十年高中数学联赛一试圆锥曲线部分

PF1 PF2

AP AF2
（1） ，
2
又由圆幂定理， AP AF1 AF2 （2） ，而 F 1 (2 3,0) ， F 2 (2 3,0) ，A (8 2 3,0) ， 从而有 AF 1 8 ， AF2 8 4 3 。
-4-
代入（1） ， （2）得
x2 a
2
PF1 PF2
2 3 2 3 0, sin 0, 2 2 2 2 2 3 sin( ) 0, ()式 0. 2 4

2 3 3 3 , 2 4 4
2 3 . 2 4
即 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3. 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆，选 C。 2007. 设圆 O1 和圆 O2 是两个定圆，动圆 P 与这两个定圆都相切，则圆 P 的圆心轨迹不可能是 （ ）


1 cos2 sin 2 1 1 1 于是, + = =( )+[ 2 OP 2 OQ 2 R12 R2 a2 b2
=


1 1 + =1. a2 b2
1 1 1 = + =1,故得 h=1 2 h OP OQ 2
又在 Rt△POQ 中，设点 O 到 PQ 的距离为 h，则
同理，点 O 到 QR，RS，SP 的距离也为 1，故菱形 PQRS 与 C0 外切.充分性得证. [注]对于给出 a b a b
2 2 2 2
，
2
ab a2 b2
=1 等条件者，应同样给分.
2002．已知点 A(0，2)和抛物线 y =x＋4 上两点 B，C，使得 AB⊥BC，求点 C 的纵坐标的取值 范围．
解：设 B(y0 －4，y0)，C(y1 －4，y1)．则
2
2
y0－2 1 y1－y0 1 kAB= 2 = ．kBC= 2 2= ． y 0+2 y0－4 y1－y0 y1+y0
2005.若正方形 ABCD 的一条边在直线 y 2 x 17 上，另外两个顶点在抛物线 y x 2 上.则该 正方形面积的最小值为 80 .
解 ：设 正方 形的 边 AB 在 直线 y 2 x 17 上 ， 而位 于抛 物线 上的 两个 顶点 坐标 为
C ( x1 , y1 ) 、 D( x2 , y 2 ) ，则 CD 所在直线 l 的方程 y 2 x b, 将直线 l 的方程与抛物线方程联
2 2
D。[

2 3 2 3 , 3 3 ]
答：[
]
解 ： M N 相 当 于 点 （ 0 ， b ） 在 椭 圆 x 2y 3 上 或 它 的 内 部

2b 2 6 6 1, Biblioteka b 3 2 2 。故选 A。
2005. 方程
x2 y2 1 表示的曲线是 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3
2
AE BF 1 ;点 F 在线段 BC 上，满足 2 ，且 EC FC
1 2 1 ，线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程.
解 一 ： 过 抛 物 线 上 点 A 的 切 线 斜 率 为 ： y 2 x | x1 2, 切 线 AB 的 方 程 为
十年全国高中数学联赛试题一试
解析几何圆锥曲线部分 一、选择题 2 2 2000、已知点 A 为双曲线 x y =1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边 三角形，则△ABC 的面积是 【答】 （ ） (A)
3 3
(B)
3 3 2
(C) 3 3
(D) 6 3
答案： C 。 解析： 如图所示， 设 BD=t， 则 OD= 3 t-1， 从而 B （ 3 t-1， t） 满足方程 x 2 y 2 1 ， 可以得到 t= 3 ,所以等边三角形，Δ ABC 的面积是 3 3 .
, 3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 方 程 表 2 2
-2-
示的曲线是椭圆。
(sin 2 sin 3 ) (cos 2 cos 3 ) 2 2 sin
2 3 2 3 sin( ) () 2 2 4
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆 解： 2 3 , 0

