣θn是直线OA n的倾斜角，化简为，从而求出要求式子的值．解答：解：根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，∴==tan（﹣θn）===2（﹣），∴=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=2（1﹣）=，故答案：．点评：本题考查了平面向量的应用问题，也考查了直线的倾斜角与斜率的应用问题以及求函数值的应用问题，是综合性题目．三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．设向量=（sin2ωx，cos2ωx），=（cosφ，sinφ），其中|φ|＜，ω＞0，函数f （x）=的图象在y轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与x轴的第一个交点为．（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；（Ⅱ）在△ABC中，角A′B′C的对边分别是a′b′c′若f（C）=﹣1，，且a+b=2，求边长c．考点：余弦定理的应用；平面向量的综合题．专题：解三角形．分析：（I）利用向量的数量积通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用已知条件求解解析式即可．（II）求出C，利用，以及余弦定理即可求出c的值．解答：解：（I）因为向量=（sin2ωx，cos2ωx），=（cosφ，sinφ），所以=sin2ωxcosφ+cos2ωxsinφ=sin（2ωx+φ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分由题意，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣3分将点代入y=sin（2x+φ），得，所以，又因为，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分即函数的表达式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣6分（II）由f（C）=﹣1，即又∵0＜C＜π，∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分由，知，所以ab=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分由余弦定理知c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC=所以 c=3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣12分．点评：本题考查余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，三角形的解法，考查计算能力．17．在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，AC=AP=2．（Ⅰ）求证：PC⊥AE；（Ⅱ）求二面角A﹣CE﹣P的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）根据线面垂直的判定定理即可证明PC⊥AE；（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角A﹣CE﹣P的余弦值．解答：证明：（Ⅰ）取PC的中点F，连接EF，AF，则EF∥CD．因为AC=AP=2所以PC⊥AF．…1分因为 PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD所以 PA⊥CD又 AC⊥CD所以 CD⊥平面PAC…3分因为PC⊂平面PAC，所以 CD⊥PC；又 EF∥CD，所以 EF⊥PC；又因为 PC⊥AF，AF∩EF=F；所以 PC⊥平面AEF…5分因为AE⊂平面AEF，所以 PC⊥AE…6分（注：也可建系用向量证明）（Ⅱ）以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．则B（0，0，0），A（0，1，0），，，，P（0，1，2），．…8分设平面ACE的法向量为=（x，y，z），则，所以令x=1．所以=（1，，﹣2）．…9分由（Ⅰ）知CD⊥平面PAC，AF⊂平面PAC，所以CD⊥AF．同理PC⊥AF．所以AF⊥平面PCE所以平面PCE的一个法向量==（，，1）．…10分所以cos＜＞==，…11分由图可知，二面角A﹣CE﹣P为锐角，所以二面角A﹣CE﹣P的余弦值为．…12分．点评：本题主要考查空间二面角的求解以及直线垂直的判断，建立空间坐标系，利用向量法是解决本题的关键．18．某单位要从甲、乙、丙、丁四支门球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计：乙队胜的概率乙队平的概率乙队负的概率与丙队比赛与丁队比赛注：各队之间比赛结果相互独立．（Ⅰ）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；（Ⅱ）设随机变量X为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X的分布列与数学期望；（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3，乙队胜、平、负丁队为事件B1、B2、B3．利用独立事件求概率．（Ⅱ）列举随机变量X的可能取值，求出各自概率得到分布列．解答：解：（Ⅰ）设乙队胜、平、负丙队为事件A1、A2、A3，乙队胜、平、负丁队为事件B1、B2、B3．则P（A1）=P（A2）=，P（A3）=；P（B1）=P（B2）=P（B3）=；…2分设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（B1）P（A3）=．…4分（Ⅱ）随机变量X的可能取值为：7，5，4，3，2，1．…5分；；；；；；随机变量X的分布列为：…8分X 7 5 4 3 2 1P．…10分（Ⅲ）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．…12分当乙队积5分时，丙队或丁队的得分可能为4，3，2，1，乙队为小组第2出线；当乙队积4分时，丙队或丁队均有可能为6分或4分，不能确保乙队出线．点评：本题主要考查了独立事件求概率的方法和随机变量的分布列期望值，属中档题型．19．表是一个由正数组成的数表，数表中各列依次成等差数列，各行依次成等比数列，且公比都相等．已知a1，1=1，a2，3=8，a3，2=6．（Ⅰ）求数列{a2，n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n和S n．a1，1 a1，2 a1，3 a1，4…a2，1 a2，2 a2，3 a2，4…a3，1 a3，2 a3，3 a3，4…a4，1 a4，2 a4，3 a4，4………………考点：等差数列与等比数列的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设第一行依次组成的等差数列的公差是d，等比数列的公比是q＞0，可得a2，3=qa1，3=q（1+2d）=8，a3，2=q 2a1，2=q2（1+d）=6，解出d，q即可得到所求；（Ⅱ）利用等差数列的通项公式可得a n，1，可得b n，可得S n=（1﹣+++…+﹣+﹣）﹣1+2﹣3+4﹣5+…+（﹣1）n n，再利用裂项相消求和和对n分类讨论即可得出．