8.4因式分解概念1
因式分解的知识点总结
因式分解的知识点总结因式分解是数学中的重要知识点之一，它在代数运算、方程求解、解决实际问题等方面起到了重要作用。
因式分解的目的是将复杂的代数式或多项式表示为简单的因式乘积形式，从而揭示其内在的性质和关系。
下面将对因式分解的定义、方法和应用进行总结。
一、因式分解的定义因式分解是将一个代数式或多项式分解为若干个互不相等、不可再分的因式的乘积形式。
因式分解的基本原则是尽量找出能够整除原式的因式，然后重复这一过程，直到无法再分解为止。
二、因式分解的方法1.提取公因式：当一个多项式的各项中存在一个公因式时，可以通过提取公因式来进行因式分解。
具体步骤是找出各项的最高公因式，然后提取出来，余下的部分就是新的因式。
2.公式法：对于一些特定的多项式，可以利用已知的公式进行因式分解。
常用的公式有平方差公式、差平方公式、和差积公式等。
3.配方法：对于一个二次多项式，可以通过配方法将其分解为两个一次多项式的乘积形式。
具体步骤是将二次项拆解成两个一次项相乘的形式，然后根据一次项的系数和常数项进行组合。
4.完全平方公式：对于一个二次多项式，如果能够表示为两个一次多项式的平方和的形式，则可以利用完全平方公式进行因式分解。
5.分组法：对于一个含有四个以上项的多项式，可以通过将其分成两组或多组来进行因式分解。
具体步骤是找出各组之间的公因式，然后进行提取，最后再对各组的公因式进行提取。
6.根据题目的要求进行因式分解：在实际问题中，可能会给出一些特殊的条件或要求，可以根据这些特殊条件进行因式分解。
三、因式分解的应用因式分解在数学中起到了重要的作用，它不仅可以简化代数式的计算，还可以帮助我们解决实际问题和证明数学定理。
以下列举了因式分解的一些常见应用。
1.求解方程和不等式：通过因式分解，可以将复杂的方程或不等式转化为简单的乘积形式，从而更容易求解。
2.展开与合并式子：通过因式分解，可以将复杂的多项式展开成为简单的乘积形式，或者将多个因式合并成为一个多项式。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解1.1因式分解概念(教案)
此外，平方差公式的运用也是一个难点。部分同学在识别和应用平方差公式时感ห้องสมุดไป่ตู้困难，这说明我在教学过程中需要更加强调这个公式的特征和适用条件。或许可以通过一些具体的数学问题和实际案例，让同学们更好地理解平方差公式的运用。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解因式分解的概念：因式分解是将一个多项式分解成几个整式的积的形式。这是本节课的核心内容，需要学生掌握。
-掌握提公因式法：学生需要学会从多项式中提取公因式，并进行因式分解，如：ax + bx = x(a + b)。
-运用平方差公式：学生应掌握平方差公式a² - b² = (a + b)(a - b)，并能应用于因式分解。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因式分解在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
北师大版八年级数学下册第四章因式分解1.1因式分解概念（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级数学下册第四章《因式分解》的第一节“因式分解概念”。教学内容主要包括以下方面：
1.理解因式分解的概念，能将多项式分解成几个整式的积的形式。
2.掌握因式分解的基本步骤，能够运用提公因式法进行因式分解。
因式分解-分组分解法
总结与归纳
(1) a2+2ab+b2-c2 (2) x2-y2+ax+ay
(2)利用分组分解法进行因式分解时，应该怎样 进行分解？
若多项式有四项，且不能直接提公因式时，可考虑用 分组分解法，常用分组方法有一、三分组，二、二分组; 一、三分组的前提是可以运用完全平方公式，然后再和 剩下的一项用平方差公式来分解；二、二分组的前提是 可以运用提公因式法或平方差公式，然后再用提公因式 法来分解.
②提取公因式后， 如果是三项的则考虑用完全平方 公式来分解因式如；果是二项的则考虑用平方差公式来分 解因式.
③最后检查式子是不是分解彻底了.
