北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理
北京市重点中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学 Word版含解析
2014～2015学年度第一学期期中考试高 二 数 学 试 卷2014．11(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．） 1．下列说法正确的是（ ）A ．三点确定一个平面B ．四边形一定是平面图形C ．梯形一定是平面图形D ．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点 2．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积是（ ）A ．16πB ．16C ．163πD ．1633．圆1C ：2220x y x ++=与圆2C ：224840x y x y +-++=的位置关系是（ ）A ．相交B ．外切C ．内切D ．相离 4．已知l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥B ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥C ．若l ∥α，m α⊂，则l ∥mD ．若l ∥α，m ∥α，则l ∥m5．过点(1)P -的直线l 与圆221x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）主(正)视图44左（侧）视图4俯视图4•A ．π(0,]6B ．π(0,]3C ．π[0,]6D ．π[0,]36．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点为12,F F2F 的直线l交椭圆C 于,A B 两点．若△1AF B的周长为C 的方程为( )A ．22132x y +=B ．2213x y +=C ．221128x y += D ．221124x y += 7．设,,,A B C D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是（ ） A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面B ．若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC = D ．若,AB AC DB DC ==，则AD BC ⊥8．如图，定点A ，B 都在平面α内，定点α∉P ，α⊥PB ，C 是α内异于A 和B 的动点，且AC PC ⊥．那么，动点C在平面α内的轨迹是（ ）A ． 一条线段，但要去掉两个点B ． 一个圆，但要去掉两个点C ． 一个椭圆，但要去掉两个点D ． 半圆，但要去掉两个点二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相．．．．．．．．．．．应的位置上．．．．．） 9．毛泽东主席在《送瘟神》中写到“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的8倍，那么火星的大圆周长约为______________万里．10．如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -（底面是正方形的直棱柱）的底面边长为2，高为4，那么异面直线1BD 与AD 所成角的正切值______________．11．已知椭圆221(0)3x y m m +=>的一个焦点是(0,1)，则m = ；若椭圆上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 构成的三角形12PF F 的P 的坐标是________． 12．直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1C x y +=分成长度相等的四段弧，则22a b += ________.13．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积是 ． 14．已知点1(,0)2A -，点B 是圆F ：221()42x y -+=（F 为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为______________．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的．．．．．．．．．．．．．位置上．．．） 15．如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且P A A B =，点E 是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC PB ⊥； （Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ；（Ⅲ）若4PA =，求点E 到平面ABCD 的距离．16．已知圆C ：222440x y x y +-+-=，直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．（Ⅰ）若直线l 过点()4,0M，且AB =l 的方程；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，且以弦AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．正视图侧视图俯视图17．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是边长为4的正方形，平面ABC ⊥平面11AAC C ，3,5AB BC ==． （Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）若点D 是线段BC 的中点，请问在线段1AB 是否存在点E ，使得//DE 面11AAC C ？若存在，请说明点E 的位置，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）（本小问只理科学生做．．．．．．．．．）求二面角111C A B C --的大小．18．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ，右顶点为(2,0)D ，设点1(1,)2A ． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）过原点O 的直线交椭圆于点,B C ，求ABC ∆面积的最大值．参考答案【答案】C【解析】试题分析：不共线的三点确定一个平面，故A 错；空间四边形不是平面图形，故B 错；平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点，则平面α和平面β重合，故D 错 考点：平面及其定理 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图知该几何体是一个圆锥，底面半径为2，故ππ31642312=⨯⨯=V考点：三视图及圆锥体积公式 【答案】B 【解析】试题分析：圆1C ：1)1(22=++y x ；圆2C ：16)4()2(22=++-y x ，故圆心距5433221=+=C C ，又521=+r r ，故两圆外切考点：圆与圆的位置关系 【答案】A 【解析】试题分析：l α⊥，则l 垂直α内所有直线，故A 正确；B 错，l 可能在α内；C 错，l 与m 可能异面，D 错，l 与m 可能相交. 考点：线面的位置关系 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知直线l 的斜率一定存在，故设方程为)3(1+=+x k y 即013=-+-k y kx ，由圆心到直线的距离小于等于半径得：11132≤+-k k ，解得30≤≤k ，故直线l 的倾斜角的取值范围是π[0,]3考点：直线与圆的位置关系【答案】A 【解析】试题分析：△1AF B 的周长为所以344=a ，3=a ，又离心率为3，故33=a c ，1=c ，2=b 所以椭圆C 的方程为22132x y +=考点：椭圆方程【答案】C 【解析】试题分析：据共面定义知A 正确；对B,若AD 与BC 不是异面直线,则AD 与BC 共面,从而AC 与BD 共面,这与已知条件AC 与BD 是异面直线矛盾；对于C,如图所示,虽然AB=AC,DB=DC,但BC 与AD 的长无关系；D 正确，容易证明AOD BC 面⊥，故AD BC ⊥考点：直线与直线、直线与平面的位置关系 【答案】B 【解析】试题分析：因为α⊥PB ，所以AC PB ⊥，又AC PC ⊥，所以PBC AC 面⊥，故AC CB ⊥，则C 的轨迹是以AB 为直径的圆，又C 是α内异于A 和B 的点，故要去掉. 考点：动点轨迹 【答案】4 【解析】试题分析：设地球体积为31134R V π=，火星体积为32234R V π=，由题意218V V =,所以212R R =,所以42121122====C R R C ππ考点：球的体积公式 【答案】10 【解析】试题分析：因AD BC //,故1BD 与BC 所成角或补角为异面直线1BD 与AD 所成角，连接1CD ，则10242tan 221=+==CB C D θ 考点：异面直线所成的角（）【解析】试题分析：由题意知焦点在y 轴上，所以m b a ==22,3，由2222=-=c a b ，得2=m ；由22111=⨯=P x F F S ，得2±=P x ，代入椭圆方程得0=P y ，故点P 的坐标是（） 考点：椭圆方程【答案】2 【解析】试题分析：由题意每段弧所对的圆心角为90°，则圆心到每条直线的距离均为22，故2222==b a ，所以222=+b a 考点：直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式 【答案】16 【解析】试题分析：由三视图知该几何体的侧面由4个直角梯形构成，注意底面边长为2，所以16)22)32(22)21((2=⨯++⨯+⨯=S 考点：空间几何体的侧面积【答案】22413x y += 【解析】试题分析：由题意作出辅助图，知PA PB =，所以12=>==+=+AF BF PF PB PF PA ，故P 的轨迹是以A 、F 为焦点的椭圆，且21,1==c a ，所以434112=-=b ，故P 的轨迹方程为22413x y +=考点：轨迹方程、椭圆定义【答案】（Ⅰ）错误！未找到引用源。
2014-2015上期高二数学期中试题(理)(解析版)
