高等数学常用导数和积分公式
高数微积分公式大全(总结的比较好)
高等数学微积分公式大全一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- （7）()x x e e '= （8）()ln x x a a a '= ⑽ （9）()1ln x x '=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭五、微分公式与微分运算法则⑴()0d c = ⑵()1d x x dx μμμ-= ⑶()sin cos d x xdx = ⑷()cos sin d x xdx =-⑼()x x d e e dx = ⑽()ln x x d a a adx = ⑾()1ln d x dx x= ⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arc cot 1d x dx x =-+ 六、微分运算法则⑴()d u v du dv ±=± ⑵()d cu cdu =七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰ ⑺sin cos xdx x c =-+⎰【特殊角的三角函数值】（1）sin 00= （2）1sin 62π= （3）sin 3π= （4）sin 12π=） （5）sin 0π= （1）cos 01= （2）cos 6π= （3）1cos 32π= （4）cos 02π=） （5）cos 1π=- （1）tan 00= （2）tan 63π=（3）tan 3π=（4）tan 2π不存在 （5）tan 0π=（1）cot 0不存在 （2）cot6π=（3）cot 33π=（4）cot 02π=（5）cot π不存在 十二、重要公式 （1）0sin lim 1x x x→= （2）()10lim 1x x x e →+= （3）)1n a o >= （4）1n = （9）lim 0xx e →-∞= （10）lim x x e →+∞=∞ （11）0lim 1xx x +→= （12）00101101lim 0n n n m m x m a n m b a x a x a n m b x b x b n m--→∞⎧=⎪⎪+++⎪=<⎨+++⎪∞>⎪⎪⎩ （系数不为0的情况） 十三、下列常用等价无穷小关系（0x →）sin x x tan x x a r c s i n x x arctan x x 211c o s 2x x - ()ln 1x x + 1x e x - 1l n x a x a - ()11x x ∂+-∂十四、三角函数公式2.二倍角公式sin 22sin cos A A A = 2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1A A A A A =-=-=- 十五、几种常见的微分方程1.可分离变量的微分方程：()()dy f x g y dx= ， ()()()()11220f x g y dx f x g y dy += 2.齐次微分方程：dy y f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭3.一阶线性非齐次微分方程：()()dy p x y Q x dx+= 解为： ()()()p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰。
高等数学导数公式大全
高等数学导数公式大全1.基本导数公式：-若f(x)=c（c为常数），则f'(x)=0；- 若f(x) = x^n（n为正整数），则f'(x) = nx^(n-1)；- 若f(x) = a^x（a为常数），则f'(x) = a^x * ln(a)；-若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x；2.三角函数与反三角函数的导数公式：- 若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；- 若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；- 若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)；- 若f(x) = cot(x)，则f'(x) = -csc^2(x)；- 若f(x) = sec(x)，则f'(x) = sec(x) * tan(x)；- 若f(x) = csc(x)，则f'(x) = -csc(x) * cot(x)；- 若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1 / sqrt(1 - x^2)；- 若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1 / sqrt(1 - x^2)；- 若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1 / (1 + x^2)；- 若f(x) = arccot(x)，则f'(x) = -1 / (1 + x^2)；- 若f(x) = arcsec(x)，则f'(x) = 1 / (x * sqrt(x^2 - 1))；- 若f(x) = arccsc(x)，则f'(x) = -1 / (x * sqrt(x^2 - 1))；3.