2
2 3

2


2
, cos(

2
2 ) cos( 3

2
), 即
sin 2 sin 3.
又 0
2

x y + =1,即 bx+ay=ab.由于菱形与 CO 外切, a b
故必有
ab a 2 b2
=1,整理得
1 1 + =1. 必要性得证. a2 b2
1 1 + =1,P 是 C1 上任意一点,过 P、O 作 C1 的弦 PR，再过 O 作与 PR 垂直的弦 QS， a2 b2 则 PQRS 为与 C1 内接菱形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点 O 的坐标为(r1cos , r1sin ),点 Q 的坐
2002．直线 + =1 与椭圆 + =1 相交于 A、B 两点，该椭圆上点 P，使得Δ PAB 面积等于 3．这 4 3 16 9 样的点 P 共有
x y
x2 y2
B．2 个 C．3 个 解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程 3x+4y－12=0．
A．1 个
D．4 个
12|cosθ +sinθ －1| 设点 P(4cosθ ，3sinθ )． 点 P 与直线的距离 d= ， 5 π 12 当 0≤θ ≤ 时，d≤ ( 2－1)，SABC≤6( 2－1)<3．即此时没有三角形面积=3； 2 5 当 π 12 <θ <2π 时，d≤ ( 2+1)，SABC≤6( 2+1)．即此时有 2 个三角形面积=3．选 B． 2 5
2 2
2003. 2 设 a, b R, ab 0, 那么直线 ax y b 0 和曲线 bx ay ab 的图形是 【答】 （
）
-1-
题设方程可化为 y ax b 和
x2 y2 1 ,观察图形可知； a b

2003.3 过抛物线 y2 8 x 2 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线. 若此直线与抛物线交于 A， B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于 （A） 【答】 （ (D) 8 3
充分性:设 标为(r2cos( +
),r2sin( + )),代入椭圆方程,得 2 2
-5-
r1 cos
a
2
2
+
r1 sin
b2
2
[r 2 cos( )]2 [r 2 sin( )]2 2 + 2 =1, =1, a2 b2 cos2 ( ) sin 2 ( ) 2 ] 2 + 2 2 b a
16 ； 3
2 2 2004、已知 M= ( x, y) | x 2 y 3 ，N= ( x, y) | y mx b，若对于所有的 m R ，均有


M N , 则 b 的取值范围是
A．[

6 6 , 2 2 ]
B。 （

6 6 2 3 2 3 , , 2 2 ）C。 3 3 ） （
2 2 2
| 17 b | 5
②.
2006. 已知椭圆
x2 y 2 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 ， 点 P 在直线 l： x 3y 8 2 3 0 16 4
上. 当 F 1PF 2 取最大值时，比
PF1 PF2
的值为
.
【解】 由平面几何知， 要使 F 则过 F1 , F2 ， P 三点的圆必定和直线 l 相切于 P 点。 1PF 2 最大， 设 直 线 l 交 x 轴 于 A (8 2 3,0) ， 则 APF 1 AF 2 P ， 即 APF 1 AF 2P ， 即

2
=0
则∠ABF=90°.
2003．设 F1 , F2 是椭圆
x2 y 2 1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且 PF1 : PF2 2:1 ，则 9 4
PF1F2 的面积等于_____________.
PF1 F2 是直角三角形，故 PF1 F2 的面积为 S
1 1 | PF1 | | PF2 | 2 4 4 ; 2 2
由 kAB·kBC=－1，得(y1+y0)(y0+2)=－1．
-6-
∴ y0 +(y1+2)y0+(2y1+1)=0． 2 2 ∴ △=(y1+2) －4(2y1+1)=y1 －4y1≥0， ∴ y1≤0，y1≥4． 当 y1=0 时，得 B(－3，－1)，当 y1=4 时，得 B(5，－3)均满足要求，故点 C 的纵坐标的 取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)． 2005.过抛物线 y x 2 上的一点 A（1,1）作抛物线的切线，分别交 x 轴于 D，交 y 轴于 B.点 C 在抛物线上，点 E 在线段 AC 上，满足
2000、已知 C0:x +y =1 和 C1:
2
2
答案：所求条件为
1 1 + =1. a2 b2
证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心. 假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与 C1 内接,与 Co 外切. ( a, 0 )的相 对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在 y 轴上,为(0, b) 和 (0, -b) .菱形一条边的方程为