【人教课标A版】【理科数学】高考一轮复习精品课件第5讲 函数的单调性与最值
高考理科数学总复习课件函数的单调性与最值
3 强化训练
通过大量的练习题，加深对知识点的理解和记忆，提高 解题能力和应试水平。
4 总结归纳
及时总结归纳学习过程中的重点和难点，形成自己的知 识网络，便于回顾和复习。
感谢您的观看
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02
函数最值求解方法
闭区间上连续函数最值定理
定理内容：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连 续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值 。
3. 比较上述各点处的函数值，最大的为 最大值，最小的为最小值。
2. 计算f(x)在可疑极值点和区间端点a,b 处的函数值；
求解步骤
1. 求出函数f(x)在(a,b)内的可疑极值点 ，即f'(x)=0的点；
设函数$f(x) = xe^{x} - ax^2 - bx$有两个不 同的零点，且满足极限$lim_{{x to -infty}} frac{f(x)}{x} = 1$，则实数$a, b$的关系是 ____。
编题
已知函数$f(x) = ln x - ax^2 + bx$在点$(1, f(1))$处的切线方程为$y = x - 1$，若函数 $f(x)$有两个不同的零点，则实数$a$的取值 范围是____。
解题思路
设$-1 < x_1 < x_2 < 1$，计算$f(x_1) f(x_2)$的符号，通过分子有理化和不等式性 质证明$f(x_1) < f(x_2)$，从而证明函数在区 间$(-1, 1)$上单调递增。
利用导数求函数极值和最值问题举例
例题1
解题思路
例题2
解题思路
求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 5$的极值和最值。
应对策略：明确极值和最值的定义及区别，知道极值是局部性质，而最 值是全局性质。在求函数最值时，需考虑函数在定义域内的所有可能取 值情况，包括端点处的取值。
2021年新高考数学一轮专题复习第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
【例
2－1】（2020·安徽省六安一中高一月考）若函数
f
x
2x2 1
3 x2
，则
f
x
的值域为（
）
A． ,3
B． 2,3
C． 2,3
D．3,
【答案】C 【分析】
利用分子分离法化简 f x ，再根据不等式的性质求函数的值域.
【详解】
f
x
2x2 3 1 x2
2(x2 1) 1 1 x2
2
1
1 x
考点一 确定函数的单调性(区间)
【例 1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数 f(x)在[a，b]上是增函数，
对于任意的 x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论不正确的是( )
A．
f
x1
x1
f x2
x2
>0
B．f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b)
C．(x1－x2) [f(x1)－f(x2)]>0
取到.
(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值). 2.函数 y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与 y＝－f(x)，y＝ 1 的单调性相反.
f（x） 3.“对勾函数”y＝x＋a(a>0)的增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；单调减区间是[－ a，0)，
x (0， a].
三、 经典例题
的最大值为（ ）
A．-2
B．-3
C．-4
D．-6
10．（2020·安徽省六安一中高一月考）已知函数 f (x) log 1 (3x2 ax 5) 在 (1, ) 上是减函数，则实数 a
2
第5讲函数的单调性与最值课件-高考理科数学一轮复习
减函数,所以最大值为 f(2)=1,最小
值为 f(5)=12.所以最大值与最小值 之和为 1+12=32.
课前双基巩固
4.函数 f(x)=|x-a|+1 在[2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范
围是
.
[答案] a≤2 [解析] 因为函数 f(x)=|x-a|+1 的
单调递增区间是[a,+∞),当 f(x)在
课前双基巩固
2.单调性定义的等价形式:设 x1,x2∈[a,b],x1≠x2.
(1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0
或������
(������ 1 )-������ (������ 2 ������ 1 -������ 2
)>0,则
f(x)在闭区间[a,b]上是增函数;
(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0
数的定义域为(-1,3).
由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x∈(-1,3)
的单调递增区间为(-1,1],
故函数 y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是 (-1,1].
