2015-2016学年2.2.1《综合法与分析法》课件

【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件 直至最后，把要证明的结论归结为判定一 个明显成立的条件. 要证： 要证：

格 式
只要证： 只需证：
显然成立
上述各步均可逆

所以 结论成立
所以 结论成立
a+b 分析基本不等式： 2
ab (a>0,b>0)的证
明.
如何测的恒星之间的距离
通过观看视频，大家一起讨论一下我们应该 如何测的恒星之间的距离呢？
复习
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
归纳(特殊Βιβλιοθήκη 一般）类比 （特殊到特殊）
合情推理是 发现的方法， 演绎推理是数学中严格 证明的工具 怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的 . 今天 ,我们就来认识一些基本的证明方法……
选做题：
1. 用分析法证明：若 a 0 ，则 a 2 2. 已 知 函 数
1 1 2 a 2. 2 a a
y x 1 ，
y x2 2 x 2 t
，
1 1 t y (x ) ( x 0) 的最小值恰好是方程 2 x
x3 ax2 bx c 0 的 三 个 根 ， 其 中 0 t 1 ． 求 证 ： a 2 2b 3 ；
(a+b)(a2 ab b2 ) ab(a b)
即 a3 b3 a2b ab2 ， 所以命题得证.
例 2 ：在△ＡＢＣ中，三个内角Ａ、Ｂ、Ｃ对应的 边分别为a、b、c，且Ａ、Ｂ、Ｃ成等差数列，a、 b、c成等比数列，求证△ＡＢＣ为等边三角形．
证明： A、B、C成等差数列 2B A C
合情推理得到的结论是不可靠的， 需要证明.数学中证明的方法有哪些 呢？
综合法 直接证明 证明的方法 分析法 间接证明（反证法）
引例一:证明不等式: x2 2 2 x( x R) 证法1:由 x2 2 2 x ( x 1)2 1 1 0 x2 2 2 x 2 ( x 1) 0 ( x 1)2 1 1 0 证法2:由
2.思想与方法: 顺推与逆推的思想.
必做题：
1. 要 证 明 不 等 式 6 7 2 2 5 成 立 ， 只 需 证 2 2 明： ( 6 7) (2 2 5) .
2 2.已知 a 2 2 a 2
2
2 a 2 2 2 2 与 2 2 的大小关系是 . a 2
特点：
P 2 1 P
执果索因（逆推）
P P 3 2
…
得到一个明显 成立的条件
综合法与分析法的比较
1. 综合法:
要点:顺推证法;由因导果．
2. 分析法:
要点:逆推证法;执果索因．
3.综合法与分析法的区别及优缺点 (1) 区别: 综合法是从已知条件出发 ,逐步推向未知 , 每步 寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已 知,每步寻找的是充分条件. (2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法, 两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地 解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻 找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.
所以
a b b a 2 a 2 b b a
a b a b b a
成立
设a, b是两个正实数，且a b，求证：a3 b3 a2b ab2
证明：方法一（分析法） 方法二（综合法）
证明:要证 a 3 +b3 a 2b ab 2
只需证 (a+b)(a ab b ) ab(a b)
x2 2 x 2 0
x 2 2x
2
证法2是从已经成立的事实出发,经过正确推理,得到要证的结论.
------ 综合法
引例二:求证 3 7 2 5
分析:从待证不等式不易发现证明的出发点,因此我们直接 从待证不等式出发,分析其成立的充分条件.
证明:要证明 3 7 2 5 , 在本例中,由于我们很难想到从 只需证 ( 3 7)2 (2 5)2 , “ 21<25”入手,所以用综合法 即证 10 2 21 20 , 以上采用的证明方法就是分 即证 2 21 10 , 析法. 即证 21 5 , 即证 21 25 , 因为 21 25 显然成立,所以原不等式成立.
必做题：
4.证明：b2 c2 2bc, a 0 , ① a(b2 c2 ) 2abc , 同理 b(c2 a2 ) 2abc , ② 2 2 ③ c(a b ) 2abc , 因 为 a, b, c 不 全 相 等 ， 所 以 b2 c2 2bc , c2 a 2 2ac , a 2 b2 2ab 三式不能全取等号，从而①、 ②、③三式也不能全取等号, ∴ a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc
a a a a
只需证 a 2 12 2 (a 1 ) ，只需证 a2 12 1 (a2 12 2) ，
