群论期末考试

ak 1 g 1 g
RG
RG i
x
k
( R )* x( R )
j
1 g
RG
x( R)
x ( R) x
( Байду номын сангаас)
由正交定理可知：
1 g
RG
x ( R) x
i *
j
( R ) ij ，由 D i 与 D j 为不等价不可约表示有
1 g
代入上式
ak 1 g 1 g
C 1 D i D j C ak D k
k
其中 ak
1 g
RG
x
k
( R )* x( R ) x( R) 为 Di D j 表示的特征标且 x( R) xi ( R) x j ( R)
（1）若 D k 为恒等表示，则 x k ( R ) =1，则代入上式计算重数 ak 为：
3 3 3 3 2 C4 z z；C4 xy xy; C4 ( x 2 y 2 ) y 2 x 2 ; C4 x y 2 ( x 2 y 2 ) x 2 ;
mx z z; mx xy xy; mx ( x 2 y 2 ) x 2 y 2 ; mx x 2 x 2 ; m y z z; m y xy xy; m y ( x 2 y 2 ) x 2 y 2 ; m y x 2 x 2 ;
1.设A和B都是群G的子群，证明：AB是G的子群，当且仅当AB BA； 【证明】如果AB是G的子群，a A，b B, (ab) 1 b 1a 1 AB, 又b 1a 1 (ab) 1 BA, 则AB BA； 如果AB BA, ab ba, ab AB，有b 1a 1 BA和AB, 即AB中元素的逆在AB中， a1b1 , a2b2，在a （ 1 b1a2）b2中，有b1a2 BA和AB, 令b1a2 a3b3， a （ （ 1 b1a2）b2 a 1 a3b3）b2 ( a1a3 )(b3b2 ) AB,已知A和B都是群G的子群，封闭 AB是G的子群；证毕 2.一个阿贝尔群G没有非平凡子群的充要条件是：群G的阶 G 是1或者是素数； [证明]充分性：阿贝尔群只有平凡子群, 要证当 G 1或者素数p； 反证法：假设H是G的非平凡子群，则H中存在G中的非单位元h， 对于有限群，元素的阶整除群阶，则h的阶 1或者p，由h e 则ord（h） 1，而H中包含了G中的由h生成的循环子群，则 H ord（h） p， 只能是H G，这与H是G的平凡子群的假设矛盾； G是单位元时，没有非平凡子群，群阶为1. 必要性：要证阿贝尔群G的阶是1或者p时，G没有非凡子群； 当 G 1，G没有非平凡子群； 当 G p时，假设G存在非平凡子群H， 则由拉格朗日定理： G k H， k是H左陪集的个数， G kH p 与假设矛盾，因此必要性得证；证毕
i i*
ak 1 g
1 g
RG
x
k
( R )* x( R )
1 g
RG
x( R) g x ( R) x
i RG
1
i*
( R)
由正交定理
RG
x ( R) x ( R) 1
i * i
所以 ak 1 ，证毕
5.试以下列函数（ 1）z; (2) xy; (3) x 2 y 2 ; (4) x 2作为基矢，构造C4 v的表示， 并约化这个表示，求出其各不可约表示的基函数;
RG
RG
x ( R) x
i *
k
j
( R) 0
RG i
x
( R )* x( R )
j
1 g
RG
x( R)
x ( R) x
( R) 0
由于恒等表示的重数为 0， D i D j 不包含恒等表示.
（2）同理， D D 我们有 x( R ) x i ( R ) x i* ( R )
3.给出非晶体点群D8的所有元素，分出其共轭类，画出其极赤图，试求出其特征标表 【解】D8由8次主轴和垂直主轴的8个二次轴组成，二次轴等夹角地分布，生成元c8 , c2 (1) D8 822 8 1,20 1,8 ,8 ,4 ,4 ,83 ,83 ,2 z ,20 ,2 ,2 3 ,2 ,2 ,2 3 ,2 5 ,2 7 4 4 2 8 8 8 8 （ D8 2 8 16阶群） N 8 3 3 7个； 2 2 C1 {e}; C2 {8 ,8 }; C3 {4 ,4 }; C4 {83 ,83 }; C5 {2 z }; C6 {20 ,2 ,2 3 ,2 , }; (2)D8共轭类数目
3 【解】已知C4 v {e, C2 , C4 , C4 , mx , m y , v , d };由群元的几何对称性易知：
C2 z z; C2 xy xy; C2 ( x 2 y 2 ) x 2 y 2 ; C2 x 2 x 2 ; C4 z z; C4 xy xy; C4 ( x 2 y 2 ) y 2 x 2 ; C4 x 2 y 2 ( x 2 y 2 ) x 2 ;
1 0 D(e) D(C2 ) 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 3 0 ; D(C4 ) D(C4 ) 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 ; 2
0 1 0 0 ; D( v ) D( d ) 0 0 1 0 共轭类：C4 v {e, C2 ,2C4 ,2 v ,2 d } 因为C4 v 群的特征标表： A1 A2 B1 B2 E E C2 2C4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 2 2 v 1 1 1 1 0
1 0 0 1 D ( mx ) D ( m y ) 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0
0 0 ; 0 2
2 d 1 1 所以C4 v 群的约化后的不可约表示为A1 A2 B1 B2 E ; 1 1 0
4 4 2
C7 {2 ,2 3 ,2 5 ,2 7 };
8 8 8 8
极赤图
4.若D i 和D j 是群G的两个不等价的不可约表示，证明： （ 1）直积表示D i D j 并不包含恒等表示； （2）在直积表示D i D j*中，恒等表示出现且只出现一次；
【解】将 D i D j 写成不等价不可约表示的直和形式
v z z; v xy xy; v ( x 2 y 2 ) y 2 x 2 ; v x 2 y 2 ( x 2 y 2 ) x 2 ; d z z; d xy xy; d ( x 2 y 2 ) y 2 x 2 ; d x 2 y 2 ( x 2 y 2 ) x 2 ;