分式基础知识讲解
分式及分式的基本性质
2、分式有意义的条件：当B≠0时，分式有意义）。
3、分式的值为零的条件：当A=0，B≠0时，分式值为0。
4、有理式：整式和分式统称为有理式。
5、分式的基本性质：分式的分子、分母同乘以或除以一个不为0的整式，分式的值不变。
注：（1）约分和通分的依据都是分式的基本性质
（2）分式的约分和通分都是互逆运算过程。
①约分——最简分式②通分——最简公分母
6、分式的约分步骤：
（1）如果分式的分子和分母都是单项式或者是几个因式乘积的形式，将它们的公因式约去。
（2）分式的分子和分母都是多项式，将分子和分母分别分解因式，再将公因式约去。
注：公因式的提取方法：系数取分子和分母系数的最大公约数，字母取分子和分母共有的字母，指数取公共字母的最小指数，即为它们的公因式。
7、最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式。约分时，一般将一个分式化为最简分式。
8、分式的通分步骤：
先求出所有分式分母的最简公分母，再将所有分式的分母变为最简公分母。同时各分式按照分母所扩大的倍数，相应扩大各自的分子。
注：最简公分母的确定方法：
系数取各因式系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂及单独字母的幂的乘积。
2022年人教版八年级下册数学培优训练——《分式》全章复习与巩固(基础)知识讲解
《分式》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．3．掌握分式的四则运算．4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．【知识网络】【要点梳理】要点一、分式的有关概念及性质1．分式一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式AB才有意义.2.分式的基本性质（M为不等于0的整式）.3．最简分式分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点二、分式的运算1．约分利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.2．通分利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．3．基本运算法则分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:（1）加减运算 a b a b c c c ±±= ；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.（2）乘法运算 a c ac b d bd⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.（3）除法运算 a c a d ad b d b c bc÷=⋅=，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.（4）乘方运算分式的乘方，把分子、分母分别乘方.4.分式的混合运算顺序先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.要点三、分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．2．分式方程的解法解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．3．分式方程的增根问题增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.要点四、分式方程的应用列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.【典型例题】类型一、分式及其基本性质1、在ma y x xy x x x x 1,3,3,)1(,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C ；【解析】()21131x x a x x x y m+++，，，是分式. 【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．2、当x 为何值时，分式293x x -+的值为0？ 【思路点拨】先求出使分子为0的字母的值，再检验这个值是否使分母的值等于0，当它使分母的值不等于0时，这个值就是要求的字母的值．【答案与解析】解： 要使分式的值为0，必须满足分子等于0且分母不等于0．由题意，得290,30.x x ⎧-=⎨+≠⎩解得3x =． ∴ 当3x =时，分式293x x -+的值为0． 【总结升华】分式的值为0的条件是：分子为0，且分母不为0，即只有在分式有意义的前提下，才能考虑分式值的情况. 举一反三：【变式】（1）若分式的值等于零，则x ＝_______；（2）当x ________时，分式没有意义．【答案】（1）由24x -＝0，得2x =±. 当x ＝2时x －2＝0，所以x ＝－2；（2）当10x -=，即x ＝1时，分式没有意义． 类型二、分式运算3、计算：2222132(1)441x x x x x x x -++÷-⋅++-． 