旋涡理论vortextheory
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第五章漩涡理论基础
第五章不可压缩流体的二维流动引言：在前面几章主要讨论了理想流体和黏性流体一维流动，为解决工程实际中存在的一维流动问题打下了良好的基础。
本章讨论理想不可压流体的二维有势流动以及二维黏性流体绕物体流动的基本概念。
第一节有旋流动和无旋流动刚体的运动可分解为移动和转动两种运动形式，流体具有移动和转动两种运动形式。
另外，由于流体具有流动性，它还具有与刚体不同的另外一种运动形式，即变形运动(deformationmotion)。
本节只介绍流体旋转运动即有旋流动(rotation—alflow)和无旋流动(irrotational flow)。
一、有旋流动和无旋流动的定义流体的流动是有旋还是无旋，是由流体微团本身是否旋转来决定的。
流体在流动中，如果流场中有若干处流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动，则称为有旋流动，如果在整个流场中各处的流体微团均不绕自身轴线的旋转运动，则称为无旋流动。
强调“判断流体流动是有旋流动还是无旋流动，仅仅由流体微团本身是否绕自身轴线的旋转运动来决定，而与流体微团的运动轨迹无关。
”举例虽然流体微团运动轨迹是圆形，但由于微团本身不旋转，故它是无旋流动；在图5—1(b)中，虽然流体微团运动轨迹是直线，但微团绕自身轴线旋转，故它是有旋流动。
在日常生活中也有类似的例子，例如儿童玩的活动转椅，当转轮绕水平轴旋转时，每个儿童坐的椅子都绕水平轴作圆周运动，但是每个儿童始终是头向上，脸朝着一个方向，即儿童对地来说没有旋转。
二、旋转角速度(rotationalangularvelocity)为了简化讨论，先分析流体微团的平面运动。
如图5—2所示有一矩形流体微团ABCD在XOY平面内，经丛时间后沿一条流线运动到另一位置，微团变形成A，B，C，D。
流体微团在Z周的旋转角速度定义为流体微团在XOY平面上的旋转角速度的平均值速度环量是一个标量，但具有正负号。
速度环量的正负号与速度方向和积分时所取的绕行方向有关。
高等流体力学：06第6讲_涡动理论
1.3 涡量输运方程（1）
涡量 涡量的定义
涡线(vortex line)：
涡线上所有流体质点 在同瞬时的旋转角速 度矢量与此线相切。
31
流体的涡度定义为角转速度的两倍
ω u rot u curl u 2Ω
涡度也称为旋度。由于对于任意向量， 向Q 量恒等式
Q 0
总是存在的，所以有 ω 0
如果搅动杯中咖啡，会产生一些形式的旋转，尽管它有时 会呈现复杂形式，最简单运动是一个圆。朝着杯子之间吹 气，液体表面会产生对称涡。
篝火可以在其上面产生一个涡环，这是因为热空气在浮力 下产生的。物质守恒定律决定了当热空气向上移动时，周 围的冷空气要不断填进去。
当运动的流体遇到拐角时，靠近壁面的粒子将避开角而缩 小路程，这样就产生了一个分离域，部分粒子将陷进去并 且绕着角旋转。
涡的定义1是基于对粒子的轨迹描述的。然而，在空间一 点的流动特性也可以定义涡。柯西和斯托克斯的经典定义 称空间中一点流体的角速度为“涡度”。流场中，流体在 每一点都没有旋转称为无旋运动或势流。自然界中没有严 格的势流，但是许多流场在近似的意义上可以视为无旋的 。
在一定的时间和空间中的一点的每一个运动可以从数学的 角度严格地分成旋转、平移和变形,必要的假设是当空间 充满物质时被称为是连续的，这意味着物质的状态变量， 如温度、密度、压力以及确定这些状态变量的定律不会因 为体积的任意缩小而失去意义。例如，流体的密度是质量 和质量所占的体积之比，如果所考虑的体积缩小到一点， 关于一点上的宏观密度的研究仍然是有意义的，这些状态 变量的值与空间中的每一点有关。所有这些值形成了场。 柯西和斯托克斯关于涡度的概念意味着一定的角速度可以 定义于空间中的每一个点。