探究新知 例 把下列各式因式分解：
(1) a2+2ab+b2-c2 解:原式=( a2+2ab+b2 ) -c2
=(a+b)2-c2 =(a+b+c)(a+b-c)
同步练习 把下列各式因式分解：
(1) 4a2-b2+4a-2b
解:原式=(4a2-b2 ) +( 4a-2b) =[(2a)2-b2]+(4a-2b) =(2a+b)(2a-b)+2(2a-b) =(2a-b)(2a+b+2)
同步练习 把下列各式因式分解：
(2) x2-2xy+y2 Nhomakorabea1解:原式=( x2-2xy+y2 ) -1
拓展提升
已知a2+b2-6a+2b+10=0,求a,b的值.
解：因为 a2+b2-6a+2b+10=0 所以 a2-6a+9+b2+2b+1=0 所以 (a-3)2+(b+1)2=0 所以 a-3=0,b+1=0 解得 a=3,b=-1
初中八年级上册数学因式分解
初中八年级上册数学因式分解一、因式分解的概念1. 定义- 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
例如：x^2-4=(x + 2)(x-2)，这里就是把多项式x^2-4分解成了(x + 2)与(x - 2)这两个整式的积的形式。
2. 因式分解与整式乘法的关系- 因式分解与整式乘法是互逆的恒等变形。
整式乘法是把几个整式相乘化为一个多项式，如(a + b)(a - b)=a^2-b^2；而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘，如a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
二、因式分解的基本方法1. 提公因式法- 公因式的确定- 系数：取各项系数的最大公因数。
例如，对于多项式6x^2+9x，系数6和9的最大公因数是3。
- 字母：取各项相同的字母。
在6x^2+9x中，相同的字母是x。
- 字母的指数：取相同字母的最低次幂。
对于6x^2+9x，x的最低次幂是1。
所以公因式是3x。
- 提公因式法的步骤- 第一步，确定公因式。
- 第二步，将公因式提出，用原多项式除以公因式得到另一个因式。
例如，对于6x^2+9x = 3x(2x + 3)。
2. 公式法- 平方差公式- 公式：a^2-b^2=(a + b)(a - b)。
- 应用条件：多项式是两项式，并且这两项能写成平方差的形式。
例如，9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x + 4)(3x-4)。
- 完全平方公式- 完全平方和公式：a^2+2ab + b^2=(a + b)^2。
- 完全平方差公式：a^2-2ab + b^2=(a - b)^2。
- 应用条件：多项式是三项式，其中有两项能写成平方的形式，且这两项的符号相同，另一项是这两个数乘积的2倍。
例如，x^2+6x + 9=x^2+2×3x+3^2=(x + 3)^2；x^2-4x + 4=x^2-2×2x+2^2=(x - 2)^2。
【沪科版七年级数学下册教案】8.4 因式分解 第1课时
8.4 因式分解第1课时教学目标1．理解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系，会用提取公因式的方法分解因式；2．会确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．教学重难点【教学重点】因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系，会用提取公因式的方法分解因式. 【教学难点】确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．课前准备课件教学过程一、情境导入学校有一个长方形植物园，面积为(6ab＋3ab2)平方米，如果长为3ab米，那么宽是多少米？二、合作探究探究点一：因式分解的概念下列从左到右的变形中是因式分解的有( )①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：①没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故①不是因式分解；②把一个多项式转化成几个整式积的形式，故②是因式分解；③是整式的乘法，故③不是因式分解；④把一个多项式转化成几个整式积的形式，故④是因式分解．故选B.方法总结：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．探究点二：公因式的确定多项式6ab2c－3a2bc＋12a2b2中各项的公因式是( )A．abc B．3a2b2 C．3a2b2c D．3ab解析：系数的最大公约数是3，相同字母的最低指数次幂是ab，∴公因式为3ab.故选D. 方法总结：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：(1)定系数，即确定各项系数的最大公约数；(2)定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；(3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂．探究点三：提公因式法分解因式【类型一】直接用提公因式法进行因式分解因式分解：(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.解析：将原式各项提取公因式即可得到结果．解：(1)原式＝4ab2(2a2＋3bc)；(2)原式＝(2a－3)(b＋c)；(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．方法总结：提公因式法的基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式．【类型二】利用因式分解简化运算计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14.解析：(1)首先提取公因式13，进而求出即可；(2)首先提取公因式20.15，进而求出即可．