解答：解：（Ⅰ）设第一列依次组成的等差数列的公差为d，设第一行依次组成的等比数列的公比为q（q≠0），则，解得：，因为等差数列是正数数列，所以d=1，q=2，a2，1=1+1=2，即有；（Ⅱ）因为a n，1=a1，1+（n﹣1）d=n，所以，则S n=（1﹣+++…+﹣+﹣）﹣1+2﹣3+4﹣5+…+（﹣1）n n=，当n为偶数时；当n为奇数时．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，裂项相消求和分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值；（Ⅲ）∠PMQ能否为直角？证明你的结论．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）根据椭圆C：+=1（a＞b＞0）经过点M（﹣2，﹣1），离心率为，建立方程可求a，b的值，从而可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的倾斜角为α，β，则α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，则β=45°，α=135°，求出直线的方程与椭圆方程联立，验证即可得到结论；（III）设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为﹣k，假设∠PMQ为直角，则k•（﹣k）=﹣1，k=±1，再验证即可求得结论．解答：（Ⅰ）解：由题设，得=1，①且=，②由①、②解得a2=6，b2=3，椭圆C的方程为．…3分（Ⅱ）证明：记P（x1，y1）、Q（x2，y2）．由题意知，直线MP、MQ的斜率存在．设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k2）x2+（8k2﹣4k）x+8k2﹣8k﹣4=0，﹣2，x1是该方程的两根，则﹣2x1=，x1=．设直线MQ的方程为y+1=﹣k（x+2），同理得x2=．…6分因y1+1=k（x1+2），y2+1=﹣k（x2+2），故k PQ===1，因此直线PQ的斜率为定值．…9分（Ⅲ）解：设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为﹣k，假设∠PMQ为直角，则k•（﹣k）=﹣1，k=±1．…11分若k=1，则直线MQ方程y+1=﹣（x+2），与椭圆C方程联立，得x2+4x+4=0，该方程有两个相等的实数根﹣2，不合题意；同理，若k=﹣1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．…13分点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线斜率的计算，确定椭圆方程，联立方程是关键．21．已知函数f（x）=ln（1+x）﹣．（Ⅰ）证明：当a=1，x＞0时，f（x）＞0；（Ⅱ）若a＞1，讨论f（x）在（0，+∞）上的单调性；（Ⅲ）设n∈N*，比较与n﹣ln（1+n）的大小，并加以证明．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=1时，，利用导数研究函数的单调性即可证明；（Ⅱ）由题设，．对a2﹣2a≤0，与a2﹣2a＞0，分类讨论即可得出；（III）有结论，证明如下：方法一：上述不等式等价于++…+＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞，x＞0．令x=，n∈N+，则＜ln．利用数学归纳法证明即可．方法二：上述不等式等价于++…+＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞，x＞0．令x=，n∈N+，则ln＞．化为ln（n+1）﹣lnn＞．利用“累加求和”即可证明．解答：（Ⅰ）证明：当a=1时，，，∴x＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（0）=0，f（x）＞f（0）=0；结论得证．（Ⅱ）解：由题设，．①当a2﹣2a≤0，即1＜a≤2时，则f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数．②当a2﹣2a＞0，即a＞2时，有x∈（0，a2﹣2a）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数；x∈（a2﹣2a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．综上可知：当1＜a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＞2时，f（x）在（0，a2﹣2a）上是减函数，在（a2﹣2a，+∞）上是增函数．（Ⅲ）解：，证明如下：方法一：上述不等式等价于++…+＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞，x＞0．令x=，n∈N+，则＜ln．下面用数学归纳法证明．①当n=1时，＜ln 2，结论成立．②假设当n=k时结论成立，即++…+＜ln（k+1）．那么，当n=k+1时，++…++＜ln（k+1）+＜ln（k+1）+ln=ln（k+2），即结论成立．由①②可知，结论对n∈N+成立．方法二：上述不等式等价于++…+＜ln（n+1），由（Ⅰ），可得ln（1+x）＞，x＞0．令x=，n∈N+，则ln＞．故有ln 2﹣ln 1＞，ln 3﹣ln 2＞，…ln（n+1）﹣ln n＞，上述各式相加可得ln（n+1）＞++…+，结论得证．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值、数学归纳法、“累加求和”方法，考查了分类讨论思想方法、推理能力与计算能力，属于难题．。
山东省淄博市届高三下学期第一次模拟考试数学(文)试题.docx
高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作淄博市2015—2016学年度高三模拟考试试题文科数学本试卷，分第I 卷和第Ⅱ卷两部分．共5页，满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、区县和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第I 卷(共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.i 是虚数单位，复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭表示的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.设集合{}{}12,A x x B x x a =<<=≤，若A B ⊆，则a 的取值范围是A. 2a ≥B. 2a >C. 1a ≥D. 1a > 3.下列选项错误的是 A.命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320,1x x x -+==则”B.“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件C.若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”D.若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题4.使函数()()()sin 23cos 2f x x x θθ=+++是奇函数，且在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数的θ的一个值是 A. 3π B.23π C. 43π D. 53π 5.