高考数学一轮复习单元检测三函数概念与基本初等函数Ⅰ单元检测含解析

单元检测三 函数概念与基本初等函数Ⅰ(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设函数f (x )＝1－3x＋1log 12(2x ＋1)，则函数的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2 答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧1－3x≥0，2x ＋1>0，2x ＋1≠1，得－12<x <0.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，3x ，x ≤0，则f (f (4))的值为( )A ．－19B ．－9C.19D ．9答案 C解析 ∵f (4)＝log 124＝－2，∴f (f (4))＝f (－2)＝3－2＝19.3．(·湖州联考)设a ＝log 54－log 52，b ＝ln 23＋ln3，c ＝1lg 5210，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c 答案 A解析 由题意，得a ＝log 54－log 52＝log 52，b ＝ln 23＋ln3＝ln2，c ＝1lg 5210＝ 5.得a ＝1log 25，b ＝1log 2e，而log 25>log 2e>1. 所以0<1log 25<1log 2e <1，即0<a <b <1.又c ＝5>1，故a <b <c .4．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x (其中e 为自然对数的底数)在[－2π，2π]上图象的大致形状是( )答案 A解析 因为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－21＋e x sin x ＝e x－1e x＋1sin x ， f (－x )＝e －x－1e －x ＋1sin(－x )＝1－e x 1＋e x (－sin x )＝e x－1e x＋1sin x ＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除选项C ，D ，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>0，可排除选项B.故选A.5．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，当x ∈[m,5]时，f (x )的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4， 所以当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.所以要使函数f (x )在区间[m,5]上的值域是[－5,4]， 则－1≤m ≤2.6．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则满足f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－16答案 B解析 由函数f (x )的图象关于y 轴对称， 且f (x )在(－∞，0]上单调递减， 得f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 又f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以|3x ＋1|<12，解得－12<x <－16.7．(·绍兴诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，a x，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 B解析 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3a ，x ≥0，a x，x <0是(－∞，＋∞)上的减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a 0≥3a ，可得0<a ≤13.8．(·杭州学军中学期中)已知f (x )是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋22x＋1＝13，则f (log 23)的值为( ) A.12 B.45 C ．1D ．0答案 A解析 因为函数f (x )是R 上的单调函数，且对任意的实数x ，都有f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )＋22x ＋1＝13， 所以f (x )＋22x ＋1＝a 恒成立，且f (a )＝13，即f (x )＝－22x ＋1＋a ，f (a )＝－22a ＋1＋a ＝13，解得a ＝1，所以f (x )＝－22x ＋1＋1，所以f (log 23)＝12，故选A.9．(·金华一模)已知点A (1,0)，若点B 是曲线y ＝f (x )上的点，且线段AB 的中点在曲线y ＝g (x )上，则称点B 是函数y ＝f (x )关于函数g (x )的一个“关联点”，已知f (x )＝|log 2x |，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 令点B (x ，|log 2x |)，x >0， 则AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 2，12|log 2x |.由于点C 在函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象上，故有12|log 2x |＝1212x⎛⎫ ⎪⎝⎭＋，即|log 2x |＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22x， 故函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数即为函数y ＝|log 2x |和y ＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫22x的图象的交点的个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝|log 2x |和y ＝2·⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象，由图象知交点个数为2，则函数f (x )关于函数g (x )的“关联点”的个数是2，故选B.10．