2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二(下)期中数学试卷(理科)

2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的2．（5分）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．a=1 B．a=﹣1 C．a=0 D．a=±l3．（5分）已知随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）等于（）A． B． C． D．4．（5分）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数5．（5分）函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x+3）•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）6．（5分）高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800 B．3600 C．4320 D．50407．（5分）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为（）A．恰有1只坏的概率B．恰有2只好的概率C．4只全是好的概率D．至多2只坏的概率8．（5分）已知，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．B．C． D．9．（5分）随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1、2、3、4，c为常数，则P（）的值为（）A．B．C．D．10．（5分）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子．现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为（）A．60 B．48 C．30 D．2011．（5分）设ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1＜x2，现已知：Eξ=，Dξ=，则x1+x2的值为（）A．B．C．3 D．12．（5分）已知a≥0，函数f （x）=（x2﹣2ax）e x，若f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（0，）D．[，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）定义运算=ad﹣bc，复数z满足=1+i，为z的共轭复数，则=．14．（5分）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为．15．（5分）设（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2的值为（用数字作答）16．（5分）有13名医生，其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式：①C135﹣C71C64；②C72C63+C73C62+C74C61+C75；③C135﹣C71C64﹣C65；④C72C113；其中能成为N的算式是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知复数Z1，Z2在复平面内对应的点分别为A（﹣2，1），B（a，3）．（1）若|Z1﹣Z2|=，求a的值．（2）复数z=Z1•Z2对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．18．（12分）坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：（1）第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；（2）第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；（3）在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．19．（12分）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（Ⅰ）能组成多少个没有重复数字的七位数？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？（Ⅲ）在（Ⅰ）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？20．（12分）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数．21．（12分）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．22．（12分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；（Ⅱ）对于任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，是否存在实数m，使mg（x1）﹣mg（x2）﹣x2f（x2）+x1f（x1）恒为正数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．2016-2017学年辽宁省实验中学分校高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2015秋•孝感期末）用三段论推理：“任何实数的平方大于0，因为a 是实数，所以a2＞0”，你认为这个推理（）A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．是正确的【解答】解：∵任何实数的平方大于0，因为a是实数，所以a2＞0，大前提：任何实数的平方大于0是不正确的，0的平方就不大于0．故选A．2．（5分）（2012•合肥三模）若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A．a=1 B．a=﹣1 C．a=0 D．a=±l【解答】解：复数==a2﹣i为纯虚数，∴a2=0，解得a=0．故选：C．3．（5分）（2015春•武汉校级期末）已知随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）等于（）A． B． C． D．【解答】解：随机变量x服从二项分布x～B（6，），则P（x=2）==故选：A．