立体几何四解套
2022版高考数学一轮复习 高考大题规范解答系列(四)—立体几何学案(含解析)新人教版
学习资料2022版高考数学一轮复习高考大题规范解答系列（四）—立体几何学案（含解析）新人教版班级：科目：高考大题规范解答系列(四）——立体几何考点一线面的位置关系与体积计算例1（2017·全国卷Ⅲ)如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD．（1）证明：AC⊥BD；(2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD．若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．【分析】①看到证明线线垂直(AC⊥BD)，想到证明线面垂直，通过线面垂直证明线线垂直．②看到求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比，想到确定同一平面，转化为求高的比．【标准答案】—-规范答题步步得分（1)取AC的中点O，连接DO,BO．1分错误!因为AD＝CD，所以AC⊥DO．又由于△ABC是正三角形,所以AC⊥BO．又因为DO∩BO＝O，从而AC⊥平面DOB，3分错误!故AC⊥BD．4分错误!（2)连接EO．5分错误!由（1)及题设知∠ADC＝90°，所以DO＝AO．在Rt△AOB中,BO2＋AO2＝AB2,又AB＝BD,所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，故∠DOB＝90°．7分得分点⑤由题设知△AEC为直角三角形，所以EO＝错误!AC．8分错误!又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO ＝错误!BD ．故E 为BD 的中点， 9分错误!从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面ABC 的距离的错误!,四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的错误!，即四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积之比为1∶1．【评分细则】①作出辅助线，并用语言正确表述得1分．②得出AC ⊥DO 和AC ⊥BO 得1分，由线面垂直的判定写出AC ⊥平面DOB ，再得1分．③由线面垂直的性质得出结论得1分．④作出辅助线，并用语言正确表述得1分．⑤由勾股定理逆定理得到∠DOB ＝90°得2分．⑥由直角三角形的性质得出EO ＝12AC 得1分． ⑦由等边三角形的性质得出E 为BD 的中点，得1分．⑧得出四面体ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的错误!得2分．⑨正确求出体积比得1分．【名师点评】1．核心素养:空间几何体的体积及表面积问题是高考考查的重点题型，主要考查考生“逻辑推理”及“直观想象"的核心素养．2．解题技巧：(1）得步骤分：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤,有则给分，无则没分,所以，对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中AC ⊥DO ，AC ⊥BO ；第(2)问中BO 2＋DO 2＝BO 2＋AO 2＝AB 2＝BD 2等．(2)利用第（1）问的结果：如果第（1)问的结果对第（2）问的证明或计算用得上，可以直接用，有些题目不用第（1）问的结果甚至无法解决，如本题就是在第(1)问的基础上得到DO ＝AO ．〔变式训练1〕（2020·课标Ⅰ,19）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，△ABC 是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC ＝90°．(1)证明:平面P AB⊥平面P AC；（2)设DO＝错误!,圆锥的侧面积为错误!π，求三棱锥P－ABC的体积．[解析](1)证明：由题设可知，P A＝PB＝PC．由于△ABC是正三角形，故可得△P AC≌△P AB,△P AC≌△PBC．又∠APC＝90°,故∠APB＝90°，∠BPC＝90°，从而PB⊥P A，PB⊥PC，故PB⊥平面P AC，所以平面P AB⊥平面P AC．（2）设圆锥的底面半径为r，母线长为l．由题设可得rl＝错误!，l2－r2＝2．解得r＝1，l＝错误!．从而AB＝3．由(1）可得P A2＋PB2＝AB2，故P A＝PB＝PC＝错误!．所以三棱锥P－ABC的体积为错误!×错误!×P A×PB×PC＝错误!×错误!×错误!3＝错误!．考点二线面的位置关系与空间角计算（理）例2（2021·山西省联考)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，O，M分别为BC,AA1的中点．（1）证明:OM∥平面CB1A1;(2）若四边形BB1C1C为正方形，求平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值．【分析】①在平面A1B1C内构造与OM平行的直线，并证明；②建立空间直角坐标系，分别求平面MOB1、平面CB1A1的法向量，求两法向量夹角正弦值即可．【标准答案】——规范答题步步得分(1)证明：如图，连接BC1，交CB1于点N，连接A1N，ON，则N为CB1的中点．因为O为BC的中点，所以ON∥BB1，且ON＝错误!BB1，2分错误!又MA1∥BB1，MA1＝错误!BB1，所以四边形ONA1M为平行四边形，即OM∥A1N．4分错误!因为OM⊄平面CB1A1，A1N⊂平面CB1A1，所以OM∥平面CB1A1.5分错误!(2）解:连接OA，令BC＝2，因为AB＝AC，O为BC的中点,所以AO⊥BC．