第一章__三角形的证明2

第一章 三角形的证明 §1.1 等腰三角形（1）教学目标1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理3.运用等腰三角形的性质定理及其推论证明与等腰三角形有关的角相等或线段相等 教学重点、难点:1.了解作为证明基础的几条公理的内容2.掌握证明的基本步骤和书写格式教学过程一、预习反馈 明确目标1.等腰三角形知识回顾1） 如图1，在△ABC 中，AB = AC ，则顶角为 ，底角为 ，腰为 ，底边为 。

2） AD 是△ABC 的中线，则 ；AD 是△ABC 的角平分线，则 ；AD 是△ABC 的垂线，则 ；3） 如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在AC 上，且BD = BC = AD 。

找出所有的等腰三角形 。

2.说出学过的公理及推论3.已知∠D =∠C ，∠A =∠B ，且AE = BF 。

求证：AD = BC 。

二、创设情境 自主探究1. 议一议 等腰三角形的性质 等腰三角形的两个底角相等 (等边对等角) 我们如何验证这个命题成立呢？我们以前是用度量、折纸的方法得到的，但要说明一个结论成立，仅仅依靠观察或度量是不够的，证明是必要的。

那么，我们应该如何证明呢？2.讲解例题 已知，如图，在△ABC 中，AB = AC 。

求证：∠B =∠C 。

分析：要想证明∠B=∠C ，根据以前所学的证明方法，只需证明分别包括∠B 和∠C 的两个三角形全等。

但图中只有一个三角形。

我们应该如何作辅助线呢？引导学生作出辅导线，得出证明过程。

发散学生思维，让学生找出其它的证明方法。

除了作顶角的平分线还可以怎样作辅助线？顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高ABDDCBA A BCA A A ABCA BC D E三、展示交流 点拨提高如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，并且AB = AD ，DB = DC ，若∠C = 29°，求∠A 。

分析：这是对等腰三角形性质的应用，由让学生从问题出发，逐步得出解题过程。

四、师生互动 拓展延伸如图，AB = AD ，BD 平分∠ABC 。

求证：A D ∥BC 。

分析：此例可先让学生独立完成，再适当点拨 五、达标测试 巩固提高1.三角形的顶角为50°，则它的底角为 。

2.三角形的一个角为40°，则另两个角为 。

3.三角形的三个角都相等，并且每个角都等于 °。

4. △ABC 中，AB = AC ，D 是BC 边上的中点，且DE ⊥AB ， DF ⊥AC 。

求证：∠1 =∠2。

◆ 作业布置1.在等腰三角形中顶角为40°时底角等于____，一个底角为50°，则顶角等于_________.2.等腰三角形的两边分别是7 cm 和3 cm ，则周长为_________.3、如图5，在△ABC 中，AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC ，E 是垂足，ED 的延长线交CA 的延长线于点F ，求证：AD =AF .C （探究题）如图，在AB =AC 的△ABC 中，D 点在AC 边上，使BD =BC ，E 点在AB 边上，使AD =DE =EB ，求∠EDB.学后反思DCB ACBAF E 12321ABCD§1.1 等腰三角形（2）教学目标1.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，证明等腰三角形的一些线段相等2.借助等腰三角形的三线合一推论解决实际问题 教学重点、难点1.证明等腰三角形的判定定理2.借助等腰三角形的判定定理解决实际问题教学过程一、预习反馈 明确目标 等腰三角形知识回顾1.AD 是△ABC 的中线，则 ；AD 是△ABC 的角平分线， 则 ；AD 是△ABC 的垂线，则 ；2.如图，在△ABC 中，AB = AC ，点D 在AC 上， 且BD = BC = AD 。

则∠A 是多少度。

二、创设情境 自主探究 等腰三角形的性质二☆ 想一想 书本P 4 想一想应让学生回顾前面的证明过程，思考线段AD 具有的性质和特征，从而得到结论。

这一结论通常简述为“三线合一”。

等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合 强调这三线具体指的是哪三条 1、 等腰三角形性质的应用先自己试试作出等腰三角形两底角的平分线，再度量它们是否相等，再证明。

找准两个要证明全等的三角形，并把它们拉开，这样对我们的解题很有帮助 三、展示交流 点拨提高 例1如图，在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥AC ∠BAC = 100°。

求∠1、∠3、∠B 的度数。

ABDDCBA321ABC例2 证明：等腰三角形两底角的平分线相等。

四、师生互动 拓展延伸如图，E 是△ABC 内的一点，AB = AC ，连接AE 、BE 、CE ， 且BE = CE ，延长AE ，交BC 边于点D 。

求证：AD ⊥BC 。

五、达标测试 巩固提高1. 等腰三角形的一边长为23，周长为43+7，则此等腰三角形的腰长为_________.2.等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为_________.3. 随堂练习 ◆ 作业布置A （必做题）1.如图1，D 在AC 上，且AB =BD =DC ，∠C =40°，则∠A 等于多少度？∠ABD 等于多少度？图1图22. 证明：等腰三角形两腰上的中线相等。