4．（5分）（2014秋•襄阳期末）用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）A．a，b，c中至少有两个偶数B．a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数C．a，b，c都是奇数D．a，b，c都是偶数【解答】解：∵结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”可得题设为：a，b，c中恰有一个偶数∴反设的内容是假设a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选B．5．（5分）（2017春•皇姑区校级期中）函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x+3）•f′（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，解不等式（x+3）•f′（x）＜0，得x＜﹣3，x∈（﹣1，1）时，f′（x）＜0，解不等式（x+3）•f′（x）＜0，得；﹣1＜x＜1，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，解不等式（x+3）•f′（x）＜0，无解．综合得：x∈（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1），故选：A．6．（5分）（2006•重庆）高三（一）班学要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（）A．1800 B．3600 C．4320 D．5040【解答】解：不同排法的种数为A55A62=3600，故选B7．（5分）（2016春•林芝地区期末）盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4只，那么为（）A．恰有1只坏的概率B．恰有2只好的概率C．4只全是好的概率D．至多2只坏的概率【解答】解：∵盒中有10只螺丝钉∴盒中随机地抽取4只的总数为：C104=210，∵其中有3只是坏的，∴所可能出现的事件有：恰有1只坏的，恰有2只坏的，恰有3只坏的，4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：C31×C73=105，C32C72=63，C74=35，C74+C31×C73+C32×C72=203∴恰有1只坏的概率分别为：=，，恰有2只好的概率为，，4只全是好的概率为，至多2只坏的概率为=；故A，C，D不正确，B正确故选B8．（5分）（2007•嘉定区一模）已知，则f（n+1）﹣f（n）=（）A．B．C． D．【解答】解：∵f（n）=1+++…+++，∴f（n+1）=1+++…++++，∴f（n+1）﹣f（n）=．故选D．9．（5分）（2010•江苏模拟）随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1、2、3、4，c为常数，则P（）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1、2、3、4，c为常数故P（ξ=1）+P（ξ=2）+P（ξ=3）+P（ξ=4）=1即+++=1，∴c=P（）=P（ξ=1）+P（ξ=2）==．故选B．10．（5分）（2009•锦州一模）设有编号为1，2，3，4，5的五个小球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子．现将这五个球投放到五个盒子内，要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，则这样的投放方法总数为（）A．60 B．48 C．30 D．20【解答】解：由题意，因为要求每个盒内放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子编号相同，所以投放方法总数为=20故选D．11．（5分）（2011•云南模拟）设ξ是离散型随机变量，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，且x1＜x2，现已知：Eξ=，Dξ=，则x1+x2的值为（）A．B．C．3 D．【解答】解：∵Eξ=，Dξ=，P（ξ=x1）=，P（ξ=x2）=，∴①2×3 ②由①②可得x1+x2=3故选C．12．（5分）（2017春•皇姑区校级期中）已知a≥0，函数f （x）=（x2﹣2ax）e x，若f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（，）C．（0，）D．[，+∞）【解答】解：由f （x）=（x2﹣2ax）e x，得f′（x）=（2x﹣2a）e x+（x2﹣2ax）e x=e x （x2﹣2ax+2x﹣2a）．∵f （x）在[﹣1，1]上是单调减函数，∴f′（x）=e x（x2﹣2ax+2x﹣2a）≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．即x2+2（1﹣a）x﹣2a≤0对x∈[﹣1，1]恒成立．∴，解得a．∴a的取值范围是[，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）（2017春•皇姑区校级期中）定义运算=ad﹣bc，复数z满足=1+i，为z的共轭复数，则=2+i．【解答】解：复数z满足=zi﹣i=1+i，∴z===2﹣i=2+i．故答案为：2+i．14．（5分）（2009•江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8．【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为1：8故答案为：1：8．15．（5分）（2017春•皇姑区校级期中）设（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2的值为3125（用数字作答）【解答】解：因为（3﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，令x=1得到15=a0+a1+a2+a3+a4+a5，令x=﹣1得到55=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，又（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=（a0+a1+a2+a3+a4+a5）（a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5）=55=3125故答案为：312516．