以圆为背景的相似三角形的计算与证明

以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．图Z13－1 经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R.在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝AC2＋BC2＝15.∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°＝∠C ，∴OE ∥BC ， ∴△AEO ∽△ACB ，∴OE BC ＝AO AB ，∴R 9＝15－R 15，解得R ＝458， ∴AO ＝AB －OB ＝15－R ＝758.【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO 的长． 【中考变形】1．如图Z13－2，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连结OD .(1)求证：△ADO ∽△ACB ；(2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC . 证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∵∠A ＝∠A ， ∴△ADO ∽△ACB ；(2)由(1)知，△ADO ∽△ACB .∴AD AC ＝OD BC ，∴AD ·BC ＝AC ·OD ，∵OD ＝1，∴AC ＝AD ·BC .2．[2017·]如图Z13－3，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线；图Z13－2(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－3 中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BEBC＝BCBA，∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝6，即AE＝ 6.3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－4 中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，∴ADOC＝DECE＝DEDE＋CD＝23.4．[2016·]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝34，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．图Z13－5 中考变形4答图解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝34OA2＝34，∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33；(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，又∵∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．图Z13－6中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结AC ，BE ，作直线OC ， ∵BE ＝EF ， ∴∠F ＝∠EBF ， ∵∠AEB ＝∠EBF ＋∠F ， ∴∠F ＝ 12∠AEB ，∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AEC ＝∠BEC ，∵∠AEB ＝∠AEC ＋∠BEC ，∴∠AEC ＝12∠AEB ，∴∠AEC ＝∠F ，∴CE ∥BF ；(2)∵∠DAE ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△CBE ，∴AD CB ＝AE CE ，即AD CB ＝35，∵∠CBD ＝∠CEB ，∠BCD ＝∠ECB ， ∴△CBE ∽△CDB ，∴BD CB ＝BE CE ，即2CB ＝15，∴CB ＝25，∴AD ＝6，∴AB ＝8， ∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，设垂足为G ，则AG ＝BG ＝12AB ＝4，∴CG ＝CB 2－BG 2＝2， ∴S △BCD ＝12BD ·CG ＝12×2×2＝2.6．如图Z13－7，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连结AC ，BC ，PB ∶PC ＝1∶2. (1)求证：AC 平分∠BAD ；(2)探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由．图Z13－7 中考变形6答图解：(1)证明：如答图，连结OC.∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAD；(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△PAC，∴PCPA＝PBPC，∴PC2＝PB·PA，∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB，∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.7．[2016·枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结PA，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为22，求BC的长．图Z13－8 中考变形7答图解：(1)证明：如答图，连结OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为22，∴OB＝22，AC＝42，∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴BCBO＝ACPO，即BC22＝428，∴BC＝2.8．[2017·聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．图Z13－9 中考变形8答图解：(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，如答图，连结OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝52，∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDAC，即PB＝DC·BDAC＝52×528＝254.【中考预测】[2017·黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.图Z13－10 中考预测答图证明：(1)如答图，连结OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∴∠OCB＋∠DCF＝90°.∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；(2)∵∠B ＝∠AEC ，∴∠D ＝∠B ，∵OD ⊥BC ，∴∠BFO ＝∠OCD ＝90°， ∴△BOF ∽△DOC ，∴OC OF ＝OD OB ，即OA OF ＝OD OA， ∴OA 2＝OD ·OF .。