《两角和与差的三角函数》《倍角、半角的三角函数》复习
两角和与差的三角函数、倍角半角及简单的恒等变换1
一． 学习目标：熟记并能灵活运用两角和与差的三角函数公式、倍角、半角公式进行简单的恒等变换。
二．基础知识：1．两角和与差的正余弦公式：cos(α＋β)＝_____________________； cos(α－β)＝_____________________； sin(α＋β)＝_____________________； sin(α－β)＝_____________________. 2．两角和与差的正切公式：tan(α＋β)＝_______________________； tan(α－β)＝________________________(α、β≠k π＋π2，α－β≠k π＋π2，k ∈Z)3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝________，sin φ＝________，tan φ＝________. φ的终边所在象限由________来确定，角φ称为辅助角． 4. 二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin αcos α cos2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α＝cos 2α－sin 2α tan2α＝2tan α1－tan 2α5.常见的角的代换有：α＝(α＋β)－β α＝β－(β－α) α＝12[(α＋β)＋(α－β)] α＝12[(β＋α)－(β－α)]6.两角和的正切公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，就必须掌握如下的一些变换：tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan(α＋β) tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)－tan α－tan β1－tan αtan β＝tan α＋tan βtan α＋β tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)7.公式的逆向变换与有关变形 （a ）1±sin2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2(b) 1＋cos α＝2cos 2α2 (c) 1－cos α＝2sin 2α2 (d) cos 2α＝12(1＋cos2α)(e) sin 2α＝12(1－cos2α)上述公式中，b 、c 又称为升幂公式，d 、e 又称为降幂公式．8.和差化积公式: sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2积化和差公式:sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)] cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)] cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)] sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)三. 典型例题解析： 例1求下列各式的值： (1)cos80°cos35°＋cos10°cos55°； (2)sin75°－sin15°； (3)tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°；(4)cos15°－sin15°cos15°＋sin15°.例2化简： (1)cos72°·cos36°； (2)cos20°·cos40°·cos60°·cos80°；(3)cos α·cos α2·cos α22·cos α23·…·cos α2n －1.例3已知π4＜α＜3π4，0＜β＜π4，cos(π4－α)＝35，sin(3π4＋β)＝513，求sin(α＋β)的值．例4不查表，计算3sin 220°－1cos 220°＋64sin 220°.例5求tan20°＋4sin20°的值例6已知tan(π4＋θ)＝3，求sin2θ－2cos 2θ的值．例7已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，且3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan 2α2，求α＋β的值．例8求证以下条件恒等式：(1)已知：2sin β＝sin α＋cos α，sin 2γ＝2sin α·cos α，求证：2cos2β＝cos 2γ； (2)已知：5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.例9已知tan α2＝2， 求：(1)tan(α＋π4)的值； (2)6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值．例10求证：sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.四．巩固提高：1．已知△ABC 中，sin A (sin B ＋cos B )－sin C ＝0，sin B ＋cos2C ＝0.求角A 、B 、C 的大小．2．已知sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限的角，那么tan β的值是( ) A.43 B ．－43C ．7D ．－7 3．化简：(1tanα2－tan α2)·(1＋tan α·tan α2)．4．化简：1＋sin α－cos α1＋sin α＋cos α＋1＋cos α＋sin α1－cos α＋sin α.5．求[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin 280的值6．设cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，其中α∈(π2，π)，β∈(0，π2)．求cos(α＋β)．7．已知tan α＝17，tan β＝13，并且α、β均为锐角，求α＋2β.8．已知sin β＝m ·sin(2α＋β)，其中m ≠0,2α＋β≠k π(k ∈Z)，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－mtan α.9．求证：2(cos θ－sin θ)1＋sin θ＋cos θ＝cos θ1＋sin θ－sin θ1＋cos θ.10．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin 2x ，x ∈R. (1)求f (x )的最大值及相应的x 的取值集合； (2)求f (x )的单调递增区间．。
两角和与差倍角半角公式
两角和与差倍角半角公式一、两角和与差公式：两角和公式可以将两个角的三角函数之和表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角和公式：1. 正弦和：sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B2. 余弦和：cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B3. 正切和：tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B)类似地，两角差公式可以将两个角的三角函数之差表示为一个角的三角函数。
