《二次函数》公开课教学PPT课件【初中数学人教版九年级上册】
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人教版九年级上册数学二次函数课程PPT课件
淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一 浪盖过 一浪， 连绵不 绝，源 源不断 。海水 在人们 的心中 无非是 易怒的 。可是 ，在现 在的我 眼中， 如同母 亲的手 温柔的 抚摸着 这岸上 的一切 生灵。 贝壳与 螃蟹戏 玩着， 玩累了 ，便躺 在柔软 的沙上 睡上一 会儿。
（2）一个小球由静止开始沿斜坡向下滚动，5s时到达斜坡底部.测得小球滚动的距 离s(cm)与时间t(s)的数据如下表：
经化简后都具有y=ax²+bx+c 的形式.
(a,b,c是常数, a≠0 )
课堂交流
定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二 淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一浪盖过一浪，连绵不绝，源源不断。海水在人们的心中无非是易怒的。可是，在现在的我眼中，如同母亲的手温柔的抚摸着这岸上的一切生灵。贝壳与螃蟹戏玩着，玩累了，便躺在柔软的沙上睡上一会儿。
自学探究
(3)某企业去年的产值为1200万元.如果三年内该企业年产值平均每年的增长率为x,你能写出明 淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一浪盖过一浪，连绵不绝，源源不断。海水在人们的心中无非是易怒的。可是，在现在的我眼中，如同母亲的手温柔的抚摸着这岸上的一切生灵。贝壳与螃蟹戏玩着，玩累了，便躺在柔软的沙上睡上一会儿。 年该企业年产值y(万元)与x之间的函数表达式.
注意：
淡蓝色的海水轻轻地拍打着沙滩，一 浪盖过 一浪， 连绵不 绝，源 源不断 。海水 在人们 的心中 无非是 易怒的 。可是 ，在现 在的我 眼中， 如同母 亲的手 温柔的 抚摸着 这岸上 的一切 生灵。 贝壳与 螃蟹戏 玩着， 玩累了 ，便躺 在柔软 的沙上 睡上一 会儿。
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的 整式。
人教版九年级上册数学课件22.1.1二次函数(共19张PPT)
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。 练习：
重点、难点知识★▲
某种品牌的服装进价为每件150元，当售价为每件210元时，每天可
卖出20件，现需降价处理，且经市场调查发现：每件服装每降价2元，每
天可多卖出1件。在确保盈利的前提下，若设每件服装降价x元，每天售出
服装的利润为y元，则y与x的函数关系式为（ A ）。
二次函数
（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常 数，a≠0）。 （2）正比例函数的一般形式是：y=kx（k≠0，k为常数）。 （3）一次函数的一般形式是：y=kx+b（k≠0，k、b为常数）。
探究一：二次函数的概念及其解析式。
重点知识★
归纳： 1. 二次函数的概念：把形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0） 的函数叫做x的二次函数，其中：ax2为二次项，a为二次项系数；bx 为一次项，b为一次项系数；c为常数项。 2.二次函数的解析式： 二次函数的一般式：y=ax2+bx+c （a，b，（2）y=ax2+c （a≠0，b=0，c≠0）； （3）y=ax2+bx （a≠0，b≠0，c=0）。
综上所述，a=-1。
探究二：利用二次函数的表达式表示实际问题。
重点、难点知识★▲
活动1 通过实例，探究归纳。
例1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子。现准 备多种一些橙子树以提高产量（果园最多能种150棵橙子树），但是 如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少。 根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。 （1）假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有橙子树_（__1__0_0_+__x_）____ 棵，这时平均每棵树结橙子_（___6_0_0__-5__x_）____个。
九年级数学上册《二次函数》公开课PPT
∣检测∣ 考点七 二次函数解析式的求法
如图所示，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是(0， 3)， 以点 C 为顶点的抛物线 y＝ax2＋bx＋c 恰好经过 x 轴上 A、B 两 点．
(1)求A、B、C三点的坐标； (2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式．
小结：本节课你有哪些收获？
知识归类
当 x<－2ba时，y 的值随 x 的 当 x<h 时，y 的值随 x 的增大而减小 ；当
a＞0 增大而 减小 ；当 x>－2ba时，x>h 时，y 的值随 x 的增 增
y 的值随 x 的增大而增大 大而增大 减
性
当 x<－2ba时，y 的值随 x 的 当 x<h 时，y 的值随 x
的增大而增大 ；当
b c
4 3
∴抛物线为y=x2-4x+3
P
(2)连接BC,与对称轴x=2的交点即 为所求点P. 此时△PAB的周长最小.