2014----2015学年上学期期中考试高二年级数学（理）试卷 考试时间：120分钟 命题人：耿耀辉一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.不等式221x x -≤的解集为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21B. 10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)+∞⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,121. D.[)+∞⋃⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,121,2.等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ） A ．13 B ．12 C ．11 D ．103.已知数列,则是它的第（ ）项.A.19B.20C.21D.224.已知ABC ∆中，05,3,120a b C ===，则sin A 的值为（ ） A 、1435 B 、1435- C 、1433 D 、1433- 5.已知等比数列{n a }满足：9273π=⋅a a ,则5cos a =（ ）A ．21-B ．21C ．±21D ．±236.设变量,x y 满足121y y x x y m ⎧⎪⎨⎪⎩≥≤-+≤，若目标函数1z x y =-+的最小值为0，则m 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．77.若不等式a b >与11a b>同时成立，则必有（ ）A. 0a b >>B. 110a b >>C. 0a b >>D. 110a b>>8.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是（ ）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 9.已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+,若数列中存在两项,m n a a14a =，则14m n+的最小值为（ ） A. 9 B. 43 C. 53 D. 3210.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，则a b ≤“”是sin sin A B ≤“”的（ ） A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件11.已知1,1x y >>,且11ln ,,ln 44x y 成等比数列,则xy( )A ．有最大值eB ．有最小值e 12.在锐角．．三角形ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若2A B =，给出下列命题： ①ππ64B <<；②a b∈；③22a b bc =+.其中正确的个数是 （ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13．在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若2220a b c +-+=，则角C 的大小为 ．14.等差数列{}n a 中，n S 是它的前n 项之和，且67S S <，78S S >，则： ①此数列的公差0d <； ②9S 一定小于6S ；③7a 是各项中最大的一项； ④7S 一定是n S 中的最大值． 其中正确的是____________________（填入你认为正确的所有序号）．15.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且c o s c o s c Cb B-=，则B 的大小为_________． 16.设,x y R ∈，若2241x y xy ++=，则2x y +的最大值是_________. 三、解答题（本大题共6小题，满分70分） 17.（本题10分）已知()|||1|f x x x =-+. (1)求不等式()0f x ≤的解集A;(2)若不等式10mx m +->对任何x A ∈恒成立,求m 的取值范围.18.（本题12分）已知数列{}n a 与{}n b ，若13a =且对任意正整数n 满足12,n n a a +-= 数列{}n b 的前n 项和2n n S n a =+．（1）求数列{}{}n n a b ,的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和.n T19.（本题12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C B C B cos cos 41)cos(2=+- （1）求角A 的大小；（2）若72=a ，△ABC 的面积为32，求c b +．20.（本题12分）已知数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足*)(2N n a n S n n ∈=+． （1）证明：数列}1{+n a 为等比数列，并求数列{n a }的通项公式；（2）数列{n a }满足*))(1(log 2N n a a b n n n ∈+⋅=，其前n 项和为n T ，试求满足201522>++nn T n 的最小正整数n ．21.（本题12分）在三角形ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积为B ac S cos 23=． （1）求角B 的大小（2）已知4c aa c+=,求sinAsinC 的值22.（本题12分）如图,经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米).如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．郑州二中2014----2015学年上学期期中考试高二年级数学（理）答案一、选择题1.A2.C3.C4.A5.B6.B7.A8.C9.D 10.A 11.D 12.C二、填空题13．34π 14.①②④ 15.4π三、解答题（本大题共6小题，满分70分）17.【解析】(1)22|||1|(1)x x x x ≤+⇔≤+12x ⇔≥-∴1[,)2A =-+∞ 5分(2)1,102x mx m ∀≥-+->恒成立11m x ⇔>+对12x ≥-恒成立.max 1()21m x ⇔>=+∴m 取值范围是(2,)+∞ 10分 18.【解析】 （1）由题意知数列{}n a 是公差为2的等差数列 又因为13a = 所以21n a n =+ 当1n =时，114b S ==；当2n ≥时，()()()22121121121n n n b S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦对1=4b 不成立所以，数列{}n b 的通项公式: 4,(1)2n 1,(n 2)n n b =⎧=⎨+≥⎩ 5分（2）1n =时，1121120T b b ==2n ≥时，111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++ 所以1111111111612025779212320101520(23)n n n T n n n n --⎛⎫=+-+-++-=+= ⎪++++⎝⎭ 1n =仍然适合上式综上，116120101520(23)n n n T n n --=+=++ 12分 19.【解析】（1）∵C B C B cos cos 41)cos(2=+-，∴C B C B C B cos cos 41)sin sin cos (cos 2=++可得1)cos(2=+C B ，∴21)cos(=+C B ． ∵π<+<C B 0，可得3π=+C B ．∴32π=A ． 5分（2）由（1）得32π=A ．∵S △ABC =32 ∴3232sin21=πbc ，解得bc=8．① 7分 由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得2822=++bc c b ， 即28)(2=-+bc c b ．② 将①代入②，可得6=+c b ． 12分 20.【解析】（1）当1n =时，111121a a a +=⇒=； 当2n ≥时，1111212221(1)2n nn n n n n n n S n a a a a a a S n a ----+=⎫⇒+=-⇒=+⎬+-=⎭；即112(1)n n a a -+=+（2n ≥），且112a +=，故{}1n a +为等比数列1221n n n n a a +=⇒=-（*n N ∈）. 5分（2）(21)2n n n b n n n =-⋅=⋅-设231222322n n K n =⨯+⨯+⨯++⨯… ①23121222(1)22n n n K n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯… ②①-②：231112(12)222222(1)2212n n n n n n K n n n +++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--…∴1(1)22n n K n +=-⨯+， ∴1(1)(1)222n n n n T n ++=-⨯+-， 21(1)22201582n n n n T n n +++=-⨯+>⇒≥，∴满足条件的最小正整数8n =. 12分21.【解析】（1）在三角形ABC中B ac S sin 21=,由已知B ac S cos 23=可得B ac B ac cos 23sin 21=∴=∴为三角形内角，B 3tan B 0﹤B ﹤π∴ 3B π= 5分 （2）4cos 2222=+=+=+acB ac b ac c a c a a c ac b B 332=∴=π由正弦定理可得 C A B sin sin 3sin 2= 41sin sin 3=∴=C A B π12分 22.【解析】解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，sin 60MN︒＝()sin 120AM θ︒-．因为MN ＝2,所以AM ＝sin(120°－θ）． 2分 在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ). 4分AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ²MP ²cos ∠AMP ＝163sin 2(120°－θ)＋4－2³2³3sin(120°θ）cos(60°＋θ） 6分＝163sin 2(θ＋60°)θ＋60°）cos(θ＋60°)＋4＝83[1－cos (2θ＋120°)]sin(2θ＋120°)＋4＝－83θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)． 10分当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值答：设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小． 12分解法二(构造直角三角形)： 设∠PMD ＝θ,在△PMD 中,∵PM ＝2,∴PD ＝2sin θ,MD ＝2cos θ. 2分在△AMN 中,∠ANM ＝∠PMD ＝θ,∴sin 60MN ︒＝sin AMθ,AM ＝3sin θ,∴AD ＝3sin θ＋2cos θ,(θ≥2π时,结论也正确). 4分AP 2＝AD 2＋PD 2＝θ＋2cos θ)2＋(2sin θ)2＝163sin 2θsin θcos θ＋4cos 2θ＋4sin 2θ 6分＝163²12cos 22θ-sin2θ＋4sin2θ－83cos2θ＋203＝203＋163sin(2θ－6π),θ∈(0,23π). 10分当且仅当2θ－6π＝2π，即θ＝3π时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值此时AM ＝AN ＝2,∠PAB ＝30° 12分。
