2008-2009年度湖南省长沙市一中高一数学必修5教案《1.1.2余弦定理(1)》

合集下载

2008-2009年度湖南省长沙市一中高一数学必修5教案《2.2 等差数列》

2.2等差数列(一)一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。

一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。

而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。

同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。

三、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。

在解决问题的过程中培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱国热情。

四、教学重点与难点重点：①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

五、教学过程(一)创设情景上节课我们学习了数列。

高中数学 1.2 余弦定理(第1课时)教案必修5

1.2余弦定理第1课时余弦定理(1)(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题；(2)能够运用余弦定理理解解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；(3)通过三角函数、余弦定理、向量数量积等知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．2.过程与方法利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．3．情感、态度与价值观(1)培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；(2)通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系来理解事物之间的普遍联系与辩证统一．●重点、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用．难点：向量方法证明余弦定理．为了突出重点、分解难点，可引导学生把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角．再由边长的几种求法引出向量(向量的模就是线段的长度)．(教师用书独具)●教学建议1．本节课教学时应始终注意培养学生的问题意识．课题引入中提出在三角形中已知两边及夹角时，如何解三角形．随着问题的解决而引出本节研究的余弦定理，然后再通过向量知识给予证明，引起学生对应用向量知识解决问题的兴趣，同时感受向量法证明余弦定理的简便之处．2．在运用向量的方法证明余弦定理的同时，还应注意使学生体会三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识之间的联系．●教学流程错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!⇒错误!(对应学生用书第6页)课标解读1.了解向量法证明余弦定理的过程．(难点)2．掌握余弦定理，会用余弦定理解决一些简单的三角形问题．(重点)余弦定理△ABC 中，AC ＝2，BC ＝3，C ＝60°. 1．能否直接利用正弦定理求AB? 【提示】不能．2．能否利用平面向量求边AB ？怎么求？【提示】能．因AB →＝AC →＋CB →，∴|AB →|2＝|AC →|2＋|CB →|2＋2AC →·CB → ＝|AC →|2＋|CB →|2－2|AC →||CB →|cos ∠ACB ＝4＋9－2×2×3 cos 60°＝7. ∴|AB →|＝7.3．根据问题2的推导方法，能不能用b ，c ，A 表示a? 【提示】能． 1．余弦定理(1)三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)余弦定理也可以写成如下形式：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab.2．余弦定理的应用利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题： (1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边，进而求出其他两角.(对应学生用书第7页)已知三角形三边，解三角形已知△ABC 的三边长为a ＝3，b ＝4，c ＝37，求△ABC 的最大内角．【思路探究】判断最大内角→利用余弦定理求余弦→由余弦求角【自主解答】 ∵c ＞a ，c ＞b ，∴角C 最大．∵cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋42－3722×3×4＝－12，∴C ＝120°，∴△ABC 的最大内角为120°.1．已知三角形三边求三内角，应用的是余弦定理的变形形式，本例中“求最大内角”，应依据“大角对大边”确定．2．应用余弦定理求三角形内角时，与利用正弦定理有所不同，由于y ＝cos x 在(0，π)内单调，因此角由余弦值惟一确定，不需要分类讨论．△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则这个三角形的最大内角为________．【解析】 ∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，∴a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，∴角C 为最大内角，且cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋52－722×3×5＝－12，∴C ＝120°. 【答案】 120°已知两边及其夹角，解三角形在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，C ＝15°，解此三角形．【思路探究】 15°＝45°－30°→求cos 15°，sin 15°→余弦定理求c →正弦定理求A →求角B【自主解答】 cos 15°＝cos(45°－30°)＝6＋24，sin 15°＝6－24. 由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝4＋8－22(6＋2)＝8－43， ∴c ＝8－43＝6－ 2. 由正弦定理得sin A ＝a sin C c ＝12， ∴A ＝30°或A ＝150°. ∵b ＞a ，∴B ＞A .∴A ＝30°，B ＝180°－(A ＋C )＝135°.1．本例解法不只一个，求出边长c 后，也可利用余弦定理求角A ，避免角的取舍． 2．已知两边及其夹角，三角形惟一确定，不存在解的个数的讨论．在△ABC 中，已知a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，求b 及A .【解】由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×(6＋2)×23×cos 45°＝8， ∴b ＝2 2.下面用两种方法求A . 