超详细MIT线性代数公开课笔记_完整版
线性代数03.矩阵的乘法和逆
线性代数03.矩阵的乘法和逆本篇为MIT 公开课——线性代数 笔记。
矩阵乘法的运算规则1.⾏乘列乘法⼀般性法则：⾏乘列得到⼀个数。
假设有两个矩阵 A 、B ，并且我们让 A ∗B =C , 可以求得矩阵 C 中 i ⾏ j 列元素：C ij =(row_i at A )(column_j at B )即矩阵 A 中 i ⾏点乘以矩阵 B 中的 j 列，就是矩阵 C 中 i ⾏ j 列的元素。
注意是 “⾏*列”。
例如A =◻◻◻◻◻◻◻◻a 31a 32a 33⋯◻◻◻◻◻◻◻◻B =◻◻◻b 14◻◻◻◻b 24◻◻◻◻b 34◻◻◻◻⋯◻则 矩阵 C 中 第3⾏4列元素为：C 34=a 31b 14+a 32b 24+a 33b 34+⋯+a 3n b n4=n∑k =1a 3k b k4前提条件是矩阵 A 的总列数 必须和矩阵 B 中的总⾏数相等。
假设矩阵 A 是 m ∗n 矩阵，矩阵 B 是 n ∗p 矩阵， 那么 矩阵 C =A ∗B ， 矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
其实很好理解，原来 矩阵A 的⼀⾏与矩阵 B 的⼀列的点乘，可以得到矩阵C 中的⼀个元素，那么 m ⾏乘以 p 列就可以得到 m ∗p 个元素，所以矩阵 C 是 m ∗p 矩阵。
2.矩阵列的线性组合举例：◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C矩阵 A 的所有列乘以 B 的列1得到矩阵 C 的列1，矩阵 A 乘以 B 的列2得到矩阵 C 的列2....将矩阵乘法考虑为矩阵乘以向量，矩阵 B 可以看成 p 个单独的列向量，只是这⾥排在⼀起。
⽤矩阵 A 乘以每个列向量，相应得到 矩阵 C 的各列。
矩阵 C 中的各列，是矩阵 A 中各列的线性组合，矩阵 B 表⽰是怎么样的线性组合。
()()()()()Processing math: 100%3.矩阵⾏的线性组合◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯=◻◻⋯◻◻⋯⋯⋯⋯A ∗B =C同样的例⼦，我们从矩阵⾏的⾓度看，可以看成矩阵 A 的每⼀⾏乘以矩阵 B 所有⾏,可以得到相应矩阵C 的每⼀⾏。
mit公开课《线性代数》
mit公开课《线性代数》线性代数是数学领域里一个基础且非常重要的课程，它主要探讨这样一种问题：有多少种不同的变量和它们之间的关系，以及如何找到最优的模型来描述它们的关系。
美国麻省理工学院（MIT）已经推出了一门免费的《线性代数》课程，这门课旨在让学生掌握线性代数的基本概念和方法，以便他们能够在解决实际问题的解决方案中使用线性代数的工具。
该课程主要涵盖了一系列理论方面的话题，包括矩阵代数、向量空间、线性变换、矩阵特征分解、行列式、谱分解和特征值分解。
在学习这些概念和理论之后，学生还会学习如何将这些概念应用到实际的应用中去，以帮助他们在实际的问题中运用线性代数的技能。
此外，该课程还涵盖了有关概率论和统计方面的话题，其中包括概率分布、分布函数、偏差、协方差和相关系数，以及概率分析中的各种方法，如极大似然估计和贝叶斯统计。
学生通过学习这些内容，可以从定量和定性数据中发现规律和模式，从而帮助他们解决各种问题。
本课程还包括有关凸优化的内容，其中包括对有关线性系统的数学模型的理解以及如何使用这些模型来解决实际问题的技术。
此外，学生还会学习如何使用数值方法来解决复杂的线性系统，如最小二乘法、拟牛顿法、拉格朗日方法等。
学习这些数学模型和数值方法，可以帮助学生了解如何实现更加优化的解决方案。
本课程还涉及优化技术在计算机科学中的应用，例如机器学习、信号处理、图像处理、大数据处理等。
学生们需要学习如何利用优化技术解决这些问题，从而向他们提供更有效的解决方案。
此外，本课程还将涉及有关可视化的概念，包括可视化技术如统计图表、折线图、散点图等，这些技术可以帮助学生们更好地理解数据和模型，也可以让他们更好地解决实际问题。
MIT的《线性代数》课程是一门非常实用和有价值的免费课程，可以帮助学生们更好地理解线性代数的概念、方法和技能，从而为他们在实际问题中运用线性代数提供有力的帮助。
通过学习线性代数的知识，学生们可以更好地解决复杂的实际问题，从而更好地应用数学在实践中。
(完整版)线性代数笔记
等行变换，则得到的是 。
对于第二类的可先转化为第一类的 ，即由
两边转置得
按上例的方法求出 进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵 经有限次的初等行变换化为 ，则以 与
