数学分析大二第一学期试卷(A)

一、填 空 题

1.将函数展开为麦克劳林级数，则=-+x

x 11ln ______________________ 。 2.x x x f sin )(= 在( - π,π )上展开的傅里叶级数为________ ______ 。

3.已知方程 z e z y x =++可以确定隐函数，那么 =∂∂∂y

x z 2________________________ __。 二、单项选择题

1、幂级数∑∞

=-112n n x n 的收敛域与和函数分别是___________ 。

A 、 [ - 1 , 1 ] ，2)1(1x x -+；

B 、( - 1, 1 ) ，3

)1(1x x -+； C 、(- 1 , 1 ) ，)1(1x x -+； D 、[ - 1 , 1 ] ，4)1(1x x -+。 2、 22)(y x x f +=在( 0 , 0 )满足 ________ 。

A 、连续且偏导数存在；

B 、不连续但偏导数存在；

C 、连续但偏导数不存在；

D 、不连续且偏导数不存在。

4、函数222z y x u -+=在点A(b,0,0)及B(0,b,0)两点的梯度方向夹

角 。

A 、2π；

B 、3

π； C 、4

π； D 、6π。

三、计算题

1、设),(y x z z =是由隐函数0),(=++

x z y y z x F 确定，求表达式y

z y x z x ∂∂+∂∂，并要求简化之

3、设函数),(v u x x =满足方程组⎩⎨⎧==0

)),(,(0)),(,(v x g y G u y f x F ，其中g f G F ,,,均为连续可微函数，且x y g f G F G F 2211≠，记1F 为F 对第一个变量的偏导数，其他类推，求v

x u x ∂∂∂∂,。

四、应用题 ( 共 14 分 )

1. 用Lagrange 乘数法，解2),,(4

2

2z y x z y x f ++=在1=xyz 条件下的极值题。（8 分）

2. 求曲面xyz z y x 3)(3222=++所围区域的体积。

( 6 分 )

五、证明题 （4小题，共30分）

1、⎪⎩

⎪⎨⎧=+≠+++=0,00,sin )(),(222222y x y x y x xy y x y x f ，证明),(y x f 在（0，0）点连续但是不可微。( 10 分 )

2、证明：积分dx e a F a x ⎰+∞--=

0)(2)(是),(+∞-∞∈a 上的连续函数。( 6 分 )

3、将),0(,sin π∈=x x y 展开成余弦级数，并求级数∑+∞=+--121

14)1(n n n 的和。 ( 8分 )

4、若222222z

u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆，且S 为包围有界体积V 的光滑曲面，证明： dxdydz u u dxdydz z u y u x u dS n u u

V

V S ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∆+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂])()()[(222 其中u 和它的直到二阶的偏导函数是在闭区域V+S 上的连续函数，n

u ∂∂为u 的沿曲面S 的外法线方向导函数。( 6 分 )