法一由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝222＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A ＝60°. 法二由正弦定理，得sin A ＝a b sin B ＝2322sin 45°＝32，∵(6＋2)2＝8＋43，(23)2＝12，∴6＋2＞23，∴c ＞a ，∴0＜A ＜90°，∴A ＝60°.余弦定理的变形及应用在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，角B ，角C 所对的边，已知b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，求角A 的大小及b sin Bc. 【思路探究】对已知条件进行转化，对cos A 的表达式进行整体代换，求角A . 【自主解答】由b 2＝ac 及a 2－c 2＝ac －bc 得b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∵0°＜A ＜180°，∴A ＝60°. 在△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝b sin Aa，又∵b 2＝ac ，A ＝60°，∴b sin B c ＝b 2sin A ac ＝sin 60°＝32.1．当已知条件中出现关于边的二次式时，经常对已知条件转化变形，以便于利用余弦定理求解三角形．2．利用已知等式时，应注意对原式变换，整体代换，简化运算．(2013·成都高二检测)在△ABC 中，sin 2A ≤sin 2B ＋sin 2C －sin B sin C ，则A 的取值范围是________．【解析】由已知及正弦定理有a 2≤b 2＋c 2－bc . 由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以b 2＋c 2－2bc cos A ≤b 2＋c 2－bc ，即cos A ≥12.又0＜A ＜π，所以角A 的取值范围为(0，π3]．【答案】 (0，π3](对应学生用书第8页) 忽略构成三角形的条件而致误在△ABC 中，三边的长为连续的自然数，且最大角为钝角，求这个三角形的三边的长．【错解】设a ＝k ，b ＝k ＋1，c ＝k ＋2(其中k ∈N *)，由题意知cos C ＜0. 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＜0，即k 2＋(k ＋1)2－(k ＋2)2＜0. ∴k 2－2k －3＜0，解得－1＜k ＜3. 又∵k ∈N *，∴k ＝1或k ＝2. 当k ＝1时，三边长分别为1,2,3；当k ＝2时，三边长分别为2,3,4.∴这个三角形的三边的长分别为1, 2,3或2,3,4.【错因分析】由于三边的长为连续的自然数，所以三边长分别用k ，k ＋1，k ＋2(k ∈N *)来表示，但解题时忽略了k ，k ＋1，k ＋2能否构成三角形，只考虑到大边对大角，用余弦定理求解，从而产生错误．【防范措施】在三角形中隐含条件较多，可能会因为不用心而导致错误，在利用余弦定理求三角形的三边时，先要判断一下三边能否构成三角形．【正解】设a ＝k ，b ＝k ＋1，c ＝k ＋2(k ∈N *)．由a ＋b ＞c ，知k ＋(k ＋1)＞k ＋2，即k ＋1＞2，得k ＞1，①由cos C ＜0，得a 2＋b 2－c 2＜0，即k 2－2k －3＜0. 解得－1＜k ＜3，②由①②知1＜k ＜3，又k ∈N *， ∴k ＝2，∴a ＝2，b ＝3，c ＝4， ∴这个三角形的三边的长分别为2,3,4.1．基础知识： (1)余弦定理；(2)利用余弦定理解三角形． 2．基本技能： (1)已知三边解三角形；(2)已知两边及其夹角，解三角形； (3)余弦定理的变形及应用． 3．思想方法： (1)转化与化归思想； (2)三角代换；(3)边角互化.(对应学生用书第8页)1．在△ABC 中，若a ＝c ＝2，B ＝120°，则边b ＝________. 【解析】 b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋22－2×2×2cos 120°＝2 3. 【答案】 2 32．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知a 2＝b 2－bc ＋c 2，则A ＝________. 【解析】 ∵a 2＝b 2－bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°. 【答案】 60°3．三角形的三边分别为4,6,8，则此三角形为________．【解析】设边长为8的边所对角为θ，则cos θ＝42＋62－822×4×6＜0，∴θ为钝角，∴此三角形为钝角三角形．【答案】钝角三角形4．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，求a .【解】 ∵a 2＋c 2－b 2＝2ac ·cos B ，∴a 2＋2－6＝22a ·(－12)，∴a 2＋2a －4＝0，∵Δ＝2＋16＝18＞0，∴a ＝－2±182，∵a ＞0，∴a ＝ 2.(对应学生用书第81页)一、填空题1．在△ABC 中，已知b ＝43，c ＝23，角A ＝120°，则a ＝________. 【解析】 a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝84，∴a ＝221. 【答案】 2212．(2013·如皋检测)在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶1∶2，则B 为________．【解析】 cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝22＋32－122×2×3＝32，∴B ＝30° 【答案】 30°3．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，CA ＝6，则AB →·BC →＝________.【解析】 cos B ＝72＋52－622×7×5＝1935，∴AB →·BC →＝7×5×cos(π－B )＝7×5×(－1935)＝－19.【答案】－194．(2013·烟台高二检测)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，则它的顶角的余弦值为________．【解析】设底边长为1，则每腰长为2，由余弦定理得 cos θ＝4＋4－18＝78.【答案】 785．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin Bsin C 的值为________．【解析】由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A . 即72＝52＋AC 2－10AC ·cos 120°， ∴AC ＝3.由正弦定理得sin B sin C ＝AC AB ＝35.【答案】 356．(2013·郑州高二检测)在△ABC 中，B ＝120°.AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________．【解析】由余弦定理知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos 120°，即49＝25＋BC 2＋5BC ，∴BC ＝3或BC ＝－8(舍去)，故S △ABC ＝12AB ·BC sin 120°＝1534. 