1.2.2 旋转与物质受恒定律 在希腊思想家的最初的概念中，地球是一个被大的旋涡
高涵道比高效率风扇气动设计与CFD 分析
772022年7月下 第14期 总第386期工艺设计改造及检测检修China Science & Technology Overview1.文献综述1.1 设计过程设计过程一般包括初始设计、throughflow 方法、叶栅计算、准三维计算、三维计算流体动力学模拟分析。
初始设计的重要性在于它能影响压气机布局甚至发动机循环。
初始设计用来构造速度三角形以及级负载（stage loading）、流系数等参数。
压气机的尺寸也能计算出来。
计算流体动力学（CFD）正被越来越来用在涡轮机械的设计和分析过程。
CFD 是对包含流体、传热、以及化学反应的系统的仿真。
在CFD 中，雷诺平均Navier-Storkes （RANS）方程在一个计算网格上求解，以获得网格上的流场。
CFD 能预测叶片表面压力分布、跨音速过程以及泄露等。
但边界层和二次流的预测可能不是很准确。
1.2 叶栅叶栅主要有C 系列、NACA 65以及双圆弧叶栅等。
C系列主要应用在英国，有C4、C5和C7。
NACA 65主要应用在美国。
这2种叶栅适用于亚音速情况。
而双圆弧可适用于跨音速情况。
1.3 漩涡理论（vortex theory）漩涡理论是关于流体元素径向平衡的理论。
一个流体元素在转子中旋转会受到离心力的作用，该离心力需要径向的静压差来平衡。
有几种旋涡理论如自由旋涡、强制旋涡、可变旋涡和混合旋涡。
1.4 激波及损失当进气马赫数低于1.5[1]时且无边界层分离，激波是一种有效的压缩空气的方式。
当进气马赫数低于1.5时，由正激波引起的损失非常小。
1.5 关键参数1.5.1涵道比和风扇压比涵道比（BPR）是外涵流量与内涵流量的比值。
高涵道比能提供更高的起飞推力且能使耗油率降低。
当涵道比、涡轮进口温度、总压比确定后，存在一个最优风扇压比，且最优压比随着涵道比的增加而降低。
1.5.2风扇叶尖速度叶尖速度通常受机械强度所限，其值一般小于500m/s [3]。
第四章 漩涡理论
这与 QAB AB v y dx vx dy B A 类似
结论： 如果是势流，沿任意曲线AB速度环流数值为始点 和终点速度势之差，而与这两点积分途径无关
第四章 旋涡基本理论
2、速度环流定理
沿任意封闭曲线C的速度环流Γc等于通 过以这一曲线的边界的曲面S的旋涡强度 J的两倍，即
的速度环流，其中a,b为常数。
0 1 2 1 2
az y2 z2 ay y2 z2
第四章 旋涡基本理论
1）涡线方程 涡线为
dx dy dz dx dy dz ,即 0 y z 0 z y
y 2 z 2 c1 x c 2
2）在z=0上 由stokes定理：
ay ds 0 y
v dl 2 n ds
第四章 旋涡基本理论
x 0 y 0 a ,y 0 1 ay 2 z 2 y a ,y0 2
第四章 旋涡基本理论
§4-5 亥姆堆兹定理
第一定理：同一瞬时，涡管的旋涡 n ds n ds 强度保持不变，即 s2 s1 或J J 2 1
证法（一）
s1 s1
nds n1 ds n 2 ds n3 ds
试求涡线方程及沿封闭围线
x 2 y 2 b 2 z 0
解：
v y v z x 1 2 z y 1 v x v z y 2 z x v y v x 1 x z 2 y
第四章 旋涡基本理论
复连域斯托克斯定理：外边界速度环流减去内边界速度环流等于边界 2 n ds 所包围面积旋涡强度两倍，即 c c
结论： 如果是势流，沿任意曲线AB速度环流数值为始点 和终点速度势之差，而与这两点积分途径无关
第四章 旋涡基本理论
2、速度环流定理
沿任意封闭曲线C的速度环流Γc等于通 过以这一曲线的边界的曲面S的旋涡强度 J的两倍，即
的速度环流，其中a,b为常数。
0 1 2 1 2
az y2 z2 ay y2 z2
第四章 旋涡基本理论
1）涡线方程 涡线为
