第一章三角形的证明
北师大版八年级数学(下) 第一章 三角形的证明 第3节 等腰三角形的判定与反证法
图⑤中，∵AB∥DE，∴∠A＝∠D＝30°，∵∠BCD＝∠A+∠B＝60°，
∴∠B＝60°﹣∠A＝30°，∴∠B＝∠A，∴△ABC 是等腰三角形；
能判定△ABC 是等腰三角形的有 4 个，故选：C．
例 2：如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝108°，BD＝AD＝AE，则图中等腰三角形的个数为（ ）
CBE 是等腰三角形．∴图中的等腰三角形有 8 个．故选：D．
B．6
C．7
D．8
例 3：已知：如图△ABC 中，∠B＝50°，∠C＝90°，在射线 BA 上找一点 D，使△ACD 为等腰三角
形，则∠ACD 的度数为
．
解：如图，有三种情形：
①当 AC＝AD 时，∠ACD＝70°． ②当 CD′＝AD′时，∠ACD′＝40°． ③当 AC＝AD″时，∠ACD″＝20°， 故答案为 70°或 40°或 20°
C．50°、60°
D．100°、30°
解：A、∵三角形中已知两个内角为30°、60°，∴第三个内角为 180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴这个三角形是直角三角形，不是等腰三角形，故选项 A 不符合题意；
B、∵三角形中已知两个内角为 40°、70°，∴第三个内角为 180°﹣40°﹣70°＝70°，
∴这个三角形由两个内角相等，∴这个三角形是等腰三角形，故选项 B 符合题意；
反证法
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后 由此推导出与定义、基本事实、已有定理或已知 条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立．这种证明方法称为反证法．
用反证法证题的一般步骤：
1. 假设: 先假设命题的结论不成立; 2. 归谬: 从这个假设出发进行推理,得出与定义、基本事实、 已有定理或已知条件相矛盾的结果；
八下数学第一章三角形的证明讲义
第一章三角形的证明1.1等腰三角形（一）一、问题引入：列举我们已知道的公理：.（1）公理：同位角，两直线平行.（2）公理：两直线，同位角.（3）公理：的两个三角形全等.（4）公理：的两个三角形全等.（5）公理：的两个三角形全等.（6）公理：全等三角形的对应边，对应角. 注：等式的有关性质和不等式的有关性质都可以看作公理.二、基础训练：1. 利用已有的公理和定理证明：“两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.”2. 议一议：（1）还记得我们探索过的等腰三角形的性质吗？（2)等边对等角三线合一三、例题展示：在△ABC中，AD是角平分线,DE⊥AB, DF⊥AC，试猜想EF与AD之间有什么关系?并证明你的猜想.四、课堂检测：1. 如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A.∠A=∠B ; B . BF=CE; C. AE∥DF; D. AE=DF.2. 如果等腰三角形的一个内角等于500则其余两角的度数为.3.（1）如果等腰三角形的一条边长为3，另一边长为5，则它的周长为.（2）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为.4. △ABC中，AB=AC, 且BD=BC=AD，求∠A的度数.5. 如图，已知D.E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:BD=CE中考真题：已知：如图，△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE, DG⊥CE,G 是垂足，求证：（1）G是CE中点.（2）∠B=2∠BCE.1.1 等腰三角形（二）一、问题引入：1. 在等腰三角形中作出一些相等的线段（角平分线.中线.高），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的结论吗？2.等腰三角形的两底的角平分线相等吗？怎样证明.已知：求证：证明：得出定理： .问题：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？高呢？还有其他的结论吗？请你证明二、基础训练；1. 请同学们阅读P6的问题（1）.（2），由此得到什么结论？2. 我们知道等腰三角形的两个底角相等，反过来此命题成立吗？并与同伴交流，由此得到什么结论？得出定理： ；简称： .三、例题展示：如图，△ABC 中，D.E 分别是AC.AB 上的点，BD 与CE相交于点O ，给出下列四个条件①∠EBO=∠DCO ；②∠BEO=∠CDO ；③BE=CD;④OB=OC,上述四个条件中，哪两个条件可判定是等腰三角形，请你写出一种情形，并加以证明.四、课堂检测：1. 已知：如图，在直角△ABC 中，角C 为45度，AD 垂直于BC,DE 垂直于AB,则图中等腰直角三角形共有（ ）A.3个B.4个C.5个D.6个2. 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC, ∠BAC=1200, D.E 是BC上两点，且第1题 第2题 第3题 第4题AD=BD，AE=CE，猜想△ADE是三角形.3. 如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交与点O，若AB=12，AC=18，BC=24，则△ABC的周长为（）A.30B.36C.39D.424. 在△ABC中，AB=AC, ∠A=360,BD.CE是三角形的平分线且交于点O，则图中共有个等腰三角形.5. 如图：下午14：00时，一条船从处出发，以28海里/小时的速度，向正北航行，16：00时，轮船到达B处,从A处测得灯塔C在北偏西280,从B处测得灯塔C在北偏西560,求B处到灯塔C的距离.1.1 等腰三角形（三）一、问题引入：1. 已知△ABC中，AB=AC=5cm，请增加一个条件使它变为等边三角形.2. 有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？试着证明你的结论.得出定理：有一个角是的三角形是等边三角形.二、基础训练：做一做：用两个含300角的三角板，你能拼出一个怎样的三角形？能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.根据操作，思考：在直角三角形中，300角所对直角边与斜边有什么关系？并试着证明.得出定理：在直角三角形中，300角所对直角边等于斜边的.三、例题展示：1. 等腰三角形的底角为150，腰长为2a，求腰上的高.2. 判断：（1）在直角三角形中，直角边是斜边的一半.（）（2）有一个角是600的三角形是等边三角形.（）3. 证明三个角都相等的三角形是等边三角形.四、课堂检测1. 等腰三角形的底边等于150，腰长为20，则这个三角形腰上的高是.2. 在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠A =300，CD⊥AB，BD=1，则AB= .3. 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=1200,D是BC的中点，DE⊥AC,则AE:EC= .4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=900,沿B点的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB的中点D处，则∠A= .5. 在Rt△ABC中，∠C=300，AD⊥BC，你能看出BD与BC的大小关系吗？中考真题：已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，DE⊥AC，点D是AB的中点，∠A=300，DE=1.8，求AB的长.1.3 线段的垂直平分线（一）一、问题引入：“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”你能证明这一结论吗？