2020年初中数学ppt课件—22.1.4二次函数y=ax2+bx+c(配方)
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22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系课件
最有价值的知识是关于方法的知识
例1：根本符号的判断
快速答复：
y
抛物线y=ax2+bx+c如下图，
试确定a、b、c、△的符号：
o
x
问题是数学的心脏
快速答复：
1.抛物线y=ax2+bx+c如下图， 试确定a、b、c、△的符号：
y
o
x
第一是数学，第二是数学，第三是数学。
快速答复：
抛物线y=ax2+bx+c如下图， 试确定a、b、c、△的符号：
3.抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是__直__线__x_=__- 2_ba_.
4.抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是_〔___0_,_c_〕.
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a、b、c的关系
字母符号 a＞0 a＜0 b=0
a、b同号 a、b异号
c=0 c＞0 c＜0
图象的特征
开口____向__上_______________ 开口____向__下_______________ 对称轴为___y__轴 对称轴在y轴的_左___侧 对称轴在y轴的_右___侧 经过原点 与y轴交于__正___半轴 与y轴交于__负___半轴
由数定形
14
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴 上方的条件是什么？
a＞0
x
b
2
4ac＜
0
想一想：
抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的条 件是什么？
x
变式：不管x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕 的值永远是正值的 练条一件练是：什不么管？x取何值时，函数 y=ax2+bx+c〔a≠0〕的值永远是非负数 的条件是什么？
优秀课件人教版初中数学九年级上册 22.1.4 二次函数及其图象 (共12张PPT)
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
兴趣是最好的老师
作用
• 二次函数图象特征与 参数a,b,c的关系.完成 下表.
作用
符号
字母符号
பைடு நூலகம்
图象特征 图象特征
a
a
决定 开口, 增减 性
a﹥0 a﹤0 b=0
开口向上,对称轴 左降右升 开口向下,对称轴 升降右降 对称轴是y轴
b
b
决定 对称 轴的 位置 决定 与y轴 交点 (0,c)
2
2 b b 2 b 2 a x x a c a 2a 2a
b 4ac b 2 a x . 2a 4a
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
1 2 3.若抛物线 y x mx 3 的对称轴是x 2
3 2
4 ,则
m值为
4
.
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
兴趣是最好的老师
8
6
已知二次函数如图所示,则函数 y=ax b 不经 过 四 象限.
4 2 10 5 5
2
4
6
数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 增减性 最值
兴趣是最好的老师
y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a
直线 x b 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(第2课时)PPT课件(人教版)
检测反馈
1.已知二次函数的图象过(1,0),(2,0)和(0,2)三点, 则该函数的解析式是 ( D )
A.y=2x2+x+2 B.y=x2+3x+2D
C.y=x2-2x+3 D.y=x2-3x+2
解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把(1,0),(2,0)和(0,2)分别代入得
a 4a
3.已知二次函数的图象与x轴交于点(2,0),(-
1,0),与y轴交于点(0,-1),那么这个二次函数 y 1 x2 1 x 1
的解析式是 2 2 .
解析:设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x+1),
把(0,-1)代入得-1=-2a,∴
a1 2
，
∴所求二次函数的解析式为
y 1 (x 1)(x 1),即y 1 x2 1 x 1,故填
当x=15时,y=
1 25
(15-20)2+16=15;
当x=25时,y=
1 25
(25-20)2+16=15.
∴铁柱应取15 m长.
[知识拓展]
1.求二次函数解析式的几种方法之间是相 互联系的,而不是孤立的,不同的函数解析 式的设法是根据不同的已知条件来确定的.
2.在选用不同的设法时,应具体问题具体分 析,特别是当已知条件不是上述所列举的几 种情形时,应灵活选用不同的方法来求解, 以到达事半功倍的效果.
又对称轴直线
x
b 2a
2,
解得a=1,b=-பைடு நூலகம்,c=-5,所以二次函数的解
析式为y=x2-4x-5.故填y=x2-4x-5.
5.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4),且 经过点(-2,-5),求此二次函数的解析式.
人教版九年级数学全一册课件：22.1.4 二次函数y=ax2+
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
第2课时
学习目标
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式. 2.会用待定系数法求二次函数的解析式.
学习重点
会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的解析式.
心理学家发现,在一定范围内,学生对概念的接受能
力y与提出概念所用的时间x(单位:min)之间有如下关系:
中, ������������������������ + ������������������ + ������ = ������������,解得 ������ = ������.������,
������������������������ + ������������������ + ������ = ������������,
移 3 个单位能得到 y2 的图象.
1.画二次函数图象的时候先在坐标中标出顶点、对称 轴和函数与y轴的交点(0,c),然后用光滑曲线连接顶点 和(0,c),再在对称轴的另一边画对称的函数图象即可. 2.用三种方式表示二次函数的实际问题时,经常忽略自 变量的取值范围,所以在实际问题中要先考虑自变量的 取值范围. 3.要熟记根据图象判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的 取值各决定着图象的哪些特征.
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和点(-1,-6), 则a+c= -2 .
4.已知二次函数的图象的顶点坐标是(1,-3),且经过 点P(2,0),求这个函数的解析式.