又三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，ON∥BB1，所以OA，OB，ON两两垂直，分别以错误!，错误!,错误!的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz．6分错误!因为AB＝AC＝2，BC＝AA1＝2，所以O错误!，B1错误!，M错误!，C错误!，所以错误!＝错误!＝错误!,错误!＝错误!,错误!＝错误!．7分错误!设平面MOB1的法向量为m＝错误!，则错误!即错误!令z＝1，可得y＝－1，x＝2,所以平面MOB1的一个法向量为m＝错误!．8分错误!设平面CB1A1的法向量为n＝错误!，则错误!即错误!令c＝1，可得b＝－1，a＝1，所以平面CB1A1的一个法向量为n＝错误!，9分错误!所以cos<m,n〉＝错误!＝错误!＝错误!，11分错误!所以平面MOB1与平面CB1A1所成二面角的正弦值为错误!．12分错误!【评分细则】①第一问共5分，证出ON∥BB1和ON＝错误!BB1得2分，证出OM∥A1N得2分，未说明OM⊄平面CB1A1，直接证出OM∥平面CB1A1，扣1分．②第二问共7分，建立空间直角坐标系，并正确写出坐标得2分,写出平面MOB1的法向量与平面CB1A1的法向量各得1分．③其他方法按步骤酌情给分．【名师点评】1．核心素养:本题主要考查线面平行的证明以及空间二面角的求解，考查考生的逻辑推理能力与空间想象力,考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算．2．解题技巧：（1）得步骤分：对于解题过程中得分点的步骤,有则给分,无则没分，所以对于得分点步骤一定要写,如第(1)问中写出OM∥平面CB1A1成立的条件，写不全则不能得全分．(2)思维发散：①注意到O、M分别为BC、AA1的中点，考虑构造三角形中位线证明（1）．连BM并延长与B1A1的延长线相交于H，连CH，由M为AA1的中点,∴AM＝MA1,又AB∥A1B1，∴∠ABM＝∠MHA1，又∠AMB＝∠HMA1，∴△ABM≌△A1HM，∴BM＝MH，又O为BC中点，∴MO∥CH，又MO⊄平面CB1A1，CH⊂平面CB1A1，∴OM∥平面CB1A1．②注意到解答(2）需求平面CB1A1的法向量n，故要证明OM∥平面CB1A1，可直接建立空间直角坐标系，求出n,证明n·错误!＝0，说明OM⊄平面CB1A1即可得证．〔变式训练2〕(2020·浙江，19）如图,在三棱台ABC－DEF中，平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB＝∠ACD ＝45°,DC＝2BC．（1）证明：EF⊥DB；（2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．[解析](1)证明：如图，过点D作DO⊥AC，交直线AC于点O,连接OB．由∠ACD＝45°，DO⊥AC得CD＝错误!CO，由平面ACFD⊥平面ABC得DO⊥平面ABC,所以DO⊥BC．由∠ACB＝45°，BC＝错误!CD＝错误!CO得BO⊥BC．所以BC⊥平面BDO,故BC⊥DB．由三棱台ABC－DEF得BC∥EF，所以EF⊥DB．（2）解法一：过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH．由三棱台ABC－DEF得DF∥CO,所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角,由BC⊥平面BDO得OH⊥BC，故OH⊥平面BCD，所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角．设CD＝2错误!，由DO＝OC＝2，BO＝BC＝错误!，得BD＝错误!,OH＝错误!,所以sin∠OCH＝错误!＝错误!，因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为错误!．解法二:由三棱台ABC－DEF得DF∥CO，所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角，记为θ．如图，以O为原点，分别以射线OC，OD为y,z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz．设CD＝22．由题意知各点坐标如下：O（0,0,0），B(1,1,0）,C(0，2,0)，D（0，0，2)．因此错误!＝（0,2，0），错误!＝（－1,1，0），错误!＝（0,－2,2）．设平面BCD的法向量n＝（x，y，z)．由错误!即错误!可取n＝（1，1,1)．所以sin θ＝｜cos<错误!，n〉｜＝错误!＝错误!．因此，直线DF与平面DBC所成角的正弦值为错误!．考点二线面位置关系与空间距离的计算(文)例2(2021·全国新课改T8联考）如图,在四面体ABCD中，△ABD是等边三角形，且AC＝BC．(1)证明：AB⊥CD．(2)若AB＝2，AC＝错误!,BC⊥CD，求点B到平面ACD的距离．【分析】①利用线面垂直证线线垂直；②利用体积法求点到平面的距离．【标准答案】-—规范答题步步得分(1）证明：取AB的中点E，连接CE，DE,如图,1分因为△ABD是等边三角形,所以DE⊥AB，又AC＝BC，所以CE⊥AB．又DE∩CE＝E，所以AB⊥平面CDE,4分故AB⊥CD．5分(2)因为BD＝AB＝2，BC＝AC＝错误!,BC⊥CD，所以CD＝错误!＝1．又AD＝2，所以AC2＋CD2＝AD2,即AC⊥CD，则S△ACD＝错误!．由题可得CE＝错误!＝错误!，DE＝错误!＝错误!，则CD2＋CE2＝DE2，即CE⊥CD，则S△BCD＝错误!．设点B到平面ACD的距离为d，因为AB⊥平面CDE,V B－ACD＝V B－BCD＋V A－ECD，所以错误!·S△ACD·d＝错误!·S BCD·AB，11分即错误!×错误!d＝错误!×错误!×2，解得d＝错误!，即点B到平面ACD的距离为错误!．