西南交大《高等数学IB》离线作业 完整答案培训课件
西南交通大学 高数下期末复习参考资料
2018-2019第2学期高等数学下册复习参考资料目录第一章、向量代数与空间解析几何 (1)第一节向量及其运算 (1)第二节空间的平面和直线 (2)第三节空间曲面与空间曲线 (4)习题 (5)第二章、多元函数微分法及其应用 (5)第一节偏导数 (5)第二节全微分 (6)第三节方向导数和梯度 (8)第四节多元函数的极值以求法 (9)习题 (10)第三章、重积分 (10)第一节二重积分的概念和性质（几何意义） (10)第二节二重积分的计算法 (12)第三节三重积分的概念 (13)第四节三重积分的计算 (13)第五节重积分的应用 (15)习题 (16)第四章、曲线积分与曲面积分 (16)第一节对弧长的曲线积分 (16)第二节对坐标的曲线积分 (18)第三节格林公式 (18)第四节对面积的曲面积分 (20)第五节对坐标的曲面积分 (20)习题 (22)第五章、无穷级数 (22)第一节常数项级数的概念和性质 (22)第二节常数项级数的审敛法 (23)第三节幂级数 (24)第四节傅里叶级数 (25)习题 (26)期末模拟卷 (26)参考答案 (28)第一章、向量代数与空间解析几何第一节向量及其运算1.向量的数量积（点积）向量a⃗=(a1,a2,a3)与向量b⃗⃗=(b1,b2,b3)的数量积是一个数，其值为|a⃗||b⃗⃗|cosθ，其中θ为向量a⃗与向量b⃗⃗的夹角，记作a⃗⋅b⃗⃗，若其中有一个为零向量时，则定义其值为0，数量积的坐标表达式为a⃗⋅b⃗⃗=a1b1+a2b2+a3b3，两个向量相互垂直则称它们正交，记作a⃗⊥b⃗⃗，特别的，规定零向量与任意向量垂直。
数量积有以下基本性质：（1）a⃗⋅b⃗⃗=b⃗⃗⋅a⃗（2）(λa⃗)⋅b⃗⃗=λ(a⃗⋅b⃗⃗)（3）(a⃗+b⃗⃗)⋅c⃗=a⃗⋅c⃗+b⃗⃗⋅c⃗（4）a⃗⊥b⃗⃗的充要条件为a⃗⋅b⃗⃗=02.向量的向量积（叉积）向量积，顾名思义，就是两个向量a⃗和b⃗⃗的经过特殊的法则所合成的向量，通常该向量垂直于向量a⃗与向量b⃗⃗所在的平面，记此向量为c⃗，c⃗=a⃗×b⃗⃗，通常，向量a⃗与向量b⃗⃗交换位置后要再添加一个负号才能使其值还是c⃗，c⃗的模等于|a⃗||b⃗⃗|sinθ，θ为两个向量的夹角，应注意这里的θ范围。
西南交通大学大一公共课高等数学考试卷 (2)
西南交通大学高等数学考试一、选择题（每题4分，共16分）1．函数222222 0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0, 0)点 .(A) 连续，且偏导函数都存在(B) 不连续，但偏导函数都存在；(C) 不连续，且偏导函数都不存在； (D) 连续，且偏导函数都不存在。
2．设f 为可微函数，(,)z f x y z xyz =++，则z x ∂=∂ 。
(A )12121f yz f f x y f ''+''+- (B )12121f x y f f yz f ''--''+ (C )12121f yz f f x y f ''+''-- (D )1212f xzf f yzf ''+''+。
3．设),(y x f 在()22:24D x y +-≤上连续，则二重积分⎰⎰D y x f σd ),(表示成极坐标系下的二次积分的形式为 。
(A )． 220 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(B )． 2d (cos ,sin )d f r r r rπθθθ⎰⎰；(C )． 4cos 00d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰；(D )． 4sin 0d (cos ,sin )d f r r r rπθθθθ⎰⎰4．幂级数0(1)nn n a x ∞=+∑在3x =处条件收敛，则幂级数0nnn a x∞=∑的收敛半径为 。
(A )．3； (B )．4；(C )．1； (D )．5。
二、填空题（每题4分，共20分）1．设函数y z x =，则函数yz x =的全微分 。
2．函数222u x y z =++在点)1,1,1(0P 处沿0OP 方向的方向导数为 ，其中O 为坐标原点。
西南交通大学高等数学考试试卷