解:依题意设所求的二次函数解析式为 y=a(x-1)2-3. ∵图象经过点 P(2,0), ∴0=a×(2-1)2-3,∴a=3. ∴该函数的解析式为 y=3(x-1)2-3, 即 y=3x2-6x.
第2课时
学习目标
1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式. 2.会用待定系数法求二次函数的解析式.
学习重点
会根据不同的条件,利用待定系数法求二次函数的解析式.
心理学家发现,在一定范围内,学生对概念的接受能
力y与提出概念所用的时间x(单位:min)之间有如下关系:
中, ������������������������ + ������������������ + ������ = ������������,解得 ������ = ������.������,
������������������������ + ������������������ + ������ = ������������,
移 3 个单位能得到 y2 的图象.
1.画二次函数图象的时候先在坐标中标出顶点、对称 轴和函数与y轴的交点(0,c),然后用光滑曲线连接顶点 和(0,c),再在对称轴的另一边画对称的函数图象即可. 2.用三种方式表示二次函数的实际问题时,经常忽略自 变量的取值范围,所以在实际问题中要先考虑自变量的 取值范围. 3.要熟记根据图象判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的 取值各决定着图象的哪些特征.
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和点(-1,-6), 则a+c= -2 .
4.已知二次函数的图象的顶点坐标是(1,-3),且经过 点P(2,0),求这个函数的解析式.
解:依题意设所求的二次函数解析式为 y=a(x-1)2-3. ∵图象经过点 P(2,0), ∴0=a×(2-1)2-3,∴a=3. ∴该函数的解析式为 y=3(x-1)2-3, 即 y=3x2-6x.
2020年新人教版初三数学上册《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(1)》课件
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
y=ax2+bx+c a( x b )2 4ac b2
2a
4a
b 4ac b2
显然，二次函数y a(x
b
)2
4ac
b2
的顶点坐标为
2a
,
4a
。
2a
4a
x b
二次函数的
对称轴为
2a
.
一般表达式
二次函数
的顶点式
因此，抛物线的对称轴是
1 [(x 6)2 6] 2
1 (x 6)2 3. 2
y 1 x2 6x 21 2
(1)“提”：提出二次项系数；
配
(2)“配”：括号内配成完全平方；
方
(3)“化”：化成顶点式.
y 1 (x 6)2 3 2
【提示】配方后的表达式通常称 为配方式或顶点式.
【思考2】你能说出
y 1 (x 6)2 3 的对称轴及顶点坐标吗？
例1 画出函数
y 1 x2 x 5
2
2
的图象，并说明这个函
数具有哪些性质.
解:
函数
y
1 2
x2
x
5 2
通过配方可得
y 1 (x 1)2 2 2
，
先列表：
x ··· -2 -1 0 1 2 3 4 ··· y ··· -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ···
然后描点、连线，得到图象如下图：
解析 根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，
根据对称轴和图象确定y＞0或y＜0时，x的范围，确定代数式的符号． ①∵开口向下，∴a＜0，A错误；②对称轴在y轴的右侧和a＜0，可知b＞0 ，B正确；③抛物线与y轴交于正半轴，c＞0，C错误；④因为a<0，c>0， 所以ac<0，D错误．
人教版九年级数学上册 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c=0的图象和性质(共22张PPT)
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
归纳总结
交点法求二次函数解析式的方法
这种知道抛物线x轴的交点，求解析式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1,x2代入坐标代入，得到关于a的一元一 次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
求出这个二次函数的解析式.
解： 设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,
把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入
y=ax2+bx+c得
9a-3b+c=0， a-b+c=0， 解得 c=-3，
a=-1， b=-4， c=-3.
∴所求的二次函数的解析式是y=-x2-4x-3.
例1 已知一个二次函数的图象过点（－1，10）、 （1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式.
C．S≤2 D．S＜﹣3
11．二次函数在 x= 3 时，有最小值 1 ，且函数的图象经过点（0，2），则此函数的解析式
2
4
为_______．
12．已知 A3, y1 ， B1, y2 两点均在抛物线 y ax2 bx c(a 0) 上点C m, y3 是该
抛物线的顶点，若 y1 y2 y3 ，则 m 的取值范围为___________．
是( )
A． y 1 x 22 3 B． y 1 x 22 3 C． y 1 x 22 3
2
2
2
D． y 1 x 22 3
● 10．已2 知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，2），B（﹣2，3）两点，且不经
过第一象限，若S＝a+b﹣c，则S的取值范围是（ ）
人教版九年级数学上册(课件)22.1.4 二次函数y=ax +bx+c
y
1 2
x2
4x
3
解: (1) a = 3 > 0Байду номын сангаас物线开口向上
x顶
2 23
1 3
y顶
22 43
1 3
顶点坐标为
1 3
,
1 3
对称轴x 1
3
当x
1 3
时，y最小值＝-
1 3
（2） y x2 2x
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
九年级数学上册·R
第22章 二次函数
22.1.4 二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质
回顾：二次函数y=a(x-h)2+k的性质
y=a(x-h)2 +k(a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性
极值
a>0
a<0
向上 (h ,k)
向下 (h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。
所以当 x b 时，二次函数 y ax2 bx c
2a
4ac b2
有最小（大）值
4a
练习
1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的
值最小（大）？
（1） y 3x2 2x
（2） y x2 2x
（3）y 2x2 8x 8
（4）
我们知道，像 y ax h2 k 这样的函数，容易确定相应抛物线的
初中数学九年级上册22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象》PPT课件
请你总结函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 想一想，函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什 么？
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
直线x b 2a
y
B．a>0，b<0，c>0，b2－4ac<0 C．a<0，b>0，c<0，b2－4ac>0 D．a<0，b>0，c>0，b2－4ac>0
O x
3．（攀枝花中考）如图，二次函数ｙ＝ａx2－ｂｘ
＋２的大致图象如图所示，则函数ｙ＝－ａx＋ｂ的图象
不经过（ ） A
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
Y
2 X
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
配方化成顶点式
y 3x2 6x 5
3(x2 2x) 5
提取二次项系数
3(x2 2x1 1) 5
3 x 12 3 5 3x 12 2.