二、基础训练：议一议：写出“线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等”这一命题的逆命题？它是真命题吗？如果是，请证明，并与同伴交流.三、例题展示：例：如图在△ABC 中，AD 是∠BAC 平分线,AD 的垂直平分线分别交AB.BC 延长线于F.E求证：（1）∠EAD=∠EDA ;（2）DF ∥AC（3）∠EAC=∠B四、课堂检测:1. 已知：线段AB 及一点P ，PA=PB ，则点P 在 上.2. 已知：如图，∠BAC=1200,AB=AC,AC 的垂直平分线交BC 于D 则∠ADC= .3. △ABC 中，∠A=500，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D 则∠DBC 的度数 .4. △ABC 中，DE.FG 分别是边AB.AC 垂直平分线，则∠B ∠BAE ，∠C ∠GAF ，若∠BAC=1260，则∠EAG= .5. 如图，△ABC 中，AB=AC=17，BC=16，DE 垂直平分AB ，则△BCD 的周长是 .6. 有特大城市A 及两个小城市B.C ，这三个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到B.C 两城市的距离相等，且使A 市到厂的管线最短，试确定污水处理厂的位置.第1题 第4题 第5题中考真题：已知：如图，DE是△ABC的AB边的垂直平分线，分别交AB.BC 于D.E，AE平分∠BAC，若∠B=300，求∠C1.3 线段的垂直平分线（二）一、问题引入：1. 等腰三角形的顶点一定在上.2. 在△ABC中，AB.AC的垂直平分线相交于点P，则PA.PB.PC的大小关系是.3. 在△ABC中，AB=AC，∠B=580，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC= .4. 已知线段AB，请你用尺规作出它的垂直平分线.A B二、基础训练：1. 三角形的三边的垂直平分线是否相交于一点，这一点到三个顶点的距离是否相等？上面的问题如何证明？定理：三角形三条边的垂直平分线相交于，这一点到三个顶点的距离.三、例题展示：（1）如图，在△ABC中，∠A=400,O是AB.AC的垂直平分线的交点，求∠OCB 的度数；（2）如果将（1）中的的∠A度数改为700，其余的条件不变，再求∠OCB的度数；（3）如果将（1）中的的∠A度数改为锐角a，其余的条件不变，再求∠OCB 的度数.你发现了什么规律？请证明；（4）如果将（1）中的的∠A度数改为钝角a，其余的条件不变，是否还存在同样的规律？你又发现了什么？四、课堂检测：1. 在三角形内部，有一点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P一定是（）A. 三角形三条角平分线的交点；B. 三角形三条垂直平分线的交点；C. 三角形三条中线的交点；D. 三角形三条高的交点.2. 已知△ABC的三边的垂直平分线交点在△ABC的边上，则△ABC的形状为（）A. 锐角三角形；B. 直角三角形；C. 钝角三角形；D. 不能确定3. 等腰Rt△ABC中，AB=AC，BC=a,其斜边上的中线与一腰的垂直平分线交于点O，则点O到三角形三个顶点的距离是.4. 已知线段a.b，求作以a为底，以b为高的等腰三角形.a b中考真题：已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=900, ∠BAC=600，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE，试探究图中相等的线段.1.4角平分线（一）一、提出问题：1. 角平分线的定义：______________________________________2. 问题1：还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？你能证明它吗？定理归纳：问题2：你能写出这个定理的逆命题？它是真命题吗？如果是，你能证明它？定理归纳：二、基础训练：用尺规怎样做已知角的平分线呢？并对自己的做法加以证明.三、例题解释：例：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠ABC=90°，EF⊥AC，交BC于点D，垂足为F，DE=DC，求证：BE=CF.四、课堂检测1. OM平分∠BOA，P是OM上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E，下列结论中错误的是（）A：PD=PE B：OD=OE C：∠DPO=∠EPO D：PD=OD2、如图所示，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，则下列结论不正确的是（）A:△AEG≌△AFG B:△AED≌△AFD C:△DEG≌△DFG D:△BDE≌△CDFFEDC BA3. △ABC中, ∠ABC.∠ACB的平分线交于点O，连结AO，若∠OBC=25°，∠OCB=30°，则∠OAC=_____________°4. 与相交的两直线距离相等的点在（）A：一条直线上B：一条射线上C：两条互相垂直的直线上D：以上都不对5. ∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为2CM，则M到OB的距离为_________.6. 在RT△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，若BC=16，BD=10，则D到AB的距离是________.7. 如图在两条交叉的公路L1与L2之间有两家工厂A.B，现在要修一个货物中转站，使它到两条公路的距离相等，以及到两个工厂距离相等，你能帮助确定中转站的地址吗？请试试.中考真题：如图，梯形ABCD，ABCD，AD=DC=CB，AD.BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）（2）选择（1）中你所写的一组相等的线段，说说它们相等的理由.1.4 角平分线（二）基础训练：1. 如图：设△ABC的角平分线交于P，求证：P点在∠BAC的平分线上定理：三角形的三条角平分线交于点，并且这一点到三条边的距离.引申：三角形的三条角平分线交于一点，若设这一点到其中一边的距离为m，三边长分别为a.b.c，则三角形的面积S= .2. 已知：△ABC中，BP.CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且交于P,若P到边AB的距离为3cm，△ABC的周长为18cm，则△ABC的面积为.3. 到三角形三边距离相等的点是（）A.三条中线的交点；B.三条高的交点；C.三条角平分线的交点D.不能确定三、例题展示：例：△ABC中，AC=BC, ∠C=900,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E. （1）已知：CD=4cm,求AC长（2）求证：AB=AC+CD四、课堂检测：1. 到一个角的两边距离相等的点在.2. △ABC中，∠C=900,∠A的平分线交BC于D，BC=21cm，BD:DC=4:3，则D 到AB的距离为.3. Rt△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，AB=8cm，则DE+DC= cm.4. △ABC中，∠ABC和∠BCA的平分线交于O，则∠BAO和∠CAO的大小关系为.5.Rt△ABC中，∠C=900，BD平分∠ABC，CD=n，AB=m，则△ABD的面积是.6. 已知：OP 是∠MON 内的一条射线，AC ⊥OM ，AD ⊥ON ，BE ⊥OM ，BF ⊥ON ，垂足分别为C.D.E.F ，且AC=AD 求证：BE=BF中考真题：三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一果品批发市场到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.第一章 单 元 检 测一、填空题（每小题3分）：1．