������2,������ > 1, (2)由题意知 g(x)= 0,������ = 1, 该
-������2,������ < 1,
解:该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:
任取 x1,x2∈(-2,+∞),不妨设 x1<x2,则 x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0, 又 a>1,
所以������������2 >������������1 ,即有������������2 -������������1 >0,
高考数学 热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性与最值 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全
2016年高考数学 热点题型和提分秘籍 专题05 函数的单调性与最值理（含解析）新人教A 版【高频考点解读】1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的性质． 【热点题型】题型一 函数单调性的判断例1、(1)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1)(2)函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是________(填“增函数”或“减函数”)． 【答案】 (1)C(2)减函数 【解析】【提分秘籍】(1)图象法作图象→看升降→归纳单调性区间(2)转化法(3)导数法求导→判断f′x正、负→单调性区间(4)定义法取值→作差→变形→定号→单调性区间求函数的单调区间，一定要注意定义域优先原则．【举一反三】下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A．y＝x＋1B．y＝(x－1)2C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1)【答案】A【解析】题型二求函数的单调区间例2、求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y＝log1(x2－3x＋2)．2解析(1)由于y＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1x ≥0，－x 2－2x ＋1x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋2x ≥0，－x ＋12＋2x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．【提分秘籍】(1)求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．常用的方法有：①利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间．③图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(2)若函数f (x )的定义域上(或某一区间上)是增函数，则f (x 1)<f (x 2)⇔x 1<x 2.利用上式，可以去掉抽象函数的符号，将函数不等式(或方程)的求解化为一般不等式(或方程)的求解，但无论如何都必须在定义域内或给定的X 围内进行．【举一反三】求下列函数的单调区间，并指出其增减性． (1)y ＝(a >0且a ≠1)；(2)y ＝log 12(4x －x 2)．题型三函数单调性的应用例3、已知函数f (x )满足f (x )＝f (π－x )，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f (x )＝e x＋sin x ，则( )A ．f (1)<f (2)<f (3)B ．f (2)<f (3)<f (1)C ．f (3)<f (2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (2) 【答案】D【解析】由f (x )＝f (π－x )，得函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，又当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )＝e x ＋cos x >0恒成立，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，f (2)＝f (π－2)，f (3)＝f (π－3)，且0<π－3<1<π－2<π2，所以f (π－3)<f (1)<f (π－2)，即f (3)<f (1)<f (2)．【提分秘籍】1．高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中．2．高考对函数单调性的考查主要有以下几个命题角度： (1)利用函数的单调性比较大小．(2)利用函数的单调性解决与抽象函数有关的不等式问题． (3)利用函数的单调性求参数．(4)利用函数的单调性求解最值(或恒成立)问题．【方法规律】(1)含“f ”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内．(2)分段函数单调性解法为了保证函数在整个定义域内是单调的，除了要分别保证各段表达式在对应区间上的单调性一致外，还要注意两段连接点的衔接.【举一反三】已知函数f (x )的定义域是(0，＋∞)，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，如果对于0<x <y ，都有f (x )>f (y )．(1)求f (1)的值；(2)解不等式f (－x )＋f (3－x )≥－2.则⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－x 2·3－x 2≤1，解得－1≤x <0.∴不等式的解集为{x |－1≤x <0}． 【变式探究】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －a x <1log a x x ≥1是(－∞，＋∞)上的增函数，则a 的取值X 围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,3) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 【解析】【高考风向标】【2015高考某某，理6】已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则（ ）A ．sgn[()]sgn g x x =B ．sgn[()]sgn g x x =-C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =- 【答案】B【解析】因为()f x 是R 上的增函数，令x x f =)(，所以x a x g )1()(-=，因为1>a ，所以)(x g 是R 上的减函数，由符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知，1,0sgn[()]0,0sgn 1,0x g x x x x ->⎧⎪===-⎨⎪<⎩.【2015高考某某，理15】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是.（写出所有正确条件的编号）①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==. 【答案】①③④⑤ 【解析】（2014·卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 【答案】A【解析】由基本初等函数的性质得，选项B 中的函数在(0，1)上递减，选项C ，D 中的函数在(0，＋∞)上为减函数，所以排除B ，C ，D ，选A.