oAD C
x
∵B（0,3），C（3,0）
x=2
∴直线BC为y=-x+3
当x=2时，y=1
∴点P坐标为（2,1）
考点攻略 ► 考点六 方案决策型应用题
例2 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期 间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发 现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x ＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之 间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润， 最大利润是多少元？
考点攻略
解：(1)根据题意，得6755kk＋＋bb＝＝5455.， 解得 k＝－1，b＝120. 所求一次函数的表达式为 y＝－x＋120. (2)W＝(x－60)·(－x＋120)＝－x2＋180x－7200＝－(x－90)2＋ 900， ∵抛物线的开口向下，∴当 x＜90 时，W 随 x 的增大而增大， 而 60≤x≤87，∴当 x＝87 时，W＝－(87－90)2＋900＝891. ∴当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润 是 891 元．
人教版数学九年级上册第二十二章《二次函数》课件(共22张)
解：因为第1档次的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元，每 提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件， 所以第 x 档次，提高了(x−1)档，利润增加了 2(x−1)元． 所以 y＝[6＋2(x−1)][95−5(x−1)]， 即 y＝−10x2＋180x＋400(其中 x 是正整数，且1≤x≤10)．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
2.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式．
解：由圆柱的表面积=2×圆柱的底面积+圆柱的侧面积， 得 S=2πr2+2πr•r=4πr2．
3.如图，矩形绿地的长、宽各增加 x m，写出扩充后的绿地的面 积 y 与 x 的关系式．
解：由图可得，扩充后的绿地的面积y(m2)与 x(m) 之间的函数关系式是y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600， 即 y=x2+50x+600.
这个函数与我们学过的函数不同，其中自变量x的最高次数是2． 这类函数具有哪些性质呢？这就是本章要学习的二次函数．
合作探究
n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
分析：每个球队要与其他 (n-1) 个球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙
队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为
形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做二次函数．其中 x 是自变量，a，b，c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项．
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a，b，c为常数，且a≠ 0； （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项．
《二次函数》PPT教学课件-2021-2022学年人教版数学九年级上册精选全文
提炼方法 明确路径
一次函数研究路径：
认识函数
图像与性质
与方程、不等式的联系
数学思想：归纳思想、建模思想、 解决实际问题 数形结合思想
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中 的两个变量 y 与 x 之间的关系：
(1)正方体的表面积 为y 与棱长为x y =6x2
(2)n个球队参加比赛，每两队之间进行一场 比赛。比赛的场次数m与球队n之间有什么
人教版《义务教育教科书》
22.1.1二次函数
什么叫函数?
在某变化过程中的两个变量x、y，当变量x在某 个范围内取一个确定的值，另一个变量y总有唯一 的值与它对应。
这样的两个变量之间的关系我们把它叫做函数关 系。（刻画变化规律的数学工具）
对于上述两个变量， x叫自变量， 我们把y叫x 的函数。（运动变化与联系对应的思想）
2、下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x-2+x
(6)y=x2-x(1+x)
例1．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数 （1）写出圆的面积y（cm²）与它的周长x（cm）之间 的函 数关系； （2）菱形的两条对角线的和为26cm，求它的面积S（cm²） 与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
当a,b,c满足 什么 条件时
（1）它是二次函数
（1）a 0
（2）它是一次函数
(2)a 0,b 0
（3）它是正比例函数 (3)a 0,b 0,c 0
分类讨论思想
3、m取何值时，函数是 y= (m+1)xm2 2m 1
+(m-3)x+m 是二次函数？ 4、若函数 y (m2 1)xm2m 为二次函数，
二次函数ppt课件
22.1.1 二次函数
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
年 级：九年级 学 科：数学（人教版）
1.函数的定义：
3.一元二次方程的一般形式是什么？
2．一次函数的定义是什么？
知识回顾
观察图片，这些曲线能否用函数关系式来表示？它们的形状是怎样画出来的？
实际问题
归纳、抽象
数学模型
（1） 写出 <m></m> 与 <m></m> 的函数关系式；
（2） 当 <m></m> 时，求 <m></m> 的值.