【名师点评】核心素养：本题主要考查线、面垂直的判定与性质及利用体积法求点到平面的距离，考查学生的逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力．〔变式训练2〕(2021·黑龙江大庆铁人、鸡西一中、鹤岗一中联考)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝错误!，AB＝AA1＝2,E是棱CC1的中点．（1）求证：A1B⊥AE；(2）求点A1到平面ABE的距离．[解析］(1)取A1B中点F，联结AF,EF，AE，∵ABC－A1B1C1是直三棱柱,∴CC1⊥A1C1，CC1⊥CB,又∵E是CC1的中点,A1C1＝BC，∴A1E＝BE,又∵AB＝AA1，∴A1B⊥EF，A1B⊥AF，∴A1B⊥平面AEF，∴A1B⊥AE；(2)VA1－ABE＝VB－A1AE＝错误!×错误!×2×错误!×错误!＝错误!，设A1到平面ABE的距离为h，则错误!×h×S△ABE＝错误!，由已知得AE＝BE＝错误!，∴S△ABE＝错误!，∴h＝错误!．考点三,立体几何中的折叠问题(理）例3(2021·启东模拟）如图，已知在等腰梯形ABCD中，AE⊥CD，BF⊥CD，AB＝1，AD＝2,∠ADE＝60°，沿AE,BF折成三棱柱AED－BFC．（1)若M，N分别为AE，BC的中点,求证：MN∥平面CDEF;(2）若BD＝错误!,求二面角E－AC－F的余弦值．【分析】 ①利用面面平行的判定和性质即可证明；②建立空间直角坐标系,分别求出二面角两个面的法向量,利用空间向量法求解． 【标准答案】—-规范答题 步步得分 (1)取AD 的中点G ，连接GM ,GN ，在三角形ADE 中，∵M ，G 分别为AE ,AD 的中点, ∴MG ∥DE ,∵DE ⊂平面CDEF ，MG ⊄平面CDEF ， ∴MG ∥平面CDEF ．由于G ，N 分别为AD ，BC 的中点， 由棱柱的性质可得GN ∥DC ， ∵CD ⊂平面CDEF ，GN ⊄平面CDEF ， ∴GN ∥平面CDEF ．又GM ⊂平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，MG ∩NG ＝G , ∴平面GMN ∥平面CDEF ,∵MN ⊂平面GMN ，∴MN ∥平面CDEF ． (2)连接EB ，在Rt △ABE 中,AB ＝1,AE ＝3， ∴BE ＝2，又ED ＝1，DB ＝5， ∴EB 2＋ED 2＝DB 2，∴DE ⊥EB ，又DE ⊥AE 且AE ∩EB ＝E , ∴DE ⊥平面ABFE ．∴EA 、EF 、ED 两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系，可得E （0,0,0),A (3,0，0），F （0，1,0)，C (0，1,1），AC →＝（－错误!,1，1)，错误!＝（－错误!,0，0)，错误!＝（0,0,1)． 设平面AFC 的法向量为m ＝(x ，y ，z ), 则错误!则z ＝0，令x＝1，得y＝错误!，则m＝(1，错误!,0)为平面AFC的一个法向量,设平面ACE的法向量为n＝（x1,y1，z1),则错误!则x1＝0，令y1＝1,得z1＝－1,∴n＝（0，1，－1）为平面ACE的一个法向量．设m，n所成的角为θ，则cos θ＝错误!＝错误!＝错误!，由图可知二面角E－AC－F的余弦值是错误!．【评分细则】①由线线平行得到线面平行，给2分．②同理再推出一个线面平行,给1分．③由线面平行推出面面平行,给1分．④由面面平行得到线面平行，给1分．⑤由线线垂直证出线面垂直，为建系作好准备，给2分．⑥建立适当坐标系，写出相应点的坐标及向量坐标,给1分．⑦正确求出平面的法向量，给2分．⑧利用公式求出两个向量夹角的余弦值，并正确写出二面角的余弦值，给2分．【名师点评】1．核心素养：本题考查线面平行的判定与性质定理,考查二面角的求解，考查的数学核心素养是空间想象力、推理论证能力及数学运算能力．2．解题技巧:(1）得分步骤:第（1）问中的DE⊂平面CDEF，MG⊄平面CDEF，要写全．(2）得分关键：第（2)中，证明线面垂直从而得到线线垂直，才能建系．（3）折叠问题的求解，关键是分清折叠前后图形的位置和数量关系的变与不变．一般地,折叠前位于“折痕”同侧的点、线间的位置和数量关系折叠后不变,而折叠前位于“折痕”两侧的点、线间的位置关系折叠后会发生变化,对于不变的关系可在平面图形中处理,而对于变化的关系则要在立体图形中解决．〔变式训练3〕(2021·河北质检）如图1：在△ABC中,AB⊥BC，AB＝2BC＝4,点E，F分别是线段AB和AC的中点．如图2：以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置．(1）证明:平面FPC ⊥平面BPC ；（2）若△PEB 为等边三角形，求二面角C －PF －E 的余弦值． [解析] (1)证明：如图,设M ,N 分别为线段PB ，PC 的中点，连接EM ，MN ，FN ,故MN 綊错误!BC ． 由E ，F 分别是线段AB 和AC 的中点，得 PE ＝BE ,PF ＝CF ，EF 綊12BC ,故EF 綊MN ，所以EM 綊FN ． 又M ，N 分别为线段PB ,PC 的中点， 所以EM ⊥PB ，FN ⊥PC ．又EM 綊FN ，所以FN ⊥PB ,所以FN ⊥平面PBC ． 又FN ⊂平面FPC ，所以平面FPC ⊥平面BPC ．(2）解：因为BC ⊥AB ，所以翻折后有BC ⊥BE ，BC ⊥EP ， 所以BC ⊥平面PBE ， 故平面PBE ⊥平面BCFE ．若△PEB 为等边三角形，则PB ＝2． 设O 为BE 的中点,连接PO ,故PO ⊥BE ， 故PO ⊥平面BCFE ．以O为坐标原点,OB的方向为x轴正方向，OP的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz．则C(1，2,0)，F(－1,1,0），E(－1，0，0)，P(0，0，错误!)