（2014·某某卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞) 【答案】D【解析】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1； 当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．（2014·某某卷）设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________．【答案】1【解析】由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. （2014·某某卷）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R，∃a ∈D ，f (a )＝b ”；②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；④若函数f(x)＝a ln(x＋2)＋xx2＋1(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)【答案】①③④【解析】（2014·某某卷）已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0，1]上的最小值；(2)若f(1)＝0，函数f(x)在区间(0，1)内有零点，求a的取值X围．【解析】(2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负． 故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点；当a ≥e2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增． 因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2， 则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0， 解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))． 若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0， 故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值X 围是(e －2，1)．（2013·某某卷）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a ，x<0，lnx ，x>0，其中a 是实数．设A(x 1，f(x 1))，B(x 2，f(x 2))为该函数图像上的两点，且x 1<x 2. (1)指出函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线互相垂直，且x 2<0，求x 2－x 1的最小值； (3)若函数f(x)的图像在点A ，B 处的切线重合，求a 的取值X 围． 【解析】所以，函数f(x)的图像在点A，B处的切线互相垂直时，x2－x1的最小值为1.（2013·某某卷）设函数f(x)＝e x＋x－a(a∈R，e为自然对数的底数)．若曲线y＝sinx上存在(x0，y0)使得f(f(y0))＝y0，则a的取值X围是( )A．[1，e] B．[e－1－1，1]C．[1，e＋1] D．[e－1－1，e＋1]【答案】A【解析】因为y0＝sin x0∈[－1，1]，且f(x)在[－1，1]上(有意义时)是增函数，对于y 0∈[－1，1]，如果f(y 0)＝c ＞y 0，则f(f(y 0))＝f(c)＞f(y 0)＝c ＞y 0，不可能有f(f(y 0))＝y 0.同理，当f(y 0)＝d ＜y 0时，则f(f(y 0))＝f(d)＜f(y 0)＝d ＜y 0，也不可能有f(f(y 0))＝y 0，因此必有f(y 0)＝y 0，即方程f(x)＝x 在[－1，1]上有解，即e x＋x －a ＝x 在[－1，1]上有解．显然，当x ＜0时，方程无解，即需要e x＋x －a ＝x 在[0，1]上有解．当x≥0时，两边平方得e x＋x －a ＝x 2，故a ＝e x－x 2＋x.记g(x)＝e x－x 2＋x ，则g′(x)＝e x－2x ＋1.当x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，e x＞0，－2x ＋1≥0，故g′(x)＞0，当x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，e x＞e ＞1，0>－2x ＋1≥－1，故g′(x)＞0.综上，g′(x)在x∈[0，1]上恒大于0，所以g(x)在[0，1]上为增函数，值域为[1，e]，从而a 的取值X 围是[1，e]．（2013·某某卷）函数y ＝x33x －1的图像大致是( )【答案】C【解析】函数的定义域是{x∈R|x≠0}，排除选项A ；当x<0时，x 3<0，3x－1<0，故y>0，排除选项B ；当x→＋∞时，y>0且y→0，故为选项C 中的图像．（2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( ) A ．x 0∈R，f(x 0)＝0B ．函数y ＝f(x)的图像是中心对称图形C ．若x 0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x 0)单调递减D ．若x 0是f(x)的极值点，则f′(x 0)＝0 【答案】C【解析】【高考押题】1.函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A. k >12 B. k <12C. k >－12D. k <－12【答案】D【解析】使y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则2k ＋1<0，即k <－12.2.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( ) A. y ＝x 3B. y ＝|x |＋1C. y ＝－x 2＋1 D. y ＝2－|x |【答案】B 【解析】3.已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )A. f (4)>f (－6)B. f (－4)<f (－6)C. f (－4)>f (－6)D. f (4)<f (－6) 【答案】C【解析】由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，∴f (4)<f (6)⇔f (－4)>f (－6)．4. 函数y ＝(12)2x 2－3x ＋1的递减区间为( )A. (1，＋∞)B. (－∞，34)C. (12，＋∞)D. [34，＋∞)【答案】D【解析】设t ＝2x 2－3x ＋1，其递增区间为[34，＋∞)，∴复合函数递减区间为[34，＋∞)，选D 项．5. 函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A. (－∞，0)∪(12，2] B. (－∞，2]C. (－∞，12)∪[2，＋∞) D. (0，＋∞)【答案】A【解析】∵x ∈(－∞，1)∪[2,5)，y ＝2x －1在(－∞，1)上为减函数，在[2,5)上也为减函数，则x －1∈(－∞，0)∪[1,4)． ∴2x －1∈(－∞，0)∪(12，2]． 6. 设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R)，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x .则f (x )的值域是( )A. [－94，0]∪(1，＋∞)B. [0，＋∞)C. [－94，＋∞)D. [－94，0]∪(2，＋∞)【答案】D 【解析】7. 