【答案与解析】解：222222132(1)(1)1(2)(1)(1)441(2)(1)1x x x x x x x x x x x x x x -+++-++÷-⋅=⋅⋅++-+-- 22(1)(2)(1)x x x +=-+-． 【总结升华】本题有两处易错：一是不按运算顺序运算，把2(1)x -和2321x x x ++-先约分；二是将(1)x -和(1)x -约分后的结果错认为是1．因此正确掌握运算顺序与符号法则是解题的关键．举一反三：【变式】（2020•滨州）化简：÷（﹣）【答案】解：原式=÷=• =﹣． 类型三、分式方程的解法4、（2020•呼伦贝尔）解方程：．【思路点拨】观察可得最简公分母是（x ﹣1）（x +1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【答案与解析】解：方程的两边同乘（x ﹣1）（x +1），得3x +3﹣x ﹣3=0，解得x=0．检验：把x=0代入（x ﹣1）（x +1）=﹣1≠0．∴原方程的解为：x=0．【总结升华】本题考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．举一反三：【变式】()1231244x x x -=---， 【答案】解： 方程两边同乘以()24x -，得()()12422332x x x =---=-∴ 检验：当32x =-时，最简公分母()240x -≠， ∴32x =-是原方程的解．类型四、分式方程的应用5、（2020•东莞二模）某市为治理污水，需要铺设一条全长为600米的污水排放管道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加20%，结果提前5天完成这一任务，原计划每天铺设多少米管道？【思路点拨】先设原计划每天铺设x 米管道，则实际施工时，每天的铺设管道（1+20%）x 米，由题意可得等量关系：原计划的工作时间﹣实际的工作时间=5，然后列出方程可求出结果，最后检验并作答．【答案与解析】解：设原计划每天铺设x 米管道，由题意得： ﹣=5，解得：x=20，经检验：x=20是原方程的解．答：原计划每天铺设20米管道．【总结升华】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．举一反三：【变式】小明家、王老师家、学校在同一条路上，并且小明上学要路过王老师家，小明到王老师家的路程为3 km ，王老师家到学校的路程为0.5 km ，由于小明的父母战斗在抗震救灾第一线，为了使他能按时到校、王老师每天骑自行车接小明上学．已知王老师骑自行车的速度是他步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20 min ，王老师步行的速度和骑自行车的速度各是多少?【答案】解：设王老师步行的速度为x km/h ，则他骑自行车的速度为3x km/h ． 根据题意得：230.50.520360x x ⨯+=+． 解得：5x =．经检验5x =是原方程的根且符合题意．当5x =时，315x =．答：王老师步行的速度为5km/h ，他骑自行车的速度为15km/h ．。
分式运算的八种技巧
分式运算的八种技巧分式运算是数学中的一项基础知识，通过巧妙地运用一些技巧，可以简化分式的计算过程，提高计算的效率。
下面将介绍分式运算的八种技巧。
一、分式的通分当两个或多个分式进行加减运算时，需要先进行通分。
通分的目的是使分母相同，从而方便进行分式的加减运算。
二、分式的化简对于分子和分母同时包含因式的分式，可以通过因式分解进行化简。
化简后的分式通常更简洁、易于计算。
三、分式的约分对于分子和分母有公因式的分式，可以通过约分将其化简为最简形式。
约分可以简化计算过程，并且可以减小分子和分母的数字的大小，便于观察和把握。
四、分式的乘法和除法分式的乘法和除法相对简单，只需要将分子与分子相乘，分母与分母相乘即可。
当进行分数的除法运算时，可以将除法转化为乘法，将除法运算转化为分数的倒数，再进行乘法运算。
五、分式的加法和减法分式的加法和减法需要进行通分。
通分后，先对分子进行加减运算，再保持分母不变。
最后结果的分子分母可以进一步进行约分，化简为最简分数形式。
六、分式的分数化整数当分子大于分母时，可以进行分数化整数的运算。
将分子除以分母，得到一个整数，再将余数定为新的分子，保持分母不变，即可将分数化为带分数的形式。
七、小数转分数将小数转化为分数可以更方便地进行运算和比较。
通过将小数的小数位数与整数的数量级相匹配，将小数乘以适当的十的幂，然后化成最简分数即可。
八、分式的比较大小对两个分式进行比较大小的时候，可以化为相同分母的分数，然后比较分子的大小。
若分子相同，再比较分母的大小。
通过掌握这些分式运算的技巧，可以更加熟练地进行分式的计算，提高计算的准确性和效率。
同时，可以将复杂的分式化简为简单形式，便于理解和运算。
分式压轴题解析
分式【知识脉络】【基础知识】1.分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。
分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
（0≠C ）3.分式的通分和约分：关键先是分解因式4.分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。
分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减,a b a b a c ad bc ad bc c c c b d bd bd bd ±±±=±=±= 混合运算:运算顺序和以前一样。