【答案】1534 7．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，则角C ＝________.【解析】 ∵(a ＋b )2－c 2＝ab ，∴a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴c ＝120°. 【答案】 120°8．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.【解析】由余弦定理知b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， ∴b 2＝22＋c 2－2ac ×(－14)，∴b 2＝4＋(7－b )2＋(7－b )，∴b ＝4. 【答案】 4 二、解答题9．已知△ABC 中，边AB ＝3，AC ＝5且A ＝60°，求sin B 的值．【解】 ∵BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60° ＝32＋52－2×3×5×12＝19，∴BC ＝19.∵AC sin B ＝BC sin A ，∴sin B ＝53857.10．在△ABC 中，若c ＝4，b ＝7，BC 边上的中线AD 的长为72，求边长a .【解】设BC ＝a ＝2x (x ＞0)，则由余弦定理知cos ∠ADC ＝x 2＋722－722x ×72，cos ∠ADB ＝x 2＋722－422x ×72.∵∠ADC ＋∠ADB ＝π，∴cos ∠ADC ＋cos ∠ADB ＝0，即x 2＋722－727x ＋x 2＋722－427x＝0.整理得(2x )2＝81即2x ＝9，故边长a 为9.11．已知a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边，且a 2＋c 2－b 2＝ac . (1)求角B 的大小；(2)若c ＝3a ，求tan A 的值．【解】 (1)由余弦定理，得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(2)法一将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝5714，∵0＜A ＜π，∴sin A ＝1－cos 2A ＝2114， ∴tan A ＝sin A cos A ＝35.法二将c ＝3a 代入a 2＋c 2－b 2＝ac ，得b ＝7a ，由正弦定理，得sin B ＝7sin A . ∵B ＝π3，∴sin A ＝2114.又b ＝7a >a ，∴B >A ， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝5714，∴tan A ＝sin A cos A ＝35.(教师用书独具)已知△ABC 中，AB ＝1，BC ＝2，求角C 的取值范围．【思路探究】不妨设边AC ＝x ，由余弦定理建立关于x 的二次方程，根据二次方程根的范围建立不等关系求cos C 的范围进而求C 的范围．【自主解答】设AC ＝x ，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1＋2，x ＞2－1，∴1＜x ＜3.由余弦定理得x 2＋4－4x cos C ＝1，即x 2－4x cos C ＋3＝0.①∵方程①在(1,3)内有解，令f (x )＝x 2－4x cos C ＋3，∴f (1)·f (3)＜0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧f 1＞0，f 3＞0，1＜4cos C2＜3，Δ≥0，②由①得48(1－cos C )2＜0，无解．由②得cos C ≥32，又0＜C ＜π，∴0＜C ≤π6. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1)求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求a 的值．【解】 (1)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∴原式化为a 2＋c 2－b 22ac ·2ab a 2＋b 2－c 2＝－b2a ＋c，整理得a 2＋c 2－b 2＋ac ＝0，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝－ac 2ac ＝－12，又0＜B ＜π，∴B ＝2π3.(2)将b ＝13，a ＋c ＝4，B ＝2π3代入b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 13＝a 2＋(4－a )2－2a (4－a )·cos 2π3，即a 2－4a ＋3＝0. 解得a ＝1或a ＝3. 拓展探究正弦定理、余弦定理的关系正弦定理和余弦定理从不同的角度刻画了三角形边角之间的数量关系，它们是解决斜三角形问题的两个最重要的定理．在同一个三角形中，这两个定理又是等价的命题，即由正弦定理可以推出余弦定理，由余弦定理同样也可以推出正弦定理．(1)由正弦定理推导余弦定理在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，则b 2＋c 2－2bc cos A ＝4R 2(sin 2B ＋sin 2C －2sin B sin C cos A )＝4R 2[sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )]＝4R 2[(sin 2B －sin 2B sin 2C )＋(sin 2C －sin 2B sin 2C )＋2sin B cos B sin C cos C ]＝4R 2(sin 2B cos 2C ＋cos 2B sin 2C ＋2sin B cos B sin C cos C )＝4R 2sin 2(B ＋C )＝4R 2sin 2A ＝a 2.其中R 是△ABC 外接圆的半径．同理可证得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(2)由余弦定理推导正弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则a sin A ＝a 1－cos 2A ＝a 1－b 2＋c 2－a 224b 2c2 ＝2abc 4b 2c 2－b 2＋c 2－a 22＝2abc a ＋b ＋c b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c .同理可得bsin B＝2abc b ＋c ＋a b ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ， c sin C ＝2abc c ＋a ＋bb ＋c －a a －b ＋c a ＋b －c ，所以asin A ＝b sin B ＝c sin C. 综上所述，正弦定理与余弦定理是等价的命题．因此，在解三角形中，凡是能用正弦定理求解的三角形，必能用余弦定理求解，反之亦然．但是在遇到解三角形问题时，应首先分析已知条件，看该问题究竟属于哪一种类型，以决定采用哪一个定理，这样可以避免解题的盲目性，优化解题过程．所以，熟悉这两个定理所适用的解三角形的类型是很有必要的，这样就可以把解三角形问题解决得很好，在提高自身数学素养的同时更彰显特色．。