已知平面向量,a b r r 的夹角为3π，且1,223,b a b a =+==r r r r 则 A.2 B. 3 C.1 D.36.在正项等比数列{}n a 中，若13213,22a a a ，成等差数列，则2016201720142015a a a a -=- A. 31-或 B. 91或 C. 3 D.97.已知双曲线2215y x m-=的一个焦点与抛物线212x y =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为 A. 55y x =± B. 255y x =± C. 52y x =± D. 5y x =±8.三棱锥P ABC -及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则PB=A. 211B. 42C. 38D. 1639.如果执行如右面的程序框图，那么输出的S=A.119B.600C.719D.494910.任取[]1,1k ∈-，直线:3l y kx =+与圆()()22:234C x y -+-=相交于M,N 两点，则23MN ≥的概率为 A. 32 B. 33 C. 23 D. 12第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数()11,021,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a ≤，则实数a 的取值范围是________.12.某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数记为x ，那么x 的值为________.13.锐角三角形ABC 中，,,a b c 分别是三内角A,B,C 的对边，设2B A =，则b a的取值范围是________. 14.若,x y 满足20400x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则12z y x =-的最大值为________. 15.已知函数(),f n n N *∈，且()f n N *∈，若()()()()1f n f n f f n +++= ()31,11n f +≠，则()6f =______.三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本题满分12分）()()cos ,sin ,22sin ,22cos ,m x x n x x ==+-u r r 函数(),f x m n x R =⋅∈u r r .（I ）求函数()f x 的最大值；（II ）若3,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭且()1f x =，求5cos 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 17. （本题满分12分）学业水平考试后，某校对高二学生的数学、英语成绩进行了统计，结果如图表所示（人数）：已知英语、数学的优秀率分别为24%、30%（注：合格人数中不包含优秀人数）.（I ）求a 、b 的值；（II ）现按照英语成绩的等级，采用分层抽样的方法，从数学不合格的学生中选取6人.若再从这6人中任选2人，求这两名学生的英语成绩恰为一人优秀一人合格的概率.18. （本题满分12分）四棱锥P A B C D P D -⊥中，平面,22//A B C D A D A B B C a A D B C===，，3,60PD a DAB =∠=o ，Q 是PB 的中点.（I ）若平面PAD ⋂平面PBC l =，求证：//l BC ；（II ）求证：DQ PC ⊥.19. （本题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3n n a S =-，数列{}n b 为等差数列，且5715,21b b ==. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（II ）将数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中的第1b 项，第2b 项，第3b 项，…，第n b 项，…，删去后，剩余的项按从小到大的顺序排成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前2016项和.20. （本题满分13分）如图所示的封闭曲线C由曲线1C ：()222210,0x y a b y a b+=>>≥和曲线2:C ()2220x y r y +=<组成，已知曲线1C 过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，离心率为32，点A,B 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的一个交点. （I ）求曲线12C C 和的方程；（II ）若点Q 是曲线2C 上的任意点，求QAB ∆面积的最大值；（III ）若点F 为曲线1C 的右焦点，直线:l y kx m =+与曲线1C 相切于点M ，与x 轴交于点N ，直线OM 与直线433x =交于点P ，求证：以MF//PN.21. （本题满分14分）设函数()()21x f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）. （I ）若12a =，求()f x 的单调区间； （II ）若当0x ≥时()0f x ≥，求a 的取值范围；（III ）若()f x 无极值，求a 的值.。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
淄博市2015届高三5月阶段性诊断考试二模数学(文)试题及答案
高三阶段性诊断考试试题文科数学本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡—并交回．注意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．参考公式：1.如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).2.球的体积公式343V R ，其中R 表示球的半径.[来源学科网]第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足11z i （其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数是A. 12iB. 12iC. 12iD. 12i 2.设21,,2,x P y yx x R Q y y x R ，则A. P QB. Q PC. R C P QD. R Q C P 3.设命题21:32,:02x p x x q x ，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某工厂生产的甲、乙、丙三种型号产品的数量之比为2：3：5，现用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，其中甲种产品有20件，则n= A.50 B.100 C.150 D.200 5.已知不共线向量,,,a b ab a b a b a r r rr r r r r r 则与的夹角是A. 2 B. 3 C. 4 D. 66. ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若a,b,c ，成等比数列，且c=2a ，则cosC=[来源:Z_xx_]A. 24 B. 24 C. 34 D. 347.