已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋16x－a (a ∈R )在区间[1,4]上的最大值为g (a )，则g (a )的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 A解析 方法一 令H (x )＝x 2＋16x－a ，则H ′(x )＝2x －16x 2＝2x2(x －2)(x 2＋2x ＋4)，故H (x )在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增， 所以g (a )min ＝min{max{|H (1)|，|H (2)|，|H (4)|}}， 即g (a )min ＝min{max{|17－a |，|12－a |，|20－a |}}， 如图可知，g (a )min ＝4.方法二 令t ＝x 2＋16x，则t ′＝2x －16x 2＝2x2(x －2)(x 2＋2x ＋4)，所以t ＝x 2＋16x在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，所以t ∈[12,20]， 故y ＝|t －a |在t ∈[12,20]上的最大值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧20－a ，a ≤16，a －12，a >16，所以g (a )min ＝4.第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上)11．已知f (x ＋1)＝－x 2＋1，则f (x )＝________，y ＝1f (x )的单调递增区间为________．答案 －x 2＋2x (1,2)解析 当x ＋1＝t 时，x ＝t －1， 所以f (t )＝－(t －1)2＋1＝－t 2＋2t ， 即f (x )＝－x 2＋2x ；y ＝1f (x )＝1－x 2＋2x， 定义域为(0,2)，且f (x )对称轴为x ＝1，所以函数f (x )在(0,1)上单调递增，(1,2)上单调递减， 根据复合函数“同增异减”，函数y ＝1－x 2＋2x的单调增区间为(1,2)．⎩⎪g (x )，x <0，则g (－8)＝________. 答案 －2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 3(1－x )， 又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－log 3(1－x )， 即g (x )＝－log 3(1－x )，x <0.故g (－8)＝－log 3[1－(－8)]＝－log 39＝－2.13．已知a >b >1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝____，b ＝____.答案 4 2解析 设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①因此a b＝b a⇒b 2b＝bb 2，②解得b ＝2，a ＝4.14．(·台州高级中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x ≥0，x ，x <0，则f (f (2))＝________；若f (a )＝－9，则实数a ＝________. 答案 －4 －9或3解析 由题意得f (f (2))＝f (－4)＝－4，若f (a )＝－9，当a ≥0时，有－a 2＝－9，即a ＝3； 当a <0时，有a ＝－9，故a ＝－9或3.15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|2x －4|＋1，x >0，－x 2＋2ax －2，x ≤0.当a ＝2时，f (f (4))＝________，若函数f (x )的最大值为a ＋1，则实数a 的值为________． 答案 －23 0解析 当a ＝2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|2x －4|＋1，x >0，－x 2＋4x －2，x ≤0，所以f (f (4))＝f (－3)＝－9＋4×(－3)－2＝－23. 易知f (x )＝－|2x －4|＋1(x >0)的最大值为f (2)＝1， 若a ＋1≥1，则a ≥0.当a ≥0时，f (x )＝－x 2＋2ax －2(x ≤0)的最大值为f (0)＝－2， 所以a ＋1＝1，所以a ＝0.⎩⎪f (a －b －1)≥0，则(a －1)2＋(b －1)2≤1所表示的图形的面积是________． 答案π2＋1 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f (a )＋f (b －1)≤0，f (a －b －1)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧f (a )≤－f (b －1)，f (a －b －1)≥0，∵f (x )是奇函数，且在R 上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －1≥0，a －b －1≤0，作出不等式组表示的平面区域(图略)，∴(a －1)2＋(b －1)2≤1所表示的图形为以(1,1)为圆心，1为半径的半圆和一个三角形， ∴其表示的图形的面积是π2＋1.17．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1，g (x )＝2x －a ，对于任意的x 1∈[－1,1]，存在x 2∈[－1,1]，使f (x 2)＝g (x 1)，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [－2，－1]解析 f (x )＝x 2－2ax ＋a 2－1＝(x －a )2－1， 当x ∈[－1,1]时，若a ≤－1，则f (x )∈[a 2＋2a ，a 2－2a ]； 若－1<a ≤0，则f (x )∈[－1，a 2－2a ]； 若0<a ≤1，则f (x )∈[－1，a 2＋2a ]． 若a >1，则f (x )∈[a 2－2a ，a 2＋2a ]． 而g (x )∈[－2－a ，2－a ]，从而由条件得：①若a ≤－1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ≤－2－a ，2－a ≤a 2－2a ，解得－2≤a ≤－1；②若－1<a ≤0，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤－2－a ，2－a ≤a 2－2a ，不等式组无解；③若0<a ≤1，则⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤－a －2，2－a ≤a 2＋2a ，不等式组无解；④若a >1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ≤－2－a ，2－a ≤a 2＋2a ，不等式组无解．