对数函数与指数函数的导数公式：- 若f(x) = log_a(x)，则f'(x) = 1 / (x * ln(a))；- 若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1 / x；- 若f(x) = ln，u(x)，则f'(x) = u'(x) / u(x)；- 若f(x) = a^x（a>0且a ≠ 1），则f'(x) = a^x * ln(a)；-若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x；4.复合函数的导数公式：-若g(x)可导，f(x)可导，则(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)；-若f(x)可导，f^-1(x)可导，则(f^-1(x))'=1/f'(f^-1(x))；5.乘积与商的导数公式：-若f(x)与g(x)都可导，则(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)；-若f(x)与g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x))/g^2(x)6.反函数的导数：-若f(x)在x_0处可导，且f'(x_0)≠0，则f^(-1)(x)在f(x_0)处可导，且(f^(-1))'(f(x_0))=1/f'(x_0)；7.链式法则：- 若y = f(u)且u = g(x)都可导，则y = f(g(x))也可导，且dy/dx = f'(u) * g'(x) = f'(g(x)) * g'(x)；8.泰勒展开式：-若f(x)在x_0处有n阶导数，则它在x_0处的泰勒展开式为：f(x) = f(x_0) + (x - x_0)f'(x_0) + (x - x_0)^2f''(x_0)/2! + ... + (x - x_0)^nf^n(x_0)/n!；这只是高等数学导数公式的部分内容，实际上导数公式非常多且多样化，可以根据需要不断学习和掌握。
大学高等数学公式大全
大学高等数学公式大全第一部分：微积分基础一、导数1. 导数的定义：导数是一个函数在某一点上的瞬时变化率，表示为f'(x)或dy/dx。
2. 导数的运算法则：常数函数的导数为0。
幂函数的导数为指数乘以底数的指数减1，即d/dx(x^n) =nx^(n1)。
指数函数的导数为指数函数乘以指数，即d/dx(a^x) = a^xln(a)。
对数函数的导数为1除以x乘以底数的对数，即d/dx(ln(x)) =1/x。
三角函数的导数：d/dx(sin(x)) = cos(x)，d/dx(cos(x)) =sin(x)，d/dx(tan(x)) = sec^2(x)。
3. 高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
例如，f''(x)表示二阶导数。
二、积分1. 定积分的定义：定积分是一个函数在某个区间上的累积和，表示为∫[a,b]f(x)dx。
2. 积分的运算法则：常数函数的积分为其乘以区间长度，即∫[a,b]c dx = c(ba)。
幂函数的积分为其指数加1除以指数加1乘以区间长度，即∫[a,b]x^n dx = (b^(n+1)a^(n+1))/(n+1)。
指数函数的积分为其指数函数除以指数，即∫[a,b]a^x dx = (a^ba^a)/ln(a)。
对数函数的积分为其对数函数乘以区间长度，即∫[a,b]ln(x) dx = (xln(x)x)。
三角函数的积分：∫[a,b]sin(x) dx = cos(x) + C，∫[a,b]cos(x) dx = sin(x) + C，∫[a,b]tan(x) dx = ln|cos(x)| + C。
3. 积分的性质：积分与导数互为逆运算，即d/dx(∫f(x)dx) = f(x)。
积分区间可以改变顺序，即∫[a,b]f(x)dx = ∫[b,a]f(x)dx。
积分可以分解为多个区间上的积分，即∫[a,c]f(x)dx =∫[a,b]f(x)dx + ∫[b,c]f(x)dx。
高等数学积分公式
高等数学积分公式高等数学中的积分公式有很多，下面列举了一些常用的积分公式和相关的计算方法。
1.积分的线性性质：设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上可积，k为任意常数，则有：∫[a, b] (f(x) + g(x))dx = ∫[a, b] f(x)dx + ∫[a, b] g(x)dx ∫[a, b] kf(x)dx = k∫[a, b] f(x)dx2.基本积分公式：∫ x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C，其中n≠-1，C为常数∫ dx = x + C∫ e^x dx = e^x + C∫ sin(x) dx = -cos(x) + C∫ cos(x) dx = sin(x) + C∫ sec^2(x) dx = tan(x) + C∫ csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫ 1/(a^2 + x^2) dx = (1/a) arctan(x/a) + C，其中a≠0∫ 1/(sqrt(a^2 - x^2)) dx = arcsin(x/a) + C，其中a>03.