dx dy dz dx dy dz ,即 0 y z 0 z y
y 2 z 2 c1 x c 2
2）在z=0上 由stokes定理：
ay ds 0 y
v dl 2 n ds
第四章 旋涡基本理论
x 0 y 0 a ,y 0 1 ay 2 z 2 y a ,y0 2
第四章 旋涡基本理论
§4-5 亥姆堆兹定理
第一定理：同一瞬时，涡管的旋涡 n ds n ds 强度保持不变，即 s2 s1 或J J 2 1
证法（一）
s1 s1
nds n1 ds n 2 ds n3 ds
试求涡线方程及沿封闭围线
x 2 y 2 b 2 z 0
解：
v y v z x 1 2 z y 1 v x v z y 2 z x v y v x 1 x z 2 y
第四章 旋涡基本理论
复连域斯托克斯定理：外边界速度环流减去内边界速度环流等于边界 2 n ds 所包围面积旋涡强度两倍，即 c c
漩涡理论
由涡丝引起的速度称为旋涡诱导速度场。
无限长的直涡丝 点涡的诱导速度
点涡
v
2 R
vr 0 （R为场点至点涡的距离）
这种速度场是无旋的
！！点涡不对自身 产生诱导速度
R
• 举例：
设涡线位于原点，根据斯托克斯定理，沿以r为半
径的圆周的速度环量等于该圆周内的涡通量，当涡 线的涡度不变时，沿任意圆周的速度环量Γ为常数， 称Γ为涡线的强度（逆时针为正）
同瞬时的旋转角速度矢量 r
同瞬时的流速矢量
r
r v
与此线
与此线相切。 r3
r 2
相切。
v3 r v2
r
r1
v1
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
dsr
r dxi
r dyj
r dzk
该处的旋转角速度
r
r
xi
y
r j
r
z k
涡矢量与涡线相切
x
(
dx x, y,
z,
t)
y
ห้องสมุดไป่ตู้
(
dy x, y,
z,
t)
z
dz (x, y,
旋涡理论(vortex theory) 旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强度）
园盘绕流尾流场中的旋涡
圆球绕流尾流场中的旋涡
圆柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
无限长的直涡丝 点涡的诱导速度
点涡
v
2 R
vr 0 （R为场点至点涡的距离）
这种速度场是无旋的
！！点涡不对自身 产生诱导速度
R
• 举例：
设涡线位于原点，根据斯托克斯定理，沿以r为半
径的圆周的速度环量等于该圆周内的涡通量，当涡 线的涡度不变时，沿任意圆周的速度环量Γ为常数， 称Γ为涡线的强度（逆时针为正）
同瞬时的旋转角速度矢量 r
同瞬时的流速矢量
r
r v
与此线
与此线相切。 r3
r 2
相切。
v3 r v2
r
r1
v1
涡线微分方程：
取涡线上一段微弧长
dsr
r dxi
r dyj
r dzk
该处的旋转角速度
r
r
xi
y
r j
r
z k
涡矢量与涡线相切
x
(
dx x, y,
z,
t)
y
ห้องสมุดไป่ตู้
(
dy x, y,
z,
t)
z
dz (x, y,
旋涡理论(vortex theory) 旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强度）
园盘绕流尾流场中的旋涡
圆球绕流尾流场中的旋涡
圆柱绕流尾流场中的旋涡
有攻角机翼绕流尾流场中的旋涡
一、涡线,涡管,旋涡强度 涡线(vortex line)： 流线(streamline)：
涡线上所有流体质点在 流线上所有流体质点在
涡管vortex tube
流管
涡丝vortex filament
截面积为无限小的涡束 称为涡索（涡丝）。
流体力学--漩涡理论 ppt课件
17
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
2 有限平面