解：(1)39×37－13×91＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)＝13×20＝260；(2)29×20.15＋72×20.15＋13×20.15－20.15×14＝20.15×(29＋72＋13－14)＝2015. 方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．【类型三】利用因式分解整体代换求值已知a＋b＝7，ab＝4，求a b＋ab的值．解析：原式提取公因式变形后，将a＋b与ab的值代入计算即可求出值．解：∵a＋b＝7，ab＝4，∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.方法总结：求代数式的值，有时要将已知条件看作一个整体代入求值．三、板书设计1．因式分解的概念2．公因式3．提公因式法分解因式ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．四、教学反思本节中要给学生留出自主学习的空间，然后引入稍有层次的例题，让学生进一步感受因式分解与整式的乘法是逆过程，从而可用整式的乘法检查错误．本节课在对例题的探究上，提倡引导学生合作交流，使学生发挥群体的力量，以此提高教学效果。
因式分解知识总结
因式分解一、知识梳理1、因式分解的概念把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解. 注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.2、提取公因式法把ma+mb+mc，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：ma+mb+mc=m（a+b+c）注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式. ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；②字母：各项都含有的相同字母；③指数：相同字母的最低次幂.3、运用公式法把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.ⅰ）平方差公式注意：①条件：两个二次幂的差的形式；②平方差公式中的a、b可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；③在用公式前，应将要分解的多项式表示成的形式，并弄清a、b分别表示什么.ⅱ）完全平方公式注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成公式原型，弄清a、b分别表示的量.补充：常见的两个二项式幂的变号规律：4、十字相乘法借助十字叉线分解系数，从而把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次项系数为l的二次三项式,寻找满足的ab、，则有5、分组分解法定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如没有公因式，又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.6、求根公式法：如果有两个根，那么二、典型例题及针对练习考点1 因式分解的概念例1、在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n个整式的积与某项的和差形式..考点2 提取公因式法2注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.[补例练习]1。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
八年级数学因式分解知识点
八年级数学因式分解知识点在八年级数学学习中，因式分解是一个重要的知识点。
它是解决一元二次方程的基础，同时也是其他数学题目中常用的方法。
因此，掌握因式分解是十分必要的。
本文将从何为因式分解、如何因式分解、应用因式分解三方面进行讲解。
何为因式分解？因式分解，顾名思义，就是把一个算式分解成不可再分的因式之积。
例如，4x^2+8x=4x(x+2)，其中4x和x+2就是因式，它们的积就是原算式。
因式分解不仅可以用于解一次、二次方程，还可以用于化简分式、求最大公因数等方面。
所以，学生在学习因式分解时，要注意理解其定义及其用途，以便后续学习中灵活地应用。
如何因式分解？因式分解的方法有很多种，我们在学习中一般采用分拆因式法、提公因式法、配方法等三种。
下面我们来分别介绍这三种方法：1.分拆因式法分拆因式法就是把一个数分解成两个因数的积，这种方法常用于多项式分解。
例如，x^2+3x+2可以分解成(x+1)(x+2)，x^3-1可以分解成(x-1)(x^2+x+1)等。
2.提公因式法提公因式法就是提取多项式中的公因式，因为分解后的公因式可以被其它项相乘而得到原多项式。
例如，2x+4y可以分解成2(x+2y)，12a^3+18a^2可以分解成6a^2(2a+3)等。
3.配方法配方法就是把多项式分成两组相乘再合并，从而得到分解后的式子。
例如，x^2+5x+6可以分解成(x+2)(x+3)等。
应用因式分解因式分解可以应用于很多数学题目中。
下面我们来看几个例子：1.求最大公因数求两个数的最大公因数时，我们可以先分别把它们分解成质数的乘积再把它们相同的因数取出来相乘即可。
2.化简分数当一个分数的分子、分母可以因式分解时，我们就可以把分子、分母分别分解，最后把它们的公因数约掉，得到化简后的分数。
3.解一元二次方程解一元二次方程需要用到配方法，通过配方法把方程化成(x+a)(x+b)=0的形式，然后再解得x的值。
总结以上就是因式分解的知识点。
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右边
是整式(单、多)的积
多项式的因式分解（或分解因式）
因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式,叫 做因式分解，也叫做把这个多项式分解因 式.