为增广矩阵的方程组同解。 定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换 （包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法 设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n） 注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换 律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但 有可能 A*B=0（零矩阵） 矩阵的乘法适合以下法则： （1）结合律：（AB）C=A（BC） （2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零 解，没有非零解。 推论 如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章 矩阵
一、矩阵的运算
MIT线性代数中文笔记
1.31
31. 线性变换及对应矩阵
1.32
32. 基变换和图像压缩
1.33
33. 复习三
1.34
34. 左右逆和伪逆
1.35
35. 期末复习
1.36
2
MIT 线性代数中文笔记
中文 Linear Algebra （线性代数） 笔记
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Contents （目录）
01. 方程组的几何解释 01.01 方程组的几何解释
02. 矩阵消元 02.01 矩阵消元
03. 乘法和逆矩阵 03.01 矩阵乘法和逆矩阵
04. A的LU分解 04.01 A的LU分解
05. 转置-置换-向量空间R
3
MIT 线性代数中文笔记
05.01 矩阵转置 05.02 置换 05.03 向量空间 R 06. 列空间和零空间 06.01 列空间 06.02 零空间 07. 求解Ax=0:主变量,特解 07.01 主变量 07.02 特解 08. 求解Ax=b:可解性和解的结构 08.01 可解性 08.02 解的结构 09. 线性相关性、基、维数 09.01 线性相关性 09.02 基 09.03 维数 10. 四个基本子空间 10.01 基本子空间 10.02 四个基本子空间 11. 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图 11.01 矩阵空间 11.02 秩1矩阵 11.03 小世界图 12. 图和网络 12.01 图 12.02 网络 13. 复习一 13.01 复习一 14. 正交向量与子空间 14.01 正交向量 14.02 子空间 15. 子空间投影 15.01 子空间投影 16. 投影矩阵和最小二乘 16.01 投影矩阵 16.02 最小二乘 17. 正交矩阵和Gram-Schmidt正交化 17.01 正交矩阵 17.02 Gram-Schmidt正交化 18. 行列式及其性质
线性代数07.Ax=0：主变量，特解
线性代数07.Ax=0：主变量，特解本篇为MIT公开课——线性代数笔记。
这节课开始我们将把重点转向如何在空间中计算出向量，由定义转向算法。
Ax=0的求解求解Ax=0 的算法就是消元。
举例A=1222 2468 36810消元E21、E31消元：主元是第⼀⾏第⼀列的"1",结果为122200240024发现主元2出现0，⽽且⾏交换⽆效，说明：第⼆列相关于第⼀列，所以我们不去管第⼆列，继续找主元2：第⼆⾏第三列 "2".继续消元E33消元，结果为阶梯形式矩阵U122200240000=U消元完后，就变成求解Ux=0 。
秩这个例⼦中，矩阵的主元的数量只有 2 ,该数字称为矩阵的 “秩”（rank）。
它的意义就是表⽰主元的个数。
主列和⾃由列主列：主元所在的列。
其他列称为⾃由列。
该例⼦中，主列是列 1 和列 3.⾃由列是列 2 和列 4 .⾃由列的意思是，可以⾃由或任意分配数值给对应列的未知数。
我们可以对列⼆和列四的乘数项x2、x4任意取值。
然后只需要求解x1和x3.取值：x=◻1◻0()()()() Processing math: 100%回代和特解x 1+2x 2+2x 3+2x 4=02x 3+4x 4=0可以求得x =−2100这是零空间的⼀个向量，也是Ax =0 的⼀个解。
将她乘以任意倍数，就能得到四维空间中⼀条⽆限延申的直线。
x =c−2100但它不是整个零空间，因为 x 2、x 4 还可以取其他的值。
取值：x =◻0◻1可以求得另⼀个零空间中的向量：x =d20−21这样我们就得到零空间中的两个向量，下⾯我们就能求出整个零空间。
Ax =0 的所有解。
这两个解称为特解，即特定的解。
特定在于给⾃由变量分配特定值。
给⾃由变量分配的是0和1. 每对⾃由变量都对应着⼀个特解。
两个特解的所有的线性组合就是整个零空间。
即x =c−2100+d20−21总结对于m ∗n 矩阵，n 变量，若 秩 r =2，主变量就有 r 个，⾃由变量 就有 n −r 。