高一数学必修5系列教案：1.1.2余弦定理

1.2余弦定理（教学设计）教学过程：一、创设情景 C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b a(图1．1-4)二、新课讲解：联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。

由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()2222 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1-5)同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。

即 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a cb B ac 222cos 2+-=b ac C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。

【原创】人教A版高中数学必修五第一章1.1.2余弦定理教学设计

《余弦定理》教学设计一．教学目标知识目标：能推导余弦定理及其推论，能运用余弦定理解已知“边，角，边”和“边，边，边”两类三角形。

能力目标：培养学生知识的迁移能力；归纳总结的能力；运用所学知识解决实际问题的能力。

情感目标：从实际问题出发运用数学知识解决问题这个过程体验数学在实际生活中的运用，让学生感受数学的美，激发学生学习数学的兴趣。

通过主动探索，合作交流，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的理性和严谨。

养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度。

二．教学重点和难点重点：余弦定理的证明过程和定理的简单应用。

难点：利用向量的数量积证余弦定理的思路。

三．教学过程（一）知识回顾1.正弦定理：R cc B b A a 2sin sin sin === 2.运用正弦定理能解决的两类解三角形问题：（1）已知三角形任意两角和一边解三角形（2）已知三角形两边和其中一边的对角解三角形（二）提出问题已知三角形两边长和夹角求第三边的问题，即：在ABC ∆中已知AC=b ，AB=c 和A ，求a 。

（三）解决问题1．定理推导在ABC ∆中，设a BC b AC c AB ===,,，那么c b a -=，则c b a a -==，问题转化为已知：c c b b == ,和b 与c 的夹角A 且c b a -= 求a . A bc c b c b b b a a c b c b a a a cos 22)()(222-+=⋅-⋅+⋅=-⋅-=⋅=即：A bc c b a cos 2222-+=2．自主探究（1）、在ABC ∆中已知：C ,和b a 求c 。

（2）、在ABC ∆中已知：b B ,求和c a 。

3．归纳总结（1）余弦定理在ABC ∆中有：Cab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=（2）定理描述三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