解：（1）其中一直角边长为 <m></m> ，则另一直角边长为 <m></m> ，依题意得 <m>
（2）当 <m></m> 时， <m></m> .
引入新课
观察这三个函数关系式有什么共同特点？
1.都有两个变量2.整式3.自变量最高次数是2次
讲授新课
二次函数的概念
二次
一元二次方程？
一次？
总结
二次函数的概念
陋室铭
例1:判断下列函数中，哪些是二次函数？若是二次函数，请指出二次项系数、一次项系数、常数项。
×
×
×
×
√
×
√
√
例题讲解
函数
二次项系数
布置作业
3、如图，在 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> , <m></m> .动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动;动点 <m></m> 从点 <m></m> 开始沿边 <m></m> 向点 <m></m> 以 <m></m> 的速度移动.如果 <m></m> , <m></m> 两点同时出发，那么 <m></m> 的面积 <m></m> 随出发时间 <m></m> 如何变化?写出函数关系式.
人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)
当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O
二次函数初三ppt课件ppt课件ppt课件
二次函数初三ppt课件ppt 课件ppt课件
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
contents
目录
• 二次函数的基本概念 • 二次函数的性质 • 二次函数的应用 • 二次函数的解析式 • 二次函数与一元一次方程的关系 • 综合练习与提高
01 二次函数的基本 概念
二次函数的定义
总结词
二次函数是形如$y=ax^2+bx+c$的 函数，其中$a$、$b$、$c$为常数 ，且$a neq 0$。
详细描述
二次函数的一般形式是 $y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、 $c$是常数，且$a neq 0$。这个定义 表明二次函数具有一个自变量$x$，一 个因变量$y$，并且$x$的最高次数为 2。
二次函数的表达式
总结词
二次函数的表达式可以因形式多样而变化，但一般包括三个部分：常数项、一 次项和二次项。
02 二次函数的性质
二次函数的开口方向
总结词
二次函数的开口方向取决于二次 项系数a的正负。
详细描述
如果二次项系数a大于0，则抛物 线开口向上；如果二次项系数a小 于0，则抛物线开口向下。
二次函数的顶点
总结词
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
详细描述
二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，其坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)，其中 a、b、c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
解一元二次方程的方法包括公式法和 因式分解法等。
利用二次函数解决一元一次方程问题
当一元一次方程有重根时，可以通过构建二次函数来求解。
构建二次函数的方法是将一元一次方程转化为二次函数的形 式，然后利用二次函数的性质找到根。
06 综合练习与提高
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第二十二章 二次函数
二次函数的图像和性质 第 1 课时
一、复习回顾
1. 一元二次方程的一般形式是什么？
2. 函数定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y ,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应,那么就说 x 是自变量, y 是 x 的函数. 3. 一次函数，正比例函数的一般形式是什么？ 一次函数：y = kx+b（k , b 是常数，k ≠ 0） 正比例函数：y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
二、合作交流，探究新知
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间 的关系： (1) 圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y = πx2 (2) 某商店 1 月份的利润是 2 万元，2、3 月份利润逐月增长，这两 个月利润的月平均增长率为 x，3月份的利润为 y
是
(4) y = (x - 1)2 - x2
不是
四、巩固新知
2.若函数 y =(m2 -1)xm2-m 为二次函数，求 m 的值.
解：因为该函数为二次函数，
则 m 2 m 2(1)
m
2
1
0(2)
解得：m = 2 注意:二次函数的二次项系数不能为零.
四、巩固新知
3. 要用长 20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，
二、合作交流，探究新知
1. 现有一根 12 m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才 使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ， 它的面积最大，他说的有道理吗？
2. 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决
y = 2(1+x)2
二、合作交流，探究新知
(3) 拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个 矩形，周长为 120 m ， 室内通道的尺寸如图，设一条边长
为 x (m)， 种植面积为 y (m2).
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
y
1
x
3
二、合作交流，探究新知
y = πx2 y = 2(1+x)2 = 2x2+4x+2 y = (60-x-4)(x-2) = -x2+58x-112 y 是 x 的函数吗？y 是 x 的一次函数？反比例函数？ 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的， 经化简后都具有 y=ax²+bx+c 的形式. (a，b，c 是常数，a ≠ 0 )
D
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°HX， ∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4， ∵AE，AH不能为负，∴0≤x≤2，
AXE
G XC
F
X
B
故y关于x的函数表达式：y=2x2-4x+4，自变量 x 的取值范围[0，2].
