充要条件2

x 1 x
2
1
x 1是 x
2
1的充分条件
x
2
1 是 x 1的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
定义： 对于命题“若p则q”
1 .若 p q , q p , 则 p 是 q的 充 分 不 必 要 条 件 . q是 p 的 必 要 不 充 分 条 件 .
B
） B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
例 3、设命题甲 那么甲是乙的（
: 0 x 5 , 命题乙 : x 2 3 ,
A
） . B. 必要不充分条件 D. 既不充分也必要条件
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
例 4 、设 、 、 为平面， 一个充分条件是（
引申
从集合角度看
命题“若p则q”
已知 A ＝{ x | x 满足条件 p }， B ＝{ x | x 满足条件 q }
1) A B , 则 p 是 q 充分条件，
2 ) A B , 则 p 是 q 充分不必要条件，
q 是 p 必要条件 .
q 是 p 必 q 的充要条件
1.3.2充要条件
高二数学 选修2-1
第一章
常用逻辑用语
定义：
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q ， 即命题“若p则q” 为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件．
x 1 x
2
1
x 1是 x
2
1的充分条件
x
2
1 是 x 1的必要条件
两三角形全等 两三角形面积相等 两三角形全等是两三角形面积相等的充分条件．
（1）若 x 1 ，则
（2）若
2 2
x
2
1
；
真 假 假
x x y 1 ，则2 x y ； x 1
（3）对角线互相垂直的四边形是菱形； （4）若方程ax
2
bx c 0 ( a 0 ) 有两个不等的实数解，
则b 2
2
4 ac 0
．
0)
真 假 两个不等的实数解
两三角形面积相等是两三角形全等的必要条件．
例5、 用反证法证明：圆的两条 不是直径的相交弦不能互相平分.
已知：如图，在⊙O中，弦 AB、CD交于P，且AB、CD 不是直径. 求证：弦AB、CD不被P平分.
A
C
O
P
D B
分析：假设弦AB、CD被P平分，连 接OP后，可以推出AB、CD都与OP 垂直，则出现矛盾.
7） 已 知 A B C 不 是 直 角 三 角 形 ，A <B " 是 " " ta n A ta n B " 的
（既不充分也不必要条件）
例 2 、已知 、 是不同的两个平面，直 直线 a , 命题 p : a 与 b 无公共点 则 p是 q的 （
线a ,
； 命题 q : // ,
注意：分清p与q.
证明：充分性
p : xy 0
q:
1 x

1 y
( p q)
x 0 或 y 0
x 0 若 xy 0 , 则 y 0
x y 当 x 0 , y 0 时，有：
当 x 0 , y 0 时，有： 1 x 1 y .
1 x
证明:
假设弦AB、CD被P平分，由于P 点一定不是圆心O，连接OP，根据垂径定理 的推论，有 OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都 垂直，这与垂线性质矛盾. 所以，弦AB、CD不被P平分.
A
C
O
P
D B
思考：
2.设 U R ， 集 合 A B C
x
2
x 4 ax 4 a 3 0, x R ,
3 3 2
2
2
0.
例 3、求 3 x 10 x k 0 有两个同号且不相等 实根的充要条件 .
0 k
25 3
.
2 .若 p q , q p , 即 p q , 则 p 是 q 充分必要条件， 简称充要条件 . .
也说 p 与 q 互为充要条件
3 . 若 p q , q p , 则 p 是 q的 既 充 分 不 必 要 条 件 . q是 p的 既 必 要 不 充 分 条 件 .
例1、以“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“ 要条件”与”既不充分也不必要条件“中选出适当的一种 填空. 1) " x 0 , y 0 " 是 " x y 0 " 的 （充分不必要条件）
（5）若ab ax 02 ，则 c 0 ( a 方程有 bx a 0 ；
b 4 ac 0
(6) 若两三角形全等 ，则两三角形面积相等； 两三角形全等 两三角形面积相等
真
定义：
充分条件与必要条件：一般地，如果已知 p q ， 即命题“若p则q” 为真命题，那么就说，p 是q 的充分条件， q 是p 的必要条件．
D
m 、 n 、 l 为直线，则 ） .
m 的
A. ， l , m l C . , , m
B. m , , D.n , n , m
例 5、已知 、 为锐角，若 q :
2 ） a N " 是 " a Z "的 " 3） x 1 0 "是 " x 1 "
2
（充分不必要条件） （必要不充分条件） 0 "的 （必要不充分条件） c " 的 （充要条件）
4 ） 同 旁 内 角 互 补 " 是 " 两 直 线 平 行 "（充要条件） " 的 5 ) " x 5 " 是 " x 3 "的 6) " a b "是 " a c b
q : ( x 3 )( y 4 ) 0 , 则 p 是 q 的什么条件 3. 不等式 2 x ＋ 5 7 成立的一个必要不充分 A. x 1 B. x － 6 C.x 1或 x － 6
. 条件是（） D.x 0 或 x 0
2.充要条件的证明
例 1、已知 x 、 y 是非零实数，且 的充要条件是 xy 0 . x y , 求证： 1 x 1 y

1 y
.
必要性 ( q p ) 若 1 x 1 y , 则有： y x xy 0 , 即 xy ( y x ) 0 .
x y y x 0 xy 0 .
例 2 、已知 ab 0 , 求证： a b 1的充要条件是 a b ab a b
2


x x ( a 1) x a
2 2
0, x R ,

x x 2 ax 2 a 0, x R .

若 A， B， C中 至 少 有 一 个 不 是 空 集 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 .
答案： a 3 2 或 a 1.
判断下列命题是真命题还是假命题：
p : sin sin( ),

2
,则 p是 q的 （
B
） .
A. 充分不必要条件 C. 充要条件
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
例6、若p是r的充分不必要条件，r是q的必要 条件，r又是s的充要条件，q是s的必要条件. 则： 1）s是p的什么条件？ 必要不充分条件 2）r是q的什么条件？ 充要条件
.
.
4 ) A B 且 B A ，则 p 是 q 既不充分也不必要条件
练习： 1. 若 p : x y , q : x y 或 x y , 则 q 是 p 的什么条件
2 2
.
2. 若 x , y R , p : ( x 3 ) ( y 4 ) 0 ,
2 2