C 2 n d 2 J
（单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
3 任面
PPT课件
C
18
复连通域(多连通域)：
C的内部有空洞或者包 含其他的物体。 双连通域的斯托克斯定理
ABDB ' A' EA AB C BA L
该处的速度
v vx i v y j vz k
流速与流线相切
dx dy dz vx ( x, y, z, t ) vy ( x, y, z, t ) vz ( x, y, z, t )
v
ds
PPT课件
ds
8
涡管vortex tube
流管
元流 截面积为无限小的涡束 截面积为无限小的流束 称为元流 称为涡索（涡丝）。 PPT课件 9
AB Vx dx Vy dy Vz dz dx dy dz x y z AB AB
B
d B A
A
V
Vs
B
对于有旋场:
AB V ds Vx dx Vy dy Vz dz
AB AB
PPT课件
Ｂˊ Ａˊ Ｂ Ａ
σ
C
Ｌ
Ｅ
AB BA
C L 2 n d
C
区域在走向的左侧
PPT课件 19
漩涡理论
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为零，则沿任意封闭周线的速度环量为 零
c 2 n d 2 0d 0
沿某闭周线的速度环量为零，不一定无旋。
vx ( )dxdy x y vy
旋涡理论
(r
a2 r
)
2
vr
r
V0
cos (1
a2 r2
)
v
1 r
V0 sin (1
a2 r2
)
2
r
柱面上(r = a):
v
vr 0
2V0 sin
2 a
v 0
sin 4 aV0
6.1.4 点涡 (vortex)
流场中坐标原点处有一根无穷长的直涡线，方向垂直
于图平面，则该涡线与图平面的交点即为一个点涡。
位于（0，0）点涡：
vr
0，
v
2 r
vr dr
v rd
2
v dr
vr rd
2
ln
r
v
Γ顺时针方向，若逆时针，上式加负号。
第5章 旋涡理论
内容：介绍描述旋涡运动的基本方法和旋涡运动的
基本定理。
包括：（1）旋涡运动的基本概念。
（2）旋涡运动的基本定理。 汤姆逊（Thomson）定理 拉格朗日（Lagrange）定理 亥姆霍兹（Helmholtz）定理 毕奥沙伐（Biot——Savart）定理
4
1、涡线：流场中的一条曲线。 其上所有流体
d
J：表征流场中旋涡的强弱和分布面积大小的物理量。
4 、旋速度环量：
C C vsds C v cosds C v ds
流体力学5-漩涡理论说课材料
(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
(vy x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
av x
0
dx
vy
vy x
dx
b x
d 2zd S 2n d S 2 d J
漩涡理论
2 有限平面
C 2nd2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ内全部是流
ds
A BV d sV xd x V yd y V zd z
A B
A B
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds2nd
————斯托克斯定理
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2 J (斯 托 克 斯 定 理 ）
不 随 时 间 变 化 （ 汤 姆 逊 定 理 ）
J不 随 时 间 变 化
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
V
Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