积分的分部积分法：设函数u(x)、v(x)具有连续的一阶和二阶导数，则有积分的分部积分公式：∫ u(x) v'(x) dx = u(x) v(x) - ∫ u'(x) v(x) dx4.三角函数的积分公式：∫ sin^n(x) cos^m(x) dx，其中n、m均为非负整数，可用以下公式求解：a. 若n为奇数，m为偶数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简b. 若n为偶数，m为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的sin^2(x)进行积分c. 若n和m均为奇数，则利用恒等式sin^2(x) + cos^2(x) = 1进行化简，并对其中的cos^2(x)进行积分5.带根号的积分公式：∫ sqrt(a^2 - x^2) dx = (1/2) (x sqrt(a^2 - x^2) + a^2 arcsin(x/a)) + C，其中a>0∫ sqrt(x^2 + a^2) dx = (1/2) (x sqrt(x^2 + a^2) + a^2 ln，x + sqrt(x^2 + a^2)，) + C，其中a>06.积分的换元法：设u=g(x)是连续可导函数的微分函数，函数f(g(x))在区间[a,b]上连续，则有：∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du7.分式积分法：设f(x)、g(x)是多项式函数，g(x)≠0∫ f(x)/g(x) dx = [∑ A_i/(x-a_i) + B_j(x-b_j)^k_j +C_i*e^(a_i*x)]dx其中A_i、B_j、C_i为待求系数，a_i、b_j为g(x)的一阶或二阶零点，k_j为g(x)的重根的重数8.参数方程的积分公式：设平面上的点(x(t),y(t))的运动由参数方程x=f(t)，y=g(t)给出，则有：∫[a, b] y(t) x'(t) dt = ∫[a, b] x(t) y'(t) dt以上列举的只是常用的积分公式，实际上积分的计算有时需要结合多种公式和方法进行推导和计算。
高等数学公式汇总(大全)
高等数学公式汇总(大全)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高等数学公式汇总(大全)一 导数公式：二 基本积分表：三 三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin ududx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ四 一些初等函数： 五 两个重要极限：六 三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x xarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xx x x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ七 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑八 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
高数积分公式大全
高数积分公式大全高等数学中的积分是数学分析的重要内容之一，它是求函数面积、定积分、不定积分等的方法，被广泛应用于科学和工程领域。
下面是高等数学中常用的积分公式大全，供大家参考和学习。
一、基本积分公式：1. 常数函数积分公式：∫c dx = cx + C（其中c为常数，C为积分常数）2. 幂函数积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C（其中n不等于-1，C 为积分常数）3. 指数函数积分公式：∫e^x dx = e^x + C4. 三角函数积分公式：∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C5. 乘方函数积分公式：∫(a^x) dx = (1/log(a)) * (a^x) + C（其中a为正数且不等于1，C为积分常数）6. 对数函数积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C二、常用积分公式：1. 三角函数的复合积分：∫sin(ax) dx = - (1/a) * cos(ax) + C∫cos(ax) dx = (1/a) * sin(ax) + C2. 反三角函数的积分：∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C3. 指数函数的积分：∫e^(ax) dx = (1/a) * e^(ax) + C4. 对数函数的积分：∫(1/x) dx = ln|x| + C5. 分式函数的积分：∫(1/(x-a)) dx = ln|x-a| + C（其中a不等于0）∫(1/(x^2+a^2)) dx = (1/a) * arctan(x/a) + C（其中a不等于0）6. 三角函数的积分：∫sin^n(x) cos^m(x) dx7. 部分分式的积分：∫(p(x)/q(x)) dx8. 具体函数的特殊积分：∫e^x sin(x) dx∫e^x cos(x) dx∫(sin(x))^n (cos(x))^m dx（其中n和m为正整数）三、数列求和公式：1. 等差数列求和公式：S_n = (n/2)(a_1 + a_n)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，a_n为末项）2. 等比数列求和公式：S_n = (a_1(1-q^n))/(1-q)（其中S_n为前n项和，a_1为首项，q为公比）以上是高等数学中一些常见的积分公式，通过掌握和灵活运用这些公式，可以帮助我们更好地解决数学中的问题。
