高中数学必修5第一章解三角形复习考试知识点总结与练习(老师版)

高中数学必修5 第一章 解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sin sin sin a b cR A B C=== (R 为三角形外接圆的半径). 2.正弦定理的一些变式：()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R==2cR =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===；（iv ）R CB A cb a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c b a ba C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ 2.推论： 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac b a c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩.3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++= Rabc 4=2R 2sinAsinBsinC （其中r 为三角形内切圆半径）2.设)(21c b a p ++=,))()((c p b p a p p S ---=(海伦公式)【三角形中的常见结论】（1）π=++C B A (2) sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-2cos 2sinC B A =+,2sin 2cos CB A =+; （3）若⇒>>C B A c b a >>⇒C B A sin sin sin >>若C B A sin sin sin >>⇒c b a >>⇒C B A >>（大边对大角，小边对小角） （4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值 （6）C ∆AB 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是ο60=B .(7) C ∆AB 为正三角形的充要条件是A,B,C 成等差数列，且a,b,c 成等比数列. 二、题型汇总题型1【判定三角形形状】判断三角形的类型（1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.（2）在ABC ∆中，由余弦定理可知:222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形∆（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）(3) 若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A .例1.在ABC ∆中，A b c cos 2=，且ab c b a c b a 3))((=-+++，试判断ABC ∆形状.题型2【解三角形及求面积】一般地，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.例2.在ABC ∆中，1=a ，3=b ，030=∠A ，求的值例3.在ABC ∆中，内角C B A ,,对边的边长分别是c b a ,,，已知2=c ，3π=C ．（Ⅰ）若ABC ∆的面积等于3，求b a ,；（Ⅱ）若A A B C 2sin 2)(sin sin =-+，求ABC ∆的面积．题型3【证明等式成立】证明等式成立的方法：（1）左⇒右，（2）右⇒左，（3）左右互相推.例4.已知ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，求证：B c C b a cos cos +=.题型4【解三角形在实际中的应用】实际问题中的有关概念：仰角 俯角 方位角 方向角 (1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图1)．(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图2)． (3)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图3)①北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向．②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向．③南偏西等其他方向角类似．例5．如图所示，货轮在海上以40km/h 的速度沿着方位角（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时到达C 点观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解三角形高考题精选1．ABC ∆的三个内角为A B C 、、，求当A 为何值时，cos 2cos 2B CA ++取得最大值，并求出这个最大值。

解：由,222,A C B C B A -=+=++ππ得 所以有 .2sin 2cos AC B =+2sin 2cos 2cos 2cos A A C B A +=++ 2sin 22sin 212AA +-= .23)212(sin 22+--=A当.232cos 2cos ,3,212sin取得最大值时即C B A A A ++==π 2.。

设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a=2bsinA 。

（Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求C A sin cos +的取值范围。

解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以1sin 2B =， 由ABC △为锐角三角形得π6B =。

（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π⎛⎫+=+π-- ⎪6⎝⎭cos sin 6A A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭13cos cos sin 22A A A =++3sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=。

2336A πππ<+<， 所以13sin 232A π⎛⎫+< ⎪⎝⎭。

由此有333sin 3232A π⎛⎫<+<⨯ ⎪⎝⎭，所以，cosA+sinC 的取值范围为3322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，。

3．设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a Bb Ac -=． （Ⅰ）求tan cot A B 的值； （Ⅱ）求tan()A B -的最大值．a b c===2R,sin A sin B sin ca=2R sin A,b=2R sin B,c=2rsin C33acosB bcosA c 2RsinAcosB 2R sin BcosA=2R sin C553sin AcosB sin BcosA=sin (A+B)533sin AcosB sin BcosA=sin AcosB+cosAsinB5528sin AcosB=sin BcosA,55解：⑴由正弦定理得：∴－＝，∴－∴－－∴两边同除2sinBcosA 5tanAcotB=4.以∴tanA=4tanB,⑵由第⑴知，2tan A tan B 3tanB33tan A=4tanB,tan(A B)===11+tan A tan B 1+4tan B4+4tanB tan B11=4tanB,tan B=tan B 2≤－⑵∵而－当且仅且∴时“＝”成立。

4.在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b解法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =Q 则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-•=•化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.解法二:由余弦定理得:2222cos a c b bc A -=-.又 222a c b -=,0b ≠。

所以 2cos 2b c A =+…………………………………① 又 sin cos 3cos sin A C A C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bB C c=，故 4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。

5. 已知ABC V 的内角A ，B 及其对边a，b满足cot cot a b a A b B +=+，求内角C ．解：由cot cot a b a A b B +=+及正弦定理得sin sin cos cos sin cos cos sin A B A BA AB B+=+-=-从而sin coscos sincos sinsin cos4444A AB B ππππ-=-sin()sin()44A B ππ-=-又0A B π<+< 故44A B ππ-=-2A B π+=所以2C π=6.（12）ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C 。

7． 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求PA ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解：(1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°. 在△PBA 中，由余弦定理得PA 2＝117323cos 30424+-⨯⨯︒=. 故PA ＝72. (2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α. 在△PBA 中，由正弦定理得3sin sin150sin(30)αα=︒︒-， 化简得3cos α＝4sin α. 所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.8.ABC △的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知c A b B a C =+)cos cos (cos 2.（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若7=c ，ABC △的面积为233.求ABC △的周长. 解：（I ） 由已知及正弦定理的，C A B B A C sin )cos sin cos (sin cos 2=+，即C B A C sin )sin(cos 2=+， 故C C C sin cos sin 2=， 可得21cos =C ，∴3π=C ．（II ） 由已知，233sin 21=C ab ， 又3π=C ，∴6=ab ，由已知及余弦定理得，7cos 222=-+C ab b a ， 故1322=+b a ，从而25)(2=+b a ， ∴ABC △的周长为75+9. 如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．解：在BCD △中，πCBD αβ∠=--． 由正弦定理得sin sin BC CD BDC CBD=∠∠．所以sin sin sin sin()CD BDC s BC CBD βαβ∠==∠+·．在 ABC △ 中tan sin tan sin()s AB BC ACB θβαβ=∠=+·．10．如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处时,乙船位于甲船的北偏西105︒的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?解：如图，连结12A B ，22102A B =，122030210260A A =⨯=， 122A A B ∆是等边三角形，1121056045B A B ∠=︒-︒=︒，在121A B B ∆中，由余弦定理得2221211121112222cos 45220(102)2201022002B B A B A B A B A B =+-⋅︒=+-⨯⨯⨯=， 1210 2.B B =因此乙船的速度的大小为1026030 2.20⨯= 答：乙船每小时航行302海里.。