北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试题
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高二文科数学试卷(考试时间：100分钟 总分：100分) 2015．4．本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共60分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)-2． “1a >”是“函数()2(01)x f x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3.已知命题p :(0,),32x x x ∀∈+∞>；命题q :(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝4．若10<<x ，则函数()()x x x f -=1的最大值为A. 1 B ．41 C ．21 D ．2 5．若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为A ．27-B ．2-C ．1D ． 25 6．设212=a ，313=b ，3log 2c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<7．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= A ．1 B ．2 C ．i - D ．i8．函数2()log (6)f x x -的定义域是A ． {}|6x x >B ． {}|36x x -<<C ． {}|3x x >-D ． {}|36x x -<≤9．奇函数()x f 在(,0)-∞上单调递增，若()01=-f ,则不等式()0<x f 的解集是A ．(,1)(0,1)-∞-B ．(,1)(1,)-∞-+∞C ．(1,0)(0,1)-D ．(1,0)(1,)-+∞ 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()1f a =，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第二部分（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡上.11．半径为r 的圆的面积()2r r S ⋅=π，周长()r r C ⋅=π2．若将r 看作()+∞,0上的变量，则有()r r ⋅=⋅ππ2'2①，①式可用语言叙述为“圆的面积函数的导数等于圆的周长函数”．对于半径为R 的球，若将R 看作()+∞,0上的变量，请你写出类似于13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .14．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．15．复数(2i)i z =-的虚部是 .16．已知()()()()221log 1a x a x f x x x a +-=⎧<⎨⎩≥是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（本小题满分8分）已知函数()()3122--+=x a x x f ． ()1当2=a ，[]3,2-∈x 时，求函数()x f 的值域；()2如函数()x f 在[]3,1-上的最大值为1，求实数a 的值．18．（本小题满分6分）给定函数()xx x f 1lg 2+=，完成下列问题：()1指出函数的奇偶性；（必须说明理由）()2指出函数的单调区间；（必须说明理由）()3该函数是否存在最值？如存在，求出该最值．19．（本小题满分10分）已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g . （I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值；（II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1(、F 20)的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线l ：y kx =C 交于不同的两点P 和Q ． （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在常数k ，使0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．。
北京市重点中学2014-2015学年高一下期中数学试题(有答案)
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高一数学试卷(考试时间：100分钟 总分：100分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 对于α∈R ，下列等式中恒成立的是 （）A ．cos()cos αα-=-B .sin()sin αα-=-C .sin(180)sin αα︒+=D .cos(180)cos αα︒+=2.已知向量(4,2)a =，向量(,3)b x =，且//a b ，那么x 等于 （ ） A .8 B .7 C .6 D .53.下列函数中，在区间[0,]2π上为减函数的是 （ ）A .cos y x =B .sin y x =C .tan y x =D .sin()3y x π=-4.已知02A π<<，且2cos 3A =，那么sin 2A 等于 （ ）A .19B .79C .89D .4595.已知),1,5(),2,3(---N M 若,21=则P 点的坐标为 （ ）A .(8,1)-B .(8,1)- C.3(1,)2-- D ．3(1,)26．如果函数3sin(2)y x φ=+的图像关于点(,0)3π中心对称，那么φ的一个值可以为 （ ） A .3π B . 3π- C . 6π D . 6π-7．有下列四种变换方式:①向左平移4π,再将横坐标变为原来的21; ②横坐标变为原来的21,再向左平移8π;③横坐标变为原来的21,再向左平移4π; ④向左平移8π,再将横坐标变为原来的21;其中能将正弦曲线x y sin =的图像变为)42sin(π+=x y 的图像的是 （ ）A .①和②B .①和③C ．②和③D ．②和④8．函数)sin(ϕω+=x A y ,(0,0,0)A ωϕπ>><<在一个周期内的图象如右图，此函数的解析式为 （ ）A ．)322sin(2π+=x y B ．)32sin(2π+=x yC ．)32sin(2π-=x yD ．)32sin(2π-=x y9．已知,A B 均为锐角，5sin 5A =，10sin 10B =，则A B +的值为 （ ） A ．47π B.45πC ．43πD ．4π10．已知动点111(,cos )P x x ，222(,cos )P x x ，O 为坐标原点，则当1211x x -≤≤≤时，下列说法正确的是（ ）A .1OP 有最小值1B ．1OP 有最小值，且最小值小于1C ．120OP OP 恒成立 D ．存在12,x x 使得122OP OP二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 已知3cos α=-，且[0,)απ∈，那么α的值等于____________. 12．已知tan 2α=，3tan()5αβ-=-，则tan β= ．13．函数x y 3tan =的图像的相邻两支截直线3π=y 所得的线段长为 ．14．函数2cos y x =在区间[,]33π2π-上的最大值为________,最小值为___________. 15．如图，若AB a =，AC b =，3BD DC =，则向量AD 可用a ，b 表示为___________.16．关于函数()221sin ()32xf x x =-+，有下面四个结论： ①()f x 是偶函数；②无论x 取何值时，()12f x ＜恒成立； ③()f x 的最大值是32；④()f x 的最小值是12-. 其中正确的结论是__________________.三、解答题：本大题共4小题，共36分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题共9分）已知向量(1,2)a =，(2,)b x =-．（Ⅰ）当a b ⊥时，求x 的值；（Ⅱ）当1x =-时，求向量a 与b 的夹角的余弦值； （Ⅲ）当(4)a a b ⊥+时，求||b ．18. (本小题共9分) 已知55cos =θ (0,)2πθ∈． （I ）求sin θ的值； （Ⅱ）求cos2θ的值；（III ）若10sin(),0102πθϕϕ-=<<，求cos ϕ的值．19. (本小题共9分)已知函数()sin 23cos 2f x x x =+. （I ）求)(x f 的最小正周期； （II ）求)(x f 的单调递减区间； （III ）若函数()()g x f x k =-在[0,]6π上有两个不同的零点，求实数k 的取值范围．20．(本小题共9分)已知函数()2sin()3f x x πω=+，且0ω≠，R ω∈.（I ）若函数()f x 的图象经过点(,2)3π，且03ω<<，求ω的值；（II ）在（I ）的条件下，若函数()()()0g x mf x n m =+>，当[2,]3x ππ∈--时，函数()g x的值域为[2,1]-，求m ，n 的值；（III ）若函数()()3h x f x πω=-在[,]33ππ-上是减函数，求ω的取值范围.北京市2014~2015学年度第二学期期中考试高一数学试卷答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 1------5BCADC 6------10AAADA二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.56π 12. 13- 13. 3π14. 2，1- 15. 1344AD a b =+ 16. ①④三、解答题：本大题共4小题，共36分.17．解：（Ⅰ）∵a ⊥b ，∴1(2)20x ⨯-+=，即1x =． ……………………2分 （Ⅱ）∵1x =-，∴1(2)+2(1)=4a b ⋅=⨯-⨯--， ……………………3分 且5a =，5b =． ……………………4分 ∴向量a 与向量b 的夹角的余弦值为4cos =5a ba bθ⋅=-． ……………………5分（Ⅲ）依题意 ()42,8a b x +=+． ……………………6分∵(4)a a b ⊥+，∴(4)0a a b ⋅+=． ……………………7分 即21620x ++=，∴9x =-．