最全高等数学导数和积分公式汇总表
高等数学导数及积分公式汇总表一、导数公式 1．幂函数 0='c1)(-='n n nu u 2．指数函数 a a a u u ln )(=' e e e u u ln )(=' 3．对数函数 au a u ln 1)(log =' uu 1)(ln ='4．三角函数 u u cos )(sin =' u u sin )(cos -=' u u 2sec )(tan ='u u 2csc )(cot -='u u u tan sec )(sec =' u u u cot csc )(csc -='5．反三角函数 211)(arcsin uu -='211)(arccos u u --=' 211)(arctan u u +='211)cot (u u arc +-='6．其他 1='u211)(u u -='uu 21)(='23211)(uu-='22)(22a u u a u ±='±二、积分公式 1．幂函数 C du =⎰0 C udu un n n+=++⎰1112．指数函数 C e du e uu +=⎰ C du a aa uu +=⎰ln3．有关对数 C u udu +=⎰ln4．三角函数 C u udu +-=⎰cos sinC u udu +=⎰sin cosC u udu +=⎰tan sec 2C u udu +-=⎰cot csc 2C u udu u +=⎰sec tan sec C u udu u +-=⎰csc cot csc C u udu +-=⎰cos ln tan C u udu +=⎰sin ln cotC u u udu ++=⎰tan sec ln secC u u udu +-=⎰cot csc ln csc5．反三角函数C a u u a u du +±+=⎰±22ln 22C a u ua du +=⎰-arcsin 22C ua ua au a du +=-+-⎰ln2122Ca ua u a du +=⎰+arctan 122 6．其他 C u u du +-=⎰12C u du u +=⎰2332C u du u+=⎰2121Cu u udu +-=⎰-2222C u u udu ++=⎰+22111ln 2C u u u udu +-=⎰ln ln三、定义域 ))(10(∞+-∞∈≠>=，，，x a a a y x)010(log >≠>=x a a x y a ，，四、对数公式b Nb a a N log log log =mn m a n a log )(log =2lg 1lg 2lg 1lg log 21lg 21lg 2121q q k k q q k k k k q q --==五、三角公式 αααcos sin 22sin =ααα22sin cos 2cos -=αα2cos 1cos 22+=αα2cos 1sin 22-=六、因式分解3223333)(y xy y x x y x ±+±=±。
导数与微积分
导数与微积分导函数导函数的概念涉及：的对于区间 , 上任意点处都可导,则在各点的导数也随x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数被称为的导函数,记作 ;一、基本函数的导函数C'=0C为常数x^n'=nx^n-1 n∈Qsinx'=cosxcosx'=-sinxe^x'=e^xa^x'=a^xlnaloga,x' = 1/xlnalnx'= 1/x二、和差积商函数的导函数fx + gx' = f'x + g'xfx - gx' = f'x - g'xfxgx' = f'xgx + fxg'xfx/gx' = f'xgx - fxg'x / gx^2三、复合函数的导函数设 y=ut ,t=vx,则 y'x = u'tv'x = u'vx v'x例：y = t^2 ,t = sinx ,则y'x = 2t cosx = 2sinxcosx = sin2x一般定义设函数在点的某个邻域内有定义,当自变量在处取得增量Δ点仍在该邻域内时,相应地函数取得增量Δ；如果Δ与Δ之比当Δ时的极限存在,则称函数在点处可导,并称这个极限为函数在点处的导数,记为,即,也可记作,或;邻域数学分析的定义以a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作Ua设δ是任一正数,则在开区间a-δ,a+δ就是点a的一个邻域,这个邻域称为点a的δ邻域,记作Ua,δ,即Ua,δ={x|a-δ<x<a+δ};点a称为这邻域的中心,δ称为这邻域的半径;a的δ邻域去掉中心a后,称为点a的去心δ邻域,有时把开区间a-δ,a称为a的左δ邻域,把开区间a,a+δ称为a的右δ邻域;拓扑学的定义设A是拓扑空间X,τ的一个子集,点x∈A;如果存在集合U,满足①U是开集,即U∈τ,②点x∈U,③U是A的子集,则称点x是A的一个内点,并称A是点x的一个邻域;若A是开闭集,则称为开闭邻域;可导设y=fx是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y'=f'x,则称y在x=x0处可导;如