能用运算率简算的可用运算率简算。
;a c ac a c a d adb d bd b d bc bc •=÷=•=()n n n a a b b =A A C B B C •=•A A C B B C ÷=÷5. 任何一个不等于零的数的零次幂等于1， 即)0(10≠=a a ；当n 为正整数时，n n a a 1=- （)0≠a6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n 是整数)（1）同底数的幂的乘法：m n m n a a a +•=；（2）幂的乘方：()m n mn a a=; （3）积的乘方：()n n nab a b =；（4）同底数的幂的除法：m n m n a a a -÷=( a ≠0)； （5）商的乘方：()nn n a a b b=；(b ≠0) 7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
数学八下分式
数学八下分式
八年级下册数学课程中有关分式的主题主要包括分式的运算、分式的化简、分式方程等内容。
以下是八年级下册数学中关于分式的一些常见知识点：
1. 分式的乘法和除法：学习如何进行分式的乘法和除法运算，包括分子乘法、分母乘法、分子除法和分母除法等。
2. 分式的加法和减法：掌握分式的加法和减法运算规则，包括通分、合并同类项等操作。
3. 分式的化简：学习如何化简分式，包括约分、提取公因式、分子分母同乘同除等方法，使分式的表达更简洁。
4. 分式方程：解决涉及分式的方程，包括一元一次分式方程和一元二次分式方程等，掌握解题的方法和技巧。
5. 分式的应用：了解分式在实际问题中的应用，如物品分配、比例关系、时间速度等问题，通过分式运算解决实际生活中的计算问题。
八年级下册数学中的分式知识是数学学习中的重要内容，需要通过练习和实践来加深理解和掌握。
建议学生多做练习题，加强对分式运算规则的理解和掌握，提高解决问题的能力和技巧。
分式函数初步
分式函数初步分式函数是一个有理函数，指分子和分母都是多项式的函数。
在高中数学的学习中，分式函数是一个重要的内容，同时也是相对难度较大的一个知识点。
本文将介绍分式函数的基础知识和相关概念。
一、分式函数的定义分式函数是指具有形式为 $f(x) = \dfrac{a(x)}{b(x)}$ 的函数，其中 $a(x)$ 和 $b(x)$ 都是多项式函数，且 $b(x) \neq 0$。
分式函数的定义域是所有能够使得分母不为零的实数。
二、分式函数的性质1. 零点和极值分式函数的零点是指使分子等于零的 $x$ 值，也就是 $a(x) = 0$ 的解。
分式函数的极值是指存在的最大值或最小值，通常是$x$ 无限趋近于某个值时，函数趋近于的值。
2. 水平渐近线和垂直渐近线分式函数的水平渐近线可以通过分式函数的通分化得到，垂直渐近线是指分母为零的直线，即 $b(x) = 0$ 的解。
3. 奇偶性分式函数的奇偶性取决于分子的奇偶性。
如果分子是偶函数，那么分式函数就是偶函数；如果分子是奇函数，那么分式函数就是奇函数。
三、分式函数的简单操作1. 通分通分是将两个分式函数化成相同的分母，这样就可以进行加减运算。
例如，若要将 $\dfrac{1}{x+2}$ 和 $\dfrac{x-1}{x+2}$ 通分，可以将第一个分式函数乘以 $\dfrac{x-1}{x-1}$，从而得到$\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，然后将第二个分式函数乘以$\dfrac{1}{1}$，从而得到 $\dfrac{x-1}{(x+2)(x-1)}$，最后将两个分式函数相加即可。
2. 分解因式分解因式就是将一个分式函数化为两个或多个分式函数之积的形式。
例如，要将 $\dfrac{x^2-1}{x+1}$ 分解因式，可以将分子分解为 $(x+1)(x-1)$，则 $\dfrac{x^2-1}{x+1} = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x+1} = x-1$。
第三章 《分式》基础知识小结—填空
第三章《分式》基础知识小结——填 空一、分式的有关概念：1、定义：整式A 除以整式B ，可以表示成BA 的形式，如果除式B 中含有 ，那么称BA 为分式。
2、分式有意义的条件：字母的取值必须使分母 ，例如：分式124x x +-，当 时，分式有意义。
分式无意义的条件：字母的取值必须使分母 ，例如：分式124x x +-，当 时，分式无意义。
3、分式值为0的条件：分式B A＝0，必须 例如：分式211x x -+，当 时，分式值为0。
4、分式值为正数的条件：必须分子、分母同号，即 或 然后解不等式组。
分式值为负数的条件：必须分子、分母异号，即 或 然后解不等式组。
二、分式的基本性质：（重点）1、分式的基本性质： ，分式的值不变。
字母表示：A B= （M ≠0的整式）2、约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形我们称为分式的约分3、最简分式：分子与分母 的分式称为最简分式。
注意：⑴分式化简的要求，通常要使结果成为 或 。
⑵如果分式的分子或分母是多项式，应先将分子、分母分别 ，再约去公因式。
4、分式的符号法则： ⑴x y-＝x y-＝x y-； ⑵x y--＝x y；注意：负号必须是整个分子和整个分母的负号！三、分式的运算：（重点） （一）、分式的乘除法：1、语言叙述：两个分式相乘， ；两个分式相除， 。
