2021高考数学人教版一轮复习练习：第七章 第1节 简单几何体的直观图、表面积与体积

多维层次练36
[A级基础巩固]
1.(2020·衡水中学月考)如图所示，等腰△A′B′C′是△ABC的直观图，那么△ABC是()
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
解析：由题图知，A′C′∥y′轴，A′B′∥x′轴．由斜二测画法知，在△ABC中，AC∥y轴，AB∥x轴，所以AC⊥AB.又A′C′＝A′B′，所以AC ＝2AB≠AB，所以△ABC是直角三角形．
答案：B
2．关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是() A．棱柱的侧棱长都相等
B．棱锥的侧棱长都相等
C ．三棱台的上、下底面是相似三角形
D ．有的棱台的侧棱长都相等
解析：根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等． 答案：B
3．棱长为2的正方体的内切球的体积为( ) A ．4π B ．16π C.4π3
D.32π3
解析：由正方体的性质可得正方体的内切球的半径R ＝1
2×2＝1，
所以球的体积V ＝43πR 3＝4π
3.
答案：C
4．三棱锥P-ABC 三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为2
2，
32，6
2
，则该三棱锥的外接球表面积为( ) A ．4π B ．6π C ．8π
D ．10π
解析：三棱锥P-ABC 的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，它的外接球就是其扩充为长方体的外接球，
设PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ， 则12ab ＝22，12bc ＝32，12ca ＝6
2， 解得a ＝2，b ＝1，c ＝ 3. 故长方体的体对角线的长为
a 2＋
b 2＋
c 2＝ 6.
所以球的直径是6，半径R ＝6
2，
则球的表面积S ＝4πR 2＝6π. 答案：B
5．(2020·西安模拟)如图所示，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥A -B 1DC 1的体积为( )
A ．3 B.3
2 C ．1
D.32
解析：由题意可知，AD ⊥平面B 1DC 1，即AD 为三棱锥A-B 1DC 1
的高，且AD ＝3
2
×2＝3，
易求得S △B 1DC 1＝1
2×2×3＝3，
所以V A-B 1DC 1＝1
3×3×3＝1.
答案：C
6．(2019·全国卷Ⅰ)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()
A．86π B．46π
C．26π D.6π
解析：因为点E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.
取AC的中点D，连接BD，PD，
易证AC⊥平面BDP，
所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，
AC，CE⊂平面PAC，
所以PB⊥平面PAC，
所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，
以PA ，PB ，PC 为从同一顶点出发的三条棱补成正方体(如图)． 由AB ＝2，知正方体的棱长为PA ＝PB ＝PC ＝ 2. 则外接球的半径R 满足(2R )2＝3×(2)2＝6， 所以R ＝
62
. 故球O 的体积V ＝4
3πR 3＝6π.
答案：D
7．若圆锥的侧面积是底面积的2倍，则其母线与旋转轴所成角的大小是________．
解析：设圆锥的母线与旋转轴所成角为θ，由题意得πRl ＝2πR 2， 即l ＝2R ，所以sin θ＝R l ＝1
2，即θ＝π6.
故母线与旋转轴所成角的大小是π
6.
答案：π
6
8．(2020·泉州期末)在三棱锥P-ABC 中，D ，E 分别是PB ，PC 的中点，记三棱锥D-ABE 的体积为V 1，P-ABC 的体积为V 2，则V 1
V 2＝
________．
解析：如图所示，设S △ABD ＝S 1，S △ABP ＝S 2，点E 到平面ABD 的距离为h 1，点C 到平面ABP 的距离为h 2，则S 2＝2S 1，h 2＝2h 1.
因为V1＝1
3S1h1，V2＝1
3S2h2，
所以V1
V2＝S1h1
S2h2
＝1
4.
答案：1 4
9．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图所示，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH 后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
解析：由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，
故V挖去的四棱锥＝1
3×1
2×4×6×3＝12(cm
3)．
又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，
所以模型的体积为
V长方体-V挖去的四棱锥＝144－12＝132(cm3)，
所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．
答案：118.8
10．圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为15，若圆台的侧面积为420π，求圆台较小底面的半径．
解析：设圆台较小底面半径为r，则另一个底面半径为3r，
由S＝π(r＋3r)·15＝420π，解得r＝7.
所以圆台较小底面的半径为7.
[B级能力提升]
11．(2020·南阳模拟)如图所示，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD 的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为()
A. 2
B.
5 2
C.11
2 D.
6
2
解析：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，
且A′D⊥平面A′EF.
将三棱锥的底面△A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，则三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，又正四棱柱的体对角线的长度就是外接球的直径，直径为12＋12＋22＝6，
所以球的半径为6
2.
答案：D
12．(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M-EFGH的体积为________．
解析：依题意，易知四棱锥M-EFGH是一个正四棱锥，且底面边
长为2
2，高为1
2.
故V M-EFGH＝1
3×(
2
2)
2×
1
2
＝1
12.
答案：1 12
13．(2020·河南六市模拟)已知空间几何体ABCDE中，△BCD与△CDE均是边长为2的等边三角形，△ABC是腰长为3的等腰三角形，平面CDE⊥平面BCD，平面ABC⊥平面BCD.
(1)试在平面BCD内作一条直线，使得直线上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行，并给出证明；
(2)求三棱锥E-ABC的体积．
解：(1)如图所示，取DC的中点N，取BD的中点M，连接MN，则MN即为所求．
证明：连接EM，EN，取BC的中点H，连接AH，
因为△ABC是腰长为3的等腰三角形，H为BC的中点，
所以AH⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD ＝BC，AH⊂平面ABC，
所以AH⊥平面BCD，同理可证EN⊥平面BCD.
所以EN∥AH.
因为EN⊄平面ABC，AH⊂平面ABC，
所以EN∥平面ABC.
又M、N分别为BD，DC的中点，
所以MN∥BC，
因为MN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以MN∥平面ABC.
又MN∩EN＝N，MN⊂平面EMN，EN⊂平面EMN，
所以平面EMN∥平面ABC，
又EF⊂平面EMN，
所以EF∥平面ABC，
即直线MN上任意一点F与E的连线EF均与平面ABC平行．
(2)连接DH，取CH的中点G，连接NG，则NG∥DH，
由(1)可知EN∥平面ABC，
所以点E到平面ABC的距离与点N到平面ABC的距离相等，又△BCD是边长为2的等边三角形，
所以DH ⊥BC ，
又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，
所以DH ⊥平面ABC ，
所以NG ⊥平面ABC ，
因为DH ＝3，N 为CD 的中点，
所以NG ＝32
， 又S △ABC ＝12·BC ·AH ＝12
×2×32－12＝22，
所以V E －ABC ＝13·S ABC ·NG ＝63
. [C 级 素养升华]
14．(多选题)已知在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱D 1C 1，B 1C 1的中点，过E ，F 作一平面α，则平面α截正方体的表面所得的平面图形可能为( )
A ．三角形
B ．四边形
C ．六边形
D ．七边形 解析：如图所示，截面可能为三角形、四边形、六边形，故选ABC.
答案：ABC。