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数若将一点扩展成函数fx在其定义域包含的某开区间I内每一个点,那么函数fx在开区间内可导,这时对于内每一个确定的值,都对应着fx的一个确定的导数,如此一来每一个导数就构成了一个新的函数,这个函数称作原函数fx的导函数,记作：y'、或者;原函数已知函数fx是一个定义在某区间的函数,如果存在函数Fx,使得在该区间内的任一点都有dFx=fxdx,则在该区间内就称函数Fx为函数fx的原函数;例：sinx是cosx的原函数;关于原函数的问题函数fx满足什么条件是,才保证其原函数一定存在呢这个问题我们以后来解决;若其存在原函数,那么原函数一共有多少个呢我们可以明显的看出来：若函数Fx为函数fx的原函数,即：F'x=fx,则函数族Fx+CC为任一个常数中的任一个函数一定是fx的原函数,故：若函数fx有原函数,那末其原函数为无穷多个.如果定义在a,b上的函数Fx和fx满足条件：对每一x∈a,b,F′x＝fx则称Fx为fx的一个原函数;例如,x3是3x2的一个原函数,易知,x3＋1和x3＋2也都是3x2的原函数;因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的,例如：已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v＝vt,要求它的运动规律 ,就是求v＝vt的原函数;原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当fx为连续函数时,其原函数一定存在;几何意义和力学意义设fx在a,b上连续,则由曲线y=fx,x轴及直线x=a,x=x围成的曲边梯形的面积函数指代数和——x轴上方取正号,下方取负号是fx的一个原函数.若x为时间变量,fx为直线运动的物体的速度函数,则fx的原函数就是路程函数.导函数的定义表达式为：值得注意的是,导数是一个数,是指函数fx在点x0处导函数的函数值;但通常也可以说导函数为导数,其区别仅在于一个点还是连续的点;几何意义如右图所示,设P0为曲线上的一个定点,P为曲线上的一个动点;当P沿曲线逐渐趋向于点P0时,并且割线PP0的极限位置P0T存在,则称P0T为曲线在P0处的切线;若曲线为一函数y = fx的图像,那么割线PP0的斜率为：当P0处的切线P0T,即PP0的极限位置存在时,此时,,则P0T的斜率tanα为：上式与一般定义中的导数定义是完全相同,则f'x0 = tanα,故导数的几何意义即曲线y = fx在点P0x0,fx0处切线的斜率;函数可导的条件如果一个函数的定义域为全体实数,即函数在上都有定义,那么该函数是不是在定义域上处处可导呢答案是否定的;函数在定义域中一点可导需要一定的条件是：函数在该点的左右两侧导数都存在且相等;这实际上是按照极限存在的一个充要条件极限存在,它的左右极限存在且相等推导而来：上式中,后两个式子可以定义为函数在x0处的左右导数：极值extremum∶数学函数的一种稳定值,即一个极大值或一个极小值,极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得;extreme value∶在给定的时期内,或该时期的一定月份或季节内观测到的气候要素的最高值或最低值;如果这个时期是整个有观测资料的时期,这个极值就是绝对极值极限在高等数学中,极限是一个重要的概念;极限可分为数列极限和函数极限,分别定义如下;首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法的情况下,要计算其面积;为此,他先作圆的内接正六边形,其面积记为A1,再作内接正十二边形,其面积记为A2,内接二十四边形的面积记为A3,如此将边数加倍,当n无限增大时,An无限接近于圆面积,他计算到3072=62的9次方边形,利用不等式An+1<A<An+2An+1-Ann=1,2,3....得到圆周率=3927/1250约等于数列极限：定义：设|Xn|为一数列,如果存在常数a对于任意给定的正数ε不论它多么小,总存在正整数N,使得当n>N时,不等式|Xn - a|<ε都成立,那么就称常数a是数列|Xn|的极限,或称数列|Xn|收敛于a;记为lim Xn = a 或Xn→an→∞数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在,则极限值是唯一的；2.有界性：如果一个数列收敛有极限,那么这个数列有界;但是,如果一个数列有界,这个数列未必收敛;3.保号性：如果一个数列{xn}收敛于a,且a>0或a<0,那么存在正整数N,当n>N时,都有xn>0或xn<0;4.改变数列的有限项,不改变数列的极限;几个常用数列的极限：an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0函数极限的专业定义:设函数fx在点x;的某一去心邻域内有定义,如果存在常数A,对于任意给定的正数ε无论它多么小,总存在正数δ ,使得当x满足不等式0<|x-x;|<δ时,对应的函数值fx都满足不等式：|fx-A|<ε那么常数A就叫做函数fx当x→x;时的极限;函数极限的通俗定义：1、设函数y=fx在a,+∞内有定义,如果当x→+∞时,函数fx无限接近一个确定的常数A,则称A为当x趋于+∞时函数fx的极限;记作lim fx＝A ,x→+∞;2、设函数y=fx在点a左右近旁都有定义,当x无限趋近a时记作x→a,函数值无限接近一个确定的常数A,则称A为当x无限趋近a时函数fx的极限;记作lim fx=A ,x→a;函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧即x〈x0无限趋近于x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的左极限,记作x→x0-limfx=a.2:如果当x从点x=x0右侧即x>x0无限趋近于点x0时,函数fx无限趋近于常数a,就说a是函数fx在点x0处的右极限,记作x→x0+limfx=a.