强调：
1、符合因式分解的条件是……多项式。 2、结果：化成几个整式（单、多）的积的形式
做一做,计算下列各式
3x 3x (1) 3x(x-1)=___________
2
2
ma mb mc (2) m(a+b+c)=_____________
m 16 (3) (m+4)(m-4)=_______________
(4)
( y 3)
2
y 6y 9 = _______________
2
整式的乘法 以上各式属于___________运算
根据前面的算式填空
整式乘法 二者是互逆的过程
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
（1） a
2
（2）( a 3)( a 3)
（3） 4 x
2
a a ( a 1)
2
是 不是 不是
a 9
2
2
4 x 1 (2 x 1)
x 3x 1 x( x 3) 1 不是 （4）
交流自己的算法
议一议
2-b2 a 由(a-b)(a+b)得到_______ 2-b2 由a
(a-b)(a+b) 得到_________
你能再举几个类似的例子吗？
m(a+b+c)=ma+mb+mc
反过来，ma+mb+mc=m(a+b+c)
2=a2+18a+81 (a+9)
那么，a2+18a+81=(a+9)2
3x 3x = 3x(x-1) 2 m 16 = (m+4)(m-4)
2
ma mb mc = m(a+b+c)
y 6 y 9 = ( y 3)
2
2
分解因式 以上各式属于___________运算
想一想
分解因式与整式乘法有什么关系?
分解因式
2-b2 a
(a-b)(a+b)
捷足先登
∵3a(a+4) ∴
2+12a （乘法运算） =3a
2+12a 3a
= ( 3a )( a＋4 );
（ 因式分解）
（2） ∵
2=a2+6a+9 （乘法运算） (a+3)
2+6a+9 ∴a
2 = ( a＋3 )( a＋3 ); （a＋3）
（因式分解）
（3）
∵(2－a)(2+a) =
2 4－a （乘法运算）
下列代数式从左到右的变形是因式分解吗？
1 （5）x 1 x ( x ) x
2
不是 不是 不是
（6）18a bc 3a b6ac
3 2
x （7） 4 (
x 2)( x 2)
做一做
1、你能否先写出整式相乘的
两个例子； 2、你能由此得到相应的两个 多项式的因式分解吗？
本套课件由滁州市第二中学初一备课组 制作整理，适用于沪科版教材，2012年 修改版本。如需全套课件，请联系作者 问价。 QQ:45564710
错误1：混淆公式
x
2
2m 3n
2
2
3y
2 2
4m 9n
2
2
x 9y
4
2
4
错误2：忘加括号
4x 2x 12x 1 4 x 4 x 1
2
2-b2=? 当a=101,b=99时,则a
2-2xy+y2=? 当x=101,y=99时,x
当x=
2+60x=? -3时,20x
(3x+4y)(3x-4y)=9x2-16y2
则有
2-16y2=(3x+4y)(3x-4y) 9x
下列式子的表示形式与乘法运算有什么关系
由 (1) a2-b2 = (a+b)(a-b) (2)ma+mb+mc=m(a+b+c))
2+18a+81=(a+9)2 (3)a
(4)9x2-16y2=(3x+4y)(3x-4y) 左边： 是一个多项式
2 ∴4－a
= ( 2－a )( 2＋a );
（因式分解）
(1) (2)
(3)
2－992= 101
400 8700
2500
2+87×13= 87
2－2×51+1= 51 2－1= 50
(4)
2499
（1） x
mx n能分解成 ( x 2)( x 5) 则 m = ______, n = ______. -7 -10
2
（2） 某沿江风景带修建了三块长方形的绿化草坪，
他们的宽都是８㎝，长分别是５５．５㎝，２ ４．４㎝，２０．１㎝，那么这些绿化带的面积 之和是__________ 2
800cm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8 55.5 24.4 20.1
颗粒归仓
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