角三角形 (图中阴影部分 ) ，设AE = BF = CG = DH = x (cm)，四边
形 EFGH 的面积为 y (cm2) ，求 :
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围 D
X
(2) 当 x 分别为 0.25，0.5，1，1.5，
H
GX C
1.75 时 ，求对应的四边形EFGH的
二、合作交流，探究新知
定义：一般地，形如 y = ax²+bx+c ( a，b，c 是常数，a ≠ 0)的 函数叫做 x 的二次函数. 注意： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式. （2）a，b，c为常数，且 a ≠ 0. （3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项. （4）x 的取值范围通常情况是任意实数.
三、运用新知
解：（2）
x 0.25
y
25 8
0.5 1 1.5 1.75
5 2
2
5 2
25 8
（3）由上表可以看出： 随着 x 的取值的增大，y 的值先减小后增大.
D
GX C
X
H
F
X
AX E
B
四、巩固新知
1. 下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y = x2
是
(2)
y
=
-
1 x2
不是
(3) y = x(1- x)
设连墙的一边为 x ,巨形的面积为 y ,求：
(1)写出 y 关与 x 的函数关系式.
(2)当 x = 3 时,距形的面积为多少?
解:(1) y = x(20-2x)
= -2x2+20x (0<x<10)
(2)y = -2×32+20×3 = 42m
x
五、归纳小结
1. 定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 2. 定义的实质是：ax2+bx+c 是整式，自变量 x 的最高次是 二次，自变量 x 的取值范围是全体实数. 3. 二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中 a、b、c 是常数，a ≠0 ) a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项
函数值是 -5 ,求这个二次函数的解析式.
解：以 x=1、y=4 代入,得：
p＋q＋1=4 , 即：p＋q=3
(1)
以 x=2、y=－5 代入,得：
4＋2p＋q=－5 ,即：2p＋q=－9 (2)
解(1)、(2),得：
p=－12、q=15
则：，一张正方形纸板的边长为 2 cm，将它剪去 4 个全等的直
二、合作交流，探究新知
二次函数的一般形式:
y＝ ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a ≠ 0 )
a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项
二次函数的特殊形式：
当 b＝0 时， y＝ax2＋c 当 c＝0 时， y＝ax2＋bx 当 b＝0，c＝0 时， y＝ax2
三、运用新知
1. 已知二次函数 y=x2+px+q ,当 x=1 时，函数值是 4；当 x=2 时，
F
面积 y，并列表表示.
X
AX E
B
(3) 随着 x 的取值的增大，y 的值有怎样的变化？
三、运用新知
解：（1）∵在正方形纸上剪去 4 个全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，
二次函数的图像和性质 第 1 课时
一、复习回顾
1. 一元二次方程的一般形式是什么？
2. 函数定义是什么？ 设在一个变化过程中有两个变量 x 与 y ,如果对于 x 的每一个值, y 都有唯一的值与它对应,那么就说 x 是自变量, y 是 x 的函数. 3. 一次函数，正比例函数的一般形式是什么？ 一次函数：y = kx+b（k , b 是常数，k ≠ 0） 正比例函数：y = kx（k 是常数，k ≠ 0）
二、合作交流，探究新知
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间 的关系： (1) 圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm )
y = πx2 (2) 某商店 1 月份的利润是 2 万元，2、3 月份利润逐月增长，这两 个月利润的月平均增长率为 x，3月份的利润为 y
是
(4) y = (x - 1)2 - x2
不是
四、巩固新知
2.若函数 y =(m2 -1)xm2-m 为二次函数，求 m 的值.
解：因为该函数为二次函数，
则 m 2 m 2(1)
m
2
1
0(2)
解得：m = 2 注意:二次函数的二次项系数不能为零.