线性代数（笔记四）MIT公开课（来源网易云课堂）
线性代数（笔记四）MIT公开课（来源⽹易云课堂）线性代数（笔记四）课程来源：（课程链接）作者简述：作者为⼀名正在读研的学⽣，⾃⼰的数学状态较差。
本科期间所学均能算跟得上，⽽且通过⾃⼰的努⼒经过了研究⽣考试。
但是对数学的理解并不透彻，只是根据课上所学去做题⽽已。
如今科研中，许多过程均需要⽤到所学的数学知识，然⽽⼀个好的理解和⼀个扎实的基础才是科研之本。
数学虽然是作为⼀种⼯具，如果不了解含义，⽆论是是使⽤上还是在其基础之上进⾏修改均显得⽀⽀吾吾。
于是决定重新学习线性代数相关知识，并做此笔记以供复习或和他⼈分享。
⽤途：此系列⽂章均是作者在课上所学及其⾃⼰相关的数学思想所做的笔记，如有理解错误之处还望⼤家指出。
本系列⽂章均可不咨询情况下任意转载和学习（不可商⽤）。
作者研究⽅向为机器学习，如果有相同⽅向的⼩伙伴想⼀起学习，请加QQ123854340（备注来源博客），如果⼈数较多还可能建群。
同时发现⽂章中有错误之处也请发邮件到。
在上节课中，我们介绍了矩阵乘法的五种⽅法。
同时引出了矩阵的逆，并利⽤前⼏节课的知识对逆进⾏理解及求解。
在这节课中，我们⾸先介绍求解逆矩阵的⼏个基本的公式，然后在消元的基础上来叙述A的LU分解。
⼀、逆的基本公式在这⾸先介绍两个逆的基本公式，并且给出其推导⽅法。
这样我们就可以从定义的⾓度进⾏理解，⽽⾮死记硬背。
1、由定义⽽来的最基本的公式AA~ = I = A~A（~为逆），这⾥两个矩阵的乘法可以交换顺序。
2、求矩阵A和矩阵B的乘积AB的逆矩阵。
具体推导过程如下：AB（？） = I ，我们想求解？所表⽰的矩阵是什么。
不难看出ABB~A~ = I，由结合律可以很明显的表现出A（BB~）A~ = I，再由结合律可以看出（AB）（B~A~）= I。
则由此可以得出？所表⽰的矩阵为B~A~。
AB的逆为B~A~，这⾥的乘积顺序发⽣了变化。
在视频中教授开了⼀个玩笑说。
这就好⽐穿了袜⼦再穿鞋的相反动作那就是得要先脱鞋再拖袜⼦。
MIT线性代数公开课学习笔记
MIT线性代数公开课学习笔记在MIT公开课《线性代数》中，我学习到了许多有关线性代数的基本知识和应用。
线性代数是一门研究向量空间和线性映射的数学学科，不仅在数学领域有广泛的应用，还在计算机科学、物理学、经济学等领域中有着重要的作用。
本文将着重讨论我在这门课程中学到的内容和理解。
几何矢量和向量空间线性代数的基础是对几何矢量和向量空间的研究。
在课程中，我了解到几何矢量是具有大小和方向的物理量，可以通过箭头表示。
向量空间是指由一组向量所张成的空间，具有加法和数乘运算，并且满足一定的公理。
通过学习几何矢量和向量空间的性质，我可以更好地理解线性代数的基本概念和操作。
矩阵和线性变换矩阵是线性代数中的重要概念之一，它是一个由元素排列成矩形的数表。
在课程中，我学习到了矩阵的代数运算和性质，并了解了矩阵和线性方程组之间的关系。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的操作。
通过矩阵的乘法运算，我可以更方便地描述和计算线性变换。
特征值和特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，它们在矩阵和线性变换的理解中起到了关键作用。
在课程中，我学习到了如何通过计算特征值和特征向量来分析矩阵的性质和行为。
特征值表示线性变换在某个方向上的缩放比例，而特征向量则表示在该方向上的不变性。
通过对特征值和特征向量的计算和分析，我可以更好地理解线性代数的应用。
内积和正交性内积是指将两个向量进行运算得到一个标量的操作，它在线性代数中有着重要的应用。
在课程中，我学习到了内积的性质和计算方法，并了解了内积和向量的夹角之间的关系。
正交性是指两个向量之间的夹角为90度，它在很多实际问题中具有重要的性质。
通过学习内积和正交性的概念，我可以更好地理解向量的投影和正交基的概念。
奇异值分解和最小二乘法奇异值分解（Singular Value Decomposition，简称SVD）是线性代数中一种重要的矩阵分解方法，它将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积。
《线性代数》学习笔记十二
