房山区20072008学年度第一学期期末考试试题

房山区2007-2008学年度第一学期期末考试试题高三数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II （非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第II 卷3至9页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．不能答在试卷上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在等差数列{n a }中，已知42=a ，85=a ,则8a 的值为 （ ）A ．16B ．14C ．12D ．102．50<<x 是不等式4|4|<-x 成立的（ ）A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件C ．充要条件 D.既不充分也不必要条件32= （ ）A.2B.12C.12- D.2-4．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种5．已知R 上的奇函数)(x f 在区间（－∞，0）内单调递增，且0)2(=-f ，则不等式()0f x ≤ 的解集为（ ）A. []2,2-B. (][),22,-∞-⋃+∞C. (][],20,2-∞-⋃D. [][)2,02,-⋃+∞6. 按向量(,2)6a π= 平移函数()2sin()3f x x π=-的图象，得到函数()y g x =的图象，则（ ）A. ()2cos 2g x x =-+B. ()2cos 2g x x =--C. ()2sin 2g x x =-+D. ()2sin 2g x x =--7．下列图象中，有一个是函数3221()(1)1(,0)3f x x ax a x a R a =++-+∈≠的导函数()f x '的图象，则(1)f -= （ ）A.13 B. 13- C. 73 D. 13-或538. 定义在R 上的函数)(x f ，满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+，且2)1(=f ，那么在下面四个式子 ①)1()1(2)1(nf f f +++ ②⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2)1(n n f ③)1(+n n ④)1()1(f n n + 中与(1)(2)()f f f n +++ 相等的是（ ）A ．①③ B. ①② C. ①②③④ D.①②③房山区2007-2008学年度第一学期期末考试试题高三数学（理科）第II 卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 题 号 9 10 11 12 1314 评卷人 分 数二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．已知παπαπ<<-=+2,21)sin(，那么αcos 的值为 .10．若nxx )2(+的展开式中的第5项为常数项，则=n . 11．已知非零向量a 、b 满足 b a b a⋅=⋅2，则a 与b 夹角的大小为 .12．21211lim 21x x x x x →+⎛⎫-=⎪+--⎝⎭. 13．观察下列的图形中小正方形的个数，则第7个图中有 个小正方形；第n 个图中有 个小正方形.14．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(为正实数b a b a ab b a ++=⊗.若31=⊗k ，则k 的值为 ，此时函数()f x=的最小值为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题共13分）设函数()f x a b =⋅ ，其中向量(cos ,1),(1,sin )a x b x ==，x R ∈．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）当[0,]3x π∈时，求()f x 的最大值和最小值．16．（本小题共12分）如图，在四棱锥ABCD P -中，面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点．（Ⅰ）证明//PA 平面EDB ；（Ⅱ）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值．17．（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =数列，且657548b b b b +=-=．（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n T （*n N ∈）．18．（本小题共14分）甲、乙两个袋中均装有均匀的红、白两种颜色的小球．其中甲袋装有2个红球，4个白球，乙袋装有2个红球，3个白球.（Ⅰ）从甲袋中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (i )求恰好摸5次停止的概率；(ii )若规定至多摸5次，记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ； （Ⅱ）分别从甲、乙两袋中各摸出两个球．要求从甲袋中有放回地摸球，每次摸出一个；从乙袋中一次取出两个球．求取出的四个球中恰好有三个红球的概率． （要求本题中所得结果均用分数表示） 得 分 评卷人得 分 评卷人得 分 评卷人得 分 评卷人得 分评卷人19．（本小题共14分）已知函数2()ln ,f x x a x a R =+∈．（Ⅰ）当2a =-时，求函数)(x f 的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数2()()1,2)g x f x x=+在区间(上是单调函数，求实数a 的取值范围． 20．（本小题共14分）已知二次函数21()(,4f t at t R a a=+∈、b 为常数)有最大值且最大值为正实数，集合{|0}x aA x x-=<，集合22{|}B x x b =<． （Ⅰ）求A 和B ；（Ⅱ）定义A 和B 的差集：{|}A B x x A x B -=∈∉且．设x 是从集合A 任取的一个整数，()P E 是()x A B ∈-的概率，()P F 是x A B ∈⋂的概率．设,a b 均为整数，写出a 与b 的三组值，使2()3P E =，1()3P F =，并分别写出所有满足上述条件的a （从大到小）、b （从小到大）依次构成的数列{}n a 、{}n b 的通项公式（不必证明）；（Ⅲ）若函数()f t 中，,n n a a b b ==．设12,t t 是方程()0f t =的两个实根，判断12||t t -是否存在最大值及最小值，若存在，求出相应的值；若不存在，请说明理由．房山区2007-2008学年度第一学期期末考试试题高三数学（理科）得 分 评卷人参考答案一、选择题：题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案CAABCABD二．填空题9．23-； 10．8； 11．3π； 12．13； 13．36，(1)(2)2n n ++； 14．1，3三．解答题15．