．设n＝(x1,y1，z1）为平面PEF的法向量,则错误!即错误!可取n＝(－3,0,1）．设m＝(x2，y2，z2)为平面PCF的法向量,则错误!即错误!可取m＝(1，－2,－错误!）．所以cos〈n，m〉＝错误!＝错误!＝－错误!，由题意,可知二面角C－PF－E为钝角．所以二面角C－PF－E的余弦值为－错误!．考点三，立体几何中的折叠问题（文）例3（2018·课标全国Ⅰ卷)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°．以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．(1）证明：平面ACD⊥平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝错误!DA,求三棱锥Q－ABP 的体积．【分析】①线线垂直推出线面垂直,进而得到面面垂直；②利用锥体的体积公式求解．【标准答案】——规范答题步步得分(1)由已知可得，∠BAC＝90°，BA⊥AC．又BA⊥AD,所以AB⊥平面ACD．又AB⊂平面ABC,所以平面ACD⊥平面ABC．(2)由已知可得，DC＝CM＝AB＝3,DA＝3错误!．又BP＝DQ＝错误!DA，所以BP＝2错误!．作QE⊥AC，垂足为E，则QE綊错误!DC．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1．因此，三棱锥Q－APB的体积为V Q－ABP＝错误!×QE×S△ABP＝错误!×1×错误!×3×2错误!sin45°＝1．12分错误!【评分细则】①由线线垂直推出线面垂直，给3分．②由线面垂直得面面垂直，给2分．③根据已知，求出BP的长，给2分．④证明QE为三棱锥Q－APB的高，并求出它的值，给3分．⑤利用体积公式正确求解，给2分．【名师点评】1．核心素养：本题考查面面垂直的证明及三棱锥的体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力．2．解题技巧：(1)解决翻折问题的关键①一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化;②翻折后不在同一个平面上的性质可能会发生变化,翻折过程中长度、角度和平行、垂直关系是否发生改变是解决问题的关键．（2)计算几何体的体积时，关键是确定几何体的高,若是不方便求,要注意进行体积的转化．〔变式训练3〕(2021·河北省衡水中学调研)等边三角形ABC的边长为6,O为三角形的重心，EF过点O 且与BC平行，将△AEF沿直线EF折起,使得平面AEF⊥平面BCFE．(1）求证：BE⊥平面AOC；（2)求点O到平面ABC的距离．[解析]（1)因为O为三角形ABC的重心,所以AO⊥BC,因为EF∥BC,所以AO⊥EF，因为平面AEF⊥平面BCFE，平面AEF∩平面BCFE＝EF，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面BCFE，因为BE⊂平面BCFE，所以AO⊥BE，因为O为三角形ABC的重心，所以CO⊥BE，因为AO、CO⊂平面AOC，AO∩CO＝O，所以BE⊥平面AOC．（2）∵等边三角形ABC的边长为6，O为三角形ABC的重心，∴AO＝BO＝CO＝2错误!，S△OBC＝错误!×6×错误!＝3错误!，由(1)可知AO⊥OC，∴AC＝26，同理AB＝2错误!，∴S△ABC＝错误!×6×错误!＝3错误!，V O－ABC＝V A－OBC，即错误!×3错误!×h＝错误!×3错误!×2错误!，解得h＝错误!．即点O到平面ABC的距离为错误!．考点四，立体几何中的探索性问题（理)例4 （2021·陕西省西安中学模拟）如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD 为菱形，且P A⊥平面ABCD，∠ABC＝60°，E是BC中点,F是PC上的点．（1)求证：平面AEF⊥平面P AD；（2）若M是PD的中点，当AB＝AP时，是否存在点F，使直线EM与平面AEF的所成角的正弦值为错误!？若存在，请求出错误!的值；若不存在，请说明理由．【分析】①利用面面垂直的判定定理,证AE⊥平面P AD或证AD⊥平面AEF即可；②建立空间直角坐标系，假设符合条件的点F存在，且错误!＝λ错误!，利用向量法求解λ回答．【标准答案】--规范答题步步得分（1)连接AC,因为底面ABCD为菱形，∠ABC＝60°，所以△ABC是正三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC，又AD∥BC，∴AE⊥AD,∵P A⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,∴P A⊥AE，又P A∩AD＝A,∴AE⊥平面P AD，又AE⊂平面AEF，所以平面AEF⊥平面P AD．（2）又P A⊥AD,∴P A、AE、AD两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，不妨设AB＝AP＝2，则AE＝3，则A(0,0,0），C（3,1，0)，D(0,2,0），P(0，0,2），E(3,0,0）,M（0，1,1），7分错误!设错误!＝λ错误!＝λ错误!，0≤λ≤1，则错误!＝错误!＋错误!＝(0，0，2)＋λ(错误!，1，－2)＝（错误!λ，λ，2－2λ），又错误!＝错误!，设n＝错误!是平面AEF的一个法向量，则错误!，取z＝λ，得n＝(0,2λ－2，λ），设直线EM与平面AEF所成角为θ,由错误!＝错误!，得：sin θ＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!．化简得:10λ2－13λ＋4＝0， 解得λ＝错误!或λ＝错误!,故存在点F 满足题意，此时错误!为错误!或错误!． 【评分细则】①证出△ABC 是正三角形得1分． ②证出AE ⊥AD 得1分．