函数f (x )＝x 2－2x －3的单调增区间为________． 【答案】[3，＋∞)【解析】定义域x 2－2x －3≥0，∴x ≤－1或x ≥3，函数的递增区间为[3，＋∞)． 8. 函数y ＝xx ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值X 围是________．【答案】a ≥2 【解析】y ＝xx ＋a＝1－ax ＋a，依题意，得函数的单调增区间为(－∞，－a )、(－a ，＋∞)，要使函数在(－2，＋∞)上为增函数，只要－2≥－a ，即a ≥2.9.设函数f (x )的图象关于y 轴对称，又已知f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (1)＝0，则不等式f －x ＋f xx<0的解集为________．【答案】(－1,0)∪(1，＋∞) 【解析】10.已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (13)＝1.(1)求f (1)；(2)若f (x )＋f (2－x )<2，求x 的取值X 围．解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1)＝f (1)＋f (1)，∴f (1)＝0. (2)∵2＝1＋1＝f (13)＋f (13)＝f (19)，∴原不等式等价于f [x (2－x )]<f (19)，由f (x )为(0，＋∞)上的减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x >0，x 2－x >19，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x >0，2－x >0，1－223<x <1＋223，⇒1－223<x <1＋223，即x 的取值X 围为(1－223，1＋223)．11. 已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值X 围．12.已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．解：(1)f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ]，(a >0)． (2)函数f (x )的定义域为[0，14]，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈[1，32]，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2， ∵t ＝4t 时，t ＝±2∉[1，32]，又t ∈[1，32]时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，F (t )∈[13，613]． 即函数f (x )的值域为[13，613]．。
高中数学人教新课标A版：函数的单调性与最大(小)值 课件
2．(多选)关于函数 f(x)＝ －x2＋2x＋3的结论正确的是 A．定义域、值域分别是[－1,3]，[0，＋∞) B．单调增区间是(－∞，1] C．定义域、值域分别是[－1,3]，[0,2] D．单调增区间是[－1,1]
()
解析： f(x)＝ －x2＋2x＋3的定义域满足：－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3， 即定义域为[－1,3]．考虑函数 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4 在－1≤x≤3 上 有最大值 4，最小值 0，在[－1,1]上单调递增，在(1,3]上单调递减．故 f(x)＝
第二节 函数的单调性与最大(小)值 课标要求1.借助图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小 值. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
一、“基础知识”掌握牢
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内某个区间
命题点一 确定函数的单调性或单调区间(自主练通)
[题组练透]
1．(2020·荆州高三期末)设 max{a，b}＝ba，，aa<≥bb，， 则函数 f(x)＝max{x2－x,
1－x2}的单调增区间为
()
A．[－1,0]，12，＋∞ C．－∞，－12，[0,1]
B．(－∞，－1]，0，12 D．－12，0，[1，＋∞)
存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M 存在 x0∈I，使得 f(x0)＝M
结论
M 为最大值
M 为最小值
谨记结论·谨防易错 (1)并非所有的函数都具有单调性．
例如：函数 f(x)＝
1，x为有理数， 0，x为无理数，
它的定义域为 R，但不具有单调性．
一轮复习节函数的单调性与最值PPT课件
(1)利用对称性将函数值转化到区间[1，＋∞)上，根据单调性判断大小． (2)由单调性得到x2＋x>a－x，即a<x2＋2x恒成立，转化为求函数g(x)＝x2＋2x的 最小值． (3)①函数含有绝对值，故可将其转化为分段函数后作出图象求解；②中的函数为 函数y＝log2u，u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域．
x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：由条件知函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，四个选项中只有A满足．
答案：A
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2．(2013·许昌模拟)函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为( )
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则 f(x2)－f(x1)＞0，f(x)在[ a，＋∞)上是增函数． 综上，f(x)在(0， a)上为减函数，在( a，＋∞)上为增 函数． 方法二：求导数得，f′(x)＝1－xa2. 令 f′(x)≥0，即 1－xa2≥0，xa2≤1. ∴x2≥a，∵x＞0，a＞0， ∴x≥ a，即 f(x)在[ a，＋∞)上是增函数．
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(1)根据常见函数的单调性进行判断；
(2)利用定义法或导数法进行判断．
(1)解析：A 中函数 f(x)＝－x2＋x＋1 在定义域上不单调；
B 中 f(x)＝1x在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但在定义域
上不单调；C 中函数 f(x)在定义域上不单调；D 中，定义域
为(－∞，2)，由复合函数的单调性知 f(x)＝ln(2－x)在(－∞，
由题意知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵f(－x)＝－x＋－ax＝－x＋ax＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数． ∴f(x)在(－∞，－ a)和( a，＋∞)上为增函数； f(x)在(－ a，0)和(0， a)上为减函数．
函数的单调性与最值课件-2025届高三数学一轮复习
2
1
单调递减，所以B不符合要求；对于C，由反比例函数的图象可知， f ( x )＝－ 在
(0，＋∞)上单调递增，所以C符合要求；对于D，当0＜ x ＜1时， y ＝3｜ x －1｜＝31－ x
在(0，1)上单调递减，所以D不符合要求.故选C.