∴(2,9)b =--． ……………………8分 ∴||48185b =+=． ……………………9分17．解：（Ⅰ）由55cos =θ (0,)2πθ∈． 得225sin 1cos 5θθ=-=…………………2分 （Ⅱ）213cos 22cos 12155θθ=-=⨯-=- …………………4分 （Ⅲ）∵20πθ<<，20πϕ<<，∴22πϕθπ<-<-…………………5分∵()1010sin =-ϕθ， ∴()10103cos =-ϕθ …………………6分∴()[]ϕθθϕ--=cos cos()()ϕθθϕθθ-+-=sin sin cos cos …………………8分10105521010355⨯+⨯=22= …………………9分19. 解：（Ⅰ）由13()sin 23cos 22(sin 2cos 2)2sin(2)223f x x x x x x π=+=+=+ …………2分 得)(x f 的最小正周期为π. …………………3分 （Ⅱ）由3222()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得 …………………4分 7()1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈ …………………5分 所以函数)(x f 的递减区间为7[,]()1212k k k Z ππππ++∈. …………………6分 （Ⅲ）由0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得23x π+∈2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 而函数)(x f 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，()[3,2]f x ∈， …………………7分 在2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，()[3,2)f x ∈， …………………8分 所以若函数()()g x f x k =-在0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点，则[3,2)k ∈. …………………9分 20.解： (Ⅰ) 因为函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象经过点,23π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2sin 233ππω⎛⎫+= ⎪⎝⎭ …………………1分所以2,332k k Z πππωπ+=+∈ ………………2分所以16,2k k Z ω=+∈ 因为03ω<<，所以1063,.2k k Z <+<∈所以0k =所以12ω= ……………… 3分(Ⅱ)因为21=ω， 所以1()2sin .23g x m x n π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭，:Z#因为23x ππ-≤≤-， 所以213236x πππ-≤+≤. 所以111sin .232x π⎛⎫-≤+≤⎪⎝⎭ ……………… 4分所以()2.m n g x m n -+≤≤+因为函数()g x 的值域为[]2,1-，所以22,1.m n m n -+=-⎧⎨+=⎩ ……………… 5分解得 1,0.m n == ……………… 6分（Ⅲ）因为()3h x f x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭， 所以()2sin 2sin .33h x x x ππωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ………… 7分 因为函数()x h 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以函数()2sin .h x x ω=的图象过原点，且减区间是.0，2-，2<⎥⎦⎤⎢⎣⎡ωωπωπ 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--≤<.32,32,0πωππωπω ……………… 8分解得 302ω-≤<所以ω的取值范围是302ω-≤< ……………… 9分。
太湖中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题及答案(理)
安徽省太湖中学2014-2015学年高二下学期期中考试（理）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150分，考试时间：120分钟。
所有答案均要答在答题卷上，否则无效。
考试结束后只交答题卷。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知物体的运动方程是s ＝13t 3－4t 2＋12t (t 表示时间，s 表示位移)，则瞬时速度为0的时刻是( D )A ．0秒、2秒或6秒B ．2秒或16秒C ．2秒、8秒或16秒D ．2秒或6秒2、在复平面内，复数z=i 4+i 2015的共轭复数对应的点位于（ A ）A ．第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限3、若复数iia 213++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为(D )A ．2B ．2-C ．6D ．6-4、若曲线f (x )＝x 4－2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则点P 的坐标为( B )A.(1,1) B ．(1，－1) C ．(－1,1)D ．(－1，－1)5、若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则当n ＝2时，f (n )是( C )A ．1＋12B.15C ．1＋12＋13＋14＋15D ．非以上答案6、用反证法证明命题“a ，b ∈N ，如果ab 可被5整除，那么a ，b 至少有1个能被5整除”，则假设的内容是( B )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a ，b 有1个不能被5整除7、函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )的图象如图所示，则函数f (x )在区间(a ，b )上有极小值点的个数为( A )．第14题图A ．1B ．2C ．3D ．48、dx x x ])1(1[12---⎰的值为（ C ）A ．12-π B ．2 C ．214-π D ．4 9、已知函数y ＝f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，不等式f(x)＋xf′(x)>0恒成立，若a ＝20.3f(20.3)，b ＝(log π2)f(log π2)，c ＝(log 214)f(log 214)，则a 、b 、c 的大小关系是( C )A ．a>b>cB ．c>b>aC ．b>a>cD ．a>c>b10、f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f(x)e x 的一个极值点，则下列图像不．可能为y ＝f(x)的图像是( D)第Ⅱ卷二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 312、在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 1：813、做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为_____3___．14 如图所示：有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．（1）每次只能移动一个金属片； （2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为()f n ；则：（Ⅰ）(3)f = 7（3分） (Ⅱ) ()f n = 21n-15、若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式对一切满足条件的,a b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①，③，⑤①1ab ≤；③ 222a b +≥；④333a b +≥； ⑤112a b+≥ 三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
北京市重点中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)无答案试卷
北京市2014～2015学年度第二学期期中考试高二文科数学试卷(考试时间：100分钟 总分：100分) 2015．4．本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共60分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则M N =A. (2,)-+∞B. (2,3)-C. (2,1]--D. [1,3)- 2． “1a >”是“函数()2(01)x f x a a a =->≠且在区间(0,)+∞上存在零点”的A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 3.已知命题p :(0,),32x x x ∀∈+∞>；命题q :(,0),32x x x ∃∈-∞>,则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．()p q ∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()()p q ⌝∧⌝ 4．若10<<x ，则函数()()x x x f -=1的最大值为A. 1 B ．41 C ．21 D ．2 5．若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为A ．27-B ．2-C ．1D ． 25 6．设212=a ，313=b ，3log 2c =，则A ．b a c <<B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b << 7．在复平面内，复数1z 的对应点是1(1,1)Z ，2z 的对应点是2(1,1)Z -，则12z z ⋅= A ．1 B ．2 C ．i - D ．i8．函数2()log (6)f x x -的定义域是A ． {}|6x x >B ． {}|36x x -<<C ． {}|3x x >-D ． {}|36x x -<≤9．奇函数()x f 在(,0)-∞上单调递增，若()01=-f ,则不等式()0<x f 的解集是 A ．(,1)(0,1)-∞- B ．(,1)(1,)-∞-+∞ C ．(1,0)(0,1)- D ．(1,0)(1,)-+∞ 10．