③由线面垂直性质证出P A ⊥AE 得1分，不写AE ⊂平面ABCD 不得分． ④由线面垂直的判定证出AE ⊥平面P AD 得1分． ⑤证出平面AEF ⊥平面P AD 得1分，条件不全不得分． ⑥建出空间直角坐标系得1分． ⑦设出错误!＝λ错误!得1分．⑧求出平面AEF 的法向量得3分，算错但写出错误!,错误!坐标得1分． ⑨求出λ得2分，算错但写出sin θ＝|cos 〈EM ，→，n 〉｜＝错误!得1分． ⑩得出正确结论得1分． 【名师点评】1．核心素养:本题考查线面的位置关系及线面角，考查学生转化与化归的思想,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算．2．解题技巧：（1）写全得分步骤：对于解题过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写,如第（1）问中AE ⊂平面ABCD ．（2）写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分,无则没分，所以在解答时一定要写清得分关键点，如第(2)问中空间直角坐标系的建立；再如错误!＝错误!＋错误!等．（3）思维发散：也可通过证AD ⊥P A 、AD ⊥AE 证得AD ⊥平面AEF ，进而证得平面AEF ⊥平面P AD ．〔变式训练4〕（2021·陕西省质检）如图所示,等腰梯形ABCD 的底角∠BAD ＝∠ADC ＝60°,直角梯形ADEF 所在的平面垂直于平面ABCD ,且∠EDA ＝90°,ED ＝AD ＝2AF ＝2AB ＝2．(1)证明：平面ABE⊥平面EBD；（2)点M在线段EF上，试确定点M的位置,使平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!．[解析](1)证明:∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF＝AD，ED⊥AD，∴ED⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴ED⊥AB，∵AB＝1，AD＝2,∠BAD＝60°，∴BD＝错误!＝错误!，∴AB2＋BD2＝AD2,∴AB⊥BD,又∴BD⊂平面BDE,BD∩ED＝D,AB⊥平面BDE,AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面EBD．(2）以B为坐标原点，以BA，BD为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz,则A(1,0,0),B(0,0,0)，C错误!，D(0，错误!，0），E(0,错误!，2),F（1，0,1）,则错误!＝错误!，错误!＝(0，0,2），错误!＝(1,0，0)，错误!＝（1,－错误!，－1）,设错误!＝λ错误!＝（λ,－错误!λ,－λ)，（0≤λ≤1)，则错误!＝错误!＋错误!＝（λ,错误!－错误!λ,2－λ），设平面CDE的法向量为m＝(x1，y1,z1)，平面ABM的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则错误!即错误!不妨取y1＝1，则m＝（－3，1，0)，错误!不妨取y2＝2－λ，则n＝（0,2－λ，错误!λ－错误!)，∴|cos θ|＝错误!＝错误!＝错误!,即λ＝错误!或λ＝错误!(舍)，即点M为线段EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的锐二面角的余弦值为错误!．考点四,立体几何中的探索性问题（文)例4(2018·全国Ⅲ）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧错误!所在平面垂直,M 是错误!上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；(2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．【分析】①看到平面AMD⊥平面BMC，想到利用面面垂直的判定定理寻找条件证明；②看到MC∥平面PBD，想到利用线面平行的定理进行分析．【标准答案】——规范答题步步得分(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因为M为错误!上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM．又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连接AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点，连接OP,因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．【评分细则】①由平面CMD⊥平面ABCD推出BC⊥DM，给3分．②由线线垂直得到DM⊥平面BMC，给2分．③由线面垂直得到,平面AMD⊥平面BMC，给1分．④点明P为中点时，MC∥平面PBD，给1分．⑤正确作出辅助线并证得MC∥OP,给3分．⑥由线线平行证得MC∥平面PBD，给2分．【名师点评】1．核心素养：探索性的立体几何问题在高考中虽不多见，但作为高考命题的一种题型，要求学生掌握其解决思路及解决问题的途径,此类问题主要考查考生“直观想象"的核心素养．2．解题技巧：(1）得分步骤要写全：如第（1)问中，面面垂直性质定理的应用，BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，不能丢．(2）得分关键：明确探索性试题的解题要领是先假设存在，然后采用相关定理或性质进行论证；第(2)问中,把假设当作已知条件进行推理论证，会起到事半功倍之效．〔变式训练4〕如图所示，平面ABCD⊥平面BCE，四边形ABCD为矩形,BC＝CE，点F为CE的中点．