第七章第5讲分层演练直击高考

[解析] 作 CH⊥AB 于 H，连接 PH.因为 PC⊥平面 ABC，所 以 PH⊥AB，PH 为 PM 的最小值，等于 2 7.
[答案] 2 7
第七章
立体几何
8.如图所示，在四面体 ABCD 中，AB，BC，CD 两 两垂直，且 BC＝CD＝1.直线 BD 与平面 ACD 所成 的角为 30°，则线段 AB 的长度为________．
第七章
立体几何
1．“直线 a 与平面 M 内的无数条直线都垂直”是“直线 a 与平面 M 垂直”的( A．充分不必要条件 C．充要条件 ) B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
B
[解析] 根据直线与平面垂直的定义知“直线 a 与平面 M
内的无数条直线都垂直”不能推出“直线 a 与平面 M 垂 直”，反之可以，所以应该是必要不充分条件．
第七章
立体几何
6.如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧棱长为 2， AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D 是 A1B1 的中点， F 是 BB1 上的动点， AB1， DF 交于点 E， 要使 AB1 ⊥平面 C1DF，则线段 B1F 的长为( 1 A． 2 3 C． 2 B．1 D．2 )
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立体几何
又 SD⊥底面 ABCD，BC⊂底面 ABCD， 所以 SD⊥BC， 因为 SD∩DB＝D，所以 BC⊥平面 SDB， 因为 DE⊂平面 SDB，所以 BC⊥DE， 又 SB＝ SD2＋DB2＝ 4＋2＝ 6， 6 当 SE＝2EB 时，EB＝ ， 3 6 EB 3 3 DB 2 3 在△EBD 与△DBS 中， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， BD 2 3 BS 6 3
C [解析] 因为 AB＝CB， 且 E 是 AC 的中点， 所以 BE⊥AC， 同理，DE⊥AC，由于 DE∩BE＝E，于是 AC⊥平面 BDE. 因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE.又 AC⊂平 面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE.故选 C．
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立体几何
4．已知 l，m，n 是三条不同的直线，α，β 是不同的平面， 则 α⊥β 的一个充分条件是( A．l⊂α，m⊂β，且 l⊥m B．l⊂α，m⊂β，n⊂β，且 l⊥m，l⊥n C．m⊂α，n⊂β，m∥n，且 l⊥m D．l⊂α，l∥m，且 m⊥β )
2 2
在 Rt△DB1E 中，B1E＝ 6 由面积相等得 × 6 x
2
＋
6 2 2 3 2 － ＝ . 6 2 3 2 1 22 ＝ x，得 x＝ . 2 2 2
第七章
立体几何
7.如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AB＝8， ∠ABC＝60°，PC⊥平面 ABC，PC＝4，M 是 AB 上的一个动点，则 PM 的最小值为________．
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立体几何
A
[解析] 设 B1F＝x，因为 AB1⊥平面 C1DF，DF⊂平面
C1DF，所以 AB1⊥DF.由已知可以得 A1B1＝ 2. 1 设 Rt △AA1B1 的斜边 AB1 上的高为 h，则 DE＝ h. 2 2 3 3 又 2× 2＝h 2 ＋（ 2） ，所以 h＝ ，DE＝ . 3 3
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[解析] 对于命题①， 可运用长方体举反 例证明其错误： 如图，不妨设 AA′为直线 m，CD 为直 线 n，ABCD 所在的平面为 α，ABC′ D′所在的平面为 β，显然这些直线和平面满足题目条件，但 α⊥β 不成立． 命题②正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 α 相交 于直线 l，则 l∥n，由 m⊥α 知 m⊥l，从而 m⊥n，结论正确． 由平面与平面平行的定义知命题③正确． 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确． [答案] ②③④
第七章
立体几何
EB DB 所以BD＝ BS ， 又∠EBD＝∠DBS，所以△EBD∽△DBS， 所以∠DEB＝∠SDB＝90°，即 DE⊥SB， 因为 SB∩BC＝B， 所以 DE⊥平面 SBC．
第七章
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13．如图，梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC ＝90°，AD∶BC∶AB＝2∶3∶4，E，F 分别 是 AB，CD 的中点，将四边形 ADFE 沿直线 EF 进行翻折， 给出下列四个结论： ①DF⊥BC； ②BD⊥FC；③平面 BDF⊥平面 BCF；④平面 DCF⊥平面 BCF，则上述结论可能正确的是( A．①③ C．②④ )
第七章
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5．(2017· 河北名师俱乐部模拟)在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA ＝3，PA⊥底面 ABCD，E 是棱 PD 上异于 P，D 的动点，设 PE ＝m，则“0<m<2”是“三棱锥 CABE 的体积不小于 1”的 ED ( )
第七章
立体几何
D
[解析] 对于 A，l⊂α，m⊂β，且 l⊥m，如图(1)，α，β
不垂直；对于 B，l⊂α，m⊂β，n⊂β，且 l⊥m，l⊥n，如图 (2)，α，β 不垂直；
对于 C，m⊂α，n⊂β，m∥n，且 l⊥m，直线 l 没有确定， 则 α，β 的关系也不能确定；对于 D，l⊂α，l∥m，且 m⊥β， 则必有 l⊥β，根据面面垂直的判定定理知，α⊥β.