主 题： 《线性代数》学习笔记 内 容：《线性代数》学习笔记十二 ——二次型1、二次型的矩阵表示 定义1 n 个变量12,,n x x x 的二次齐次多项式212111121211(,,)22n n n f x x x a x a x x a x x =+++2222223232222n n na x a x x a x x ax ++++++称为n 元二次型，简称二次型(quadratic form).当ij a 为复数时，称f 为复二次型；当ij a 为实数时，称f 为实二次型.我们仅讨论实二次型. 取ij ji a a =,于是上式可写为二次型f 的和式表示.212111121211221122222221122(,,)n n n n nn n n n nf x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x ax =+++++++++++11n nij i ji j a x x ===∑∑二次型f 的矩阵表示1112111222221212(,,,)n n n n n nn n a a a x a a a x f x x x a a a x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭A '=x x 这里，显然有A A '=，即A 为实对称矩阵. 例如：二次型用矩阵可表示为()22223120213,,1223012f x y z xy yz x x y z y z =-+-+⎛⎫- ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭二次型f 还可表示成向量内积形式()[][]f A A A '==x x x =x,x x,x .二次型与对称矩阵之间存在一一对应关系.由此可见，如果,A B 都是n 阶对称矩阵，且f A B ''=x x =x x ，则A B =.因此，若f A '=x x ，其中A A '=，则称A 为二次型f 的矩阵；称f 为对称矩阵A 的二次型；称()R A 为f 的秩. 例1 写出二次型221231233(,,)(22)f x x x x x x x =++-的矩阵A ，并求f 的秩. 2、二次型的标准形对于二次型11n nij i ji j f a x x ===∑∑，我们讨论的主要问题是：寻找可逆的线性变换C x =y ，使二次型只含平方项，使得2221122n nf y y y λλλ=+++，称为二次型f 的标准形.即2221122112212()(,,).n nn n n f A C AC y y y y y y y y y '''=+++⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪'==Λ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭x x =y y =y y λλλλλλ其中Λ=diag 12(,,,)n λλλ.因此，我们的问题就转化为：对给定对称矩阵A ，求可逆矩阵C ，使得C AC '为对角阵.一般地，有以下定义：定义2 设,A B 为n 阶矩阵，若有可逆矩阵C ，使B C AC '=，则称A 与B 合同. 因为若C 可逆，则C '也可逆，所以，由定义，若A 与B 合同，则A 与B 等价.从而，我们有（1）矩阵的合同关系具有反身性：A E AE '=；对称性：由B C AC '=即得11()A C BC --'=；和传递性：由111A C AC '=和2212A C AC '=即得21212()()A C C A C C '=； （2）若A 与B 合同，则()()R A R B =.（3）若A 是对称矩阵，且若A 与B 合同，则B 也是对称矩阵. 3。
MIT公开课线性代数笔记
矩阵的逆
定义：矩阵A的 逆矩阵是矩阵B， 使得AB=BA=I
性质：矩阵A的逆 矩阵是唯一的，且 A的逆矩阵也是方 阵
计算方法：使用高 斯-约旦消元法、 克莱姆法则等方法 计算矩阵的逆
应用：求解线性方 程组、求矩阵的秩、 求矩阵的逆等
矩阵的行列式
定义：矩阵的行列 式是一个数值，表 示矩阵的体积或面 积
子空间
定义：向量空间中的子集，满足加法和数乘运算 性质：子空间中的向量线性组合仍然是子空间中的向量 例子：二维平面上的直线、三维空间中的平面 应用：线性方程组的解空间、矩阵的秩和零空间
正交向量组
定义：一组线性无关的向量，且向量之间的内积为零 性质：正交向量组是线性无关的，且向量之间的内积为零 应用：正交向量组可以用来求解线性方程组，以及进行矩阵分解 例子：二维平面上的单位向量组（1,0）和（0,1）是正交向量组
计算方法：通过行 列式的计算公式进 行计算
性质：矩阵的行列 式与矩阵的转置行 列式相等
应用：矩阵的行列式 在求解线性方程组、 特征值和特征向量等 方面有广泛应用
线性变换与矩阵
线性变换的定义
线性变换是一种特 殊的函数，它满足 线性性质
线性变换可以将一 个向量映射到另一 个向量
线性变换可以用矩 阵来表示，矩阵的 每一行代表一个基 向量的变换
性、相似性等
矩阵的相似性
定义：两个矩 阵A和B相似， 如果存在一个 可逆矩阵P，使
得B=P^(1)AP
性质：相似矩 阵具有相同的 特征值和特征
向量
应用：相似矩 阵可以用来简 化矩阵的运算
和求解
例子：对角矩阵 和单位矩阵是相 似的，因为它们 的特征值和特征 向量都是相同的。
矩阵的相似对角化
线性代数笔记