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1 ds
取涡线上一段微弧长 ds dxi dyj dzk
该处的旋转角速度 xi y j zk
由涡线的定义（涡矢量与涡线相切），得 涡线微分方程式：
dx dy dz
x (x, y, z,t) y (x, y, z,t) z (x, y, z,t)
若已知 x ,y ,z ，积分上式可得涡线。
v2
r1
r2
ds ds dt
v2
v1
dv
因此
d
ds ds
v2
v ds v(
) vdv d 0
c dt
c
dt
c
c2
而积分式
d d dt dt
c
vds
c
dv dt
ds
c
v
d dt
ds
由欧拉方程
dv
F
1
p
dt
第一项积分可写成
任取微分面积dσ ， 法线分量为ω ｎ
则 dＪ＝ω ndσ
为dσ 上的旋涡强度(涡通量)
n
沿σ 面积分得旋涡强度：
d
J nd
若σ 是涡管的截面，则Ｊ称为涡管强度。
Ｊ表征流场中旋涡强弱和分布面积大小的物理量
问题：式（5-3）与前面学过的什么公式类似？
二、速度环量（velocity circulation）
度的两倍,即 Γｃ＝２J
或 c cVsds 2 nd
环量与旋涡强度通过线积分
n
与面积分联系起来了。
d
C
证 明:
流场中取微元矩形abcd
d abcda
vx dx
(vy
vy x
dx)dy
(vx
vx y
dy)dx
vydy
(vy vx )dxdy x y
本章讨论内容：
1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，漩涡强 度速度环量）
2.司托克斯定理 3.汤姆逊定理 4.海姆霍兹定理 5.毕奥－沙伐尔定理 6.旋涡诱导速度的一般提法 7.兰金组合涡
旋涡运动的基本概念
有旋运动： ω x,ω y,ω z在流场中不全为零的流动
一般，整个流场中某些区域为旋涡区，其余 的地方则为无旋区域。
2) 推论: 流场中原来有旋涡和速度环量的，永 远有旋涡并保持环量不变，原来没有旋涡和 速度环量的, 就永远无旋涡和速度环量。
例如，从静止开始的波浪运动，由于流 体静止时是无旋的，因此产生波浪以后，波 浪运动是无旋运动。
又如绕流物体的流动，远前方流动对物体 无扰动，该处流动无旋，接近物体时流动不再 是均匀流，根据汤姆逊定理和斯托克斯定理， 流动仍保持为无旋运动。
C 2nd 2J
推广到有限大平面
证毕
上述斯托克斯定理只适用于“单连通区域”
单连通区域： C 所包围的区域σ 内全部是流
体，没有固体或空洞。
复连通域(多连通域)： C的内部有空洞或者包
含其他的物体。
AB线将σ 切开，则沿周线
σ
ABB，A，EA前进所围的区域
为单连通域。 用斯托克斯定理有:
典型实例：无限长直涡丝
dx段对Ｐ点的诱
导速度是：
dv
4r 2
sin
dx
ＭＮ段对Ｐ点的
诱导速度：
v
2
sin d
4 R 1
4 R
(cos1
cos2 )
方向垂直于纸面向外
直涡丝ＭＮ
1.对于无限长直涡丝： θ１=０ θ２=180°
v
4 R
(cos1
cos2
对于无旋流场:
AB
Vx dx
AB
Vy dy
Vz dz
AB
x
dx
y
dy
z
dz
B
A d B A
对于有旋场:
由公式 AB V ds Vxdx Vydy Vzdz
AB
AB
计算
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
而 ab ba 0
因为ab ba
故得 0
由斯托克斯定理上式写成: nd nd
1
2
或 nd const. 即海姆霍兹第一定理，说明涡管各截
面上的旋涡强度都相同。
若涡管很小， 垂直于 dσ ，则上式可写成
这就是双连通域的斯托克斯定理。
推论一 单连域内的无旋运动，流场中处处 为 零，则沿任意封闭周线的速度环量为零
c 2nd 2 0d 0
反之，若沿任意封闭周线的速度环量等于 零，可得处处为零的结论。