如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为300的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为 米.2. 如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是 三角形.3. 如图，已知AC=DB ，要使△ABC ≌△DCB ，只需增加的一个条件是 或 .4. 命题：“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ___________________________________ ___.这条逆命题是______命题（填“真”或“假”）5. 如图，一个顶角为40º的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则=∠+∠21_________ ；6. 在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ，则∠BAC ＝ ，∠DAC ＝ ，BD ＝ cm ；第18题图C B A 第1题 第5题7. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC.∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC = 10，则△ODE 的周长为 .8. 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠A=40°，AC 的垂直平分线MN 与AB 相交于D 点，则∠BCD 的度数是 .9. △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.若DC=7，则D 到AB 的距离是 .10. 如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC ∥OA ，PD ⊥OA ，若PC=4，则PD的长为 .二、选择题（每小题3分）1.等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（ ）A.90°B.60°C.120°D.150°2.下列两个三角形中，一定全等的是 （ ）A.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形D.有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形3. 到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的（ ）A.三边中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边上高的交点D.三边垂直平分线的交点4. △ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D 若BC=a ，则AD 等于（ ） A.21a B.23a C.23a D.3a 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为（ ）A.30°B.36°C.45°D.70°三、解答题（每题12分）1. 如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°.求：（1）∠ABC 的度数（2）AD 和CD 的长.2.已知：如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°.(1)用直尺和圆规作AB 的垂直平分线，分别交BC. AB 于点M.N(保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM 与BM 之间有何数量关系，并证明你的猜想.四、证明题（每题10分）1.已知：如图，CE ⊥AB ，BF ⊥AC ，CE 与BF 相交于D ，且BD=CD.求证：D 在∠BAC 的平分线上.2. 已知：如图，在等边三角形ABC 的AC 边上取中点D ，BC 的延长线上取一点E ，使 CE ＝ CD ．求证：BD ＝ DE ．五、（本题11分）阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求证：AB=CD分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要证明的两条线段，它们不在同一个三角形中，且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此，要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法提示，请任意选择其中一种，对原题进行证明．。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2.1直角三角形(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了直角三角形的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对直角三角形的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
-直角三角形的斜边上的中线性质及其在解决问题中的应用。
-实际问题中直角三角形的识别和运用勾股定理解决方法。
举例：讲解直角三角形的判定方法时，可以列举一些常见的直角三角形图形，如等腰直角三角形、含30°或60°角的直角三角形等，强调如何快速识别直角三角形。
2.教学难点
-难点内容：勾股定理的理解和应用，直角三角形的斜边上的高的计算。
-难点解析：
-勾股定理的理解：学生需要理解定理背后的几何关系和代数表达，以及如何在实际问题中灵活运用。
-直角三角形的斜边上的高的计算：学生需要掌握如何利用直角三角形的性质和勾股定理来求解斜边上的高。
-问题解决中的难点：将实际问题抽象为直角三角形问题，以及如何选择合适的数学方法解决问题。
举例：
-勾股定理的应用难点：可以设计一些复杂的实际问题，如测量距离、计算斜边长度等，指导学生如何将问题转化为直角三角形的边长计算。
同学们，今天我们将要学习的是《直角三角形》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过直角三角形的情况？”比如，我们常见的红领巾，它的形状就是一个直角三角形。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索直角三角形的奥秘。
在实践活动中，学生们通过测量和计算，亲自验证了勾股定理，这样的教学方式有助于加深学生对定理的理解。但同时，我也注意到操作过程中部分学生存在粗心大意的问题，导致计算结果出现偏差。在以后的教学中，我要加强学生对细节的关注，培养他们的耐心和细致。
新北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明 1.2.1 直角三角形
巩固练习： 说出下列命题的逆命题，并判断每对 命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0,b=0.
提问：一个命题是真命题，它的逆命题一 定是真命题吗？
定理与逆定理
一个命题是真命题,它逆命题却不一定是 真命题.
如果一个定理的逆命题经过证明是真命 题,那么它是一个定理,这两个定理称为互逆 定理,其中一个定理称另一个定理的逆定理. 你还能举出一些例子吗?
想一想:互逆命题与互逆定理有何关系?
互逆定理：如果一个定理的逆命题经 过证明是真命题，那么它也是个定理，这 两个定理称为互逆定理，其中一个定理称 为另一个定理的逆定理.
判断正误： （1）互逆命题一定是互逆定理； （2）互逆定理一定是互逆命题. 我们已经学习了一些互逆定理，如勾 股定理及其逆定理、“两直线平行，内错 角相等与“内错角相等，两直线平行”等 . 请你再举出一些互逆定理的例子.
2 、 在 △ ABC 中 ， 已 知 AB=13cm,BC=10cm,BC 边上的中线 AD=12cm.求证：AB=AC.