a 2 a
a
2
a
即证 a2 12 2 ，它显然成立．
a
∴原不等式成立．
2.证明:三个函数的最小值依次为 1 ， 1 t ， 由 f (1) 0 ，得 c a b 1 ∴
求证：对任意锐角 ， cos4 sin 4 cos2
证明: 左边cos4 sin 4 (cos2 sin 2 )(cos2 sin 2 )
cos sin cos2 右边
2 2
等式成立
1.知识与技能:
(1)综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经 过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. (2)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条 件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条 件（已知条件、定理、定义、公理等）. (3)综合法与分析法的区别：综合法是从已知条件出发，逐步推 向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发， 逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.
第二章 推理与证明
2.2.1 综合法与分析法
内容：
1、了解综合法的思考过程、特点,会用综合法证 明题目. 2、了解分析法的分析思路,会用分析法证明题目. 3、能用分析法分析证题思路,用综合法书写证明 过程.
应用: 1、证明不等式 2、证明等式
本课主要学习综合法与分析法。通过两个引例出发,引入综合 法与分析法,通过对比掌握它们证题的特点,并总结出它们之间的 区别与联系,为在实际问题中分析问题寻找解题方法做好铺垫.重 点:会用综合法和分析法证明问题;了解综合法与分析法的思考过 程.难点:根据问题的特点,结合综合法与分析法的思考过程、特点 ,选择适当的证明方法. 本课选用了两个例题。例题设置难易适度,每个例题后有针对 性的练习,便于学生巩固和掌握,且第一个例题与变式训练分别用 分析法和综合法来证明,让学生真正体会两种方法的优点与作用， 另外,第二个例题可以用综合法，也可以用分析法,从而锻炼学生 灵活应用方法解决问题的能力.采用一讲一练针对性讲解的方式， 重点理解综合法与分析法的应用。
证明比较困难.
综合法概念
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的 推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫 做综合法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示 所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
P Q1
特点：由因索果
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
2
3. 已知 a , b 是不相等的正数， x
a b 2
， y a b ，则
x y ． x， y 的大小关系是_________
4. 已 知 a, b, c 是 不 全 相 等 的 正 数 ， 求 证 ：
a(b 2 c 2 ) b(c 2 a 2 ) c(a 2 b 2 ) 6abc .
2 2
证明: a b (a b)2 0
2 2 a 2 ab b 0 即
2 2 a ab b ab 即
2 2 a ab b ab 只需证
2 2 只需证 a 2ab b 0
由条件可知 a b 0
即只需证 (a b)2 0 而由已知条件可知 a b (a b)2 0 显然成立，所以命题得证.
因为 ( a b )2 0 成立
a+b 所以 2
ab成立
a b 例1、已知a 0, b 0, 求证： a b b a a b 综合法： a b 证明:要证 b a 证明: 只需证a a b b b a a b 因为; a 0, b 0
只需证a
Qn Q
综合法是由一个个推理组成的.
分析法概念
从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每 一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证明的 结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证 明的方法叫做分析法．
这个明显成立的条件可以是： 已知条件、定理、定义、公理等
则分析法用框图表示为:
Q P 1
A B C
3 a、b、c成等比数列 b2 ac
由余弦定理得 b2 a 2 c 2 2ac cos B a 2 c 2 ac
B

a 2 c 2 ac ac 即(a c)2 0 ABC是等边三角形 a c
解决数学问题时，往往要先作语言的转换，如把文字语言 转换成符号语言，或把符号语言转换成图形语言。还要通 过细致的分析，把其中的隐含条件明确表示出来．