（5分）（2017春•皇姑区校级期中）有13名医生，其中女医生6人现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式：①C135﹣C71C64；②C72C63+C73C62+C74C61+C75；③C135﹣C71C64﹣C65；④C72C113；其中能成为N的算式是②③．【解答】解：13名医生，其中女医生6人，男医生7人．利用直接法，2男3女：C72C63；3男2女：C73C62；4男1女：C74C61；5男：C75，所以N=C72C63+C73C62+C74C61+C75；利用间接法：13名医生，任取5人，减去4、5名女医生的情况，即N=C135﹣C71C64﹣C65；所以能成为N的算式是②③．故答案为：②③．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2013春•福州校级期中）已知复数Z1，Z2在复平面内对应的点分别为A（﹣2，1），B（a，3）．（1）若|Z1﹣Z2|=，求a的值．（2）复数z=Z1•Z2对应的点在二、四象限的角平分线上，求a的值．【解答】解：（1）由复数的几何意义可知：Z1=﹣2+i，Z2=a+3i．∵|Z1﹣Z2|=，∴|﹣a﹣2﹣2i|==．解得a=﹣3或﹣1．（2）复数z=Z1•Z2=（﹣2+i）（a+3i）=（﹣2a﹣3）+（a﹣6）i对应的点在二、四象限的角平分线上，依题意可知点（﹣2a﹣3，a﹣6）在直线y=﹣x上∴a﹣6=﹣（﹣2a﹣3），解得a=﹣9．18．（12分）（2013春•武威校级期末）坛子里放着5个相同大小，相同形状的咸鸭蛋，其中有3个是绿皮的，2个是白皮的．如果不放回地依次拿出2个鸭蛋，求：（1）第一次拿出绿皮鸭蛋的概率；（2）第1次和第2次都拿到绿皮鸭蛋的概率；（3）在第1次拿出绿皮鸭蛋的条件下，第2次拿出绿皮鸭蛋的概率．【解答】解：设第1次拿出绿皮鸭蛋为事件A，第2次拿出绿皮鸭蛋为事件B，则第1次和第2次都拿出绿皮鸭蛋为事件AB．（1）从5个鸭蛋中不放回地依次拿出2个的基本事件数为μ（Ω）=A52=20．又μ（A）=A31×A41=12．于是P（A）===．（2）因为μ（AB）=A32=6，所以P（AB）===．（3）因为μ（AB）=6，μ（A）=12，所以P（B|A）===．19．（12分）（2014春•金水区校级期末）从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：（Ⅰ）能组成多少个没有重复数字的七位数？（Ⅱ）在（Ⅰ）中的七位数中三个偶数排在一起的有几个？（Ⅲ）在（Ⅰ）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个分步计数问题，第一步在4个偶数中取3个，有C43种结果，第二步在5个奇数中取4个，有C54种结果，第三步得到的7个数字进行排列有A77种结果，∴符合题意的七位数有C43C54A77=100800．（Ⅱ）上述七位数中，三个偶数排在一起可以把三个偶数看成一个元素进行排列，三个元素之间还有一个排列，有C43C54A55A33=14400．（Ⅲ）上述七位数中，3个偶数排在一起有A33种情况，4个奇数也排在一起有A44种情况，共有C43C54A33A44A22=5760个．20．（12分）（2017春•皇姑区校级期中）已知的展开式的各项系数之和等于展开式中的常数项，求展开式中含的项的二项式系数．【解答】解：令a=1得的展开式的各项系数之和为2n，…（2分）由二项展开式的通项公式得，令10﹣5r=0，解得r=2，…（4分）所以的展开式中的常数项是第3项，即，由2n=27得n=7；…（8分）对于，由二项展开式的通项公式得，所以的项是第4项，其二项式系数是．…（12分）21．（12分）（2016•长春校级模拟）“蛟龙号”从海底中带回的某种生物，甲乙两个生物小组分别独立开展对该生物离开恒温箱的成活情况进行研究，每次试验一个生物，甲组能使生物成活的概率为，乙组能使生物成活的概率为，假定试验后生物成活，则称该试验成功，如果生物不成活，则称该次试验是失败的．（1）甲小组做了三次试验，求至少两次试验成功的概率；（2）如果乙小组成功了4次才停止试验，求乙小组第四次成功前共有三次失败，且恰有两次连续失败的概率；（3）若甲乙两小组各进行2次试验，设试验成功的总次数为ξ，求ξ的期望．【解答】解：（1）甲小组做了三次试验，至少两次试验成功的概率为：P（A）==．（2）根据乙小组在第四次成功前共有三次失败，可知乙小组共进行了6次试验，其中三次成功三次失败，且恰有两次连续失败，所以各种可能的情况数为=12种，所以所求的概率为P（B）=12×=．（3）由题意ξ的取值为0，1，2，3，4，P（ξ=0）==，P（ξ=1）=+=，P（ξ=2）=++=P（ξ=3）=+=，P（ξ=4）=•=，∴ξ的分布列为：Eξ==．22．（12分）（2015春•临沂期末）已知函数f（x）=lnx，g（x）=x2．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）﹣x+1的最大值；（Ⅱ）对于任意x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，是否存在实数m，使mg（x1）﹣mg（x2）﹣x2f（x2）+x1f（x1）恒为正数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）函数h（x）的定义域为（0，+∞），∵h（x）=lnx﹣x+1，∴h′（x）=﹣1=，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．∴h（x）在（0，1）上是单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=0，即函数的最大值为0．（Ⅱ）若mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）＞0恒成立，只需mg（x2）+x2f（x2）＞mg（x1）+x1f（x1），设φ（x）=mg（x）+xf（x）=mx2+xlnx，又0＜x1＜x2，则只需φ（x）在（0，+∞）上单调递减．∴φ′（x）=2mx+1+lnx≤0在（0，+∞）上成立，得2m≤，设t（x）=，则t′（x）=，知函数t（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，即t（x）min=t（1）=﹣1．∴存在实数m≤﹣，使mg（x2）﹣mg（x1）﹣x1f（x1）+x2f（x2）恒为正数．参与本试卷答题和审题的老师有：ywg2058；沂蒙松；qiss；733008；刘老师；wdlxh；zlzhan；yhx01248；刘长柏；涨停；sxs123；whgcn；lcb001；742048（排名不分先后）菁优网2017年6月16日。