但沿某闭周线的速度环量为零，并不一定无 旋（可能包围强度相同转向相反的旋涡）。
推论二 对于包含一固体在内的双连通域，若流 动无旋，则沿包含固体在内的任意两 个封闭周线的环量彼此相等。
即 C L 2 nd 则 有：Γ ｃ＋Γ Ｌ＝０
Ｂˊ Ａˊ ＢＡ
Ｌ
Ｅ
C
即 Γｃ＝ΓＬ (与积分路径方向一致时)
汤姆逊定理 假设： （1）理想流体； （2）质量力有势； （3）正压流体（流体密度仅为压力的数） 汤姆逊定理: 沿流体质点组成的任一封闭流体
速度环量 ：速度矢在积分路径方向的分量沿该
路径的线积分。
定义 AB ABVs ds
某瞬时在流场中任取曲线AB
V Vs
B
微元弧 ds
Vs : v 在 ds 向的投影
ds
A
速度环量是标量，速度方向与积分AB曲线方
向相同时（成锐角）为正,反之为负。 线积分方向相反的速度环量相差一负号，即
Γ AB＝－Γ BA
c
dv dt
ds
c
(F
1
p)ds
若质量力有势则 F U
若流体正压则 p p P
c
dv dt
ds
c (U
P)ds
c d (U
P)
0
所以 d 0
证毕
dt
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
这样的旋涡以及它的诱导速度场可作为平 面涡处理。由于旋涡诱导的速度场是无旋的， 在讨论整个流场的速度和压力分布时，亦须将 旋涡内部和外部分开。
一、速度分布
（1）旋涡内部：流体象刚体一样绕中心转动
Vr 0, V r
（r < R）
在旋涡中心（0＜r＜R）：速度呈线性分布
海姆霍兹第二、三定理只适用于理想流体。
因为流体的粘性将导致剪切、速度等 参数脉动以及能量耗散，旋涡强度将随时 间衰减。
毕奥一沙伐尔定理
已知旋涡场，能否确定速度场？这是本节 要讨论的问题．
问题的前提： 流场中只存在一部分旋涡，其
它区域全为无旋区。 例如流场中有若干弧立涡丝，必然影响周 围无旋区的速度分布。由涡丝引起的速度称为
)
4 R
[1
(1)]
2 R
2.对于半无限长直涡丝：θ１=90° θ２=180°
v
4 R
(cos1
cos2
)
4 R
[0
(1)]
4 R
在垂直于无限长直涡丝的任何平面内, 流动
都是相同的，可视为二维流动, 相当于一个平面
点涡。如环量为Γ，则在平面极坐标内的诱导速
ωdσ＝ const.
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
由斯托克斯定理知绕涡管的速度环量等于涡 管的旋涡强度，又汤姆逊定理知该速度环量不随 时间变，因而涡管的旋涡强度不随时间而变。
海姆霍兹第一定理既适用于理想流体又适用于 粘性流体。
y
d
vx
vx y
dy
c
而
( v y x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
dx
vy
vy x
dx
a vx
0
b x
d 2zdS 2ndS 2dJ
将C域分为若干微矩形, 对各微分面积求d
两邻矩形公共边积分 反向,速度环量其和为零。
内部线段环量相互抵消， 只剩外部边界的环量。
度为:
v 2 R
vr 0
R为场点至点涡的距离 已证明这种速度场是无旋的。
如图强度相等的两点涡的初始位置，试 就(a)和(b)两种情况决定此两点涡的运动。
兰金（Rankin）组合涡
设流场中有一半径为Ｒ的无限长圆柱形 流体象刚体一样绕其轴线转动，角速度为ω。
已证明，圆柱内的流体运动有旋，且旋涡角 速度就是ω 。
旋涡诱导速度场。
涡丝诱导的速度场的计算: 为了求涡丝诱导速度场，现将电磁场中
的毕奥——沙伐尔定理引用过来。
诱导速度场与电磁场的类比
磁场
带电导线 电流强度ｉ 诱导磁场强度 dH
诱导速度场
涡丝(线) 旋涡强度 诱导速度场 dV
电磁场与诱导速度场的类比
ds sin
dH i r 2Fra bibliotek场点电磁学中，电流强度为ｉ的导线，微元导