B （选做题）1.证明：等腰三角形两腰上的高相等。

C （探究题）2.如图2，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，点D 在AB 上，且AD =AC ， （1）若∠A =40°，则 ∠ACD 等于多少度？∠DCB 等于多少度？（2）若∠A =α，则∠BCD 等于多少度？ 由此我们可得出∠BCD 与∠A 的关系是 ∠BCD 等于多少度？学后反思:E ABCD§1.1 等腰三角形（3）教学目标1.能够用综合法证明等腰三角形的判定定理2.借助等腰三角形的判定定理解决实际问题3.结合实例体会反证法的含义 教学重点和难点重点：等腰三角形的判定定理 难点：体会反证法的含义 教学过程一、预习反馈 明确目标1.如图，∠A =∠B ，CE ∥DA ，CE 交AB 于E 。

求证：CE = CB 。

2.如图，在△ABC 中，AB = AC ，DE ∥BC ， 求证：△ADE 是等腰三角形二、创设情境 自主探究1.议一议 书本P 7这里应引导学生养成“反过来”思考问题的意识，即思考一个命题的逆命题的真假。

这也是获得数学结论的一条途径。

2.等腰三角形的判定定理有两个角相等的三角形是等腰三角形。

等角对等边 ∵ ∠A =∠B ， ∴ AB = AC要判定一个三角形是等腰三角形，除用定义外，还可以用判定定理判定。

只要发现一个三角形有两个角相等，则马上断定，这个三角形为等腰三角形。

三、展示交流 点拨提高如图，ABC ∆中，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD = CE 。

求证：ABC ∆是等腰三角形。

分析：此例题是等角对等边的具体应用，引导学生写出解题步骤。

四、师生互动 拓展延伸反证法 《李子不好吃》古时候有个人叫王戍，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得E ABCD EABCDDCBA EDCBAE把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有王戍站着没动。

小朋友问他为何不去摘，他说：“树长在路边，若李子好吃，早就没了！但现在李子还有那么多，肯定李子是苦的，不好吃的。

”小朋友摘来一尝，李子果然苦的没法吃。

王戍在说明李子不好吃时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明便是的结论一定成立.这种证明方法称为反证法。

反证法步骤：1） 假设：假设命题的结论不成立2） 归谬：从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果3） 结论：由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确 讲解例题 一个三角形中不能有两个直角。

五、达标测试 巩固提高把下列命题用反证法证明时的第一步写出来。

1） 我每天工作不超过24小时；2） 我们班有62人，今天出席人数为61，有同学缺席； 3） 初三级有730人，有12个班，平均每个班都超过60人； 4） 三角形中必有一个内角不少于60度； 5） 一个三角形中不能有两个角是钝角； 6） 垂直于同一条直线的两条直线平行。

◆ 作业布置A （必做题）如图，在ABC 中，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，DE ∥BC 。

求证：△EBD 是等腰三角形。

B （选做题）求证：一个三角形中不能有两个角是钝角；C （探究题）如下图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点（M 与A 不重合）MD ⊥BC ，交∠ABC 的平分线于点D ，求证：MD =MA .学后反思§1.1 等腰三角形（4）教学目标1.能够用综合法证明等边三角形的判定定理2.运用等边三角形证明直角三角形的有关性质 教学重点和难点重点：等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质难点：运用等边三角形的判定定理和直角三角形的有关性质解决实际问题 教学过程一、预习反馈 明确目标1.如图(1)，BC = AC ，若 ，则△ABC 是等边三角形。

2.如图(2)，AB = AC ，BC ⊥AD ，BD = 4，若AB = ，则△ABC 是等边三角形。

3.如图(3)，AB = AC ，AD 是△ABC 的一条中线，AB = 5，若BD = ，则△ABC 是等边三角形。

(1) (2) (3) (4)二、创设情境 自主探究1. 已知：如图(4)，△ABC 是等边三角形，DE ∥BC ，交AB 、AC 于D 、E 。

求证：△ADE 是等边三角形2. 如图(5)，△ABC 是等边三角形，BD = CE ，∠1 =∠2。

求证：△ADE 是等边三角形。

(5)三、展示交流 点拨提高 1.直角三角形的特殊性质直角三角形有什么性质？有什么特殊性质？ ☆ 做一做 书本P 10 做一做让学生通过活动发现结论，引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论还需要给予证明。

在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

条件有两个：其一，必须是直角三角形；其二，有一个锐角等于30︒。

2如图，在Rt ABC ∆中，∠B = 30°，BD = AD ，BD = 12，求DC 的长。

四、师生互动 拓展延伸等腰三角形的底角为15︒，腰长为a 2，求腰上的高。

C BA A BC DA BC DE A BCD21EABCDDCAD 30¡ã五、达标测试 巩固提高1.下列说法不正确的是 A.等边三角形只有一条对称轴 B.线段AB 只有一条对称轴C.等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在的直线D.等腰三角形的对称轴是底边上的高所在的直线 2.下列命题不正确的是 A.等腰三角形的底角不能是钝角 B.等腰三角形不能是直角三角形C.若一个三角形有三条对称轴，那么它一定是等边三角形D.两个全等的且有一个锐角为30°的直角三角形可以拼成一个等边三角形3.如图，在Rt ABC ∆中，（∠B = 30°），AC = 6cm ，则AB = ；若AB = 7，则AC = 。