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当()0x ∈-∞，时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()1f a =，()()log 3log 3b f ππ=⋅，3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是A ． a b c >>B ．c b a >>C ． c a b >>D ．a c b >>第二部分（非选择题 共60分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在答题卡上.11．半径为r 的圆的面积()2r r S ⋅=π，周长()r r C ⋅=π2．若将r 看作()+∞,0上的变量，则有()r r ⋅=⋅ππ2'2①，①式可用语言叙述为“圆的面积函数的导数等于圆的周长函数”．对于半径为R 的球，若将R 看作()+∞,0上的变量，请你写出类似于13．已知函数241,(4)()log ,(04)x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨⎪<<⎩ 若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .14．某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x 万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨． 15．复数(2i)i z =-的虚部是 .16．已知()()()()221log 1a x a x f x x x a +-=⎧<⎨⎩≥是R 上的增函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题：本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（本小题满分8分）已知函数()()3122--+=x a x x f ．()1当2=a ，[]3,2-∈x 时，求函数()x f 的值域；()2如函数()x f 在[]3,1-上的最大值为1，求实数a 的值．18．（本小题满分6分）给定函数()xx x f 1lg 2+=，完成下列问题： ()1指出函数的奇偶性；（必须说明理由）()2指出函数的单调区间；（必须说明理由） ()3该函数是否存在最值？如存在，求出该最值．19．（本小题满分10分）已知函数1)(2-=x x f 与函数)0(ln )(≠=a x a x g .（I ）若)(),(x g x f 的图象在点)0,1(处有公共的切线，求实数a 的值；（II ）设)(2)()(x g x f x F -=，求函数)(x F 的极值．20．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，点M 到点F 1(、F 2的距离之和是4，点M 的轨迹是C ，直线l ：y kx =C 交于不同的两点P 和Q ． （Ⅰ）求轨迹C 的方程；（Ⅱ）是否存在常数k ，使0OP OQ ⋅=？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．。
北京市师范大学附属实验中学2014_2015学年高二数学下学期期中试题文
北师大附属实验中学2014－2015学年度第二学期高二年级数学文科期中考试试卷(一卷)班级 姓名 学号 分数一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案的序号涂在答题卡上）1.设函数x x f 2)(=，则)('x f 等于A.x21 B.x1 C.x 2 D. x21 2.复数i-25的共轭复数是 A. i 21- B. i 21+ C. i +2 D. i -23．一个物体的运动方程为21t t s +-=（其中s 的单位是米，t 的单位是秒），那么物体在3秒末的瞬时速度是A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 4.下面使用类比推理正确的是A ．“若33a b ⋅=⋅则a b =”类推出“若00a b ⋅=⋅则a b =”B ．“()a b c ac bc +⋅=+”类推出“()a b c ac bc ⋅⋅=⋅”C ．“()a b c ac bc +⋅=+”类推出“(0)a b a bc c c c+=+≠” D ．“()nnnab a b =⋅”类推出“()nnna b a b +=+” 5.曲线x x y cos 2+=在2π=x 处的切线的倾斜角为A ．0B ．4π C ．2π D ．43π6. 用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有有理数根，那么c b a ,,中至少有一个是偶数” 时，下列反设中正确的是A. 假设c b a ,,都不是偶数B. 假设c b a ,,都是偶数C.假设c b a ,,中至多有一个偶数D.假设c b a ,,中至多有两个偶数 7. 已知2()(1,)n n f n i i i n N -=-=-∈集合{}()f n 的元素个数是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．无数个8. 观察下列各式：1a b +=，223a b +=，334a b +=，447a b +=，5511a b +=，…，则1010a b +=A ．28B ．76C ．123D ．199 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填入答题区域） 9.函数x e x x f 2)(=的单调减区间为_________. 10. 设复数1ii 2ix y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______． 11．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线切线的方程为_________.12.函数21)(x xx f +=的极大值为 ，此时=x ．13.一矩形铁皮的长为8cm ，宽为5cm ，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，当小正方形的边长为_________cm 时，盒子容积最大，最大值为_______3cm ． 14.定义在上R 的函数()f x ，对任意两个不相等的实数12,x x ，都有11221221()()()(),x f x x f x x f x x f x +>+则称函数()f x 为“H 函数”．给出下列函数3132sin cos y x x y x x x =-++=--①；②（）；ln ||01;xx x y e y x ≠⎧=+=⎨=⎩③；④以上函数是“H 函数”的所有序号为 ．9. __________________；10. __________________；11. __________________；12._______；_______；13. ________；________；14. __________________. 三、解答题（本大题共3小题，共30分，写出必要的解答过程）153)a ≥16. 已知函数32()f x x ax bx c =+++，当1x =-时，()f x 的极大值为7；当3x =时，()f x 有极小值．（I ）求,,a b c 的值； （Ⅱ）函数()f x 的极小值．17.已知函数2()4ln f x ax x =-，a ∈R . （Ⅰ）当12a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性.北京师范大学附属实验中学2014－2015学年度第二学期高二年级数学期中试卷(文科)班级__________ 姓名_______________学号_________分数_____________2014－2015学年度第二学期高二年级数学期中考试试卷(文科二卷)四、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 18.计算=++-ii i 1)21)(1( ．（写成a bi +的形式）．19.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===,则c b a ,, 从小到大依次是 ． 20．如果35a <<,复数22(815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的对应点z 在第象限．21.若下列两个方程22(1)0x a x a +-+=,2220x ax a +-=中至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围是________．22. 设321()252f x x x x =--+，当]2,1[-∈x 时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围为 ．23. 若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是_________.18. _________________；19. __________________；20. __________________；21. _________________；22. __________________；23. __________________.五、解答题（本大题共2小题，共20分，写出必要的解答过程）24．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，且E 是BC中点.（I ）求证：1//A B 平面1AEC ；（Ⅱ）求证：1B C ⊥平面1AEC .25.已知函数e ()xf x x=.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=，求0x 的值； （Ⅱ）当0x >时，求证：()f x x >；（Ⅲ）写出集合{()0}x f x bx ∈-=R （b ∈R 且为常数）中的元素个数.（只需写出结论）EC 1B 1A 1CBA北师大附属实验中学2014－2015学年度第二学期高二年级数学期中试卷(文)参考答案 一卷 一、选择题1-8: B D C C B A B C 二、填空题9. )0,2(-； 10. 52-； 11. 0=-ey x ； 12. 12，1； 13. 1，18； 14. ② ③三、解答题15. 解：（I ）由已知得/2()32f x x ax b =++ //(1)03203(3)027609(1)7172f a b a f a b b f a b c c ⎧-=-+==-⎧⎧⎪⎪⎪=∴++=∴=-⎨⎨⎨⎪⎪⎪-=-+-+==⎩⎩⎩（Ⅱ）由（1），/()3(1)(3)f x x x =+-，当13x -<<时，/()0f x <；当3x >或1-<x 时，/()0f x > ，故3x =时，()f x 取得极小值，极小值为(3)25f =-16.略17. 解：（Ⅰ）当12a =时，21()4ln 2f x x x =-，(0,)x ∈+∞， 所以4'()f x x x=-，(0,)x ∈+∞. 