[答案] ②③
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立体几何
11.如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，D 是 AC 的中点，S 是△ABC 所在平面外一点，且 SA＝ SB＝SC． (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC．
[证明] (1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点， 所以 SD⊥AC． 在 Rt△ABC 中，AD＝BD，又 SA＝SB，SD＝SD， 所以△ADS≌△BDS.所以 SD⊥BD． 又 AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC．
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[解析] 若平面 α、 β、 γ 两两相交于三条直线， 则有交线平行， 故①不正确．因为 a、b 相交，假设其确定的平面为 γ，根据 a∥α， b∥α， 可得 γ∥α.同理可得 γ∥β， 因此 α∥β， ②正确． 由 面面垂直的性质定理知③正确．当 a∥b 时，l 垂直于平面 α 内两条不相交直线，不能得出 l⊥α，④错误．
第七章
立体几何
(2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC． 由(1)知 SD⊥BD，又 SD∩AC＝D， 所以 BD⊥平面 SAC．
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立体几何
12．(2017· 南昌市第一次模拟测试)如图，四棱锥 SABCD 中，SD⊥底面 ABCD，AB∥DC，AD ⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，M，N 分别 为 SA，SC 的中点，E 为棱 SB 上的一点，且 SE＝2EB． (1)证明：MN∥平面 ABCD； (2)证明：DE⊥平面 SBC．
第七章
立体几何
2. 如图， O 为正方体 ABCDA1B1C1D1 的底面 ABCD 的中心，则下列直线中与 B1O 垂直的是 ( ) B．AA1 D．A1C1
A．A1D C．A1D1
D
[ 解析 ] 由题易知 A1C1 ⊥平面 BB1D1D ． 又 B1O ⊂ 平面
BB1D1D，所以 A1C1⊥B1O.
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3．(2017· 九江模拟)如图，在三棱锥 DABC 中， 若 AB＝CB，AD＝CD，E 是 AC 的中点，则下列 命题中正确的是( )
A．平面 ABC⊥平面 ABD B．平面 ABD⊥平面 BCD C．平面 ABC⊥平面 BDE，且平面 ACD⊥平面 BDE D．平面 ABC⊥平面 ACD，且平面 ACD⊥平面 BDE
B．②③ D．③④
第七章
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B
[解析] 对于①，因为 BC∥AD，AD 与
DF 相交但不垂直，所以 BC 与 DF 不垂直， 则①不成立；对于②，设点 D 在平面 BCF 上的射影为点 P， 当 BP⊥CF 时就有 BD⊥FC， 而 AD∶BC∶AB＝2∶3∶4 可使条件满足，所以②正确；对 于③，当点 D 在平面 BCF 上的射影 P 落在 BF 上时，DP⊂ 平面 BDF，从而平面 BDF⊥平面 BCF，所以③正确；对于 ④， 因为点 D 在平面 BCF 上的射影不可能在 FC 上， 所以④ 不成立．
第七章பைடு நூலகம்
立体几何
15．(2016· 高考江苏卷)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，D，E 分别为 AB，BC 的中点，点 F 在侧棱 B1B 上，且 B1D⊥ A1F，A1C1⊥A1B1. 求证：(1)直线 DE∥平面 A1C1F； (2)平面 B1DE⊥平面 A1C1F.
第七章
立体几何
第七章
立体几何
[证明] (1)连接 AC，因为 M，N 分别为 SA， SC 的中点，所以 MN∥AC ，又 MN ⊄ 平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD． 所以 MN∥平面 ABCD． (2)连接 BD，因为 BD2＝12＋12＝2，BC2＝12 ＋(2－1)2＝2， BD2＋BC2＝2＋2＝4＝DC2， 所以 DB⊥BC，
[解析] 如图，过点 B 作 BH⊥AC，垂足为点 H，连接 DH. 因为 CD⊥AB，CD⊥BC，所以平面 ACD⊥平面 ABC，所以 BH⊥平面 ACD． 所以∠BDH 为直线 BD 与平面 ACD 所成的角． 所以∠BDH＝30°，
第七章
立体几何
在 Rt△BDH 中，BD＝ 2， 2 所以 BH＝ . 2 又因为在 Rt△BHC 中，BC＝1，所以∠BCH＝45°. 所以在 Rt△ABC 中，AB＝BC＝1.
第七章
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10．已知 a、b、l 表示三条不同的直线，α、β、γ 表示三个不 同的平面，有下列四个命题： ①若 α∩β＝a，β∩γ ＝b，且 a∥b，则 α∥γ； ②若 a、b 相交，且都在 α、β 外，a∥α，a∥β，b∥α，b∥β， 则 α∥β； ③若 α⊥β，α∩β＝a，b⊂β，a⊥b，则 b⊥α； ④若 a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，l⊄α，则 l⊥α. 其中正确命题的序号是________．