1、1二阶行列式和三阶行列式1、定义 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表22211211a a a a)5(42221121121122211a a a a a a a a 行列式，并记作）所确定的二阶称为数表（表达式-即.2112221122211211a a a a a a a a D -==2、定义记（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.2、2全排列及其逆序数1、定义：把n 个不同的元素排成一列，叫做这n 个元素的全排列（或排列）. n 个不同的元素的所有排列的种数，通常用Pn 表示.2、我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3、定义：在一个排列中()n s t i i i i i 21，若数s t i i >则称这两个数组成一个逆序.4、定义：一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.5、排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列。
6、计算排列逆序数的方法方法1）分别计算出排在n ,n ,,,121- 前面比它大的数码之和即分别算出n ,n ,,,121- 这n 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.方法2）分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数. 例：分别用两种方法求排列16352487的逆序数.333231232221131211)5(339a a a a a a a a a 列的数表行个数排成设有,312213332112322311322113312312332211)6(a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++=333231232221131211a a a a a a a a a1、3 n 阶行列式1、定义：nnn n nn np p p ta a a a a a a a a D a a an n n n212222111211212.)1(21=-∑记作的代数和个元素的乘积取自不同行不同列的阶行列式等于所有个数组成的由2为这个排列的逆序数．的一个排列，，，，为自然数其中t n p p p n 21213、说明：1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、n 阶行列式是n ！项的代数和；3、n 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列n 个元素的乘积;4、一阶行列式a a =不要与绝对值记号相混淆；5、nnp p p a a a 2121的符号为().1t-4、1、4 对换1、定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．2、定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.3、定理 n 阶行列式也可定义为()np p p tn a aaD 21211∑-=其中t 为行标排列np p p 21的逆序数.4、定理 n 阶行列式也可定义为()nn q p qp q p t a a a D 22111∑-=其中nn q q q ,p p p 2121是两个n 级排列，t 为行标排列逆序数与列标排列逆序数的和.).det(ij a 简记作的元素．称为行列式数)det(ij ij a a ()()nnn np p p p p p p p p t nnn n n na a a a a a a a a a a a D 212121212122221112111∑-==1、5 行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等.[说明：行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.]性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式.推论行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面．性质４行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．性质5若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.性质６把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变．