具体来说，对于任意两个角A和B，有以下两角差公式：1. 正弦差：sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B2. 余弦差：cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B3. 正切差：tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A tan B)这些公式的推导可以通过欧拉公式和三角函数的定义推导得到。
二、倍角公式：倍角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下倍角公式：1. 正弦倍角：sin(2A) = 2sin A cos A2. 余弦倍角：cos(2A) = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A3. 正切倍角：tan(2A) = (2tan A) / (1 - tan^2 A)倍角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
三、半角公式：半角公式可以将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数。
具体来说，对于任意角A，有以下半角公式：1. 正弦半角：sin(A/2) = ±√((1 - cos A) / 2)2. 余弦半角：cos(A/2) = ±√((1 + cos A) / 2)3. 正切半角：tan(A/2) = ±√((1 - cos A) / (1 + cos A))半角公式的推导可以通过两角和公式和三角函数的定义推导得到。
高考数学复习：两角和与差的三角函数、二倍角公式 课件
分类解析
目标 1 和、差、倍角公式的直接应用
(1) (2020·全国Ⅲ卷)已知 2tan θ－tan θ＋π4＝7，那么 tan θ 等于( D )
A. －2
B. －1
C. 1
D. 2
【解析】 2tan θ－tan θ＋π4＝2tan θ－11＋－ttaann θθ＝7，化简得 tan2 θ－4tan θ＋4＝0， 解得 tan θ＝2.
tan2α＝1－2tatannα2α.
3. 常用变形结论 (1) tanα±tanβ＝_______t_a_n_(α_±_β_)_(_1_∓_ta_n_α_t_a_n_β)________；
(2) 降幂公式：cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α；
(3) 1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2,1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝
(2) 若 sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则 sin 2α 的值为( A )
A. －492
B.
－2
2 9
22 C. 9
42 D. 9
【解析】 因为 sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－232，
所以
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2×13×－2
2. 1－2tatann1251°5°等于( A ) A. 3 C. 1
3 B. 3 D. －1
【解析】 因为1－2tatann1251°5°＝tan30°＝ 33，所以原式＝ 3.
3. sin1π2－cos1π2·sin1π2＋cos1π2等于( B )
A. －12
B.
－
3 2
备战高考数学一轮复习讲义第20讲 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式
第20讲 简单的三角恒等变换激活思维1. (人A 必一P219例4(1))sin72°cos42°－cos72°sin42°＝ 12 . 解析： sin72°cos42°－cos72°sin42°＝sin(72°－42°)＝sin30°＝12.2. (人A 必一P217练习3)已知cos α＝－35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( D )A. －210 B. 7210 C. －71010D. 210解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝－35，所以sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝45，因此cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin αsin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45×22＝210. 3. (人A 必一P220练习5)设sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，且β是第三象限角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝ 10 .解析： 由sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，得sin[(α－β)－α]＝－sin β＝35，sin β＝－35.因为β是第三象限角，所以cos β＝－1－sin 2β＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝－45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋5π4＝sin βcos 5π4＋cos βsin 5π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝7210.4. (人A 必一P223练习3改编)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( A )A. 17 B. 7 C. －17D. －7解析： 由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，得tan α＝－34，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.5. (人A 必一P223练习5改编)(多选)下列各式的值为22的是( BD ) A. sin π12cos π12B. cos 2π8－sin 2π8C.tan π81－tan 2π8D. 2cos 222.5°－1解析： 对于A ，sin π12cos π12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＝12sin π6＝14，不符合题意；对于B ，cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22，符合题意；对于C ，tan π81－tan 2π8＝12tan⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＝12tan π4＝12，不符合题意；对于D,2cos 222.5°－1＝cos45°＝22，符合题意．