知识拓展
已知：△ABC中，∠ C=600，AB=14，AC=10， AD是BC边上的高，求BC的长 A 解后反思： 在直角三角形中，利用勾股定理 计算线段的长，是勾股定理的一 C 个重要应用，在有直角三角形时， 可直接应用，在没有直角三角形 时，常作垂线构造直角三角形， 为能应用勾股定理创造条件。
D
B
独立作业
3
3.如图,正四棱柱的底面边长为 5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正 四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面 到点C1处吃食物,那么它需要爬行的 D C 最短路径是多少？ C
1 1
习题1.4
三角形的证明
第一章三角形的证明第一讲：1.等腰三角形(1)——等腰三角形的性质(知识回顾)知识点一三角形全等的证明方法：1、 2、 3、 4、例1如图所示,分别过点C,B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E,F.求证:BF=CE1.如图,AC与BD交于点O,AB∥CD,若用“ASA”或“AAS”判定△AOB≌△COD,还需要添加的一个条件是.2、两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O 为边AC和DF的交点.求证:OF=OC.知识点二等腰三角形的性质定理定理:等腰三角形的两底角相等.这个定理简称为等边对等角.例2如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数3、若等腰三角形底边上的高与底边的比为1∶2,则它的顶角等于（）A.90°B.60°C.120°D.150°4.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数是( )A.50°B.80C.50°或80°D.40°或65°知识点三等腰三角形性质定理的推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.这条性质通常称为等腰三角形的“三线合一”.是证明那三条线证明: 等腰三角形两底角的平分线相等，高线相等已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．拓展点一等腰三角形特殊性质的证明例1求证:等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,CE,BD交于点O,求证:OB=OC.知识点四等边三角形的性质定理定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.例4 如图,点P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.拓展点二等边三角形与三角形全等的综合题5、如图,已知△ABC和△ADE都是等边三角形,连接CD,BE.求证:CD=BE习题1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）A、各有一个角是550的两个等腰三角形；B、两个等边三角形；C、腰长相等的两个等腰直角三角形；D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A、∠A=∠B ;B、BF=CE;C、AE∥DF;D、AE=DF.3、如果等腰三角形的一个内角等于50°，则其余两角的度数为。
北师大版数学八年级下册：第一章《三角形的证明》含详细答案
北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明一．选择题（共12小题）1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A．3B．4C．6D．52．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．363．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或104．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．25．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.811．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到A．1B．2C．D．12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°二．填空题（共6小题）13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为_________．14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=_________．16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=_________．17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是_________．18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．三．解答题（共12小题）19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD 于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC 分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．28．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=30°，BD平分∠ABC交AC于点D，求点D到斜边AB的距离．29．如图，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=3，AC=4，AD是∠CAB的平分线，AD交BC于D，求BD的长．30．如图，四边形ABCD中，AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC于点E，求证：CD=CE．北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC 长是（）A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选：A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24 B．30 C．32 D．36根据等边对等角可得∠CBP=∠BCP，然后利用三角形的内角和等于180°列出方程求解即可．解答：解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP=CP，∴∠CBP=∠BCP，∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP=180°，即3∠ABP+60°+24°=180°，解得∠ABP=32°．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并列出关于∠ABP的方程是解题的关键．3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（）A．7或8 B．6或1O C．6或7 D．7或10考点：等腰三角形的性质；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根；解二元一次方程组；三角形三边关系．分析：先根据非负数的性质求出a，b的值，再分两种情况确定第三边的长，从而得出三角形的周长．解答：解：∵|2a﹣3b+5|+（2a+3b﹣13）2=0，∴，解得，当a为底时，三角形的三边长为2，3，3，则周长为8；当b为底时，三角形的三边长为2，2，3，则周长为7；综上所述此等腰三角形的周长为7或8．故选：A．点评：本题考查了非负数的性质、等腰三角形的性质以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（）A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选：B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC 的周长为（）A．18cm B．22cm C．24cm D．26cm考点：线段垂直平分线的性质．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，再求出AC的长，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，∵AE=4cm，∴AC=2AE=2×4=8cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=14+8=22cm．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，求出△ABD的周长=AB+BC是解题的关键．6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（）A．10cm B．8cm C．5cm D．2.5cm考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理．专题：探究型．分析：连接AD，先由三角形内角和定理求出∠BAC的度数，再由线段垂直平分线的性质可得出∠DAB的度数，根据线段垂直平分线的性质可求出AD的长及∠DAC的度数，最后由直角三角形的性质即可求出AC的长．解答：解：连接AD，∵DE是线段AB的垂直平分线，BD=15，∠B=15°，∴AD=BD=10，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=∠B+∠DAB=15°+15°=30°，∵∠C=90°，∴AC=AD=5cm．故选C．点评：本题考查的是直角三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分的性质是解答此题的关键．7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（）A．2B．C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．分析：由OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，易得△OCP是等腰三角形，∠COP=30°，又由含30°角的直角三角形的性质，即可求得PE的值，继而求得OP的长，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得DM的长．解答：解：∵OP平分∠AOB，∠AOB=60°，∴∠AOP=∠COP=30°，∵CP∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠COP=∠CPO，∴OC=CP=2，∵∠PCE=∠AOB=60°，PE⊥OB，∴∠CPE=30°，∴CE=CP=1，∴PE==，∴OP=2PE=2，∵PD⊥OA，点M是OP的中点，∴DM=OP=．