代数笔记2

∑
i
k i vi ) =
∑
i
ki φ(vi ) = 0
则可以得到结论 k1 = k2 = · · · = kn = 0，所以 v = 0 ，即单射成立。下面证 φ 是满射： ∀ v ∈ V 都有 u = 即满射也成立。最终证得 φ 是双射。证毕。
∑
i
ki φ(vi ) = φ(v )
1.3
三个有价值的例子
2015 年 11 月 24 日
3. φ 是双射 ⇐⇒ φ 把 V 的一组基映为 U 的一组基。
梁子龙 - 学业笔记 复旦大学数学科学学院本科 2015 级
证明：证明充分性：设 v1 , v2 , . . . , vn 是 V 的一组基。则易知 φ(v1 ), φ(v2 ), . . . , φ(vn ) 是 U 的 一个无关向量组。因为 φ 为双射，则有： ∀ u ∈ U, ∃ v = 则有 u = φ(v ) =
除去课本上的三个性质，比较重要的性质还有以下三个
1. φ 是单射 ⇐⇒ φ(u) = 0 当且仅当 u = 0。 证明：根据命题 4.1.2(1)，证明是显然的。 2. φ 是单射 ⇐⇒ φ 把无关向量组映为无关向量组。 证明：证明充分性：设 v1 , v2 , . . . , vr 线性无关。则有下列关于 k1 , k2 , . . . , kr 的方程： k1 φ(v1 ) + k2 φ(v2 ) + · · · + kr φ(vr ) = φ(k1 v1 + k2 v2 + · · · + kr vr ) = 0 根据性质 (1)，得到 k1 v1 + k2 v2 + · · · + kr vr = 0 又因为 v1 , v2 , . . . , vr 线性无关，所以 k1 = k2 = · · · = kr = 0。 证明必要性：利用性质 (1) 证明。若 v ∗ ̸= 0，则它本身就是一个线性无关向量组，它的像 φ(v ∗ ) 也是一个无关向量组，则 φ(v ∗ ) ̸= 0，则 φ 是单射。证毕。
aij bji ; (BA)jj =
∑
i bji aij ，所以
Tr(AB ) =
n m ∑ ∑ i=1 j =1
aij bji = Tr(BA)
4. 若 AB = Im , BA = In ，则必有 m = n。可以由上面的结论直接证明。 5. 当 m = n 时，不存在 n 阶方阵 A, B , s.t. AB − BA = k In (c ̸= 0)。也可以由上面的结论 直接证明。 1.3.3 例子 3：向量空间的普遍同构性 设 V 是任意一个数域 K 上的 n 维线性空间，e1 , e2 , . . . , en 为一组基；设 n 维列向量空间为 Kn ，则 φ : V → Kn 是一个线性空间的同构。这个结论说明了任何一个线性空间都可以用 n 维向 量空间来研究。 证明：设 v1 =
αk1 + βl1
k1