高中数学必修五教案-1.1.2 余弦定理(6)-人教A版

学科数学年级/册高一必修5 教材版本人教A版课题名称余弦定理难点名称余弦定理的推导及应用难点分析从知识角度分析为什么难1.针对正弦定理不能解决的问题，重新探讨新的边角关系2.应用余弦定理和推论解三角形3.在解三角形中两个定理的选择从学生角度分析为什么难1应用余弦定理解三角形2.在解三角形中两个定理的选择难点教学方法1.从三角形全等的”边,角,边”的判定方法引入问题:如何用已知两边及夹角来表示第三边.启发学生从不同角度证明,课上只选用向量法证明.2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，讨论解三角形问题对应的几种题型,两个定理的选择,寻找最佳途径.教学环节教学过程导入首先一起回顾一下前面学过的正弦定理。

a:sinA=b:sinB=c:sinC=2R。

该定理的主要用途有两种，一是边角互化，常用于判断与证明。

第二个用途就是解三角形，解决两类问题1已知两角和任意一边2已知两边和其中一个边的对角那如果出现已知三边或已知两边和夹角的问题时，正弦定理就无法解决了这说明我们还要继续探索三角形新的边角关系知识讲解（难点突破）解决难点已知三角形的两边和夹角这类问题在三角形ABC中，已知角C，a边和b边求c边。

这样的已知两边和夹角的三角形形状是固定的，那如何求第三边呢？下面我们就用向量运算来寻求三角形边和角的新的关系式。

如图，下面我们就用向量运算来寻求三角形边和角的新的关系式。

如图，向量AB等于向量CB减去向量CA。

两边同时平方。

按运算率展开。

化简得到Cabbac cos2222-+=请同学们试着改变已知的边和角，不改变边角位置关系，看又能得出什么结果？这样同理得到Abccba cos2222-+=b。

高中数学《1.1.2 余弦定理》教案新人教A版必修5

课题：1.1.2余弦定理
高二数学教·学案
【学习目标】
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。

2.利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题
【学习重点】余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【学习难点】勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。

【授课类型】新授课
【教具】课件、电子白板
高二数学教·学案
课后反思：。

高一数学(人教版)必修5导学案设计：1.1.2余弦定理

§1.1.2. 余弦定理学习目标1.通过对余弦定理的探究与证明，学会用向量法.几何法.坐标法证明余弦定理，并能利用余定理解决两类解三角形问题2.体会数学与实际生活的应用，以及在定理推导的过程中用到的数学思想方法学习重点用余弦定理解三角形学习难点余弦定理的灵活运用解三角形学习过程一、复习引入1正弦定理：2正弦定理的应用：正弦定理可解决两类问题：（1）．已知，求其它两边和一角；（2）．已知，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（注意解的情况）3．在Rt△ABC中(若C=90︒)有：（勾股定理）4.在ABC∆中，(1) 已知2a=，b=，045C=，求c(2) 已知5a=，7b=，8c=，求B 用正弦定理还能解出来吗？二、自阅课本P5～P6认真理解余弦定理的推导过程并分析其结构1．用向量法探索余弦定理a2=_____________________________c2=_____________________________b2=_____________________________2.余弦定理的变形运用cosA=_________________________________ cosB=_________________________________ cosC=_________________________________思考：1、余弦定理与勾股定理有怎样的关系？2、在△ABC中，若222cba+<，则A为________角，反之亦成立；若222cba+=，则A为________角，反之亦成立；若222cba+>，则A为_______角，反之亦成立3、利用余弦定理可以解决两类三角形问题：（1）已知三边，求_______.（2）已知两边和它们的夹角，求________和________.三、尝试运用（尝试解决”复习引入4”中两个问题）例、在ΔABC中，（1）a＝1,b＝1,C＝1200,求c.（2）a＝3,b＝4,c＝37,求最大角的余弦值.（3）a:b:c＝1:3:2, 求角A,B,C.四、课堂练习1.在ABC∆中，已知8c=，3b=，060A=,求a2、在ABC∆中，已知3b=，c=，030A=,求a,B,C3.在ABC∆中，2b ac=，且2c a=，求cos B五、课堂小结六、作业布置赢在课堂：P5自我检查1、2、3、4P8演练提升1、3、6。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