故选：C．点评：此题考查了等腰三角形的性质与判定、含30°直角三角形的性质以及直角三角形斜边的中线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（）A．28°B．25°C．22.5°D．20°考点：线段垂直平分线的性质．专题：计算题．分析：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．根据线段的垂直平分线的性质，得AE=CE，再根据等边对等角，得∠C=∠CAE=x，然后根据三角形的内角和定理列方程求解．解答：解：设∠CAE=x，则∠EAB=3x．∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，∴AE=CE．∴∠C=∠CAE=x．根据三角形的内角和定理，得∠C+∠BAC=180°﹣∠B，即x+4x=140°，x=28°．则∠C=28°．故选A．点评：此题综合运用了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理．9．（2013•澄江县一模）若一个等腰三角形至少有一个内角是88°，则它的顶角是（）A．88°或2°B．4°或86°C．88°或4°D．4°或46°考点：等腰三角形的性质．分析：分88°内角是顶角和底角两种情况讨论求解．解答：解：88°是顶角时，等腰三角形的顶角为88°，88°是底角时，顶角为180°﹣2×88°=4°，综上所述，它的顶角是88°或4°．故选C．点评：本题考查了等腰三角形的两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论．10．（2012•泰安）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A．3B．3.5 C．2.5 D．2.8考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质．专题：计算题．分析：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AE=CE，设CE=x，表示出ED的长度，然后在Rt△CDE中，利用勾股定理列式计算即可得解．解答：解：∵EO是AC的垂直平分线，∴AE=CE，设CE=x，则ED=AD﹣AE=4﹣x，在Rt△CDE中，CE2=CD2+ED2，即x2=22+（4﹣x）2，解得x=2.5，即CE的长为2.5．故选：C．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，勾股定理的应用，把相应的边转化为同一个直角三角形的边是解题的关键．11．（2011•成华区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，CD=4，BD平分∠ABC，交AC于点D，则点D到BC的距离是（）A．1B．2C．D．考点：角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC=60°，再根据角平分线的定义求出∠ABD=∠DBC=30°，从而得到∠DBC=∠ACB，然后利用等角对等边的性质求出BD的长度，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AD，过点D作DE⊥BC于点E，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可．解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=30°，∴∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠DBC=∠ACB，∴BD=CD=4，在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，∴AD=BD=×4=2，过点D作DE⊥BC于点E，则DE=AD=2．故选B．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及等角对等边的性质，小综合题，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．12．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．二．填空题（共6小题）13．（2014•长春）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD=3，则△ABD的面积为15．考点：角平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E．根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解．解答：解：作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3．∴△ABD的面积为×3×10=15．故答案是：15．点评：此题主要考查角平分线的性质；熟练运用角平分线的性质定理，是很重要的，作出并求出三角形AB边上的高时解答本题的关键．14．（2013•泰安）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是2．考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．分析：根据同角的余角相等、等腰△ABE的性质推知∠DBE=30°，则在直角△DBE中由“30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度．解答：解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°，∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）．又∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°，∴直角△DBE中，BE=2DE=2．故答案是：2．点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形．解题的难点是推知∠EBA=30°．15．（2013•沈阳模拟）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若∠BAC=70°，则∠CAE=55°．考点：角平分线的性质．分析：首先过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，由△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，易证得AE是∠CAH的平分线，继而求得答案．解答：解：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=∠CAH=55°．故答案为：55°．点评：此题考查了角平分线的性质与判定．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．16．（2012•通辽）如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=4：5：6．考点：角平分线的性质．专题：压轴题．分析：首先过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解答：解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB•OD）：（BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案为：4：5：6．点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．17．（2012•广东模拟）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是15°．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE垂直平分AC，∠A=50°，根据线段垂直平分线的性质，易求得∠ACD的度数，又由AB=AC，可求得∠ACB的度数，继而可求得∠DCB的度数．解答：解：∵DE垂直平分AC，∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=50°，∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠B==65°，∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=15°．故答案为：15°．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质与等腰三角形的性质．此题比较简单，注意数形结合思想的应用．18．（2009•临沂）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=72度．考点：线段垂直平分线的性质；菱形的性质．专题：计算题．分析：欲求∠CPB，可根据菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法．解答：解：先连接AP，由四边形ABCD是菱形，∠ADC=72°，可得∠BAD=180°﹣72°=108°，根据菱形对角线平分对角可得：∠ADB=∠ADC=×72°=36°，∠ABD=∠ADB=36度．EP是AD的垂直平分线，由垂直平分线的对称性可得∠DAP=∠ADB=36°，∴∠PAB=∠DAB﹣∠DAP=108°﹣36°=72度．在△BAP中，∠APB=180°﹣∠BAP﹣∠ABP=180°﹣72°﹣36°=72度．由菱形对角线的对称性可得∠CPB=∠APB=72度．点评：本题开放性较强，解法有多种，可以从菱形、线段垂直平分线的性质、对称等方面去寻求解答方法，在这些方法中，最容易理解和表达的应为对称法，这也应该是本题考查的目的．灵活应用菱形、垂直平分线的对称性，可使解题过程更为简便快捷．三．解答题（共12小题）19．（2014•翔安区质检）如图，已知DE是AC的垂直平分线，AB=10cm，BC=11cm，求△ABD的周长．考点：线段垂直平分线的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC，进而可得出结论．解答：解：∵DE垂直平分，∴AD=CD，∴BD+AD=BD+CD=BC=11cm，又∵AB=10cm，∴△ABD的周长=AB+BC=10+11=21（cm）．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．20．（2014•长春模拟）如图，D为△ABC边BC延长线上一点，且CD=CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB交AB于点F．求证：CE⊥CF．考点：等腰三角形的性质．专题：证明题．分析：根据三线合一定理证明CF平分∠ACB，然后根据CF平分∠ACB，根据邻补角的定义即可证得．