综上所述，实数a 的取值范围是[－2，－1]．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)18．(14分)若定义在[－2,2]上的奇函数f (x )满足当x ∈(0,2]时，f (x )＝3x9x ＋1.(1)求f (x )在[－2,2]上的解析式；(2)判断f (x )在(0,2)上的单调性，并给予证明；(3)当λ为何值时，关于x 的方程f (x )＝λ在x ∈[－2,2]上有实数解． 解 (1)因为f (x )为奇函数，所以f (0)＝0. 当x ∈[－2,0)时，－x ∈(0,2]．因为f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－3－x9－x ＋1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3－x9－x＋1，－2≤x <0，0，x ＝0，3x9x＋1，0<x ≤2.(2)f (x )在(0,2)上是减函数，证明如下， 任取0<x 1<x 2<2，f (x 1)－f (x 2)＝11391x x +－22391x x +＝12121212393393(91)(91)x x x x x x x x +--++ ＝1221121233(33)(33)(91)(91)x x x x x x x x -+-++ ＝211212(33)(331)(91)(91)x x x x x x --++，因为0<x 1<x 2<2，所以2133xx>，12331xx>，即21330x x >－,1233x x－1>0，12(91)(91)0x x>＋＋， 所以f (x 1)－f (x 2)>0.因此，f (x )在(0,2)上单调递减．(3)方程f (x )＝λ在x ∈[－2,2]上有实数解， 即λ取函数f (x )的值域内的任意值． 由(2)可知，f (x )在x ∈(0,2]上是减函数，此时f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12.又因为f (x )是x ∈[－2,2]上的奇函数， 所以当x ＝0时，f (x )＝0.当x ∈[－2,0)时，f (x )∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982.因此，函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982∪{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12， 因此，λ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，－982∪{0}∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫982，12.19．(15分)(·宁波九校联考)已知函数f (x )＝x |x －a |＋bx . (1)当a ＝2，且f (x )是R 上的增函数时，求实数 b 的取值范围；(2)当b ＝－2，且对任意a ∈(－2,4)，关于x 的方程f (x )＝tf (a )总有三个不相等的实数根时，求实数t 的取值范围．解 (1)f (x )＝x |x －2|＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋(b －2)x ，x ≥2，－x 2＋(b ＋2)x ，x <2.因为f (x )连续，且f (x )在R 上单调递增，等价于这两段函数分别递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－b2≤2，2＋b2≥2，得b ≥2.(2)f (x )＝x |x －a |－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－(a ＋2)x ，x ≥a ，－x 2＋(a －2)x ，x <a ，tf (a )＝－2ta .当2≤a <4时，a －22<a ＋22≤a ，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，所以f 极大(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1， f 极小(x )＝f (a )＝－2a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2a <－2ta ，a24－a ＋1>－2ta 对2≤a <4恒成立，解得0<t <1. 当－2<a <2时，a －22<a <a ＋22，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a －22上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫a －22，a ＋22上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22，＋∞上单调递增，所以f 极大(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22＝a 24－a ＋1，f 极小(x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋22＝－a 24－a －1，所以－a 24－a －1<－2ta <a 24－a ＋1对－2<a <2恒成立，解得0≤t ≤1，综上0<t <1.20．(15分)(·浙江9＋1高中联盟开学考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，g (x )＝2x 2－4x －16，且|f (x )|≤|g (x )|对x ∈R 恒成立． (1)求a ，b 的值；(2)记h (x )＝－12f (x )－4，那么当k ≥12时，是否存在[m ，n ](m <n )，使得函数h (x )在[m ，n ]上的值域恰好为[km ，kn ]？若存在，请求出[m ，n ]；若不存在，请说明理由． 解 (1)由g (x )＝0得x ＝4或x ＝－2.