因此，'(1)3f =-.即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为3-. 又1(1)2f =，即曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为13(1)2y x -=--. 即6270x y +-=. ……4分（Ⅱ）242(2)'()2ax f x ax x x-=-=，(0,)x ∈+∞.（1）当0a =时，因为(0,)x ∈+∞，4'()0f x x-=<， 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减. （2）当0a <时，因为(0,)x ∈+∞，()0f x '<. 所以()f x 在(0,)+∞上单调递减.（3）当0a >时，)x ∈+∞，'()0f x >.x ∈，'()0f x <.所以()f x 在)+∞上单调递增，在上单调递减. 综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在()a+∞上单调递增，在上单调递减. ……………10分 二卷 四、填空题18．2i -； 19．b a c <<； 20．三21．(,2][1,)-∞--+∞ 22． ),7(+∞ 23．6 五、解答题24.解：解：(I) 连接A C 1交AC 1于点O ，连接EO 因为1ACC A 1为正方形，所以O 为A C 1中点 又E 为CB 中点，所以EO 为1A BC ∆的中位线，所以1//EO A B ………2分 又EO ⊂平面1AEC ，1A B ⊄平面1AEC所以1//A B 平面1AEC …………5分 (Ⅱ)因为AB AC =，又E 为CB 中点，所以AE BC ⊥又因为在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥底面ABC ， 又AE ⊂底面ABC , 所以1AE BB ⊥, 又因为1BB BC B =，所以AE ⊥平面11BCC B ，又1B C ⊂平面11BCC B ，所以AE ⊥1B C ………8分 在矩形11BCC B 中, 111tan tan CB C EC C ∠=∠=所以111CB C EC C ∠=∠， 所以11190CB C EC B ∠+∠=，即11B C EC ⊥ ……………9分 又1AE EC E =，所以1B C ⊥平面11BCC B ………10分25.解：（Ⅰ）解：2e e '()x xx f x x-=. ………1分 因为 切线0ax y -=过原点(0,0)，所以 00000200e e e x x x x x x x -=. ………2分 解得：02x =. …3分（Ⅱ）证明：设2()e ()(0)x f x g x x x x ==>，则24e (2)'()x x x g x x -=.令24e (2)'()0x x x g x x-==，解得2x =. ……4分 x 在(0,)+∞上变化时，'(),()g x g x 的变化情况如下表- 11 - 所以 当2x =时，()g x 取得最小值2e 4. ………5分所以 当0x >时，2e ()14g x ，即()f x x >. ………6分（Ⅲ）解：当0b ≤时，集合{()0}x f x bx ∈-=R 的元素个数为0；当2e 04b <<时，集合{()0}x f x bx ∈-=R 的元素个数为1； 当2e 4b =时，集合{()0}xf x bx ∈-=R 的元素个数为2； 当2e 4b >时，集合{()0}xf x bx ∈-=R 的元素个数为3. ………10分。
北京市二十四中2014_2015学年高二数学下学期期中试卷文(含解析)
2014-2015学年北京二十四中高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.）1．设集合A={﹣2，0，2，4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，2，4}2．命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0 B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥03．“a＞b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣25．函数f（）=，则函数f（x）的解析式是（）A．（x≠0）B．1+x C．D．（x≠0）6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|7．已知f（x）=，若f（x）=2，则x的值是（）A．1或2 B．2或﹣1 C．1或﹣2 D．±1或±28．计算lg﹣8的值为（）A．﹣B．C．D．﹣49．设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=（）A．10 B．20 C．40 D．8011．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的递增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．[，3）D．（1，3）12．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分.）13．若幂函数f（x）的图象过点，则= ．14．函数f（x）=+lgx的定义域是．15．定义在R上的奇函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）=4x，则f（2015）= ．16．函数f（x）=（x2﹣5x+6）的单调递增区间为．17．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，则满足不等式f（x）＞0的x的取值范围是．18．设函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=_ ；若函数f（x）与y=k存在两个交点，则实数k的取值范围是．三、解答题（本题共4小题，共40分.）19．（10分）（2015春•北京校级期中）设全集U=R，集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．20．（10分）（2015春•南昌校级期末）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．21．（10分）（2015春•北京校级期中）已知函数y=﹣3x2+2ax﹣1，x∈[0，1]，记f（a）为其最小值，求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．．22．（10分）（2015春•北京校级期中）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并加以证明．（Ⅲ）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．2014-2015学年北京二十四中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分.）1．设集合A={﹣2，0，2，4}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．{0} B．{2} C．{0，2} D．{0，2，4}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中的不等式变形得：（x﹣3）（x+1）＜0，解得：﹣1＜x＜3，即B=（﹣1，3），∵A={﹣2，0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是（）A．∃x∈R，x2﹣3x+2＜0 B．∃x∈R，x2﹣3x+2＞0C．∃x∈R，x2﹣3x+2≤0D．∃x∈R，x2﹣3x+2≥0考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．解答：解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题“∀x∈R，x2﹣3x+2≥0”的否定是∃x∈R，x2﹣3x+2＜0，故选：A．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，要求熟练掌握含有量词的命题规律．3．“a＞b”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：当a=1，b=﹣1时，满足a＞b，但不成立．当a=﹣1，b=1时，满足，但a＞b不成立．∴“a＞b”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式的性质是解决本题的关键．4．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣2考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由条件利用函数的奇偶性和单调性的性质可得 f（﹣1）=﹣f（1），运算求得结果．解答：解：∵已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=x2+，则f（﹣1）=﹣f（1）=﹣（1+1）=﹣2，故选D．点评：本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于基础题．5．函数f（）=，则函数f（x）的解析式是（）A．（x≠0）B．1+x C．D．（x≠0）考点：函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：利用换元法直接求解函数的解析式即可．解答：解：函数f（）=，令，则f（t）==，可得函数f（x）的解析式是：f（x）=（x≠0）．故选：A．点评：本题考查函数的解析式的求法，考查计算能力．6．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是（）A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D 在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．解答：解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，故选：C．点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．7．已知f（x）=，若f（x）=2，则x的值是（）A．1或2 B．2或﹣1 C．1或﹣2 D．±1或±2考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数的性质求解．解答：解：∵f（x）=，f（x）=2，∴当x≤0时，log2（|x|+2）=2，|x|+2=4，解得x=﹣2，或x=2（舍），当x＞0时，x2+1=2，解得x=1或x=﹣1（舍）．∴x=﹣2或x=1．故选：C．