例计算n阶行列式abbbbabbbbabbbbaD=1、6 行列式按行和列展开1、余子式与代数余子式：在n阶行列式中，把元素ija所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ija的余子式，记作.ijM()，记ijjiijMA+-=1叫做元素ija的代数余子式．2、引理 一个n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除ija 外都为零，那末这行列式等于ija 与它的代数余子式的乘积，即ijijA a D =．3、定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即in in i i i i A a A a A a D +++= 2211()n i ,,2,1 =4、范德蒙德(Vandermonde)行列式∏≥>≥----==1112112222121).(111j i n j i n nn n nn n x x x x x x x x x x x D()n i ,,2,1 =5、推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即.,02211j i A a A a A a jn in j i j i ≠=+++6、⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij nk kj ki 当当δ⎩⎨⎧≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ1、7克拉默法则1、非齐次与齐次线性方程组的概念：设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111,,,,21不全为零若常数项n b b b 则称此方程组为非齐次线性方程组此时称方程组为齐次线性方程组.2、克拉默法则：如果线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a22112222212111212111的系数行列式不等,,,,21全为零若常数项n b b b ⎩⎨⎧≠==.,0,1j i j i ij当，当其中δ于零，即nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=0≠那么线性方程组（1）有解，并且解是唯一的，解可以表为.,,,,232211D D x D Dx D D x D D x n n ====其中D j 是把系数行列式D 中第j 列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n 阶行列式，即nn j n nj n n nj j j a a b a a a a b a a D1,1,111,111,111+-+-=3、定理1 如果线性方程组（1）的系数行列式D ≠0则（1）一定有解,且解是唯一的 .4、定理2 如果线性方程组（1）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.5、齐次线性方程组的相关定理()2000221122221211212111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++n nn n n n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a1）定理：如果齐次线性方程组（2）的系数行列式D ≠0则齐次线性方程组（2）没有非零解.2）定理：如果齐次线性方程组（2）有非零解,则它系数行列式D=0。
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列图像 Column Picture 在列图像中，我们将系数矩阵写成列向量的形式，则求解原方程变为寻找列向
量的线性组合（linear combination）来构成向量 b。
4
x
2 1
y
1 2
0 3
向量线性组合是贯穿本课程的重要概念。对于给定的向量 c 和 d 以及标量 x 和 y，我们将 xc+yd 称之为 c 和 d 的一个线性组合。
第 01 讲 行图像和列图像
Row picture & Column picture
线性方程的几何图像 The geometry of linear equations 线性代数的基本问题就是解 n 元一次方程组。例如：二元一次方程组 2x y 0 x 2y 3
写成矩阵形式就是
2 - 1
- 1x 2y
从几何上讲，我们是寻找满足如下要求的 x 和 y，使得两者分别数乘对应的列向
量之后相加得到向量
0 3
。其几何图像如下图。
2 蓝色为向量 - 1 ；
- 1
红色为向量
2 ；
可以看到当蓝色的向量乘以 1 与红色的
向量乘以 2（红色虚线）后做加法（首尾 0