于是，当x ＝4或x ＝－2时，有⎩⎪⎨⎪⎧|16＋4a ＋b |≤0，|4－2a ＋b |≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧16＋4a ＋b ＝0，4－2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.此时，|f (x )|≤|g (x )|⇔|x 2－2x －8|≤2|x 2－2x －8|， 对x ∈R 恒成立，满足条件． 故a ＝－2，b ＝－8.(2)∵h (x )＝－12(x －1)2＋12≤12，∴[km ，kn ]⊆⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12，∴kn ≤12，又∵k ≥12，∴n ≤12k ≤1，∴[m ，n ]⊆(－∞，1]，∴h (x )在[m ，n ]上是单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧h (m )＝km ，h (n )＝kn ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝km ，－12n 2＋n ＝kn ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝2－2k ，n ＝0或n ＝2－2k .∵m <n ，且k ≥12，故当12≤k <1时，[m ，n ]＝[0,2－2k ]； 当k >1时，[m ，n ]＝[2－2k ，0]；当k ＝1时，[m ，n ]不存在．21．(15分)(·杭州质检)设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )．若f (1＋x )＝f (1－x )，f (x )的最小值为－1.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数y ＝|f (x )|与y ＝t 相交于4个不同交点，从左到右依次为A ，B ，C ，D .是否存在实数t ，使得线段|AB |，|BC |，|CD |能构成锐角三角形，如果存在，求出t 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数的对称轴为直线x ＝1，即－b 2＝1，所以b ＝－2， 又因为f (x )的最小值为－1，所以4c －b 24＝－1，解得c ＝0， 所以f (x )＝x 2－2x .(2)若函数y ＝|f (x )|与y ＝t 相交于4个不同交点，则0<t <1，易知x A ＝1－1＋t ，x B ＝1－1－t ， x C ＝1＋1－t ，x D ＝1＋1＋t ，所以|AB |＝|CD |＝1＋t －1－t ，|CB |＝21－t ，由题意知，线段|AB |，|BC |，|CD |构成的三角形为等腰锐角三角形，所以|BC |<2|AB |， 即21－t <2(1＋t －1－t )，即(2＋2)1－t <2·1＋t ，解得22<t <1. 22．(15分)(·杭州学军中学模拟)已知函数f (x )＝a －1x－ln x (a ∈R )． (1)若a ＝2，求f (x )在(1，e 2)上零点的个数，其中e 为自然对数的底数；(2)若f (x )恰有一个零点，求a 的取值集合；(3)若f (x )有两个零点x 1，x 2(x 1<x 2)，求证：2<x 1＋x 2<3ea －1－1. (1)解 a ＝2时，f (x )＝2－1x－ln x ，f ′(x )＝1－x x 2，故f (x )在(1，e 2)上单调递减， 所以在(1，e 2)上至多只有一个零点． 又f (1)f (e 2)＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e 2<0， 故函数f (x )在(1，e 2)上只有一个零点．(2)解 f ′(x )＝1－x x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减； 当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上单调递增， 故[f (x )]max ＝f (1)＝a －1.①当[f (x )]max ＝0，即a ＝1时，因最大值点唯一，故符合题意； ②当[f (x )]max <0，即a <1时，f (x )<0恒成立，不合题意； ③当[f (x )]max >0，即a >1时，一方面，存在e a >1，f (e a )＝－1e a <0； 另一方面，存在e －a <1，f (e －a )＝2a －e a ≤2a －e a <0， 于是f (x )有两个零点，不合题意．综上，a 的取值集合为{1}．(3)证明 先证x 1＋x 2>2.依题意有a ＝1x 1＋ln x 1＝1x 2＋ln x 2， 于是x 2－x 1x 1x 2＝ln x 2x 1. 记x 2x 1＝t ，t >1，则ln t ＝t －1tx 1，故x 1＝t －1t ln t ， 于是，x 1＋x 2＝x 1(t ＋1)＝t 2－1t ln t， x 1＋x 2－2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－12t －ln t ln t .记函数g (x )＝x 2－12x－ln x ，x >1. 因g ′(x )＝(x －1)22x 2>0，故g (x )在(1，＋∞)上单调递增． 于是当t >1时，g (t )>g (1)＝0，又ln t >0，所以x 1＋x 2>2.再证x 1＋x 2<3e a －1－1.因f (x )＝0⇔h (x )＝ax －1－x ln x ＝0，故x 1，x 2也是h (x )的两个零点．由h ′(x )＝a －1－ln x ＝0得x ＝e a －1(记p ＝e a －1)．p 是h (x )的唯一最大值点，故有⎩⎪⎨⎪⎧ h (p )>0，x 1<p <x 2.作函数t (x )＝ln x －2(x －p )x ＋p－ln p ， 则t ′(x )＝(x －p )2x (x ＋p )2≥0，故t (x )单调递增． 当x >p 时，t (x )>t (p )＝0；当0<x <p 时，t (x )<0.于是ax 1－1＝x 1ln x 1<2x 1(x 1－p )x 1＋p＋x 1ln p . 整理得(2＋ln p －a )x 21－(2p ＋ap －p ln p －1)x 1＋p >0， 即x 21－(3ea －1－1)x 1＋e a －1>0. 同理得x 22－(3ea －1－1)x 2＋e a －1<0. 故x 22－(3e a －1－1)x 2＋e a －1<x 21－(3e a －1－1)x 1＋e a －1， (x 2＋x 1)(x 2－x 1)<(3ea －1－1)(x 2－x 1)， 于是x 1＋x 2<3e a －1－1.综上，2<x 1＋x 2<3ea －1－1.。