基础回归1. 两角和、差公式(1) C (α∓β)：cos(α∓β)＝ cos αcos β±sin αsin β ； (2) S (α±β)：sin(α±β)＝ sin αcos β±cos αsin β ； (3) T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin2α＝ 2sin αcos α ；cos2α＝ cos 2α－sin 2α ＝ 2cos 2α－1 ＝ 1－2sin 2α ； tan2α＝2tan α1－tan 2α.3. 辅助角公式函数y ＝a sin x ＋b cos x 可化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式， a sin x ＋b cos xtan φ＝ba .4. 常用结论(1) tan α±tan β＝ tan(α±β)(1∓tan αtan β) ；(2) 降幂公式：cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2； (3) 1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 第1课时 两角和与差的三角函数、二倍角公式举题说法和、差、倍角公式的直接应用例1 (1) tan18°＋tan12°＋33tan18°tan12°等于( D ) A. 3 B. 2 C. 22D. 33解析： 因为tan30°＝tan(18°＋12°)＝tan18°＋tan12°1－tan18°tan12°＝33，所以tan18°＋tan12°＝33(1－tan18°tan12°)，所以原式＝33.(2) (2022·湛江一模)已知cos α＝45，0<α<π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( B )A. 210 B. 7210 C. －210D. －7210解析： 由cos α＝45，0<α<π2，得sin α＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝22×35＋22×45＝7210.解这类给值求值问题的关键是先分清S (α±β)，C (α±β)，T (α±β)的展开式中所需要的条件，结合题设，明确谁是已知的，谁是待求的．此类题的解题方法可总结为“对照公式，缺什么求什么”．1. (2022·岳阳三模)1－2cos 267.5°等于( D ) A. －12 B. －22 C. －32D. 22解析： 由余弦的倍角公式可得1－2cos 267.5°＝－cos(2×67.5°)＝－cos135°＝22.2. (2022·扬州模拟)1－tan75°1＋tan75°＝ －3 .解析： 1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝－tan(75°－45°)＝－tan30°＝－33.3. (2022·海南模拟)若sin α＝55，则cos(π－2α)等于( A ) A. －35 B. －25 C. 25D. 35解析： cos(π－2α)＝－cos2α＝2sin 2α－1＝－35.4. 若tan α＝－23，tan β＝13，则sin(2α＋2β)等于( C ) A. －7130130 B. 11130130C. －3365D. 9130解析： 由tan α＝－23，知sin α＝－213，cos α＝313或sin α＝213，cos α＝－313，则sin2α＝2sin αcos α＝－2×213×313＝－1213，cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±2132＝513.由tan β＝13，知sin β＝110，cos β＝310或sin β＝－110，cos β＝－310，则sin2β＝2sin βcos β＝2×110×310＝35，cos2β＝1－2sin 2β＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫±1102＝45，则sin(2α＋2β)＝sin2αcos2β＋cos2αsin2β＝－1213×45＋513×35＝－3365.拆、配角问题例2 (1) (2022·烟台期末)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，则cos α的值为5 .解析： 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以π4<α＋π4<3π4.又因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1010，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝31010，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫1010＋31010＝255. (2) 已知α为锐角，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35，则sin α等于( B )A. 43＋310 B. 43－310 C.33＋410D. 33－410解析： 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35(α为锐角)，所以α＋π6为锐角，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6＝45×32－35×12＝43－310.1. 解决三角函数求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1) 当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2) 当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2. 常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β等．1. (2022·济南模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，则sin2α的值为( A ) A. 12 B. －12 C. 32D. －32解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－32，所以sin2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－322－1＝12.2. (2022·株洲一模)已知θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝55，则tan θ等于( C )A. 2B. 12 C. 3D. 13解析： 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则－π4<θ－π4<π4，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝255，所以sin θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝31010，故cos θ＝1－sin 2θ＝1010，因此tan θ＝sin θcos θ＝3.3. 