第五章 漩涡理论

第五章 漩涡理论内容1. 基本概念。

2. 漩涡随空间，时间的变化规律。

3. 漩涡对周围流场的影响。

4. 二元漩涡的特性。

5.1.1涡量和平均旋转角速度。

涡量场：Ω =▽V ⨯▽V ⨯=VzVyVxz y x k j i ∂∂∂∂∂∂令 ωx =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂z Vy yVz 21 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=x Vz zVxy 21ω ω2=Ω∴ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=y Vx xVy z 21ω其中ω称为平均旋转角速度。

ωωωzyx,, 的物理意义。

设M 点的速度Vx,Vy A 点()dx xVx x VV xA∂∂+=()dx xVy y VV yA∂∂+=()()[]()[]11_sin 0,11dtx dtx dtx dt dtx dxy A A MA d V V V VV VV AA y dt x y xAyA⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=+-='+==→θ dt xd V y∂∂≈∴θ1 即xV dtd y∂∂=θ1Ω是否为0判断有旋无旋例：1）r V∙=ωθ=ω常sin sin cos 0012xy z xyyxzr yrcso xV V V V VV V yx θθθωθωθωθωωωωω=-=-=-======⎛⎫⎪=-= ⎪⎝⎭∂∂∂∂有旋2）rV πθ2Γ=无旋02100222222=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-===∴=+Γ=+Γ-=∴∂∂∂∂yV x V VyxV yxVxyzyx zyxx yωωωππ5.1.2涡线，涡面和涡管涡线：是一条曲线，在同一瞬时曲线上所有点旋转角速度Ω与该线相切。

1. 瞬时性2. 流动速度与旋转速度相垂直。

涡线方程()()()z y x dzz y x dyz y x dxz y x ,,,,,,ΩΩΩ==涡线涡管速度场 涡量场 Ω=⨯∇v 流线：zyxv dz v dy v dx == 涡线：zyxdz dy dx Ω=Ω=Ω流管： 涡管：流量：⎰=sn ds v Q 涡量：⎰⎰⎰==Γ=sn CC s ndsl d v dsJ ωω25.1.3涡通量和涡管强度⎰⎰=∙=ssnds ds n J ωω又称涡管强度流量⎰⎰=∙=ssnds ds n v Q v5.2速度环流和斯托克斯定理1）速度环流：定义：速度在曲线切线上的分量沿该曲线的线积分⎰Γ=BAABl d V定义：某瞬时AB 线上所有质点沿AB 运动的趋势。

符号：锐角“+” 钝角“-”2）斯托克斯定理速度环流等于涡通量的两倍AB⎰⎰Γ∙==s d l d V Cω2证明：abcd 微元整形 ()V V yx a ,222yxx yxyzsd d x d x d y d y d xd yV y V xd x d yd x d y d sJxy V V VV V V yxωω⎛⎫⎛⎫ ⎪Γ=++-+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂∂=-=== ⎪∂∂⎝⎭∂∂∂∂⎰对任意曲线C 所包围的面积sssJds sn C1222-===⎰Γω5.3汤姆逊定理1）速度环量的全微分等于加速度环量l d Dtv D l d v DtD CC∙=⎰⎰证明：⎰⎰⎰∙+=Dt l d v l d Dtv D l d v DtD CC()()()022121212lim=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===-'=+=-+=-+=-+='⎰⎰⎰→v v v Dt lD v v dtl d l d l DtD dtv l dtl dt dt l ddl l CCt vvvv r rδδδδδδδδδδδ于是又5.3.1汤姆逊定理1)速度环流的全微分l Dt v D l d v DtD CCδ⎰⎰=022=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰Cv δ 2）汤姆逊定理理想流体的Euler 方程p F Dt vD ∇-=ρ1质量力有势： U F ∇=正压流体∇℘=∇p ρ1()0CCD v l U dl D tδ=∇-℘=⎰⎰0=ΓDtD理想正压流体，质量力有势，则沿任一封闭曲线的速度环流，在运动过程中不随时间改变。

初始时刻 无旋 则永远无旋 有旋 有旋 漩涡不生不灭定理()起动涡附着涡附着涡起动涡Γ-=Γ∴=Γ+Γ=-=Γ=Γ=Γ⎰000120L v v ld v 5.5海姆霍兹定理第一定理：同一瞬时沿涡管长度涡的强度保持不变Sv 1起动涡''220C n sC C n s dsdss ωωδ'Γ=Γ=Γ+→⎰⎰又∞→ω不可能即漩涡不能在流体内部终止或开始(a)涡环 (b)终止于流体界面上的涡管 (c)非旋转固壁上的涡管第二定理：理想正压流体，质量力有势构成涡管的流体质量在任何瞬时也构成涡管。

涡管表面：0 0C D D tΓΓ==0=Γ'第三定理：理想正压流体，质量力有势涡管强度不随时间改变。

漩涡运动学性质：随空间不变（沿涡管）动力学性质：理想，正压流体，质量力有势随时间⎪⎩⎪⎨⎧涡管强度涡管环量 不变漩涡具有保持性5.6漩涡的诱导速度5.6.2诱导速度公式水电比拟方法 电磁场电流感应的磁场强度23sin 44rL d i r r L d i H d αππ=⨯= 漩涡诱导速度23sin 44rL d r r L d v d αππΓ=⨯Γ= 直线涡索长度L ，距离涡索为R 的M 点的诱导速度为：αsin R r =()12212cos cos 4cos 4sin 4sin 4sin 4sin sin 4sin 412ααπαααπααπααπααπαααπαπαα-Γ=Γ-=Γ==Γ=Γ=⋅Γ=Γ=⎰⎰RRd Rv d v d R R d rr rd rL d v d L半无限长涡索 02=α R v πα4901Γ=⇒=无限长涡索 02=α Rv πα21801Γ=⇒=一对平行直涡线的互相作用()()R rR v v a B A 24=Γ==π 作等速直线向下运动 Rv v y x π40Γ==()θπv Rv v b B A=Γ==4 绕原点作半径为R 的等速圆周运动(a) xy(b)y5.6.1点涡斯托克斯定理2022 20ACrv ndA vdl v Rd v R R v πθθθωθππΓ⎧=⎪Γ====⎨⎪=⎩⎰⎰⎰无旋点涡周围速度场是无旋的 公转角速度 212RR v πωθΓ==自转角速度 222Rdrdv πωθΓ-==021=+=ωωω势涡5.7兰金涡（二元漩涡）半径为R 角速度ω 环量Γ 求漩涡内外速度分布 涡核内兰金涡速度分布涡核外： ()R r rv ≥Γ=πθ25.7.2压力分布圆柱坐标系运动方程()rpf rv v v t v r r r∂∂-=-∇∙+∂∂ρθ1220 01r r v f v prrθρ==∂=∂压力分布当R r ≥时 122421C rR p +-=ωρ()R r r v r rv r ≤===Γωωππθθ222当∞→r 时 ∞∞=⇒=p C p p 1()R r r R p p ≥-=∞22421ωρ当R r ≤时 22221C r p +=ωρ 当R r =时 222ωρR p C -=∞ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=∞2222r R p p ρω。