设函数01x x f x a ka a a 且在，上既是奇函数又是减函数，则log a g x x k的图象是8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为[来源学#科#网Z#X#X#K]A. 33B. 3C. 32 D. 39.已知函数f x x R 满足11,1f f x 且，则不等式2211fg x g x 的解集为A. 10,10B. 10,10,10C. 1,1010 D. 10,10.设双曲线222210,0xy a b a b 的右焦点为F ，过点F 做与x 轴垂直的直线交两渐近线于A,B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为P ，设O 为坐标原点，若4,,25OP OA OB R uu u r uu r uu u r ，则双曲线的离心率e 是A. 5 B. 52 C. 52 D. 54第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.若x,y 都是锐角，且51sin tan ,53x y x y ，则_________.12.在边长为2的正方形ABCD 的内部任取一点M ，则满足90AMB 的概率为___________（结果保留）.13.已知0,0a b ，方程为22420x y x y 的曲线关于直线10ax by 对称，则2a bab 的最小值为________.14.已知抛物线24y x 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到y 轴的最短距离是_____. 15.已知数列n a 满足11,log 12,n n a a n n n N .定义：使乘积12k a a a 为正整数的k k N 叫做“易整数”.则在1,2015内所有“易整数”的和为________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16. （本小题满分12分）已知向量cos ,cos ,3sin cos ,2sin 6m x x n x x x ，且满足f x m n u r r .（I ）求函数f x 的的对称轴方程；（II ）将函数f x 的图象向右平移6个单位得到g x 的图象，当0,x 时，求函数g x 的单调递增区间. 17. （本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，90,2,3,//A B AD BC EF AB ，且AE=1，M,N 分别是FC,CD 的中点.将梯形ABCD 沿EF 折起，使得1,BM 连接AD,BC,AC 得到（图2）所示几何体.（I ）证明：BC 平面ABFE ；（II ）证明：AF//平面BMN.18. （本小题满分12分）已知函数log 01,,2m n f x x m m a n 且点在函数f x 的图象上.（I ）若33n n n b a f a m ，当时，求数列n b 的前n 项和n S ；（II ）设2lg n n n c a a ，若数列n c 是单调递增数列，求实数m 的取值范围. 19. （本小题满分12分）某超市举办促销活动，凡购物满100元的顾客将获得3次模球抽奖机会，抽奖盒中放有除颜色外完全相同的红球、黄球和黑球各1个，顾客每次摸出1个球再放回，规定摸到红球奖励10元，摸到黄球奖励5元，摸到黑球无奖励. （I ）求其前2次摸球所获奖金大于10元的概率；（II ）求其3次摸球获得奖金恰为10元的概率.[来源学科网Z|X|X|K]20. （本小题满分13分）已知椭圆2222:10xy C a b a b 上的点到焦点距离的最大值为21，离心率为22.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）若过点2,0M 的直线与椭圆C 交于A,B 两点，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP uu r uu u r uu u r （O 为坐标原点），当253PA PB uu r uu r 时，求实数t 的取值范围.21. （本小题满分14分）已知函数2121,ln 23f x x k x k g x x x .（I ）若函数g x 的图象在（1，0）处的切线l 与函数f x 的图象相切，求实数k 的值；（II ）当0k 时，证明：0f x g x ；（III ）设,h x f x g x h x 若有两个极值点1212,x x x x ，且1272h x h x ，求实数k的取值范围.。
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淄博市2015届高三下第一次模拟考试试题
文 科 数 学
本试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分，考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上．
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效．
4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =⋅
第I 卷(共50分)
一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分。
共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.复数31i i
+（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于 A.第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2.集合{{}2,log ,0A x y B y y x x A B ==
==>⋂，则等于 A.R B. ∅ C. [)0+∞， D. ()0+∞，
3、某中学从高三甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是83，乙班学生成绩的中位数是86，则x ＋y 的值为
A 、7
B 、8
C 、9 10、C
4、已知函数y=f(x)+x 是偶函数，且f （2）＝1，则f （－2）＝
A 、－1
B 、1
C 、－5
D 、5
5. 将函数sin 26y x π⎛⎫=-
⎪⎝⎭图象向左平移4π个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是
A. 12x π
= B. 6x π
= C. 3x π
= D. 12x π
=-
6. 已知命题:12p a b ≠≠或，命题:3q a b +≠，则p 是q 的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 7. 函数1sin y x x
=-的图象大致是
8、曲线2
()1x f x e x x =+++上的点到直线23x y -=的距离的最小值为
B. C. 9. 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是
A. 16
B. 12
C. 34
D. 56
10.过双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是 A. b a MO MT -=-
B. b a MO MT ->-
C. b a MO MT -<-
D. b a MO MT -=+
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11.某算法的程序框图如图所示，若输出结果为3，则可输入的实数x 的个数共有_____个
.