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分段函数的性质的合理运用．8．计算lg﹣8的值为（）A．﹣B．C．D．﹣4考点：对数的运算性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：利用对数的运算法则，即可得出结论．解答：解：lg﹣8=﹣4﹣=﹣4，故选：D．点评：本题考查对数的运算法则，考查学生的计算能力，比较基础．9．设a=70.3，b=0.37，c=log70.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a考点：对数值大小的比较；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数、幂函数及指数函数的单调性即可比较出大小．解答：解：∵log70.3＜log71=0，0＜0.37＜0.30=1，1=70＜70.3，∴c＜b＜a，故选B．点评：熟练掌握对数函数、幂函数及指数函数的单调性是解题的关键．注意与0、1的比较．10．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=（）A．10 B．20 C．40 D．80考点：基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式．分析：根据已知条件便可得，一年的总费用和总存储费用之和为，当x=20时取“=“，这便求出了使一年的总费用和总存储费用之和最小时的x值了．解答：解：由已知条件知，一年的总费用与总存储费用之和为；当，即x=20时取“=“；即要使一年的总费用与总存储费用之和最小，则x=20．故选B．点评：考查对基本不等式：a+b，a＞0，b＞0，的运用，注意等号成立的条件．11．已知函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的递增函数，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，3）C．[，3）D．（1，3）考点：函数单调性的性质．专题：计算题．分析：本题考查的是分段函数和函数单调性的综合类问题．在解答时，首先得保证函数在各段上是增函数，然后保证x=1时x＜1对应的上限要小于等于x≥1时函数对应的下限．解不等式进而获得问题的解答．解答：解：由题意：函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的递增函数，所以必有：，解得：，故选C．点评：本题考查的是分段函数和函数单调性的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的思想、解不等式的思想以及数形结合的思想．值得同学们体会和反思．12．函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A． B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．解答：解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A点评：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．二、填空题（本题共6小题，每题4分，共24分.）13．若幂函数f（x）的图象过点，则= ．考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：设出幂函数的解析式，然后把点的坐标代入求出幂指数即可．解答：解：设幂函数为y=xα，因为图象过点，则，∴，α=﹣2．所以f（x）=x﹣2．==2﹣1=故答案为：．点评：本题考查了幂函数的概念，是会考常见题型，是基础题．14．函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1] ．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组求解x的取值集合得答案．解答：解：由，解得0＜x≤1．∴函数f（x）=+lgx的定义域是（0，1]．故答案为：（0，1]．点评：本题考查函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．15．定义在R上的奇函数f（x），对任意x∈R都有f（x+2）=f（﹣x），当x∈（0，2）时，f（x）=4x，则f（2015）= ﹣4 ．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件f（x+2）=f（﹣x），得到函数的周期是4，利用函数的奇偶性，将条件进行转化即可得到结论．解答：解：∵f（x+2）=f（﹣x），f（x）关于x=1对称，函数是奇函数，f（x+2）=f（﹣x）=﹣f（x），f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），可得函数是周期函数．∴函数f（x）的周期是4，∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1）=﹣f（1），∵当x∈（0，2）时，f（x）=4x，∴f（1）=4，∴f（2015）=﹣f（1）=﹣4，故答案为：﹣4．点评：本题主要考查函数值的计算，抽象函数的应用，根据函数奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．16．函数f（x）=（x2﹣5x+6）的单调递增区间为（﹣∞，2）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：令t=x2﹣5x+6＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=t，本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的减区间．解答：解：令t=x2﹣5x+6＞0，求得函数的定义域为{x|x＜2或x＞3}，且f（x）=t，故本题即求函数t在定义域内的减区间．再利用二次函数的性质可得函数t在定义域{x|x＜2或x＞3}内的减区间为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2）．点评：本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．17．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2x，则满足不等式f（x）＞0的x的取值范围是（﹣1，0）∪（1，+∞）．考点：对数函数的单调性与特殊点；奇偶性与单调性的综合．专题：计算题．分析：首先令x＜0，则﹣x＞0，结合已知条件和奇函数的性质，求出此时f（x）的解析式，又f（0）=0，故f（x）在R上的解析式即可求出，然后分x＞0和x＜0两种情况分别求出f（x）＞0的解集，最后求其并集．解答：解：∵函数f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣f（﹣x），∵x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）=log2（﹣x）=﹣f（x），即f（x）=﹣log2（﹣x），当x=0时，f（0）=0；∴f（x）=当x＞0时，由log2x＞0解得x＞1，当x＜0时，由﹣log2（﹣x）＞0解得x＞﹣1，∴﹣1＜x＜0，综上，得x＞1或﹣1＜x＜0，故x的取值范围为（﹣1，0）U（1，+∞）．故答案为：（﹣1，0）U（1，+∞）．点评：本题通过不等式的求解，考查了分段函数解析式的求法和奇函数的性质，同时考查了转化思想和分类讨论思想以及学生的基本运算能力，是高考热点内容．18．设函数f（x）=，则f[f（﹣1）]=_ ﹣2 ；若函数f（x）与y=k存在两个交点，则实数k的取值范围是（0，1] ．考点：函数的图象；函数的值；函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：利用分段函数求解函数值即可．解答：解：函数f（x）=，则f（﹣1）=4﹣1，f[f（﹣1）]=f（4﹣1）=log24﹣1=﹣2；函数f（x）与y=k的图象为：两个函数存在两个交点，则实数k的取值范围：0＜k≤1．故答案为：﹣2；（0，1]．点评：本题考查函数的值的求法，函数的图象以及函数的零点的求法，考查计算能力．三、解答题（本题共4小题，共40分.）19．（10分）（2015春•北京校级期中）设全集U=R，集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（Ⅰ）求A∩（∁U B）；（Ⅱ）已知C={x|2a＜x＜a+1}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：（Ⅰ）解二次不等式，求出A，解对数不等式求出B，进而可求A∩（∁U B）；（Ⅱ）由C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，分C=∅和C≠∅两种情况，讨论满足条件的a的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．解答：解：（Ⅰ）∵集合A={x|（x+6）（3﹣x）≤0}={x|x≤﹣6，或x≥3}，B={x|log2（x+2）＜4}={x|﹣2＜x＜14}．∴∁U B={x|x≤﹣2，或x≥14}，∴A∩（∁U B）={x|x≤﹣6，或x≥14}，（Ⅱ）∵C={x|2a＜x＜a+1}，B∩C=C，当2a≥a+1，即a≥1时，C=∅，满足条件，当2a＜a+1，即a＜1时，若B∩C=C，则C⊆B，则﹣2≤2a＜a+1≤14，解得：﹣1≤a＜1，综上所述，a≥﹣1．点评：本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．20．（10分）（2015春•南昌校级期末）设函数f（x）=ax2+（b﹣2）x+3（a≠0）（1）若不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．求a，b的值；（2）若f（1）=2，a＞0，b＞0求+的最小值．考点：一元二次不等式的解法；基本不等式．分析：（1）由不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；解答：解：（1）由f（x）＜0的解集是（﹣1，3）知﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可得，解得（2）f（1）=2得a+b=1，∵a＞0，b＞0∴（a+b）（）=5+=5+2≥9∴的最小值是9点评：此题考查了不等式的解法，属于基础题21．（10分）（2015春•北京校级期中）已知函数y=﹣3x2+2ax﹣1，x∈[0，1]，记f（a）为其最小值，求f（a）的表达式，并求f（a）的最大值．．考点：二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的对称轴，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，求出f（a）的表达式，从而求出f（a）的最大值即可．