（本小题满分13分） 解（Ⅰ）()cos sin )4f x x x x π=+=+， …………………4分 因此，函数()f x 的最小正周期为2π． …………………5分（Ⅱ）当2π2π+22k k πππ-≤x +≤4，即3π2ππ+44k x k π-≤≤2（k ∈Z ）时，函数()f x 是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是3π[2ππ+]44k k π-，2（k ∈Z ）． ……………9分（Ⅲ）70,,,34412x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦当时， sin()1,4x π≤+≤ 从而()f x 在区间[0,]3π16．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：连结AC 交∵ 底面ABCD ∴ 点O 是AC 在PAC ∆中，EO ∴ EO PA //而⊂EO 平面EDB 且所以，//PA 平面EDB （Ⅱ）解：作EF ⊥形ABCD 的边长为a ．∵ ⊥PD 底面ABCD ∴ DC PD ⊥∴ PD EF // F 为DC ∴ ⊥EF 底面ABCD ，所成的角． 在BCF Rt ∆中，BF =∵ 221aPD EF ==∴ 在EFB Rt ∆中 55252tan ===a aBF EF EBF 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55． …………………12分17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）当1n =时，11a S =，1121a ∴=-=- ………………1分当2n ≥时，2212(1)221n n n a S S n n n -=-=---+=- ………………3分 所以，数列{}n a 的通项公式为 1 12 1 2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩； ………………4分设数列{}n b 的首项为1b ，公比为q ，由657548b b b b +=-=可得：541641()48()48b q q b q q ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 解得12,1q b ==所以数列{}n b 的通项公式为12n n b -=； ………………7分 （Ⅱ）当1n =时，1(1)11T =-⨯=- ………………8分 当2n ≥时n T =21(1)13252(21)2 (1) n n --⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-2n T =231(1)23252(23)2+(21)2 (2) n n n n --⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-- (1)(2)-得n T -=2311322(222)(21)2 n n n -+⨯+⨯++⋅⋅⋅+--312(12)7(21)212n n n --=+--- 整理得：(23)21n n T n =-+所以数列{}n c 前n 项和(23)21n n T n =-+ ………………13分 18．（本小题满分14分）解：(Ⅰ)（i ）2224121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………2分(ii )随机变量ξ的取值为0,1,2,3；由n 次独立重复试验概率公式()()1n kk kn n P k C p p -=-，得()505132013243P C ξ⎛⎫==⨯-=⎪⎝⎭； ()41511801133243P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=⎪⎝⎭ ()232511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()32802173124381P ξ+⨯==-=随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2 3P32243 80243 80243 1781ξ的数学期望是3280801713101232432432438181E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ………………10分 （Ⅱ）记“从甲袋中取出两个红球，从乙袋中取出一个红球一个白球”的概率为1P ，记“从甲袋中取出一个红球一个白球，从乙袋中取出两个红球”的概率为2P ． 根据题意，11231251133345C C P C =⨯⨯=； 21222251223345C P C C =⨯⨯=所以取出的四个球中有三个是红球的概率1219P P P =+=………………14分 19．（本小题满分14分）解：（I ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞………………………………………1分当2-=a 时，xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-=' ………………3分 当x 变化时，)(),('f 的变化情况如下：5分由上表可知，函数)(x f 的单调递减区间是（0，1）； 单调递增区间是（1，+∞）．极小值是 1)1(=f ………………………………6分 （Ⅱ）由2222)(2ln )(xx a x x g x x a x x g -+='++=，得 ………………7分 又函数22()ln 1,2)g x x a x x=++为区间(上的单调函数， 则()0()01,2)g x g x ''≥≤或在区间(上恒成立， ……………………8分即不等式222220201,2)a ax x x x x x -+≥-+≤或在区间(上恒成立，也即 2222221,2)a x a x x x ≥-≤-或在区间(上恒成立 ………………10分又22()2,)x x xϕ=-+∞在区间(0上为减函数， ………………12分又(1)0,(2)7ϕϕ==-，所以 0,7a a ≥≤-或，即a 的取值范围为 [0,)(,7]+∞⋃-∞- ………………………………14分 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）2211()(44bf t at a t a a-=+=+的最大值为正数， 10,04ba a-∴<> 1,0.b a ∴><{|0},{|}A x a x B x b x b ∴=<<=-<<． ………………4分（Ⅱ）要使2()3P E =，1()3P F =，可使①A 有3个整数，A B -中有2个整数，A B ⋂中有1个整数，则4,2a b =-=； ②A 有6个整数，A B -中有4个整数，A B ⋂中有2个整数，则7,3a b =-=； ③A 有9个整数，A B -中有6个整数，A B ⋂中有3个整数，则10,4a b =-=． 31,1(*)n n a n b n n N ∴=--=+∈ ………………9分 （Ⅲ）由有两个实根得10n b ∆=->．设：12()||h n t t =-====当1x ≥时，函数19y x x =+是增函数，所以当1n =时，()h n 取得最大值，最大值为1(1)4h =由()0h n >及lim ()0n h n →∞=知12||t t -没有最小值。