(2)[全国卷Ⅱ]函数 f ( x )＝ln( x 2－2 x －8)的单调递增区间是( D
2025届高考数学一轮复习讲义
函数之 函数的单调性与最值
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 函数的单调性
单调递增
单调递减
一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I，
定
义
当x1＜x2时，都有① f(x1)＜f(x2)
，那 当x1＜x2时，都有② f(x1)＞f(x2)
，那
A. f(x)＝－ln x
1
C. f(x)＝－
B.
1
f(x)＝
2
D. f(x)＝3｜x－1｜
C )
[解析] 对于A，因为函数 y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，所以 f ( x )＝－ln x 在(0，
1
1 x
＋∞)上单调递减，所以A不符合要求；对于B，因为 f ( x )＝ ＝( ) 在(0，＋∞)上
D. (－1，＋∞)
B )
3. [教材改编] y ＝
[解析]
2+1
的值域为
−3
(－∞，2)∪(2，＋∞) .
2+1
2(−3)+7
7
7
y＝
＝
＝2＋
，显然
≠0，所以 y ≠2.故函数的值域
函数的单调性与最值 课件-2025届高考数学一轮复习
求函数最值（值域）的五种常用方法及注意点（1）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.（2）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.（3）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.（4）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.（5）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
递增
递减
单调区间
（1）单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示；（2）有多个单调区间应分开写，不能用“∪ ”连接，也不能用“或”连接，只能用“,”或“和”连接.
2.函数的最值
前提
一般地，设函数的定义域为,如果存在实数 满足
条件
,都有⑪__________; ,使得⑫___________
,都有⑬__________; ,使得⑭___________
√
2.已知函数的定义域为，且对任意两个不相等的实数， ，都有，则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
解析：选B.不妨设，因为 ，所以，故是 上的增函数，所以原不等式等价于，解得 .故选B.
√
例1（1） 求函数 的单调区间；
【解】由题得
画出函数 的图象如图所示，可知单调递增区间为和，单调递减区间为和 .
√
考点三 函数单调性的应用
比较函数值的大小的方法利用函数的单调性比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，则要利用函数的性质，将自变量的值转化到同一个单调区间上进行比较，或采用中间量法比较大小.
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2 所以 f(x)＝2x＋ (x≠－1)． x＋1 2 (2)结论：f(x)＝2x＋ (x≠－1)在(－1,0]上是减函数． x＋1 证明： 设 x1， x2 是(－1,0]内的任意两个不相等的实数， 且 x1<x2.
第5讲 │要点探究
2 2 则 f(x1)－f(x2)＝2x1＋ －2x2＋x ＋1 x1 ＋ 1 2 2x2－x1 ＝2(x1－x2)＋ x1＋1x2＋1 x2＋x11＋x2 ＝2(x1－x2)· . x1＋1x2＋1 又－1<x1≤0， －1<x2≤0， x1<x2， 故 x1－x2<0,1＋x1>0,1＋x2>0， x2＋x1(1＋x2)<0. x2＋x11＋x2 于是，2(x1－x2)· >0， x1＋1x2＋1 即 f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)． 2 所以，函数 f(x)＝2x＋ (x≠－1)在(－1,0]上是减函数． x＋1
第5讲 │知识梳理
(6)简单性质：奇函数在其关于原点对称区间上的单调性 相同 ，偶函数在其关于原点对称区间上的单调性_______ 相反． _______ 2．函数的最值 对于函数f(x)，假定其定义域为A，则 (1)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≥f(x0)成立，则称 最小值 f(x0)是函数f(x)的________ ； (2)若存在x0∈A，使得对于任意x∈A，恒有f(x)≤f(x0)成立，则称 最大值 f(x0)是函数f(x)的_________ ．
第5讲 │要点探究