一、填空题： 1．设函数(,)z z x y =是由ln x zz y=所确定，则()0,1,1dz =dx dy + ． 2．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛区间为()3,3-，则幂级数()01nn n a x ∞=-∑的收敛区间为 ()2,4- ．3．设函数,0()0,0x x f x x ππ--<≤⎧=⎨<≤⎩的付氏级数的和函数为()S x ，则(5)S π=2π．4．设),(xyx f z =，其中f 具有连续的二阶偏导数，则y x z∂∂∂2= 223221211f xy f x f x ''-'-'' ． 5．设幂级数()01nn n a x ∞=-∑在0x =处收敛，而在2x =处发散，则幂级数0n n n a x ∞=∑的收敛域为 [1,1)-．6．函数23)(2-+=x x x f 关于x 的幂级数展开式为 110(1)1,(1,1)2n n n n x x +∞+=⎡⎤--∈-⎢⎥⎣⎦∑ ． 7．设函数y z x =，则(2,1)dz = 2ln 2dx dy +8．曲线23,,x t y t z t ==-=的切线中，与平面236x y z -+=垂直的切线方程是111123x y z -+-==-． 9．设),(y x z z=是由方程sin()ln z e z xy a -= 0a >为常数所确定的二元函数，则 =dz cos()cos()sin()sin()z zyz xy xz xy dx dy e xy e xy +--． 10.旋转抛物面22zx y =+的切平面： 44810x y z -++=，平行与已知平面21x y z -+=.11．微分方程20y y y '''+-=的通解为 1212x x YC eC e -=+，2x y y y e '''+-=的通解为 121212x x x yC eC e e -=++．12.曲线：Γt tu e z t t y udu e x 301,cos sin 2,cos +=+==⎰在点()2,1,0处的切线方程为 3．函数41)(-=x x f 的麦克劳林级数的第5项为544x -，收敛域为)4,4(-.14.．已知函数(,)23a b f x y x y x y =+--（其中,a b 是大于1的实数）,有一个极值点(1,1)， 则3,2==b a ， 此时函数(,)f x y 的极大值为 3.15.试写出求解下列条件极值问题的拉格朗日函数：分解已知正数a 为三个正数z y x ,,之和，使z y x ,,的倒数之和最小()()a z y x zy x z y x L -+++++=λ111,, 16函数()x x x f -=1ln )(的麦克劳林级数的收敛域为[)1,1-∈x ，=)0()5(f-30二、单项选择题：请将正确结果的字母写在括号内。
西南交通大学期末真题及答案10-11高等数学II试题A卷答案
2010-2011高等数学Ⅱ(A 卷)参考答案一、选择题 (每题4分)1．D 2．C 3．B 4．D 二、填空题 (每题4分)5．μλ2=6．3412112242 x f xf x yf yf ''''''++-或3422121122122142x f xf x yf yf x yf x yf ''''''''''++-+- 7．π2 8．4811717- 9．⎪⎩⎪⎨⎧-=<<<<--=ππππ,0,,00,10,1)(x x x x s三、解答题 （每题8分）10．解：所求平面的法向量就是已知直线的方向向量， 于是)2,5,3()4,2,1(21-⨯-=⨯=n n n则)11,14,16(-=n， 在由平面的点法式方程，有0)3(11)0(14)2(16=++-+--z y x即065111416=---z y x ．11．解：0)(1sin)(lim )0,0()0(lim)0,0(2200=∆∆∆=∆-∆+='→∆→∆xx x xf x f f x x x ，同理0)0,0(='y f 。
记22)()(y x ∆+∆=ρ，而01sinlim)0,0()0,0(lim220==∆'-∆'-∆→→ρρρρρρyf x f z y x ，由可微的定义知),(y x f 在点)0,0(的可微。