解答：证明：∵CD=CA，E是AD的中点，∴∠ACE=∠DCE．∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠BCF．∵∠ACE+∠DCE+∠ACF+∠BCF=180°，∴∠ACE+∠ACF=90°．即∠ECF=90°．∴CE⊥CF．点评：本题考查了等腰三角形的性质，顶角的平分线、底边上的中线和高线、三线合一．21．（2014•顺义区一模）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠C=60°，BC=4，CD=3，求AB的长．考点：含30度角的直角三角形；相似三角形的判定与性质．专题：计算题．分析：延长DA，CB，交于点E，可得出三角形ABE与三角形CDE相似，由相似得比例，设AB=x，利用30角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2x，利用勾股定理表示出BE，由BC+BE表示出CE，在直角三角形DCE中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到2DC=CE，即可求出AB的长．解答：解：延长DA，CB，交于点E，∵∠E=∠E，∠ANE=∠D=90°，∴△ABE∽△CDE，∴=，在Rt△ABE中，∠E=30°，设AB=x，则有AE=2x，根据勾股定理得：BE==x，∴CE=BC+BE=4+x，在Rt△DCE中，∠E=30°，∴CD=CE，即（4+x）=3，解得：x=，则AB=．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．22．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理．分析：（1）根据角平分线性质得出CD=DE，代入求出即可；（2）利用勾股定理求出AB的长，然后计算△ADB的面积．解答：解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，∵CD=3，∴DE=3；（2）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB===10，∴△ADB的面积为S△ADB=AB•DE=×10×3=15．点评：本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．23．（2012•重庆模拟）如图，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB=∠ADB=90°，E为AB的中点，求证：CE=DE．考点：直角三角形斜边上的中线．专题：证明题．分析：由于AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，因此可以AB为媒介，再根据斜边上的中线等于斜边的一半来证CE=ED．解答：证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE=AB．在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE=AB．∴CE=DE．点评：本题考查的是直角三角形的性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．24．（2010•攀枝花）如图所示，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD 于点F．点E是AB的中点，连接EF．（1）求证：EF∥BC；（2）若△ABD的面积是6，求四边形BDFE的面积．考点：等腰三角形的性质；三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）在等腰△ACD中，CF是顶角∠ACD的平分线，根据等腰三角形三线合一的性质知F是底边AD的中点，由此可证得EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥BC的结论；（2）易证得△AEF∽△ABD，根据两个相似三角形的面积比（即相似比的平方），可求出△ABD的面积，而四边形BDFE的面积为△ABD和△AEF的面积差，由此得解．解答：（1）证明：∵在△ACD中，DC=AC，CF平分∠ACD；∴AF=FD，即F是AD的中点；又∵E是AB的中点，∴EF是△ABD的中位线；∴EF∥BC；（2）解：由（1）易证得：△AEF∽△ABD；∴S△AEF：S△ABD=（AE：AB）2=1：4，∴S△ABD=4S△AEF=6，∴S△AEF=1.5．∴S四边形BDFE=S△ABD﹣S△AEF=6﹣1.5=4.5．点评：此题主要考查的是等腰三角形的性质、三角形中位线定理及相似三角形的判定和性质．25．（2009•大连二模）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=BC，CE⊥BD于点E．求证：AD=BE．考点：直角三角形全等的判定；全等三角形的性质．专题：证明题．分析：此题根据直角梯形的性质和CE⊥BD可以得到全等条件，证明△ABD≌△BCE，然后利用全等三角形的性质证明题目的结论．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC．∵CE⊥BD，∴∠BEC=90°．∵∠A=90°，∴∠A=∠BEC．∵BD=BC，∴△ABD≌△BCE．∴AD=BE．点评：本题考查了直角三角形全等的判定及性质；此题把全等三角形放在梯形的背景之下，利用全等三角形的性质与判定解决题目问题．26．（2007•宜宾）已知；如图，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90度．F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE、EF和CF．（1）求证：AE=CF；（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数．考点：等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：计算题；证明题．分析：根据已知利用SAS判定△ABE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等就可得到AE=CF；根据已知利用角之间的关系可求得∠EFC的度数．解答：（1）证明：在△ABE和△CBF中，∵，∴△ABE≌△CBF（SAS）．∴AE=CF．（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°，∴∠CAB=∠ACB=（180°﹣90°）=45°，∠EAB=45°﹣30°=15°．∵△ABE≌△CBF，∴∠EAB=∠FCB=15°．∵BE=BF，∠EBF=90°，∴∠BFE=∠FEB=45°．∴∠EFC=180°﹣90°﹣15°﹣45°=30°．点评：此题主要考查了全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质等知识点的掌握情况；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．27．（2006•韶关）如图，在△ABC中，AB≠AC，∠BAC的外角平分线交直线BC于D，过D作DE⊥AB，DF⊥AC 分别交直线AB，AC于E，F，连接EF．（1）求证：EF⊥AD；（2）若DE∥AC，且DE=1，求AD的长．考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据AD是∠EAF的平分线，那么DE=DF，如果证得EA=FA，那么我们就能得出AD是EF的垂直平分线，那么就证得EF⊥AD了．因此证明EA=FA是问题的关键，那么就要先证得三角形AED和AFD全等．这两个三角形中已知的条件有∠EAD=∠FAD，一条公共边，一组直角，因此两三角形全等，那么就可以得出EA=AF了．（2）要求AD的长，在直角三角形AED中，有了DE的值，如果知道了∠ADE或∠EAD的度数，那么就能求出AD了．如果DE∥AC，那么∠EAC=90°，∠EAD=45°，那么在直角三角形AED中就能求出AD的长了．解答：（1）证明：∵AD是∠EAF的平分线，∴∠EAD=∠DAF．∵DE⊥AE，DF⊥AF，∴∠DEA=∠DFA=90°又AD=AD，∴△DEA≌△DFA．∴EA=FA∵ED=FD，∴AD是EF的垂直平分线．即AD⊥EF．（2）解：∵DE∥AC，∴∠DEA=∠FAE=90°．又∠DFA=90°，∴四边形EAFD是矩形．由（1）得EA=FA，∴四边形EAFD是正方形．∵DE=1，∴AD=．点评：本题考查了全等三角形的判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识点．本题中利用全等三角形得出线段相等是解题的关键．。
19-20学年八年级数学下册第一章三角形的证明1.3-4教学课件(3课时)
几何语言描述：
如图, ∵PA=PB(已知),
A
B
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上). 提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线
经过某一点)的根据之一.
例1 已知：如图 ，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一 条线段两个端点距离相等的点, 在这条线 段的垂直平分线上）， 同理，点O在线段BC的垂直平分线上, ∴直线 AO 是线段BC的垂直平分线（两 点确定一条直线）．
1.如图,已知AB是线段CD的 垂直平分线,E是AB上的一 点,如果EC=7 cm,那么ED=
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为 AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请 B 说明思路.
变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF 改为另一个适当条件，使△ABC与 △DEF仍能全等，并给出证明.
E
A
PC D
QF
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论 吗?
在△ABC中，AB= 2AC 4 2 . ∵AC=AE,∴BE= 4 2 4 .
∵ CD=DE,BE=DE,
∴CD= 4 2 4 (cm).
1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分 线相交于一点,并且这一点到__三__条__边__的距离相等. 2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只 需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角 平分线的交点. 3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线的交点与三 个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用小 三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线交 点到三边距离的常用方法.