注：若一个函数在x0上的左右极限不同则此函数在x0上不存在极限注：一个函数是否在x0处存在极限,与它在x=x0处是否有定义无关,只要求y=fx在x0近旁有定义即可;函数极限的性质：极限的运算法则或称有关公式：limfx+gx=limfx+limgxlimfx-gx=limfx-limgxlimfxgx=limfxlimgxlimfx/gx=limfx/limgx limgx不等于0limfx^n=limfx^n以上limfx limgx都存在时才成立lim1+1/x^x =ex→∞无穷大与无穷小：一个数列极限无限趋近于0,它就是一个无穷小数列极限;无穷大数列和无穷小数列成倒数;两个重要极限：1、lim sinx／x ＝1 ,x→02、lim 1 + 1／x^x ＝e ,x→∞ e≈...,无理数====================================================================== ==举两个例子说明一下一、……＝1以下一段不作证明,只助理解——原因：小数的加法的第一步就是对齐数位,即要知道具体哪一位加哪一位才可操作,下文中……的加法使用小数点与小数点对齐并不可以保证以上标准,所以对于无限小数并不能做加法;既然不可做加法,就无乘法可言了;谁都知道1/3＝……,而两边同时乘以3就得到1＝……,可就是看着别扭,因为左边是一个“有限”的数,右边是“无限”的数;10×……—1×……=9=9×……∴……=1二、“无理数”算是什么数我们知道,形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的,它的每一位都只有在不停计算之后才能确定,且无穷无尽,这种没完没了的数,大大违背人们的思维习惯;结合上面的一些困难,人们迫切需要一种思想方法,来界定和研究这种“没完没了”的数,这就产生了数列极限的思想;类似的根源还在物理中实际上,从科学发展的历程来看,哲学才是真正的发展动力,但物理起到了无比推动作用,比如瞬时速度的问题;我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示,若时间差趋于零,则此比值就是某时刻的瞬时速度,这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值,就是0÷0,这有意义吗这个意义是指“分析”意义,因为几何意义颇为直观,就是该点切线斜率这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释,极限的思想呼之欲出;真正现代意义上的极限定义,一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的,他当时是一位中学数学教师,这对我们今天中学教师界而言,不能不说是意味深长的;几个常用数列的极限an=c 常数列极限为can=1/n 极限为0an=x^n 绝对值x小于1 极限为0定积分定积分的几何意义众所周知,微积分的两大部分是微分与积分;微分实际上是求一个已知函数的导数,而积分是已知一个函数的导数,求原函数;所以,微分与积分互为逆运算;积分的分类实际上,积分还可以分为两部分;第一种,不定积分,也就是已知导数求原函数,而若Fx的导数是fx,那么Fx+CC是常数的导数也是fx,也就是说,把fx积分,不一定能得到Fx,因为Fx+C的导数也是fx,C是任意常数,所以fx积分的结果有无数个,是不确定的,我们一律用Fx+C代替,这就称为不定积分;这也就是说它是一组函数,而不是有限个;第二种,定积分定积分就是求函数FX在区间A,B中图线下包围的面积;即 y=0 x=a x=b y=FX所包围的面积;这个图形称为曲边梯形,特例是曲边梯形;定积分的定义：设一元函数y=fx ,在区间a,b内有定义;将区间a,b分成n个小区间 a,x0 x0,x1x1,x2 .....xi,b ;设△xi＝xi－xi-1,取区间△xi中曲线上任意一点记做fξi,做和式：和式若记λ为这些小区间中的最长者;当λ→ 0时,若此和式的极限存在,则称这个和式是函数fx 在区间a,b上的定积分;记做：∫ _a^b fxdxa在∫下方,b在∫上方其中称a为积分下限,b为积分上限, fx 为被积函数,fxdx 为被积式,∫为积分号;之所以称其为定积分,是因为它积分后得出的值是确定的,是一个数, 而不是一个函数;微分一元微分定义：设函数y = fx在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内;如果函数的增量Δy = fx0 + Δx fx0可表示为Δy = AΔx + oΔx其中A是不依赖于Δx 的常数,而oΔx0是比Δx高阶的无穷小,那么称函数fx在点x0是可微的,且AΔx 称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx;通常把自变量x的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即dx = Δx;于是函数y = fx的微分又可记作dy = f'xdx;函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数;因此,导数也叫做微商;当自变量X改变为X+△X时,相应地函数值由fX改变为fX+△X,如果存在一个与△X无关的常数A,使fX+△X-fX和A△X之差关于△X→０是高阶无穷小量,则称A△X是fX在X的微分,记为dy,并称fX在X可微;可导不一定可微,可微一定可导,这时A=f′X;再记A△X=dy,则dy=f′XdX;例如：dsinX=cosXdX;几何意义：设Δx是曲线y = fx上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量;当|Δx|很小时,|Δy－dy|比|Δy|要小得多高阶无穷小,因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段;多元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分得定义;运算法则：dy=f'xdxdu+v=du+dvdu-v=du-dvduv=duv+dvudu/v=duv-dvu/v^2黎曼积分定积分的正式名称是黎曼积分,详见黎曼积分;用自己的话来说,就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形,然后把某个区间a,b上的矩形累加起来,所得到的就是这个函数的图象在区间a,b的面积;实际上,定积分的上下限就是区间的两个端点a、b;黎曼积分如果函数fX在闭区间a,b上定义,而P,ζ是这个闭区间的一个带点分割,则和σf；p,ζ:=Σ fζiΔXi叫做函数f在区间a,b上对应于带点分割P,ζ的积分和,其中ΔXi=Xi-Xi-1 存在这样一个实数I,如果对于任何ε>0可以找到一个δ>0,使对区间a,b的任何带点分割P,ζ,只要分化P的参数λP<δ,就有|I-σf；p,ζ|<ε,则称函数fX在闭区间a,b上黎曼可积,而I就成为函数fX在闭区间a,b上的黎曼积分;我们可以看到,定积分的本质是把图象无限细分,再累加起来,而积分的本质是求一个函数的原函数;它们看起来没有任何的联系,那么为什么定积分写成积分的形式呢微积分基本定理定积分与积分看起来风马牛不相及,但是由于一个数学上重要的理论的支撑,使得它们有了本质的密切关系;把一个图形无限细分再累加,这似乎是不可能的事情,但是由于这个理论,可以转化为计算积分;这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式,它的内容是：若F'x=fx那么∫ _a^bfx dx = Fa-Fb牛顿-莱布尼兹公式用文字表述,就是说一个定积分式的值,就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差;正因为这个理论,揭示了积分与黎曼积分本质的联系,可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位,因此,牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理;牛顿-莱布尼茨公式,又称为微积分基本定理,其意义就在于把不定积分与定积分联系了起来,也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法;从几何上看,它在切线和面积两个看似很不相关的概念之间建立起了联系;下面就是该公式的证明全过程：我们知道,对黎曼Riemann可积函数fx于区间a,b上的定积分表达为：b上限∫a下限fxdx现在我们把积分区间的上限作为一个变量,这样我们就定义了一个新的函数：Φx= x上限∫a下限fxdx但是这里x出现了两种意义,一是表示积分上限,二是表示被积函数的自变量,但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的;虽然这种写法是可以的,但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t,这样意义就非常清楚了：Φx= x上限∫a下限ftdt接下来我们就来研究这个函数Φx的性质：1.定义函数Φx= x上限∫a下限ftdt,则Φx连续;当fx连续时,有Φ’x=fx;证明：让函数Φx获得增量Δx,则对应的函数增量ΔΦ=Φx+Δx-Φx=x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt,利用区间可加性,x+Δx上限∫a下限ftdt-x上限∫a下限ftdt=x+Δx上限∫x下限ftdt若m和M分别是fx在区间a,b上的最小值和最大值,利用定积分第一中值定理,存在m,M中的实数η,使得ΔΦ=x+Δx上限∫x下限ftdt=ηΔx;进一步,当fx连续时存在x与x+Δx之间的常数ξ,使得η=fξ;于是当Δx趋向于0时,ΔΦ趋向于0,即Φx连续;若fx连续,那么当Δx趋向于0时,ξ趋向于x,fξ趋向于fx,故有lim Δx→0 ΔΦ/Δx=fx,从而得出Φ’x=fx;2. 若fx在a,b上连续,且Fx是fx在a,b上的一个原函数,那么b上限∫a 下限fxdx=Fb-Fa;证明：我们已证得Φ’x=fx,故Φx+C=Fx;注意到Φa=0积分区间变为a,a,故面积为0,所以Fa=C,于是有Φx=Fx-Fa,当x=b时,Φb=Fb-Fa,这就得到了牛顿-莱布尼茨公式;。