12. 在约束条件2430,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩
下，目标函数32z x y =+的最大值是＿＿＿＿
13、若直线3y kx =+与圆22
x y +＝1相切，则k ＝＿＿＿＿＿ 14. 已知向量,a b r r
满足2,3,2a b a ==r r r a b 与r r 的夹角为_________.
15.对于函数()f x ，若存在区间[](){}
,,A m n y y f x x A A ==∈=，使得，则称函数()f x 为“同域函数”，区间A 为函数()f x 的一个“同城区间”.给出下列四个函数： ①()cos 2f x x π
=；②()21f x x =-；③()21f x x =-；④()f x =log ()21x -.
存在“同域区间”的“同域函数”的序号是_______________（请写出所有正确的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分.
16.（本小题满分12分）
已知函数(
)()21sin cos 022f x x x x πωωωω⎛⎫=+-->
⎪⎝⎭，其图象两相邻对称轴间的距离为2π
.
（I ）求ω的值；
（II ）设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,
且()0c f C ==，若向量()
1,sin m A =u r 与向量()3,sin n B =r 共线，求a ，b 的值.
如图，在四棱锥E ABCD -中，平面EAD ⊥平面ABCD ，DC//AB ，BC CD ⊥，EA ED ⊥，AB=4，BC=CD=EA=ED=2，F 是线段EB 的中点.
（I ）证明：CF//平面ADE ；
（II ）证明：BD AE ⊥；
18. （本小题满分12分）某数学兴趣小组的学生全部参加了“代数”和“几何”两个科目的考试，成绩分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，成绩数据统计如下图所示，其中“代数”科目的成绩为B 的考生有20人。
（I ）求该小组同学中“几何”科目成绩为A 的人数；
（II ）若等级A ，B ，C ，D ，E 分别对应5分、3分、2分、1分，求该小组考生“代数”科目的平均分；
（III ）已知参加本次考试的同学中，恰有4人的两科成绩均为A ，在至少一科成绩为A 的考生中，随机抽取两人进行座谈交流，求这两人的两科成绩均为A 的概率。
在数列{}11,2n a a =
中，其前n 项和为n S ，()112n n S a n N *+=-∈且. （I ）求,n n a S ；
（II ）设{}2log (2n n n b S c =+1)-2，数列满足()()341122n b n n n c b b n n n ++⋅⋅=+++⋅，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求使1142504n n T +<-成立的最小正整数n 的值.
20. （本小题满分13分）
设函数()()
2ln f x x ax x a =-+为常数. （I ）当3a =时，求函数()f x 的极值；
（II ）当0a <<时，试判断()f x 的单调性； （III ）对任意0[1,2]x ∈，使不等式0()ln f x m a <对任意1(0,)2
a ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
21. （本小题满分14分） 已知12,F F 分别是椭圆C 1：()22
221x y a b a b
+=>>0的左、右焦点，2F 是抛物线C 2：22(0)y px p =>的焦点，P （2,3m ）是C 1与C 2在第一象限的交点，且｜PF 2｜＝53
. （I ）求C 1与C 2的方程；
（II ）过2F 的直线交椭圆于M,N 两点，T 为直线4x =上任意一点，且T 不在x 轴上。
（i ）求22F M F N ⋅uuuu r uuur 的取值范围；
（ii ）若OT 恰好一部分线段MN ，证明：TF2⊥MN.
11。