已知α，β为锐角，且cos (α＋β)＝1213，cos (2α＋β)＝35，那么cos α＝ 5665 . 解析： 因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，2α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3π2.又cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cos α＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.4. (2022·淄博期末)cos10°2sin10°－2cos 10°等于( A ) A. 32 B. 2 C. 3D. 2解析： cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－4sin10°cos10°2sin10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin (30°－10°)2sin10°＝cos10°－(cos10°－3sin10°)2sin10°＝32.随堂内化1. (2022·潮州期末)已知cos x ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x 等于( A )A. －79 B. 79 C. －89D. 89解析： sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＝cos2x ＝2cos 2x －1＝2×19－1＝－79.2. (2022·惠州三模)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，63是角α的终边与单位圆的交点，则sin2α等于( C )A. 13 B. －13 C. －223D. 63解析： 由题知，由任意角三角函数的定义可得sin α＝63，cos α＝－33，所以sin2α＝2sin αcos α＝2×63×⎝ ⎛⎭⎪⎫－33＝－223.3. (2022·衡阳一模)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，则cos2α等于( D )A. －79 B. －13 C. 13D. 79解析： 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝33，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝13，即sin α＝13，从而得cos2α＝1－2sin 2α＝79.4. 已知sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝ －2 .解析： 因为sin β＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，所以cos β＝－45.由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，得25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.5. 计算：3cos15°－4sin 215°cos15°解析：3cos15°－4sin 215°cos15°＝3cos15°－2sin15°·2sin15°·cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝ 2.练案❶ 趁热打铁，事半功倍. 请老师布置同学们及时完成《配套精练》． 练案❷ 1. 补不足、提能力，老师可增加训练《抓分题·高考夯基固本天天练》(分基础和提高两个版本)对应内容，成书可向当地发行咨询购买．2. 为提高高考答卷速度及综合应考能力，老师可适时安排《一年好卷》或《抓分卷·高考保分增效天天练》，成书可向当地发行咨询购买．。
2025届高考数学一轮总复习第五章三角函数第三节两角和与差二倍角的三角函数公式
(1)熟记公式结构特征以及符号规律.
(2)注意与诱导公式、同角三角函数关系式相结合综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体换元思想的运用.
对点训练1(1) 已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(
A.
5
3
2
B.3
1
C.
3
(2)若
D.
3
tan(α-β)=2,tan
5
1+tan
(2)由已知得 2tan θ=7,即 tan2θ-4tan θ+4=0,解得
1-tan
1
1
(3)对于 A,sin 15°cos 15°=2sin 30°=4,A 项错误;
tan θ=2.
对于B,sin 75°cos 15°+cos 75°sin 15°=sin(75°+15°)=sin 90°=1,B项正确;
12
(2)若 3sin α-sin β=
π
8
π
1-ta n 2
8
D.
tan
π
10,α+β= ,则
2
sin α=
,cos 2β=
.
3 10
(2)
10
答案 (1)AD
4
5
17π
π
π
π
解析(1)A,sin =sin(2π+π- )=sin(π- )=sin
6
6
6
6
π
π
B,sin12 cos12
C,cos
)
)
1+cos40°
(3)由于 cos 40°=2cos 20°-1,所以 cos 20°=±
学案5两角和与差的三角函数及倍角公式
学案5两角和与差的三角函数及倍角公式一、两角的和与差的三角函数公式在讨论两角的和与差的三角函数公式之前，我们先来复习一下两个重要的概念，同角和，即两角的终边相同，旋转角度可以不同，但和角的初边、终边相同；差角，即两角的初边相同，但终边不同。
接下来我们将给出两角的和与差的三角函数公式。
1.两角和的三角函数公式：设有两个角theta和phi，其对应的三角函数值分别为sin(theta), cos(theta), tan(theta), sin(phi), cos(phi), tan(phi)。
则两角的和的三角函数值可以通过以下公式求得：sin(theta + phi) = sin(theta) * cos(phi) + cos(theta) *sin(phi)cos(theta + phi) = cos(theta) * cos(phi) - sin(theta) *sin(phi)tan(theta + phi) = (tan(theta) + tan(phi)) / (1 - tan(theta) * tan(phi))2.两角差的三角函数公式：设有两个角theta和phi，其对应的三角函数值分别为sin(theta), cos(theta), tan(theta), sin(phi), cos(phi), tan(phi)。
则两角的差的三角函数值可以通过以下公式求得：sin(theta - phi) = sin(theta) * cos(phi) - cos(theta) *sin(phi)cos(theta - phi) = cos(theta) * cos(phi) + sin(theta) *sin(phi)tan(theta - phi) = (tan(theta) - tan(phi)) / (1 + tan(theta) * tan(phi))二、倍角公式倍角公式是指将一个角的角度加倍后，求其对应三角函数的值的公式。
两角和、差及倍角公式课件-2025届高三数学一轮复习
.故选C.