1、 字母表示：b d a c⨯= ；b d a c÷=注意：⑴分式的除法运算要转化为乘法运算；⑵式子中的a 、b 、c 、d 可以是单项式，也可以是多项式；若是多项式应先分解因式。
⑶分式乘法运算的结果能约分的一定要进行约分，把分式化为最简分式或整式。
分子A ＝0 分母B ≠0A ＞0B ＞0 A ＜0B ＜0A ＞0B ＜0 A ＜0B ＞0（二）、分式的加减法：1、同分母分式的加减法：同分母的分式相加减， ；字母表示：a b c c±= ；2、异分母分式的加减法：先 ，化成 的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算 字母表示：a cb d±= ；3、分式的通分：把 的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分。
数学分式的计算方法
数学分式的计算方法数学分式是一种数学表达式，由分子和分母组成，分子和分母都可以是整数、自然数、小数或其他数学表达式。
在数学中，分式的计算是一个重要的基础知识点，掌握分式的计算方法可以帮助我们解决各种实际问题。
一、分式的加减要计算分式的加减，首先要求出分式的公共分母。
如果两个分式的分母相同，那么直接将分子相加或相减即可，分母保持不变。
如果两个分式的分母不同，就需要找到它们的公共分母，然后将分子按照公共分母进行相加或相减，分母保持不变。
例如，计算分式1/3 + 1/4。
分母不同，公共分母可以是12，那么将分子相加得到(1*4+1*3)/12=7/12。
二、分式的乘除分式的乘法就是将分子相乘，分母相乘。
例如，计算分式1/3乘以2/5，得到(1*2)/(3*5)=2/15。
分式的除法就是将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数。
例如，计算分式1/3除以2/5，得到(1/3)*(5/2)=5/6。
三、分式的化简分式的化简是将分子和分母约分到最简形式。
要化简一个分式，需要找到分子和分母的最大公约数，然后将分子和分母都除以最大公约数。
例如，化简分式12/18，最大公约数是6，所以将分子和分母都除以6，得到2/3。
四、分式的比较要比较两个分式的大小，可以通过将两个分式的分子和分母相乘，然后比较乘积的大小。
例如，比较分式1/3和2/5的大小，计算(1*5)/(3*2)和(2*3)/(5*1)，得到5/6和6/5，显然5/6小于6/5，所以1/3小于2/5。
五、分式的应用分式在实际问题中有广泛的应用。
例如，在分数运算中，我们常常需要将一个整数转化为分数形式，然后进行运算。
在比例和百分比的计算中，我们也需要使用分式。
此外，在经济学、物理学等领域的问题中，分式也经常用于求解。
掌握数学分式的计算方法是数学学习的重要一步。
通过理解和熟练运用分式的加减乘除、化简和比较等方法，我们可以更好地解决实际问题，提高数学思维和计算能力。
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来说,求出的根成立，而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：(1)增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的．根据方程的同解原理，方程的两边都乘 以(或除以）同一个不为 0 的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数
是 0,那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２)解分式方程一定要检验根,这种检验与整式方程不同,不是检查解方程过程中是否有错误，
要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去
分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根,这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增 根,所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最 简公分母）；
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1.分式
一般地,如果 A、Ｂ表示两个整式,并且 B 中含有字母,那么式子 A 叫做分式.其中 A 叫做分子,Ｂ叫做分母. B
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为０,所以分式的分母不能为 0，即当 B≠0 时，分式 A 才有 B
意义.
2.分式的基本性质ﻫ
时,要先将其分解因式,使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再
进行约分.
【学习目标】
分式的乘除（基础)
1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.
２.会分式的乘法、除法运算.
３.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则,先乘方,再乘除进行分式运算.