北师大版八年级数学下册单元测试《第1章 三角形的证明》(解析版)
《第1章三角形的证明》一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=24．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．456．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．97．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．《第1章三角形的证明》参考答案与试题解析一、选择题1．如果三角形的三个内角度数比为1：1：2，则这个三角形为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．非等腰直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形内角和定理．【分析】由三角形的三个内角度数比为1：1：2，可设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，然后由三角形的内角和等于180°，即可得方程：x+x+2x=180°，解此方程即可求得答案．【解答】解：∵三角形的三个内角度数比为1：1：2，∴设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，∴x+x+2x=180°，解得：x=45°，∴三角形的三个内角度数分别为：45°，45°，90°．∴这个三角形为等腰直角三角形．故选：D．【点评】此题考查了三角形的内角和定理．此题比较简单，解题的关键是根据三角形的三个内角度数比为1：1：2，设三角形的三个内角分别为：x，x，2x，利用方程思想求解．2．下面命题不正确的是（）A．两个内角分别是50°和65°的三角形是等腰三角形B．两个外角相等的三角形是等腰三角形C．一个外角的平分线平行于一边的三角形是等腰三角形D．两个内角不相等的三角形不是等腰三角形【考点】等腰三角形的判定．【分析】认真阅读各选项，结合各选项提供的已知条件及等腰三角形的定义可得．【解答】解：A、第三个角180°﹣50°﹣65°=65°，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；B、外角相等，则对应的内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；C、利用两直线平行，内错角相等，同位相等，可知，另外的两内角也相等，有两等角的三角形是等腰三角形，正确；D、两个内角不相等的三角形可能是等腰三角形，错误．故选D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；找出各选项的正误是正确解答本题的关键．3．下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（）A．a=﹣2 B．a=﹣1 C．a=1 D．a=2【考点】反证法．【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．【解答】解：用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=﹣2，∵（﹣2）2＞1，但是a=﹣2＜1，∴A正确；故选：A．【点评】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．4．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°C．有一个内角大于60°D．每个内角都大于60°【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，则a+b+c＜60°+60°+60°，即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c=180°矛盾．所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．故选B．【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．5．如图，在△ABC中，AB=AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连接ED并延长到点F，使DF=DE，连接FC，若∠B=70°，则∠F 的度数是（）A．40 B．70 C．50 D．45【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．【分析】由题意可得EB=ED，根据等边对等角的性质，易得∠B=∠EDB=∠ACB，即可得EF∥AC，又由AE=BE，根据平行线等分线段成比例定理，可得BD=CD，然后利用SAS即可证得△EBD≌△CFD，即可得∠F=∠BED．【解答】解：∵以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，∴EB=ED，∴∠EDB=∠B=70°，∴∠BED=180°﹣∠B=∠BDE=40°，∵AB=AC，∴∠ACB=∠B，∴∠EDB=∠ACB，∴EF∥AC，∵E是AB的中点，即BE=AE，∴BD=CD，在△EBD和△FCD中，，∴△EBD≌△FCD（SAS），∴∠F=∠BED=40°．故选A．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意理解题意．6．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】等腰三角形的判定．【专题】分类讨论．【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰△ABC底边；②AB为等腰△ABC其中的一条腰．【解答】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．7．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里B．60海里C．70海里D．80海里【考点】等腰三角形的判定与性质；方向角；平行线的性质．【专题】应用题．【分析】根据方向角的定义即可求得∠M=70°，∠N=40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．【解答】解：MN=2×40=80（海里），∵∠M=70°，∠N=40°，∴∠NPM=180°﹣∠M﹣∠N=180°﹣70°﹣40°=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=80（海里）．故选：D．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．二、填空题8．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是6．【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】由在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，易求得各角的度数，继而求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，∴∠C=∠B=36°，∴∠BAC=108°，∵∠DAE=∠EAC=36°，∴∠BAD=36°，∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，∴△ABD，△ACE是等腰三角形，∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．故答案为：6．【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．9．如图，在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．若AB=5，AC=4，则△ADE的周长是9．【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】压轴题．【分析】由在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，易证得△DOB与△EOC是等腰三角形，即DO=DB，EO=EC，继而可得△ADE的周长等于AB+AC，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点O，∴∠DBO=∠CBO，∠ECO=∠BCO，∵DE∥BC，∴∠DOB=∠CBO，∠EOC=∠BCO，∴∠DBO=∠DOB，∠ECO=∠EOC，∴OD=BD，OE=CE，∵AB=5，AC=4，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE=AD+DO+EO+AE=AD+DB+EC+AE=AB+AC=5+4=9．故答案为：9．【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义以及平行线的性质．此题难度适中，注意证得△DOB与△EOC是等腰三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．10．如图，AD是△ABC的边BC上的高，由下列条件中的某一个就能推出△ABC 是等腰三角形的是②③④．①∠BAD=∠ACD；②∠BAD=∠CAD；③AB+BD=AC+CD；④AB﹣BD=AC﹣CD．【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】可根据等腰三角形三线合一的性质来判断①②是否正确；③④要通过作等腰三角形来判断其结论是否成立．【解答】解：应添加的条件是②③④；证明：②当∠BAD=∠CAD时，∵AD是∠BAC的平分线，且AD是BC边上的高；则△ABD≌△ACD，∴△BAC是等腰三角形；③延长DB至E，使BE=AB；延长DC至F，使CF=AC；连接AE、AF；∵AB+BD=CD+AC，∴DE=DF，又AD⊥BC；∴△AEF是等腰三角形；∴∠E=∠F；∵AB=BE，∴∠ABC=2∠E；同理，得∠ACB=2∠F；∴∠ABC=∠ACB，即AB=AC，△ABC是等腰三角形；④△ABC中，AD⊥BC，根据勾股定理，得：AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，即（AB+BD）（AB﹣BD）=（AC+CD）（AC﹣CD）；∵AB﹣BD=AC﹣CD①，∴AB+BD=AC+CD②；∴①+②得：，2AB=2AC；∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形故答案为：②③④．【点评】此题主要考查的是等腰三角形的判定和性质；本题的难点是结论③的证明，能够正确的构建出等腰三角形是解答③题的关键．三、解答题11．证明题：如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC．【考点】反证法．【专题】证明题．【分析】运用反证法进行求解：（1）假设结论PB≠PC不成立，PB=PC成立．（2）从假设出发推出与已知相矛盾．（3）得到假设不成立，则结论成立．【解答】证明：假设PB≠PC不成立，则PB=PC；∵在△ABP和△ACP中，，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB=∠APC；与∠APB≠∠APC相矛盾．因而PB=PC不成立，则PB≠PC．【点评】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）【考点】等腰三角形的判定与性质；作图—基本作图．【专题】作图题．【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM 于F．