（1）证明：AE∥平面BDF；(2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在,请说明理由．［解析］(1)证明：连接AC交BD于点O，连接OF．∵四边形ABCD是矩形，∴O为AC的中点，又F为EC的中点,∴OF∥AE．又OF⊂平面BDF，AE⊄平面BDF，∴AE∥平面BDF．(2)当点P为AE的中点时，有PM⊥BE，证明如下：取BE的中点H,连接DP，PH,CH．∵P为AE的中点，H为BE的中点，∴PH∥AB．又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P,H，C，D四点共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD⊥BC，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥平面BCE．又BE⊂平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，且H为BE的中点,∴CH⊥BE．又CH∩CD＝C，且CH，CD⊂平面DPHC，∴BE⊥平面DPHC．又PM⊂平面DPHC，∴PM⊥BE．。
2023-2024学年浙江省湖州市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-15-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年浙江省湖州市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(15)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）点直线与是共面直线与是异面直线1. 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中错误的是（ ）A. B. C.D. 2. 一个直角梯形上底、下底和高之比为， 将此直角梯形以垂直于底的腰为轴旋转一周形成一个圆台，则这个圆台上底面积、下底面积和侧面积之比为（ ）A. B. C. D.3. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径 ，外径 ，筒高 ，方高 ，则其体积约为（单位： ）（ ）A. B. C. D.直四棱柱是长方体两个平面平行，其余各面是梯形的多面体是棱台正棱锥的侧面是全等的等腰三角形平行六面体不是棱柱4. 下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 内的所有直线与a 异面 内不存在与a 平行的直线内存在唯一的直线与a 平行 内的直线与a 都相交5. 直线a 不平行于平面，且直线a ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 若，，则若，，，则若，，，则若，，则6. 设，表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 若，，，则若，，，则若，，，则若，，，则7. 设m ，n 是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）A. B. C. D.平面平面直线与平面的夹角为平面平面8. 在长方体中，点 ，，，分别为 ，，，的中点，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D.若 ， ，则 若 ， ，则若 ，则 若 ， 与 所成的角相等，则9. 已知 和 是平面 内两条不同的直线， 是－个平面，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 该四面体的三组对棱的中点连线两两垂直该四面体的外接球球心与内切球球心重合该四面体的各面是全等的锐角三角形该四面体中任意三个面两两所成二面角的正弦值之和为110. 在四面体ABCD 中，AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，以下判断错误的是（ ）A. B. C. D. 123411. 设是两条不同的直线， 是三个不重合的平面，则下列结论正确的个数为（ ）①若则 ②若 则 ③若则 ④若 则 A. B. C. D. 13. 边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为 .14. 过两平行平面α、β外的点P 两条直线AB 与CD ，它们分别交α于A 、C 两点，交β于B 、D 两点，若PA=6，AC=9，PB=8，则BD 的长为15. 半径为2的球的表面积为 .17. 如图，在四棱锥P—ABCD 中，底面是边长为的菱形，且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝ ，M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1) 证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A—MN—Q 的平面角的余弦值．18. 如图，已知四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，且∠DAB=90°，∠ABC=45°，CB= ，AB=2，PA=1(1) 求证：AB∥平面PCD；(2) 求证：BC⊥平面PAC；(3) 若M是PC的中点，求三棱锥C﹣MAD的体积．19. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动，设平面MAB与平面FCB所成二面角的平面角为θ（θ≤90°），试求cosθ的取值范围．20. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，，点在线段上，， .(1) 证明：平面；(2) 求点到平面的距离.21. 正三棱柱ABC﹣A1B1C1底边长为2，E，F分别为BB1， AB的中点．（I）已知M为线段B1A1上的点，且B1A1=4B1M，求证：EM∥面A1FC；（II）若二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，求AA1的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.13.14.15.17.(1)(2)18.(1)(2)(3)19.20.(1)(2)21.。
