高中数学北师大版高二选修2-1练习：第三章3.2.1_双曲线的简单几何性质_2

[A.基础达标]1．已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4，0)，(4，0)，则双曲线方程为( )A.x 28－y 224＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1 解析：选D.因为焦点在x 轴上，b a ＝3，c ＝4，c 2＝42＝a 2＋b 2＝a 2＋(3a )2＝4a 2，所以a 2＝4，b 2＝12. 所以双曲线方程为x 24－y 212＝1.故选D. 2．若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为( )A ．1B ．2C ．3D ．6解析：选B.圆心(2，0)到一条渐近线的距离为22－1＝ 3.双曲线的渐近线方程为y ＝±3ax ， 圆心(2，0)到渐近线的距离为3×23＋a 2＝3， 得a ＝1，故双曲线实轴长为2a ＝2.3．设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为( ) A.1＋22 B.1＋32C ．1＋ 2D ．1＋ 3解析：选B.由题意知|AB |＝|BC |＝2c ，又∠ABC ＝120°，过B 作BD ⊥AC ，D 为垂足，则|AC |＝2|CD |＝2×|BC |sin 60°＝23c ，由双曲线定义|AC |－|BC |＝23c －2c ＝2a ，所以e ＝c a ＝223－2＝13－1＝3＋12. 4．已知抛物线y 2＝2px (p >0)上一点M (1，m )(m >0)到其焦点的距离为5，双曲线x 2a－y 2＝1的左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 平行，则实数a 的值为( )A.19B.14C.13D.12解析：选A.由题意得1＋p 2＝5，p ＝8，y 2＝16x ，当x ＝1时，m 2＝16，m >0，m ＝4. 所以M (1，4)，双曲线的左顶点A (－a ，0)，k AM ＝41＋a ，由题意41＋a ＝1a，所以a ＝19. 5．已知双曲线M 的焦点与椭圆x 225＋y 216＝1的焦点相同，如果直线y ＝－2x 是双曲线M 的一条渐近线，那么M 的方程为( )A.x 218－y 29＝1B.x 29－y 218＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 23－y 26＝1 解析：选D.设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的焦点为(±3，0)，c ＝3，双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，故b a ＝2即b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝3a ＝3，得a ＝3，b ＝6，故双曲线M 的方程为x 23－y 26＝1.6．以双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是________． 解析：双曲线右焦点坐标为(5，0)，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，该圆的半径等于(5，0)到渐近线的距离， 故半径为4×542＋32＝4， 故该圆的标准方程为(x －5)2＋y 2＝16，其一般方程为x 2＋y 2－10x ＋9＝0.答案：x 2＋y 2－10x ＋9＝07．与双曲线x 2－2y 2＝2有共同的渐近线，且过点M (2，2)的双曲线方程是________．解析：该双曲线的方程可设为x 2－2y 2＝λ(λ≠0)，将M (2，2)代入，得λ＝－6，故该双曲线方程为y 23－x 26＝1. 答案：y 23－x 26＝1 8．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1，2)在“上”区域内，则双曲线离心率的取值范围为________．解析：由题意当x ＝1时，y ＝b a x ＝b a<2， 所以e 2＝c 2a 2＝1＋(b a)2<5， 又e >1，所以e ∈(1，5)．答案：(1，5)9．双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线，求双曲线C 的方程． 解：由椭圆x 28＋y 24＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)， 由已知设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 则渐近线为y ＝±b ax . 因为y ＝3x 为双曲线C 的一条渐近线，所以b a＝ 3. 又两曲线有相同焦点，对于双曲线C ：c ＝2，所以a 2＋b 2＝4.解得a 2＝1，b 2＝3.所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. 10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点M (4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点N (3，m )在双曲线上，求证：NF 1→·NF 2→＝0；(3)对于(2)中的点N ，求△F 1NF 2的面积．