2.不同点:
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
(1)位置不同(2)顶点不同直:分线别x 是 _b_________和(0,0).
2a
(3)对称轴不同:分别是4_a_c4_a b_2_______和y轴.
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1.配方法
2.公式法
顶点：
(
b
4ac b2
,
)
2a 4a
对称轴： x b 2a
请你总结函数 函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2 的图象之间的关系是什么？
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象和性质
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
x=h时,y最小=k
x=h时,y最大=k
抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移 得到的。 x:左加右减
y:上加下减
我们知道，像y=a(x-h)2+k这样的函数容易
确定相应抛物线的顶点（h，k），那么你能确
定二次函数y 1 x2 6x 21
的顶点吗？
2
如何画该抛物线的图象？
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与y=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同). (2)都是轴对称图形. (3)都有最(大或小)值. (4)a>0时, 开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减 小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大. a<0时,开口向 下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y 都随 x的增大而减小 .
思考： 如何将y=ax2+bx+c配成顶 点式？
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a 4a
函数y=ax²+bx+c的顶点式
一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法
推导出它的对称轴和顶点坐标.
例.求次函数 y ax2 bx c
y=ax²+bx+c的对 称轴和顶点坐标．
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质
y
x
y=a(x-h)2+k 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上
a<0 向下
(h ,k)
(h ,k)
x=h
x=h
当x<h时，
当x<h时,
y随着x的增大而减小。y随着x的增大而增大。
当x>h时，
当x>h时，
y随着x的增大而增大。y随着x的增大而减小。
函数y=3x2-6x+5 3 x2 2x 5
提取二次项系数
的图象?
3
1.配方:
3
x2
2x11
5 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
老师提示:
配方后的表达
3x
12
2 3
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
a x
2a b 2
2a
2
4ac 4a2
4ac b 4a
b2
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
2
.化简:去掉中括号
顶点坐标公式 y a x b 2 4ac b2 . 2a 4a
因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线.
式通常称为配 方式或顶点式
3x 12 2.
化简:去掉中括号
直接画函数y=ax²+bx+c的图象
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称轴,顶点坐标. ∵a=3>0,∴开口向上;对称轴:直线x=1;顶点坐标:(1,2). 3.列表:根据对称性,选取适当值列表计算.
x
… -2 -1 0 1 2 3 4 …
x
…3 4 5 6 7 8 9 …
1
y= 2 (x-6)2+3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
怎样平移抛物线
y=
1
x2
得到该抛
2物线？
函数y=ax²+bx+c的图象
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线
y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象.
怎样直接作出 y 3x2 6x 5
2.不同点:
(1)位置不同(2)顶点不同:分别是
b 2a
,
4ac b2 4a
和(0,0).
(3)对称轴不同:分别是
直线x b 2a
y 3x 12 2 … 29 14 5 2 5 14 29 …
4.画对称轴,描点,连线:作出二次函数y=3(x-1)2+2 的图象．
学了就用,别客气
y 3x2 6x 5
y 2x2 12x 13
●(1,2)
?
X=1
作出函数y=2x2-12x+13的图象.
●(3,-5) X=3
a x2 b x c a a
提取二次项系数 配方:加上再
1.配方:
老师提示:
这个结果通常 称为求顶点坐 标公式.
a
x
2
b a
x
b 2a
2
b 2a
2
c a
减去一次项系 数绝对值一半 的平方
a x b
2
一般地，我们可用配方求抛物线y=ax2+bx+c的 顶点坐标和对称轴。
y ax2 bx c
a( x b )2 4ac b2
2a
4a
因此，抛物线y=ax2+bx+c 的
b 4ac b2
顶点坐标是： ( ,
)
2a 4a
对称轴是：直线 x b
2a
求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标和对称轴有两 种方法：
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
它的对称轴是直线: x b . 2a它的顶点是ຫໍສະໝຸດ b 2a,
4ac 4a
b2
.
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
?
1.y 2x2 12 x 13; 2.y 5x2 80 x 319;
3.y 2 x 1 x 2; 4.y 32x 12 x.