2023-2024学年河南省高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-4-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河南省高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(4)姓名：____________班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）90°60°45°30°1. 在正方体 中， 为 的中点， 为侧面 的中心 为棱 上任意一点，则异面直线与 所成的角等于（ ）A. B. C. D. 49π36π32π28π2. 在正三棱锥P －ABC 中，O 为△ABC 的中心，已知AB=6，∠APB=2∠PAO ，则该正三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 与x 有关，与y无关与x 无关，与y 无关与x 无关，与y 有关与x 有关，与y 有关3. 如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为3，点E ，F 在线段AB 上，点M 在线段B 1C 1上，点N 在线段C 1D 1上，且EF=1，D 1N=x ， AE=y ，M 是B 1C 1的中点，则四面体MNEF 的体积（ ）A. B. C. D. 4. 在如图所示的四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）A.B.C.D.1235. 已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱、圆锥的表面积分别为S 1 ， S 2 ， 则的值为（）A. B. C. D.4806. 把一块长是10，宽是8，高是6的长方形木料削成一个体积最大的球，这个球的体积等于（）A. B. C. D.0条或无数条2条0条或1条或无数条1条7. 若平面∥平面，直线平面，点平面，则过点M且与直线m平行的直线有（）A. B. C. D.01238. 下列命题中，正确命题的个数是（）．①若直线l上有无数个点不在平面内，则∥；②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；③若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点．A. B. C. D.2π9. 一个几何体的三视图如图所示，其表面积为，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.123410. 下列说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．A. B. C. D.1311. 如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是边长为2的等边三角形，点A1在底面ABC上的投影D恰好为BC的中点，AA1与平面ABC所成角为45°，则该三棱柱的体积为（）A. B. C. D.1个2个3个4个12. 已知四棱锥，底面为矩形，侧面平面， . ，若点M为的中点，则下列说法正确的个数为（）（1）平面（2）四棱锥的体积为12（3）平面（4）四棱锥外接球的表面积为A. B. C. D.13. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为的正方形，AA1=3，E是AA1的中点，过C1作C1F⊥平面BDE与平面ABB1A1交于点F，则 =14. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AB的中点，F在CC1上，且CF＝2FC1，点P是侧面AA1D1D（包括边界）上一动点，且PB1∥平面DEF，则tan∠ABP的取值范围为．15. 正四棱锥的各条棱长均为2，则该四棱锥的内切球的表面积为．16. 已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上.若该正四棱锥的体积为，则该球的表面积的最小值为 .17. 如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，PA=AB,E是PD的中点.(1) 求证：平面EAC；(2) 求证：平面平面PAD．18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，在线段上，且.(1) 求证：平面平面；(2) 求直线与平面所成角的正弦值.19. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，E为CD的中点．(1) 求证：；(2) 在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由.20. 如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，．将沿折起到的位置，使平面平面，如图2所示，点为棱的中点．(1) 求证：平面；(2) 求证：平面；21. 如图，在四边形ABCD中，，且，，点E是线段AB上靠近点A的一个三等分点，以DE为折痕将折起，使点A到达点的位置，且 .(1) 证明：平面平面BCD；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(1)(2)(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