2.已知 , , ∈
,
则下列式子成立的是(
A. − =
C. − =
−
−
， + = , + = ，
)
B. − =
D. − =
√
解析：选D.由题意知, = − , = − ,
− + − = ，所以 − = −.故选C.
)
(
2
（2） + ∘ + ∘ =___.
解析： + ∘ + ∘ = + ∘ + ∘ + ∘
=
× −
× =−
.
定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”，以便构造出适合公式的形式.
∘ ∘
1.
− ∘
A.
=(
)
B.
√
∘ ∘
解析：选.
− ∘
=
∘ ∘
∘
C.
∘
=
∘
D.2
∘ + ∘ ,
所以原式=
∘
∘
= .
∘
=
∘
+
∘ =
考点二 三角公式的逆用与变形应用
例2（1） (2022·新高考Ⅱ卷)若
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
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三角函数基本公式总结
1．和、差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±；
β
αβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=±． 2．二倍角公式
αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；
α
αα2122tg tg tg -=． 3．降幂公式
ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；2
2cos 1cos 2αα+=． 4．半角公式
2cos 12sin αα
-±=；2cos 12cos αα+±=；α
ααααααsin cos 1cos 1sin cos 1cos 12-=+=+-±=tg ． 5．万能公式
2122sin 2ααtg tg
+=；2121cos 22
αααtg tg +-=；2
1222α
ααtg tg tg -=
． 6．积化和差公式
)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=；)]sin()[sin(2
1sin cos βαβαβα--+=； )]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++=；)]cos()[cos(2
1sin sin βαβαβα--+-=． 7．和差化积公式
2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+；2
sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=-；
2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+；2
sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=-．
倍角、半角的三角函数
二倍角公式是两角和公式的特殊情况，即:
由此可继续导出三倍角公式.观察角之间的联系应该是解决三角变换的一个关键.二倍角公式中余弦公式有三种形式，采用哪种形式应根据题目具体而定.
倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式.推导过程中可得到一组降次公式，即，进一步得到半角公式:
降次公式在三角变换中应用得十分广泛，“降次”可以作为三角变换中的一个原则.半角公式在运用时一定要注意正、负号的选取，而是正是负取决于所在的象限.而半角的正切可用α的正弦、余弦表示，即:.这个公式可由二倍角公式得出，这个公式不存在符号问题，因此经常采用.反之用tan也可表示sinα, cosα, tanα，即:
，，这组公式叫做“万能”公式.
教材中只要求记忆两倍角公式，其它公式并没有给出，需要时可根据二倍角公式及同角三角函数公式推出.
课后练习:
1．若，则（）.
A、P Q
B、P Q
C、P=Q
D、P∩Q=
2．若A为ΔABC的内角，，则cos2A=（）.
A、B、C、D、
3．若，则sin2θ=（）.
A、B、C、D、
4．若，则sinθ=（）.
A、B、C、D、-
5．若，则=（）.
A、B、C、1 D、-1
6．若，则cosα=________.
7. 若θ为第二象限角，且，则=_____.
8．已知sinA+cosA=2sinB. 求证:cos2B=cos2.
参考答案:
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.
7. 6。