12．解：由对称性⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=++zdv dv z y x 2)2(⎰⎰⎰=zD dxdy zdz 12⎰=122dz z π3102233z ππ=⨯=． 13．解：原式⎰--+=Ldy y x dx y x a )()(12dxdy a D⎰⎰-=)2(12 （格林公式） ππ2)2(122-=⨯-⨯=a a．14．解：（１）设2x t =，而n n nt n 121)1(1+-∑∞=的收敛域为]1,1(-， 于是121121)1(+∞=+-∑n n nx n 的收敛域为[1,1]-． （２）设)(121)1(121x s x n n n n=+-+∞=∑，则(0)0s =， 又 2212211)()1()(x x x xx s nn nn n+-=-=-='∑∑∞=∞=， 于是，x x dx x x s x s xarctan 1)0()(022+-=+-=-⎰， 即，()arctan s x x x =-+．（３）显然，2111(1)216n nn s n π+∞=-==++∑． 15．解：函数为 tsy x y x f =),(，0,>t s ，约束条件为 M y x =+，0>M ． 令 )(),,(M y x y x y x F ts-++=λλ， 则有，⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=--00011M y x F y tx F y sx F t s y t s x λλλ，解得驻点),(ts Mtt s Ms ++． 由于当),(y x 趋于边界0=x 或0=y 时，0),(→y x f ， 故当t s Ms x +=，ts Mt y +=时，ts y x 取最大值． 16．（６分）解：对x x x x x f ++=3422),(求导，得164),(2),(232221++='+'x x x x f x x x f ，而221(,)221f x x x x '=-+， 则x x x x x f x 244),(22322++='， 故122),(222++='x x x x f ．17．（５分）解：设a dxdy e y x zf dzdx e z y dydz ez x z z z=-++++⎰⎰∑]2),([)()(，则a xy y x f +=2),(．设0,1:22=≤+z y x D ，1∑是D 的下侧，Ω是1,∑∑所围区域，应用高斯公式与垂直性，有：dxdy e y x zf dzdx e z y dydz e z x a z z z ]2),([)()(1-++++=⎰⎰∑+∑dxdy e y x zf dzdx e z y dydz e z x z z z ]2),([)()(1-++++-⎰⎰∑⎰⎰⎰⎰⎰-++=ΩDd dv y x f z σ)2()),(2(，π2)22(-++=⎰⎰⎰Ωdv a xy z ，π2)2(-+=⎰⎰⎰Ωdv a zπ2)2(1-+=⎰⎰⎰zD dxdy dz a zππ2)1()2(21--+=⎰dz z a zππ2)1()2(21--+=⎰dz z a zππ2)3221(-+=a即，)321(23ππ--=a ， 则+=xy y x f 2),()321(23ππ--． 18．（５分）解：将D 分割成1D 和2D ，其中1D 关于y 轴对称，2D 关于x 轴对称，利用对称性，有=++⎰⎰xdxdy y x yf D](1[22+⎰⎰dxdy x D 1dxdy x D ⎰⎰2dxdy y x xyf D)(22++⎰⎰ dxdy y x xyf D )(222++⎰⎰002031+++=⎰⎰--x dy xdx522014-=-=⎰-dx x ．。
2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案
2009~2010学年第二学期《高等数学BII》半期试题参考答案西南交通大学2009－2010学年第(二)学期半期考试题一、单项选择题（共5个小题，每小题4分，共20分）．1．累次积分cos 2(cos ,sin )d f r r rdr πθθθθ??可表示成【 D】（A ）100(,)dy f x y dx ?（B ）10(,)dy f x y dx（C ）10(,)dx f x y dy ?（D ）10(,)dx f xy dy ?解：根据该二重积分可知，积分区域为半圆域：01,0x y ≤≤≤≤，所以应选D 。
