探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
安徽省舒城中学 束观元
引入课题：
在小学，我们是如何推出圆锥体积
公式的？棱柱、棱锥？球体？
如
何
好大的西瓜，能不
计
能填饱我的肚子！
算
球
的
体
积
？
探究活动一：祖暅原理
取一堆书放在桌面上，然后让它如图改变一下 形状，请问：它的体积变了吗？
还有哪些量没有改变？
是不是等底等高的两个几何体体积就一定相等 呢?
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
这个原理叫祖 理
探究活动二：柱体的体积公式
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
V柱 Sh
探究活动三：锥体的体积公式
等底面积等高的两个锥体的体积相等
A1
C1
B1
A
C
B
1 V锥 3 Sh
探究活动四：球体体积
半径为R的半球 底面半径和高都为R的圆柱 挖 去 一 个 圆 锥
S圆= r 2 R2 l 2
S圆环= (R 2 l 2 )
S圆 S圆环
1 2 V球
R2
R
1 R2
3
R
2 R3
3
V球
4 R3
3
例1. 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后， 得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积 的几分之几？
例2 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 表面积．
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 (2)
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的高、 宽、长及墙壁的厚度、窗户的大小等数据，体会 数学在生活中的应用。
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
CHale Waihona Puke BAA分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与 柱体、锥体、球体的体积
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
小实验
将一叠作业本放在桌子上组成一个几何体，将它们改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高改变了没 有？几何体的体积改变了没有？说明理由
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异"
“幂”是面积，“势”指的是高。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_0
球体的体积公式
思考1：如何得到球的体积公式？ (先求半球的体积公式)
思考2：利用祖暅原理求解半球体积的思路是什么呢？
利用祖暅定理求解半球的体积，就先要找出满足 这样条件的一个简单几何体：把该几何体与半球夹在 两个平行平面之间，用平行于这两个平面的任意平面 去截该几何体和半球，使得截得的两个截面的面积总 相等，那么半球的体积就可以转化为该简单几何体的 体积，从而也可以求出球的体积。
夹在两个平行平面之间的两个几何体，现在用平 行于这两个平面的任意平面去截这两个几何体，如果 截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的 体积相等。
思考：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
3
V球
4 R3
3
课堂小结
知识：祖暅原理，柱体、球体体积公式推导 思想方法：转化与化归
祖暅原理，在西方直到17世纪，才由意大利数 学家卡瓦列里发现提出，比祖暅足足晚了一千多年!
课后练习
类比柱体、球体的体积公式推导，试试推导锥体的 体积公式。
小结：我们可以发现，祖暅原理含有三个条件， ①两个几何体夹在两个平行平面之间， ②用平行于两个平行平面的任何一平面可截得两个 平面， ③两个截面的面积总相等 这三个条件缺一不可，否则结论不成立。
柱体的体积公式
如图，下面是底面积都等于S，高都等于h的任意棱柱， 圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体的体积公式 吗？
用平行于半球底面的平面去截半球所得的截面面积， 都会和一个环形的面积相等。
而这些环形堆叠起来所形成的几何体，恰好就是一个 圆柱体挖掉一个底面相同且等高的圆锥体之后所得的简 单几何体。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是一种用来计算一些碰撞问题的方法。
它是由荷兰物理学家爱文·伽兹（Awe M. C. J. Gase）在1971年首次提出的。
祖暅原理可以应用于各种情况，包括碰撞、反弹、散射等。
这个原理的基本思想是，根据碰撞前后的动量守恒和能量守恒原理，可以推导出碰撞物体的质量、速度等参数。
柱体、锥体和球体是几何学中常见的三维几何体，它们的体积可以通过数学公式推导得到。
首先来讨论柱体。
柱体是一个具有平行的底面和均匀直径的圆柱形物体。
它的体积可以通过计算底面的面积乘以高度来获得。
具体地说，柱体的体积公式为：V=πr²h，其中r为底面半径，h为柱体的高度。
而锥体是一个具有底面是圆的三角锥形物体。
计算锥体的体积需要先求出底面的面积，再乘以高度的三分之一、锥体的体积公式为：
V=(1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为锥体的高度。
最后，球体是一个具有球形的物体。
计算球体的体积需要先求出球的半径，再将半径的三次方乘以π的四分之三、具体地说，球体的体积公式为：V=(4/3)πr³，其中r为球的半径。
以上是关于柱体、锥体和球体的体积计算公式的一些基本介绍。
要具体计算一些物体的体积，需要提供它的底面半径、高度或半径等参数。
同时要注意单位的一致性，确保结果的准确性。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积［教学内容、地位］在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。
［教学编排依据］主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力.教学目标的确定（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.拓展爱国主义情感教育，3、教学的重点、难点（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究（2）学生探究能力的培养二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，探索实际案例。
教法：1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持.学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习法：通过分析、探索得出柱体、锥体、球体的体积公式；四、教学过程1、教学思路由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其结构图如下：2、案例设计Ⅰ导入课题回顾已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并发问：这些公式怎么来的? （设计意图：让学生产生疑问，带着疑问主动的探究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）Ⅱ探究新知1、祖暅原理的引入通过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式提供理论基础课件名称：祖暅原理．课件运行环境：几何画板4.0以上版本．课件主要功能：配合教科书“探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教学，说明几何体等体积变换的依据．课件制作过程：（1）新建画板窗口．如图1，按住Shift键，用【画直线】画4条直线AB，CD，EF，GH （分别是直线j ，k ，l ，m ）．图 1（2）在直线j 上画两点I ，J ．（3）在直线上画一点K ，在直线l 上画两点L ，M ，在直线m 上画两点N ，O ．（4）画线段KL ，LN ，NO ，OM ，MK ．（5）在直线k ，l 之间画一条直线PQ （直线r ）．在直线l ，m 之间画直线RS （直线s ）．