解：(1)因为e ＝2，故可设等轴双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)，因为过点M (4，－10)，所以16－10＝λ，所以λ＝6.所以双曲线方程为x 26－y 26＝1. (2)证明：由(1)可知，在双曲线中，a ＝b ＝6，所以c ＝2 3.所以F 1(－23，0)，F 2(23，0)．所以NF 1→＝(－23－3，－m )，NF 2→＝(23－3，－m )．所以NF 1→·NF 2→＝[(－23－3)·(23－3)]＋m 2＝－3＋m 2.因为点N (3，m )在双曲线上，所以9－m 2＝6，所以m 2＝3.所以NF 1→·NF 2→＝0.(3)因为△F 1NF 2的底|F 1F 2|＝43，高h ＝|m |＝3，所以△F 1NF 2的面积S ＝6.[B.能力提升]1．设F 1、F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选C.设线段PF 1的中点为M ，由于|PF 2|＝|F 1F 2|.故F 2M ⊥PF 1，即|F 2M |＝2a ，在Rt △F 1F 2M 中，|F 1M |＝（2c ）2－（2a ）2＝2b ，故|PF 1|＝4b ，根据双曲线的定义得4b －2c ＝2a ，所以2b －a ＝c ，即(2b －a )2＝a 2＋b 2，化简得3b 2－4ab ＝0，即3b ＝4a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±43x ，即4x ±3y ＝0. 2．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与该双曲线的一个交点，且∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则这个双曲线的离心率是( )A.3＋22B.3＋2C.3＋1D.3＋12解析：选C.由题意得P 在双曲线左支上，∠F 1PF 2＝90°，又因为∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，所以∠PF 2F 1＝30°，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 1|＝c ，|PF 2|＝3c ， |PF 2|－|PF 1|＝(3－1)c ＝2a ，得e ＝c a＝3＋1. 3．若点O 和点F (－2，0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，则OP →·FP →的取值范围为________．解析：由F 为左焦点得a 2＝3，则双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋2，y 0)＝x 20＋2x 0＋y 20＝x 20＋2x 0＋x 203－1 ＝43x 20＋2x 0－1＝43⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x 0＋342－916－1. 由点P 在双曲线右支上得x 0≥ 3，所以OP →·FP →≥3＋2 3.答案：[3＋23，＋∞)4．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是________．解析：根据双曲线的对称性知x 轴垂直平分线段AB ，0<∠AF 2F 1<π4，令x ＝－c 代入x 2a 2－y 2b2＝1， 得y 2＝b 4a 2，所以|y A |＝|y B |＝b 2a， tan ∠AF 2F 1＝b2a 2c ＝b 22ac∈(0，1)， 所以b 2<2ac ，又b 2＝c 2－a 2，所以c 2－a 2<2ac ，即c 2－2ac －a 2<0，所以e 2－2e －1<0，1－2<e <1＋2，又e >1，故e ∈(1，1＋2)．答案：(1，1＋2)5．已知双曲线中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(3，－1)，一条渐近线与直线3x－y＝10平行，求双曲线的标准方程．解：由已知，双曲线中心在原点，坐标轴为对称轴，由于其中一条渐近线与直线l：3x－y＝10平行，所以，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0，即y＝3x.可设双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．由于双曲线过点P(3，－1)，所以9×32－(－1)2＝λ，即λ＝80.所以所求双曲线的标准方程为x280 9－y280＝1.6．(选做题)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，A1，A2分别为这个双曲线的左、右顶点，P为双曲线右支上的任意一点，求证：以A1A2为直径的圆既与以PF2为直径的圆外切，又与以PF1为直径的圆内切．证明：如图，以A 1A2为直径的圆的圆心为O，半径为a，令M，N分别是PF2，PF1的中点，由三角形中位线的性质，得|OM|＝12|PF1|.又根据双曲线的定义，得|PF1|＝2a＋|PF2|，从而有|OM|＝12(2a＋|PF2|)＝a＋12|PF2|.这表明，两圆的圆心距等于两圆半径之和，故以A1A2为直径的圆与以PF2为直径的圆外切．同理，得|ON|＝12|PF2|＝12(|PF1|－2a)＝12|PF1|－a.这表明两圆的圆心距等于两圆半径之差，故以A1A2为直径的圆与以PF1为直径的圆内切．。