四、巩固新知
3. 要用长 20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，
二、合作交流，探究新知
1. 现有一根 12 m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才 使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ， 它的面积最大，他说的有道理吗？
2. 很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路 线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
这些问题都可以通过学习二次函数的数学模型来解决
y = 2(1+x)2
二、合作交流，探究新知
(3) 拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个 矩形，周长为 120 m ， 室内通道的尺寸如图，设一条边长
为 x (m)， 种植面积为 y (m2).
y = (60-x-4)(x-2)
1
1
y
1
x
3
二、合作交流，探究新知
y = πx2 y = 2(1+x)2 = 2x2+4x+2 y = (60-x-4)(x-2) = -x2+58x-112 y 是 x 的函数吗？y 是 x 的一次函数？反比例函数？ 上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征？ 在上面的问题中，函数都是用自变量的二次式表示的， 经化简后都具有 y=ax²+bx+c 的形式. (a，b，c 是常数，a ≠ 0 )
D
在△AEH中，AE=x，AH=BE=AB-AE=2-x，∠A=90°HX， ∴HE2=AE2+AH2=x2+（2-x）2=2x2-4x+4，
正方形EFGH的面积y=HE2=2x2-4x+4， ∵AE，AH不能为负，∴0≤x≤2，
AXE
G XC
F
X
B
故y关于x的函数表达式：y=2x2-4x+4，自变量 x 的取值范围[0，2].
角三角形 (图中阴影部分 ) ，设AE = BF = CG = DH = x (cm)，四边
形 EFGH 的面积为 y (cm2) ，求 :
(1) 求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范围 D
X
(2) 当 x 分别为 0.25，0.5，1，1.5，
H
GX C
1.75 时 ，求对应的四边形EFGH的
二、合作交流，探究新知
定义：一般地，形如 y = ax²+bx+c ( a，b，c 是常数，a ≠ 0)的 函数叫做 x 的二次函数. 注意： （1）等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式. （2）a，b，c为常数，且 a ≠ 0. （3 ）等式的右边最高次数为 2 ，可以没有一次项和常数项， 但不能没有二次项. （4）x 的取值范围通常情况是任意实数.
三、运用新知
解：（2）
x 0.25
y
25 8
0.5 1 1.5 1.75
5 2
2
5 2
25 8
（3）由上表可以看出： 随着 x 的取值的增大，y 的值先减小后增大.
D
GX C
X
H
F
X
AX E
B
四、巩固新知
1. 下列函数中,哪些是二次函数?
(1) y = x2
是
(2)
y
=
-
1 x2
不是
(3) y = x(1- x)
设连墙的一边为 x ,巨形的面积为 y ,求：
(1)写出 y 关与 x 的函数关系式.
(2)当 x = 3 时,距形的面积为多少?
解:(1) y = x(20-2x)
= -2x2+20x (0<x<10)
(2)y = -2×32+20×3 = 42m
x
五、归纳小结
1. 定义：一般地，形如 y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a ≠ 0) 的函数叫做 x 的二次函数. 2. 定义的实质是：ax2+bx+c 是整式，自变量 x 的最高次是 二次，自变量 x 的取值范围是全体实数. 3. 二次函数的一般形式: y＝ax2＋bx＋c (其中 a、b、c 是常数，a ≠0 ) a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项
函数值是 -5 ,求这个二次函数的解析式.
解：以 x=1、y=4 代入,得：
p＋q＋1=4 , 即：p＋q=3
(1)
以 x=2、y=－5 代入,得：
4＋2p＋q=－5 ,即：2p＋q=－9 (2)
解(1)、(2),得：
p=－12、q=15
则：，一张正方形纸板的边长为 2 cm，将它剪去 4 个全等的直
二、合作交流，探究新知
二次函数的一般形式:
y＝ ax2＋bx＋c (其中a、b、c是常数，a ≠ 0 )
a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项
二次函数的特殊形式：
当 b＝0 时， y＝ax2＋c 当 c＝0 时， y＝ax2＋bx 当 b＝0，c＝0 时， y＝ax2
三、运用新知
1. 已知二次函数 y=x2+px+q ,当 x=1 时，函数值是 4；当 x=2 时，
F
面积 y，并列表表示.
X
AX E
B
(3) 随着 x 的取值的增大，y 的值有怎样的变化？
三、运用新知
解：（1）∵在正方形纸上剪去 4 个全等的直角三角形，
∴∠AHE=∠DGH，∠DGH+∠DHG=90°，HG=HE，
∵∠EHG=180°-∠AHE-∠DHG，
∴∠EHG=90°，四边形EFGH为正方形，