解答：解：f（x）=﹣3x2+2ax﹣1=﹣3（x﹣）2+﹣1对称轴x=，对a的取值分类讨论：①当≤0，即a≤0时：f（x）在x∈[0，1]上单调递减，∴f（x）的最小值f（a）=f（1）=﹣3+2a﹣1=2a﹣4≤﹣4，②0＜≤即0＜a≤时：f（x）在[0，）递增，在（，1]递减，∴f（a）=f（1）=﹣3+2a﹣1=2a﹣4≤﹣4，③＜≤1即＜a≤3时：f（x）在[0，）递增，在（，1]递减，∴f（a）=f（0）=﹣1，④＞3即a＞9时：f（x）在[0，1]递增，∴f（a）=f（0）=﹣1，综上f（a）的最大值是﹣1．点评：本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，是一道中档题．22．（10分）（2015春•北京校级期中）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）判断f（x）在（﹣∞，+∞）上的单调性，并加以证明．（Ⅲ）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，求实数k的取值范围．考点：奇偶性与单调性的综合；函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题．分析：（Ⅰ）利用f（0）=0，求a的值．（Ⅱ）f（x）==﹣1+在（﹣∞，+∞）上单调递减，利用导数加以证明．（Ⅲ）若对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，t2﹣2t＞k﹣2t2，分离参数，即可求实数k的取值范围．解答：解：（Ⅰ）定义域为R的函数f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，∴a=1．（Ⅱ）f（x）==﹣1+在（﹣∞，+∞）上单调递减，证明如下：∵f′（x）=＜0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；（Ⅲ）∵对于任意t∈R，不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0恒成立，∴t2﹣2t＞k﹣2t2，∴k＜3t2﹣2t，∵3t2﹣2t=3（t﹣）2﹣≥﹣，∴k＜﹣．点评：本题考查函数的单调性与奇偶性的结合，考查单调性的证明，考查恒成立问题，正确分离参数是关键．。
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北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理 - 1 - / 8 北京市2014～2015学年度第二学期期中考试 高 二数学（理）试卷 (考试时间：100分钟 总分：100分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1．已知复数z满足：izi2（i是虚数单位），则z的虚部为（ ）
A．i2 B．i2 C．2 D．2 2．图书馆的书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取一本书，共有（ ）种不同的取法。 A.120 B.16 C.64 D.39
3．已知曲线23ln14xyx的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ） A．3 B．2 C．1 D．12 4．由直线12y,2y,曲线1yx及y轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A．2ln2 B．2ln21 C．1ln22 D．54 5．以下说法正确的是（ ） A.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件 B.在用综合法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的必要条件 C.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是条件成立的充分条件 D.在用分析法证明的过程中，每一个分步结论都是结论成立的必要条件
6．设函数()lnfxxx，则()fx的极小值点为（ ）
A.xe B.ln2x C.2xe D.1xe 7．已知1212，221334，32135456,．．．，以此类推，第5个等式为（ ） A．4213575678
B．521357956789 C．4213579678910 D．5213579678910 8．在复平面内，复数34i，2ii对应的点分别为，，则线段的中点C对应的北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理 - 2 - / 8 复数为（ ） A．22i B．22i C．1i D．1i
9．已知函数21cos,4fxxxfx是函数fx的导函数，则fx的图象大致是（ ）
10．设函数yfx在区间,ab上的导函数为fx，fx在区间,ab上的导函数为fx，若区间,ab上0fx，则称函数fx在区间,ab上为“凹函数”，已知
54
11
2012fxxmx22x在1,3上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A．31(,)9 B．31[,5]9 C．(,3] D．,5 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分.） 11．函数3()2fxxax在(1,)上是增函数，则实数a的取值范围是
12．设集合AbaA,,5,4,3,2,1,则方程122byax表示焦点位于y轴上的椭圆有 个.
13．设sin,0,2()1,,22xxfxx，则20()fxdx为 。
14．已知复数0,,xRyxyixz且32z，则xy的范围为 ． 15．在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有222bac．设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥LMNO，如果用321,,SSS表示三个侧面面积，
4S表示截面面积，那么类比得到的结论是 ． 北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理 - 3 - / 8 16．对定义在区间D上的函数)(xf和)(xg，如果对任意Dx，都有1)()(xgxf成立，那么称函数)(xf在区间D上可被)(xg替代，D称为“替代区间”．给出以下命题： ①1)(2xxf在区间),(上可被21)(2xxg替代； ②xxf)(可被xxg411)(替代的一个“替代区间”为]23,41[； ③xxfln)(在区间],1[e可被bxxg)(替代，则22be； ④)(sin)(),)(lg()(212DxxxgDxxaxxf，则存在实数)0(aa，使得)(xf在区间21DD 上被)(xg替代； 其中真命题的有
三、解答题（本大题共4小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题共8分）
已知函数2,2)(23xaxxxf是)(xf的一个极值点，求： （1）实数a的值； （2）)(xf在区间3,1上的最大值和最小值。 北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理
- 4 - / 8 18. （本小题共8分） 若a、b、c均为实数，且222yxa，322Zyb，622xZc 求证：a、b、c中至少有一个大于0。
19. (本小题共10分) 已知函数 ()1()xfxeaxaR． （1）求函数)(xf的单调区间；
（2）若函数21()()2Fxfxx在1,2上有且仅有一个零点，求a 的取值范围； 北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理
- 5 - / 8 20. (本小题共10分) 已知数列na的各项均为正整数，对于任意*nN，都有11111122111nnnnaaaann 成立，且24a． （1）求1a，3a的值； （2）猜想数列na的通项公式，并给出证明．
北京市2014~2015学年度第二学期期中考试 高二（理）试卷答案及评分标准 一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A B D D D A C 二、填空题
11.3, 12.10 13. 23 14．3,3 15．24232221ssss 16．①②③ 三、解答题
17．（1）因为，,23)(2axxxf （1分）
)(xf在2x处有极值，所以，,0)2(f （2分）
即,0443a所以，3a。 （3分） （2）由（1）知3a，所以xxxfxxxf63)(,23)(223 （4分） 北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理 - 6 - / 8 令,0)(xf得2,021xx， 当x变化时)(),(xfxf的变化情况如下表： x 1
0,1 0 2,0 2 3,2 3
)(xf + 0 - 0 +
)(xf 2 2 2 2
（7分） 从上表可知)(xf在区间3,1上的最大值是2，最小值是2。 （8分）
18. 证明：假设cba,,都不大于0， 即0,0,0cba ∴0cba (4分) ∵623222222xzzyyxcba
=3)1()1()1(222zyx 0与上式矛盾 ∴cba,,中至少有一个大于0 （8分）
19.(1)解：()xfxea （1分） 当0a时，()0fx≥，则()fx在(,)上单调递增 （2分） 当0a时，()fx在(ln)a，上单调递减，()fx在(ln)a，上单调递增． （4分）
(2)解：由21()()02Fxfxx，得2112xexax 考查函数2112()xexgxx (2,1x)，则221(1)12()xxexgxx （5分） 令21()(1)12xhxxex，()(1)xhxxe （6分） 当21x时，()0hx，∴()hx在2,1上单调递增 （7分） ∴1()(1)02hxh≥, ()0gx，∴()gx在2,1上单调递增 （8分） 北京市重点中学2014-2015年度高二数学下学期期中试卷-理 - 7 - / 8 ∴2112()xexgxx在2,1上的最小值为3(1)2ge，最大值为21(2)(3)2ge （9分） ∴当231322eae≤≤时，函数21()()2Fxfxx在2,1上有且仅有一个零点 （10分）
20. （1）因为11111122111nnnnaaaann ，24a 当1n时，由21211111222aaaa，即有1112212244aa， 解得12837a．因为1a为正整数，故11a． （2分） 当2n时，由33111126244aa， 解得3810a，所以39a． （4分） （2）由11a，24a，39a，猜想：2nan （5分） 下面用数学归纳法证明． 1º当1n，2，3时，由（1）知2nan均成立． （6分）
2º假设3nkk≥成立，则2kak，
由条件得22111111212kkkkakak，
所以23121111kkkkkkakkk， （8分） 所以2212111111kkkakkkk （9分） 因为3k≥，21011kkk，1011k， 又1kaN，所以211kak．