【要点梳理】
要点一、分式的乘除法
1. 分 式 的 乘 法 法 则 ： 分 式 乘 分 式 ， 用 分 子 的 积 作 为 积 的 分 子 ， 分 母 的 积 作 为 积 的 分 母 . 用 字 母 表 示
要点一、分式的概念
一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A 叫做分式.其中 A 叫做分子,B 叫做分母． B
要点诠释:（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除
的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
(2)分式与分数是相互联系的:由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般 性;分数是分式中字母取特定值后的特殊情况．
与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、除,后算加、减;遇到括号,
先算括号内的,按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到最简,能约分的要约分,保证
结果是最简分式或整式．
要点诠释:（1）正确运用运算法则:分式的乘除(包括乘方)、加减、符号变化法则是正确进行分式运算的基础，要
为: a c ac ，其中 a、b、c、d 是整式， bd 0 . b d bd
2. 分 式 的 除 法 法 则 ： 分 式 除 以 分 式 , 把 除 式 的 分 子 、 分 母 颠 倒 位 置 后 , 与 被 除 式 相 乘 . 用 字 母 表 示
为: a c a d ad ，其中 a、b、c、d 是整式， bcd 0 . b d b c bc
【学习目标】
分式全章复习与巩固(基础)
1． 理解分式的概念,能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为 0 的条件. 2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则. ３．掌握分式的四则运算． 4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程,掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归
思想. 【知识网络】
的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1 除外），那么这个分式叫做最简分式．
要点诠释:(1）约分的实质是将一个分式化成最简分式,即约分后，分式的分子与分母再没有公因式.
（２）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分
母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式
（2)如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积;如果各分母
都是多项式,就要先把它们分解因式,然后再找最简公分母.
（３）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言.
要点三、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分,变为同分母的分式，再加减.
(3）必须在分式有意义的前提下,才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于０的整式，分式的值不变,这个性质叫做分式的基本性质,用式子表
示是: A A M ，A A M （其中 M 是不等于零的整式）. B BM B BM
要点诠释：（1)基本性质中的Ａ、Ｂ、Ｍ表示的是整式．其中 B≠0 是已知条件中隐含着的条件，一般在解
而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的．
要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题． 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义,弄清它们之间的数量关系; (2)设未知数; (3)找出能够表示题中全部含义的相等关系,列出分式方程; （４)解这个分式方程； (5)验根，检验是否是增根； （6)写出答案.
（２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (３)检验:将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于 0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于 ０，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零,对于整式方程
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变,把分子相加减;
上述法则可用式子表为:
a b ab． cc c
要点诠释：(1)“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减,即各个分子都应用括号，当分子是单项式时,括
号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然,容易导致符号上的错误.
1.分式有意义的条件:分母不等于零.
２.分式无意义的条件:分母等于零.
3．分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释:(１）分式有无意义与分母有关但与分子无关,分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母
中所含字母不能取哪些值,以避免分母的值为零.
（2)本章中如果没有特殊说明,所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”,但π表示圆周率,是一个常数,不是字母,
如 a 是整式而不能当作分式．
（4)分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式不能先化简，如 x2 y 是 x
分式，与 xy 有区别， xy 是整式，即只看形式，不能看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
(M 为不等于０的整式).
3.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简．
要点二、分式的运算
１．约分
利用分式的基本性质,把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约
分.
2．通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式,不改变分式的值,把异分母的分式化为同分母的分式,这样
（３）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时,应先算乘方,再算乘除,有多项
式时应先分解因式，再约分.
（４）分式乘方时,应把分子、分母分别看作一个整体．如
a
b
b
2
a b2
b2
a2 b2 b2
.
【学习目标】
分式的加减（基础）
1.能利用分式的基本性质通分．
2.会进行同分母分式的加减法．
3.会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】
的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
(1）加减运算
a b a b ；同分母的分式相加减，分母不变,把分子相加减． cc c
;异分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.
（２)乘法运算
a c ac ，其中 a、b、c、d 是整式， bd 0 . b d bd
要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１）分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
(2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数).分 母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程．
（3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程.
上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
要点诠释：(1）异分母的分式相加减,先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.
(2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分,②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.
要点四、分式的混合运算
题过程中不另强调；M≠０是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必
须重点强调 M≠0 这个前提条件.
（2)在应用分式的基本性质进行分式变形时,虽然分式的值不变,但分式中字母的取值
范围有可能发生变化．例如：
,在变形后，字母 x 的取值范围变大
了．
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个,分