相接）就可以得到绿色的向量 b= 3 ，
由此可得到方程的解 x=1,y=2。
0 3
其中
A=
-
2 1
-
1 2
被称为系数矩阵（coefficient
matrix）。
未知数向量通常记为
x=
x y
而等号右侧的向量记为 b。线性方程组简记为 Ax=b。
行图像 Row Picture
行图像遵从解析几何的描述，每个 方程在平面上的图像为一条直线。找到 符合方程的两个数组，就可以确定出 x-y 平面上的两个点，连接两点可以画 出该方程所代表的直线。两直线交点即 为方程组的解 x=1,y=2。
矩阵与向量的乘法
列图像：Ax 是矩阵 A 列向量的线性组合 ：
2 1
51 32
112
235
12
7
也可以通过将矩阵 A 的行向量和 x 向量进行点积来计算：
2 1
51 32
1 2 1 1
2 5 2 3
12
7
7
第 02 讲 矩阵消元
Elimination with matrices
消元法 Method of Elimination 消元法是计算机软件求解线形方程组所用的最常见的方法。任何情况下，只要
列式的值。
需要说明的是，主元不能为 0，如果恰好消元至某行，0 出现在了主元的位置上，
应当通过与下方一行进行“行交换”使得非零数字出现在主元位置上。如果 0 出现
5
概念，英文版出到第 5 版了，华章出过中译本。（是不是觉得上面那个图片有点斜， 是斜线造成的错觉呦！）
将以上讨论扩展到三元。图不好弄，所以用了 GS 书里的另一个方程，没有用
视频中的那个！！！这样方程和配图是吻合的。
x 2y 3z 6 2x 5y 2z 4 6x 3y z 2
1 2 3x 6
是矩阵 A 可逆，均可以通过消元法求得 Ax=b 的解。
此处给出的线性方程组为 1 2 1
A= 3 8 1 0 4 1
2 b= 12
2
高斯消元法（Gauss elimination）就是通过对方程组中的某两个方程进行适当
Hale Waihona Puke 的数乘和加（jian）和（fa），以达到将某一未知数系数变为零，从而削减未知数个
1 2 3 6
方程组列图像为 x 2
y
5 z 2 4
6 3 1 2
如果改变等号右侧的 b 的数值，那么对于行图像而言三个平面都改变了，而对
于列图像而言，三个向量并没有发生变化，只是需要寻找一个新的组合。
6
那么问题来了，是否对于所有的 b，方程 Ax=b 都有解？ 从列图像上看，问题转化为“列向量的线性组合是否覆盖整个三维空间？” 反例：若三个向量在同一平面内——比如“列 3”恰好等于“列 1”加“列 2”， 而若 b 不在该平面内，则三个列向量无论怎么组合也得不到平面外的向量 b。此时 矩阵 A 为奇异阵或称不可逆矩阵。在矩阵 A 不可逆条件下，不是所有的 b 都能令 方程 Ax=b 有解。 对 n 维情形则是，n 个列向量如果相互独立——“线性无关”，则方程组有解。 否则这 n 个列向量起不到 n 个的作用，其线性组合无法充满 n 维空间，方程组未必 有解。 从行图像的角度来看，三元方程组是否有解意味着什么？当方程所代表的三个 平面相交于一点时方程有唯一解；三个平面中至少两个平行则方程无解；平面的两 两交线互相平行方程也无解；三个平面交于一条直线则方程有无穷多解。 都是示意图，来看看 GS 和 Lay 的作图差异有多大吧……
数的目的。
我们将矩阵左上角的 1 称之为“主元一”（the first pivot），第一步要通过消元
将第一列中除了主元之外的数字均变化为 0。操作方法就是用之后的每一行减去第
一行的适当倍数，此例中第二行应减去第一行的 3 倍。之后应对第三行做类似操作，
本例中三行第一列数字已经为 0，故不用进行操作。
矩阵形式 2
5
2
y
4
6 - 3 1z 2
方程的行图像比较复杂，每一个方程都是三维空间内的一个平面，方程组的解 为三个平面的交点。
画图真不是 GS 的长项，在视频里画的就比较 shi，他自己也承认了。在课本里
他用两个面相交于一条直线画了一个图，然后让这条直线和第三个平面相交画了第
二个图。同样的事，y 一张图分分钟搞定。
1 2 1
1 2 1
1 2 1
A= 3 8 1 (2,1) 0 2 -2 (3,2) U= 0 2 - 2
0 4 1
0 4 1
0 0 5
处在第二行第二列的主元二为 2，因此用第三行减去第二行的两倍进行消元， 得到第三个主元为 5。
矩阵 A 为可逆矩阵，消元结束后得到上三角阵 U（Uppertriangular matrix）， 其左侧下半部分的元素均为 0，而主元 1,2,5 分列在 U 的对角线上。主元之积即行
想象一下如果任意取 x,y，则得到的线性组合又是什么？其结果就是以上两个列 向量的所有线性组合将会布满整个坐标平面。
y
的《线性代数及其应用》中，绘制向量v1
1 1
和v
2
1 2
的线性
组合充满整个平面的图像，节点处为向量的整数倍线性组合。
这本书也是难得的好书，作者喜欢利用几何图像来帮助读者理解线性代数中的