2. 两直线1112y z x λ+--==与11x y z +=-=相交，则必有【 D 】（A ）1λ= （B ）32λ=（C ）54λ=- （D ）54λ=解：直线11x y z +=-=的参数方程为：11x t y t z t =-??=+??=?，将此参数方程代入直线1112y z x λ+--==，得2122t t t λ+--==，解得654t λ=??=??，故应选（D ）。
3．极限332200lim x y x y x xy y →→+-+=【 A 】(A) 0 (B) 1 (C)12(D)不存在极限解；因为33222222000000()()lim lim lim()0x x x y y y x y x y x xy y x y x xy y x xy y →→→→→→++-+==+=-+-+，故应选（A ）。
4．曲面2xyz =的切平面与三个坐标面所围四面体的体积V =【 C 】 (A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 12解：设曲面2xyz =在第一卦限的任意一个切点为(,,)x y z ，则切平面方程为：班级学号姓名密封装订线密封装订线密封装订线()()()0yz X x xz Y y xy Z z -+-+-=，其中2xyz =，即36yzX xzY xyZ xyz ++==，则该切平面与三个坐标轴的交点分别为：6(,0,0)yz，6(0,,0)xz ，6(0,0,)xy ，则该切平面与三个坐标面所围四面体的体积221666363696()2V yz xz xy xyz ====，故应选（C ）。
高等数学1B第一次作业答案 - 西南交通大学网络教育学院
lim n→∞n 2 n 2 +π = lim n→∞n 2 n 2 +nπ =1 ,
所以
lim n→∞( n n 2 +π + n n 2 +2π +⋯+ n n 2 +nπ )=1 .
(2)因为
n n 2 +n≤1 n 2 +1 + 1 n 2 +2 +⋯+ 1 n 2 +n≤n n 2 +1 ,
(4)
lim x→0 xcot x= lim x→0 x sin x cos x=1 .
(5)
lim x→0 1−cos 2x xsin x = lim x→0 1−cos 2x x 2 x sin x = lim x→0 [ sin 2x x 2 ] 2 1 1+cos 2x =2 .
(6)
lim x→+∞x( x 2 +1 −x)= lim x→+∞x x 2 +1 +x = lim x→+∞1 1+ 1 x 2 +1 = 1 2
参考答案：
解:由罗尔定理知
f′(x)=0有三个不同的实根,分布在(1,2), (2,3), (3,4).
21.设a>b>0 , n>1 ,证明: n b n−1 (a−b)< a n − b n <n a n−1 (a−b) . [本题2分]
参考答案：
证明:设
f(x)= x n ,
在
[b,a]区间上使用中值定理得:
[本题2分]
参考答案：
解:(1)
y′=8 (2x+5) 3 ,
(2)
高等数学(下)B卷参考答案
由zx zyຫໍສະໝຸດ 3 3x2 33y20 0
，得驻点 (1, 1), (1,
1), 1, 1,1,
1
2分 2分
D zxx zxy 6x 0
z yx z yy
0 6y
D1,1 36 0 , D1,1 36 0 D1,1 36 0 D1,1 36 0
zxx (1,1) 6 0 , zxx (1,1) 6 0
令
2x2 1 得
x 1
2
2分 2分
2分
收敛半径为
R 1 2
六、解答下列各题(本大题分 2 小题, 每小题 8 分, 共 16 分)
1. 方程分离变量得 ydy xdx
两边积分得
1 y2 1 x2 1 C 2 22
代入初始条件y 3 得 C 9 x0
故所求特解为
y2 x2 9
2分
2分 2分 2分 2分
成人教育&网络教育 20XX 年 9 月试题答案
课程名称： 高等数学（下） A 卷□ B 卷 √ 考试时间 100 分钟 评分教师 一、单项选择题（每小题 4 分，共 12 分）
职称
1． C. (或 D、或 C 与 D 都给分) 2． B.