[点评] 用定义证明单调性必须走程序化的步骤，其关键一步 是对 Δy 变形，变形的目的是能够判断 Δy 的符号，为此常：①多 项式分解因式或配方；②分式通分后分子、分母因式分解；③根 式分母或分子有理化；④幂、指、对数要用各自的运算法则． 判断含有参数的函数的单调性，需注意对参数进行讨论以及 确定分类讨论的依据是什么， 应根据具体的题目进行具体的分析， 比如下面的变式题．
第5讲 │函数的单调性与最值
第 5讲ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的单调性与最值
第5讲 │知识梳理 知识梳理
1．函数的单调性及性质 (1)定义：一般地，设函数 y＝f(x)的定义域为 I，如果对于定义 x1<x2 域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当___________ f(x1)>f(x2) ， f(x1)<f(x2) 时， 都有___________(_____________) 那么就说 f(x)在区间 D 上是 增函数 减函数 ．如果函数 y＝f(x)在某个区间上是增函数或 _________(_________) 是减函数，那么就说函数 y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性， 区间 D 叫做 y＝f(x)的单调区间． (2)单调性定义的等价形式：设 x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，那么(x1 fx1－fx2 － x2)[f(x1) － f(x2)]>0 ⇔ >0 ⇔ f(x) 在 [a ， b] 是增函数 ______ ； (x1 － x1－x2 fx1－fx2 x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔ <0⇔f(x)在[a，b]是减函数 ______； x1－x2
第5讲 │知识梳理
②图象法：在区间I上，如果函数的图象从左向右是上升的，则 函数在区间I上为______ 增函数，如果函数的图象从左向右是下降的， 则函数在区间I上为______ 减函数； ③导数法：设函数y＝f(x)在某区间I内可导，若f′(x)>0，则函数y ＝f(x)为区间I上的______ 增函数，若f′(x)<0，则函数y＝f(x)为区间I上的 减函数 ______ ； ④运算法：在公共定义域内，增函数＋增函数＝______ 增函数，减函数 ＋减函数＝______ 减函数； ⑤复合函数单调性的判断方法：“同增异减”，即若y＝f(x)和u＝ g(x)的单调性相同，则函数y＝f(g(x))是_______ 增函数 ，若y＝f(x)和u＝ g(x)的单调性相反，则函数y＝f(g(x))是______ 减函数；
第5讲 │要点探究 要点探究
► 探究点1 判断、证明函数的单调性 例1 [ 2010· 黄浦模拟] 已知a、b是正整数，函数f(x)＝ax ＋(x≠－b)的图象经过点(1,3)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在(－1,0]上的单调性，并用单调性定义证明 你的结论．
[思路] (1)利用函数过定点以及 a，b 为正整数，求得 a，b 的值，从而得到函数 f(x)的解析式；(2)严格按照用定义证明单调 性的步骤进行．
第5讲 │ 要点探究
判断函数f(x)＝x＋(a≠0)在区间上的单调性，并用定 义加以证明．
[解答] 当 a>0 时，函数在( a，＋∞)上是增函数，在(0， a) 上是减函数，当 a<0 时，函数在(0，＋∞)上是增函数． ax1－x2 a a 证明：f(x2)－f(x1)＝x2＋ －x1－ ＝(x2－x1)＋ ＝(x2 x2 x1 x1x2 x1x2－a －x1) x x . 1 2 当 a>0 时，若 a<x1<x2，则 x1x2>a， x1x2－a ∴(x2－x1) x x >0， 1 2 即 f(x2)>f(x1)， 若 0＜x1<x2＜ a，则 0<x1x2<a，
第5讲 │要点探究
[解答] (1)由函数 f(x)＝ax＋ 2 3＝a＋ ，则(3－a)(b＋1)＝2. 1＋b 又 a、b 均为正整数， 故
3－a＝1， 3－a>0，b＋1≥2.于是，必有 b＋1＝2， a＝2， 即 b＝1.
2 (x≠－b)的图象过点(1,3)知 x＋b
第5讲 │知识梳理
(3)设复合函数y＝f，其中u＝g(x)．如果y＝f(u)和u＝g(x)的 增 函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调 单调性相同，那么y＝f是____ 减 函数． 性相反，那么y＝f是____ (4)利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般 步骤： ①任取x1，x2∈D，且x1<x2；②作差； ③变形(通常是因式分解和配方)； ④判断符号(即判断f(x1)－f(x2)的正负)； ⑤下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)． (5)判断方法： ①定义法：在区间I上，函数值y随x的增大而增大，则函数在区 间I上为______ 增函数，函数值y随x的增大而减小，则函数区间I上为 减函数 ______；