（6）作出线段KL 与直线r 的交点T ．同样作出线段KM 与直线r 的交点U ，线段LN 与直线s 的交点V ，线段OM 与直线s 的交点W ．（7）在直线k ，r ，l ，s ，m 上分别画一点X ，Y ，Z ，A 1，B 1．（8）标记向量TU ．依向量TU 平移点Y 得到Y '．同样，标记向量LM ，依向量LM 平移点Z 得到Z '；标记向量VW ，依向量VW 平移点1A 得到1A '；标记向量NO ，依向量VW 平移点1B 得到1B '．（9）依次选择点K ，L ，N ，O ，M ，按Ctrl+P ，填充五边形KLNOM ，及时单击【Measure 】（度量）菜单中的【Area 】，度量出它的面积，如“面积21 3.93p cm =”．（10）类似于上一步，用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，1A '，Z '，Y '，按Ctrl+L ，得到一个凹九边形．（11）用【选择】工具顺次选择点X ，Y ，Z ，1A ，1B ，1B '，1A '，Z '，Y '，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填充，及时单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出凹九边形的面积，如“面积22 3.93p cm =”．（12）如图2，用【画点】工具在直线j 上画一点1C （位于点J 的左边）．过点1C 作出直线j 的垂线（直线a ）．用【选择】工具作出直线a 与直线k 的交点1D ．图2（13）双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选中五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】（变换）菜单中的【Dilate 】（缩放），弹出对话框，把缩放改为1：3，单击【Dilate 】，得到一个小的五边形K L N O M '''''．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积210.44p cm '=”． （14）用【选择】工具双击点J ，把点J 标记为缩放中心．选中凹九边形（边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】．同样，以1：3缩放得到一个小的凹九边形，度量出它的面积“面积220.44p cm '=”． （15）画直线K X ''，得到直线b ，作出直线b 与直线a 的交点1E ．（16）用【画线段】工具把点1E 和1D 用线段连结起来．（17）在线段1E 1D 上画点1F ，用【画线段】工具作出线段1F 1C （线段c ），1C 1E （线段d ）．（18）先后选择线段c ，d ，并单击【Transform 】菜单中的【Mark Segment Ratio 】（标记线段比）标记为c/d ．（19）用【选择】工具双击点I ，把点I 标记为缩放中心．选择五边形KLNOM （边与顶点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】，弹出对话框，单击【Dilate 】，如图3，得到一个小的五边形K L N O M '''''．选择它的内部，并单击【Measure 】菜单中的【Area 】，度量出它的面积， “面积21 1.70p cm ''=”．图3（20）类似地，也把凹九边形及其内部按同样的缩放比关于中心点J 缩放，度量缩放后的对象的面积“面积22 1.70p cm ''=”．（21）画线段,,,,KK LL NN OO MM '''''，作出一个五棱台．（22）画线段,,...XX YY ''，作出右边的凹九棱台．2．探究柱体的体积公式III.拓展爱国主义情感教育祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
为什么能用祖暅原理
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。
人教A版高中数学必修2《一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课课件_5
1 3
S底h
设球的半径为R,截面半径为r,平 面与截面的距离为 l
那么 r R2 l 2
因此 S圆 = r 2
= (R2 l 2 ) = R2 l 2
圆环面积 S圆环 = R2 l 2
S圆 = S圆环
L
O2
P
r
K
O1
l
BN
l
R
o
o
根据祖日恒原理，这两个几何体的体积相等，即
还有很多以姓名命名的公式或定理，比如呢？
用秦九韶算法求当x = 5时多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7的值.
解:首先将原多项式改写成如下形式 : f(x)=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7
欧拉定理:
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有
如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝?
A1
C1 把三棱锥以
△ABC为底面、
B1
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
探究锥体的体积公式 问：一个（斜或正）三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
A1
A1
C
BC
B
A
A
分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
V锥体
关系 V+F-E=2
探究柱体的体积公式 如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
从而我们可以得到所有
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质教师资格证面试试讲教案
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课公开课教案教师资格证面
试试讲教案
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】引入新课。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科学对数学具有 浓厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还 与他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才 由意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的
这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
小实验：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异” “幂”是面积，“势”即是高。 意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的 截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
领悟数学和数学家的神奇,美妙,毫不犹豫的选择 数学文化,好好的感受数学,享受数学带给我们的 每(美)一天……
作业布置
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的 高度、长度、宽度及墙壁的厚度、窗户的大小 等数据。体会几何学在现实生活中的应用。
谢谢！
思考1：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1B1 C1B1源自A1A1C
BC
B
A
A
思考2:每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
V锥体
1 3
S底h
课堂小结：
知识方面： 本节探究了利用祖暅原理获得了柱体、锥体、球 体的体积公式。
谈谈你对数学的历史了解吗?你对数学文化有哪 些感悟?
汉克尔曾说数学科学的特点是:高度的抽象性,体 系的严谨性,应用的广泛性,发展的延续性.
祖暅(gèng)原理
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
探究一:柱体的体积
如图，下面是底面积都等于S,高都等于h的任意 棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体 的体积公式吗？
探究锥体的体积公式