3. D
二、填空题（每小题 4 分，共 8 分）
1． 9 2 105
2、 y y x 对应齐次方程的特征根为 r1 1 , r2 1
2分
齐次方程的通解为
y C1e x C2ex
1分
设原方程的一个特解为
y Ax ，
1分
代入原方程得 A 1， y x
2分
故所求方程的通解为 y C1e x C2ex x
2分
esin xy[( x x 2 y cos xy) sin(x y)]dy
西南交大《高等数学IB》离线作业 完整答案教材
一、单项选择题(只有一个选项正确，共7道小题)1. A(A) x-y+1=0(B) x+y+1=02. B(A) 1(B) 1/23. A(A) 4(B) 24. A(A) 2(B) 15. B(A) 10(B) -106. A(A) -5/2(B) -3/27. B(A) 1(B) 3四、主观题(共2道小题)8.9.计算下列极限:一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. A(A) 4(B) 22. A(A) 1(B) 2(C) 3(D) 43. D(A)(B)(C)(D)4. 函数的单调增加区间是（）C(A)(B)(C) [-1,1](D)5. B(A) 1(B) 2(C) 3(D) 46. B(A)(B)(C)(D)7. C(A)(B)(C)(D)8. D(A)(B)(C)(D)四、主观题(共6道小题)9.证明方程至少有一个根介于1和2之间.解证明: 设f(x)= , 显然是连续的, 又f(1)=1−3−1=−3<0 ,由零点定理知存在c∈(1, 2) , 使得即方程至少有一个根介于1和2之间.10.求下列函数的导数:解:(1) (2)(3)(4)(5)(6)11.求下列函数的导数:解:(1)(2) (3)(4)12.求下列函数的二阶导数:解:(1) (2)(3)13.证明方程只有一个正根.解证明: 设则f(0)=−1<0, f(1)=1>0 , 由零点定理知方程x在0和1之间有一个(正)根. 若方程有两个正根a,b,a>b>0,则由罗尔定理知存在使得但这显然是不可能的, 所以方程只有一个正根.14.用洛必达法则求下列极限:解:(1)(2) (3)(4)一、单项选择题(只有一个选项正确，共5道小题)1. A(A) 2/3(B) 3/2(C) 5(D) 62. <> C(A)(B)(C)(D)3. B(A) 0(B) 1(C) 2(D) 34. 函数的单调递减区间是（）C(A) （-∞，1）(B) [0，+∞](C) (1，+∞)(D) [-1，+∞]5. B(A)(B)(C)(D)四、主观题(共10道小题)6.验证函数满足关系式：。
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西南交大《高等数学I B》离线作业完整
答案
9.计算下列极限:
一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)
1. A
(A) 4
(B) 2
9.证明方程至少有一个根介于1和2之间.
解
证明: 设 f(x)= , 显然是连续的, 又
f(1)=1−3−1=−3<0 ,由零点定理知存在 c∈(1, 2) , 使得
即方程至少有一个根介于1和2之间.
10.求下列函数的导数:
解:(1) (2) (3) (4)(5) (6)
11.求下列函数的导数:
解:(1) (2) (3)
(4)
12.求下列函数的二阶导数:
解:(1) (2) (3)
13.证明方程只有一个正根.
解
证明: 设则f(0)=−1<0, f(1)=1>0 , 由零点定理知方程 x
在0和1之间有一个(正)根. 若方程有两个正根 a,b,a>b>0,则由罗尔定理知存在使得但这显然是不可能的, 所以方程
只有一个正根.
14.用洛必达法则求下列极限:
解:(1)(2) (3)
(4)。
解：
所以
7.确定下列函数的单调区间:
解:(1)
所以单增区间:
单减区间:
(2)
所以单增区间:
单减区间:
(3)
所以单增区间:
单减区间:
8.证明不等式:
证明: 设
则
所以<="" p="">
在
上单增, 从而当
时, 有<="" p="" ,="">
即.
9.求下列函数的极值:
解：（1）由
是极小值点，极小值为：2. （2）由
10.
11.
判定下列曲线的凹凸性:解:(1)由
所以函数
在定义域内是凸的。
（2）由
所以函数
在
上是凹的.
12.
求下列不定积分:解:(1) （2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
13.
计算下列各定积分:解:(1)
（2）
（3）
（4）
14.
利用函数的奇偶性计算下列积分:解:(1) 因为
是奇函数, 所以
（2）
15.
求下列图形的面积:解:(1) 所求面积
（2）所求面积。