l1
αkn + βln 即 φ 是一个线性映射。
kn
ln
对 φ(v1 ) = φ(v2 )，显然当且仅当 v1 = v2 时成立。即 φ 是一个单射。 对 ∀ v ∈ V ，有 v = Kn 是同构的。
∑
i
ki ei ，则 φ(v ) = (k1 , k2 , . . . , kn )T ，即 φ 是一个满射。最终证得 V 与
2
射影几何背景知识总结（待完善，待添加图型）
从月初开始学习到现在的射影几何基础，到现在都没有太清楚的头绪。今天仔细读了一遍课 本和丘维生老师的解析几何教材，把前一部分的背景知识总结一下。 之前的解析几何知识，针对的是欧氏空间 E3 ，参考系的变换方面主要是仿射变换，即平移、 旋转、反射、拉伸压缩等，它们的特点是双射，且保持了三点的共线关系。而还有一种变换，根据 的是中心投影的方式，利用一张面，截取中心投影的像点，把一个平面映为一条线，把一条线映为 一个点，就是一种射影变换。 中心投影可以通过射影将维度降低，从而有利于简化几何的研究。但中心投影有缺陷，比如 拿欧氏平面截取射影为例，过原点且平行于截平面的直线和平面在截平面射影时没有像。为了解 决这些缺陷，需要在欧氏平面上添加一些点。丘老师在书中引入了“把”、 “射影”、 “截影”、 “关联”的概 念 (”关联“在傅老师的课本中称为“结合”)，在欧氏平面上添加了“无穷远点”和“无穷远直线”的概念。 在我的理解里，就是将一个平面抽象地弯成了一个圆周，两边的无穷远直线在圆周的一边重合为 一条直线。添加了无穷远元素的欧氏平面被称为“扩大了的欧氏平面”。
∑
i
ki vi ∈ V, s.t. φ(v ) = u
∑
i
ki φ(vi )
即任意 U 中的向量都可以用 φ(v1 ), φ(v2 ), . . . , φ(vn ) 来表示，则它是 U 的一组基。 证明必要性：设 φ 将 V 的一组基 v1 , v2 , . . . , vn 映为 U 的一组基 φ(v1 ), φ(v2 ), . . . , φ(vn )。先 证明 φ 是单射：设 φ(v ) = 0, v ∈ V 则有： φ(v ) = φ(
n ∑ n ∑ i=1
aii
(αaii + βbii ) aii + β
n ∑ i=1
=α
i=1 n ∑ i=1
bii
= α Tr(A) + β Tr(B )
2015 年 11 月 24 日
3. Tr(An×m Bm×n ) = Tr(BA) 证明：(AB )ii =
∑
j
梁子龙 - 学业笔记 复旦大学数学科学学院本科 2015 级
2015 年 11 月 24 日
今日主题
梁子龙 - 学业笔记 复旦大学数学科学学院本科 2015 级
上午有解析几何和高等代数课程。解析几何继续讲射影几何的内容，懂得没有很清楚，
所以今天要大致总结一下射影几何。高等代数开始第四章“线性映射”的讲解，将课堂笔记记录。
1 线性映射的概念和性质
1.1
子： 1. 求序列极限。设 V 是有极限的实数列全体，则有线性映射：
b
:h→H
4. 求导数。设 F 是 (a, b) 上可导实函数全体，f 是 (a, b) 上实函数全体，则有线性映射： d :F →f dx 5. 矩阵与向量的乘积。见课本例 4.1.3 。 6. 解析几何中的等距变换、仿射变换、射影变换等，本质和上一例相同。
1.2
对课本上命题 4.1.2 线性映射的性质的补充
n→∞
线性性质的表示和一些例子
映射具有线性性质的通常描述：φ(αa + βb) = αφ(a) + βφ(b)。几个具有线性性质的映射的例
lim : V → R
2. 求函数极限。设 F 是在 x = x0 处有极限的连续函数全体，则有线性映射：
x→x0
lim : F → R
∫
a
3. 求积分。设 h 是 (a, b) 上可积实函数全体，H 是 (a, b) 上实函数全体，则有线性映射：
1.3.1 例子 1 从数域 K 上的线性空间 V 映射到 K 上一维线性空间 V ′ 的非零线性映射 φ ，必为满射。 证明：因为 φ 是非零映射，所以 ∃ v ∈ V, s.t. φ(v ) ̸= 0。又因为 V ′ 为一维线性空间，所以 φ(v ) 为它的一个基。所以 ∀ v ′ ∈ V ′ 都可以表示为 v ′ = kφ(v ) = φ(kv )，所以 φ 必为满射。证毕。 1.3.2 例子 2：关于矩阵的迹 矩阵的迹是一个复杂的概念，这个例子介绍了迹是一个线性映射，只需用到迹的最基本概念， 朱老师对迹的补充基础知识如下： 1. 矩阵的迹 (Trace) 是对方阵的一个函数，定义为： Tr(An×n ) = 2. 显然，迹是一个线性映射： Tr(αA + β B ) =
2015 年 11 月 24 日
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这样，通过中心投影，就可以把整个 E3 映射到一张面上，这个面可以是一个扩大的欧氏平面， 也可以是一个球面，都可以是这个中心投影的截面。最重要的点，就是要找到映射，对 E3 进行降 维，并且与 E3 上的一个“把”是同构的。这些映射实际上都是互相等价的。 丘老师书上给出了射影平面的抽象定义，将射影平面的概念不限于几何范畴，而更加抽象，可 以用来研究其它领域的问题：由两列分别称为“点”和“直线”的元素所构成的集合 S ，如果在其中的 “点”和“直线”之间规定了某种称为“关联”的关系，并且 S 中所有的“点”和所有的“直线”可以分别与 欧氏空间中一个“把 O”的所有直线和所有平面建立同构映射，使得对应关系保持关联性，则称 S 为射影平面。 为了理解射影平面，可以举些例子，有丘老师书上第七章例 1.1，1.2，1.3，还有习题 7.1-5。 在射影平面上，任意两条线必与一个点关联，任意两个点必与一条线关联。平行的概念在射影 平面上不成立。
∑
i
ki ei , v2 =
∑
k lk ek
并且有常数 α, β ∈ K。则：


αk2 + ) = = α . + β . = αφ(v1 ) + βφ(v2 ) . . . . . . .