（2）求出∠BAD=∠CAD，求出∠FAD=×180°=90°，求出∠CDF=∠AFD=∠ADF，推出AD=AF，即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD，∵AF平分∠EAC，∴∠EAF=∠FAC，∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，即△ADF是直角三角形，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，∴∠EAF=∠B，∴AF∥BC，∴∠AFD=∠FDC，∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，∴AD=AF，即直角三角形ADF是等腰直角三角形．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等腰三角形的性质和判定的应用，主要培养学生的动手操作能力和推理能力，题目比较典型，难度也适中．13．已知∠AOB及其内部一点P，试讨论以下问题的解答：（1）如图①，若点P在∠AOB的平分线上，我们可以过P点作直线垂直于角平分线，分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以CD为底边的等腰三角形；若点P不在∠AOB的平分线上（如图②），你能过P点作直线，分别交OA、OB于点C、D，得到△OCD是等腰三角形，且CD是底边吗？请你在图②中画出图形，并简要说明画法．（2）若点P不在∠AOB的平分线上（如图③），我们可以过P点作PQ∥OA，并作∠QPR=∠AOB，直线PR分别交OA、OB于点C、D，则可以得到△OCD是以OC为底的等腰三角形．请你说明这样作的理由．（3）若点P不在∠AOB的平分线上，请你利用在（2）中学到的方法，在图④中过P点作直线分别交OA、OB于点C、D，使得△OCD是等腰三角形，且OD是底边．保留画图的痕迹，不用写出画法．【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质；等腰三角形的判定．【分析】（1）作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形；（2）根据PQ∥OA，得出∠QPR=∠OCD，进而得出OD=CD，即可得出答案；（3）作QP∥DO，再作∠ODR=∠O，即可得出答案．【解答】解：（1）能．画法：作∠AOB的平分线，过P点作角平分线的垂线，分别交角的两边OA、OB 于点C、D，则△OCD是以CD为底边的等腰三角形，如图①．（2）∵PQ∥OA，∴∠QPR=∠OCD，又∵∠QPR=∠AOB，∴∠OCD=∠AOB．∴OD=CD．即△OCD是以OC为底的等腰三角形．（3）如图②．【点评】此题主要考查了基本作图角平分线的性质等知识；作角平分线是正确解答本题的关键．。
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4．如图4－9，已知ΔABC≌ΔA'B'C'，AD、A'D'分别是ΔABC 和ΔA'B'C'的角平分线． （1）请证明AD＝A'D'； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗?
知识点二：等腰三角形的判定与性质
等腰三角形的判定： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 等腰三角形的性质： ①等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； ②等腰三角形“三线合一”的性质：顶角平分线、底边上的中线、
2．如图，在等边△ABC 中,∠BAD=20°,AE =AD，则∠CDE
的度数是（ ）
A.10 B．12.5° C．15° D．20°
3、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形， 求证：AE=CD.
4．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点， E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为_____．
5．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线 ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、 △A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则 △A6B6A7的边长为（ ） A．6 B．12 C．32 D．64
6．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两 点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF 的度数是（ ） A．60° B．110° C．120° D．135°
7.如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且 BM=CN，AM、BN交于点Q． （1）求证：∠BQM=ห้องสมุดไป่ตู้0°； （2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线
上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由．
8．如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在 BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE 交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G． （1）求证：BE=AD； （2）求∠AFG的度数； （3）求证：CG=CH．
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，
则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A．SSS
B．ASA
C．AAS
D．角平分线上的点到角两边距离相等
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等
B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等
知识点四：直角三角形
1、直角三角形的有关知识． ➢ 勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； ➢ 勾股定理的逆定理:如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角
形是直角三角形； ➢ 在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2、互逆命题、互逆定理 ➢ 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，
底边上的高互相重合； ③等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等．
知识点三：等边三角形的判定与性质
判定： 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是60°的三角形是等边三角形； 有两个角是60°的三角形是等边三角形． 性质： 等边三角形的三边相等，三个角都是60°．
的边相等 2．使两个直角三角形全等的条件是（ ） A．一个锐角对应相等 B．两个锐角对应相等 C．一条边对应相等 D．两条边对应相等
1．下列说法正确的是（ ） A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等 B．斜边相等的两个直角三角形全等 C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等 D．一边长相等的两等腰直角三角形全等 2．如上图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC上的点，若 △ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（ ） A．15° B．20° C．25° D．30° 3．如下图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角 形中，和△ABC全等的图形是 （ ） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙
三角形的证明
知识点一：全等三角形的判定与性质
1．判定和性质
判定 性质
一般三角形
直角三角形
边角边（SAS） 具备一般三角形的判定方法 角边角（ASA） 斜边和一条直角边对应相等（HL） 角角边（AAS） 边边边（SSS）
对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
2．证题的思路：
D．面积相等的两个三角形全等
3．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，
∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点， 且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.
1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形； （2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0，那么a=0，b=0； （4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对
4．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C， D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于 F． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）直线AE与BD互相垂直吗? 请证明你的结论．
1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠 纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的 长为_______.
2．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是 ∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（ ） A．6 B．4 C．3 D．2
3．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于3，则点A到边BC的距离为______.
那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. ➢ 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理
称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理.
1．下列说法中不正确的是（ ） A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等 B．有一边对应相等的两个等边三角形全等 C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等 D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等