1.1.2余弦定理(1)
一、教学内容分析
人教版《普通高中课程标准实验教科书·必修（五）》（第2版）第一章《解三角形》第一单元第二课《余弦定理》。

通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。

二、学生学习情况分析
本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。

在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。

总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。

三、教学目标
继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。

通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。

四、教学重点与难点
教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。

五、教学过程：
1.知识回顾
问题1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？
问题2、三角形的正弦定理主要解决哪几类问题的三角形？
2.创设引入你能判断下列三角形的类型吗？
问题3、隧道工程设计，经常要测算山脚的长度，工程技术人员先在地面上选一适当的位置A，量出A到山脚B、C的距离，再利用经纬仪测出A对山脚BC（即线段BC）的张角，最后通过计算求出山脚的长度BC。

已知：AB 、 AC 、角Ａ(两条边、一个夹角)
已知：AB 、 AC 、角Ａ(两条边、一个夹角), 求出山脚的长度BC 。

3.提出问题
你能够有更好的具体的量化方法吗？
帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的积极讨论。

4.合作探究
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

利用向量法推导余弦定理：如图：设,,,C AB b CA a CB ===，由三角形法则有-=
()()c
ab b a c ABC c ab b a b
a b a c c cos 2:cos 2222222-+=-+=⋅-⋅+⋅=-⋅-=⋅=中即：△
同理，让学生利用相同方法推导，
B a c a b A bc c b a cos 2,cos 2222222-+=-+=
5.归纳概括余弦定理：A bc c b a cos 22
22-+= B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+=
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

6.结构分析
观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系，并发现a 与A ，b 与B ，C 与c 之间的对应表述，同时发现三边长的平方在余弦定理中同时出现
7.知识联系
问题4 余弦定理是否还有其他形式? 余弦定理的推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222
cos 2+-=b a c C ba
8.方法应用
问题5怎样准确地解答引入中的问题？已测的：ＡＢ＝１千米，
A Ｃ＝ 1.5 千米
角Ａ＝６０度
求山脚ＢＣ的长度．
怎样利用已知条件判断三角形的形状？
问题6、以3，4，5为各边长的三角形是_____三角形
以2，3，4为各边长的三角形是_____三角形
以4，5，6为各边长的三角形是_____三角形
问题7余弦定理及其推论的基本作用是什么？
①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出其它角。

②判断三角形的形状.
提炼：设a 是最长的边，则
△ABC 是钝角三角形222
a b c ⇔>+
△ABC 是锐角三角形222a b c ⇔<+
△ABC 是直角三角形222a b c ⇔=+
问题8勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
（由学生总结）若∆ABC 中，C=090，则cos 0=C ，这时222=+c a b
由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例
9.定理应用
例1．在∆ABC 中，已知=a c 060=B ，求b 及A
⑴解：∵2222cos =+-b a c ac B =222+-⋅cos 045
=2121)+-=8 ∴=b
求A 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
⑵解法一：∵cos 2221,22+-=b c a A bc ∴060.=A
解法二：∵sin 0sin sin45,=a A B b 2.4 1.4 3.8,+=
21.8 3.6,⨯= ∴a ＜c ，即00＜A ＜090, ∴060.=A
评述：解法二应注意确定A 的取值范围。

问题9。

在解三角形的过程中，求某一个角时既可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有
什么利弊呢？
例2．在∆ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形
解：由余弦定理的推论得： cos 2222+-=b c a A bc 222
87.8161.7134.6287.8161.7
+-=⨯⨯0.5543,≈ 05620'≈A ； cos 2222+-=c a b B ca 222
134.6161.787.82134.6161.7
+-=⨯⨯0.8398,≈ 03253'≈B ； 0000180()180(56203253)
''=-+≈-+C A B 09047.'= 10.课堂练习
第8页练习第1（1）、（2）题。

11.课堂小结
（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；
（2）余弦定理的应用范围：①．已知三边求三角；②．已知两边及它们的夹角，求第三边。

12.课后作业
①课后阅读：课本第5--6页
②习案与学案。

2008-2009年度湖南省长沙市一中高一数学必修5教案《1.1.2余 弦 定 理(1)》

最新湖南省长沙一中高一数学必修5全套教案名师优秀教案

2008-2009年度湖南省长沙市一中高一数学必修5教案《2.2 等差数列 》

高中数学 1.2 余弦定理(第1课时)教案 必修5

高一数学 必修5系列教案：1.1.2余弦定理