立体几何(学生版)-2024年新高考新结构数学7个大题逐一击破
立体几何立体几何是高考数学的必考内容，在大题中一般分两问，第一问考查空间直线与平面的位置关系证明；第二问考查空间角、空间距离等的求解。
考题难度中等，常结合空间向量知识进行考查。
2024年高考有很大可能延续往年的出题方式。
题型一：空间异面直线夹角的求解1(2023·上海长宁·统考一模)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)求证：AO⊥CD；(2)若BD⊥DC,BD=DC,AO=BO，求异面直线BC与AD所成的角的大小.1、求异面直线所成角一般步骤：(1)平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角．(3)寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：因为异面直线所成角θ的取值范围是0,π2 ，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．2、可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：(1)直接平移法(可利用图中已有的平行线)；(2)中位线平移法；(3)补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．3、异面直线所成角：若n 1 ,n 2分别为直线l 1,l 2的方向向量，θ为直线l 1,l 2的夹角，则cos θ=cos <n 1 ,n 2 > =n 1 ⋅n 2 n 1 n 2.1(2023·江西萍乡·高三统考期中)如图，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ,F 分别是BB 1,CD 的中点.(1)证明：EF ⎳平面AB 1C 1D ；(2)若AB =2A 1B 1，且正四棱台的侧面积为9，其内切球半径为22，O 为ABCD 的中心，求异面直线OB 1与CC 1所成角的余弦值.2(2023·辽宁丹东·统考二模)如图，平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，平面CDD 1C 1⊥平面ABCD ，AD ⊥DC ，二面角D 1-AD -C 的大小为120°，E 为棱C 1D 1的中点．(1)证明：CD ⊥AE ；(2)点F 在棱CC 1上，AE ⎳平面BDF ，求直线AE 与DF 所成角的余弦值．题型二：空间直线与平面夹角的求解2(2024·安徽合肥·统考一模)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，四边形ACC 1A 1,BCC 1B 1均为正方形，D ,E 分别是棱AB ,A 1B 1的中点，N 为C 1E 上一点.(1)证明：BN ⎳平面A 1DC ；(2)若AB =AC ,C 1E =3C 1N ，求直线DN 与平面A 1DC 所成角的正弦值.1、垂线法求线面角(也称直接法)：(1)先确定斜线与平面，找到线面的交点B 为斜足；找线在面外的一点A ，过点A 向平面α做垂线，确定垂足O ；(2)连结斜足与垂足为斜线AB 在面α上的投影；投影BO 与斜线AB 之间的夹角为线面角；(3)把投影BO 与斜线AB 归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形)。
2023-2024学年湖北省十堰市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-专项提升-18-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年湖北省十堰市高中数学人教B 版必修四-立体几何初步-专项提升(18)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）若 ， ， 则若 ， ， 则若 ， ， 则若 ，， ， 则 1. 已知m ，n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）.A. B. C. D. 12342. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行．②CN 与BE 是异面直线．③CN与AF 垂直．④DM 与BN是异面直线．以上四个命题中正确的个数是（ ）A. B. C. D. 3. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖膈，在整席A-BCD 中，AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，且AB=BC=CD=4，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（ ）A. B. C. D.5π20π4π4. 三棱锥中，平面 ， ， ， ，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.5. 在等腰三角形中，，顶角为，以底边所在直线为轴旋转围成的封闭几何体内装有一球，则球的最大体积为（）A. B. C. D.6. 将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A. B. C. D.7. 设有以下四个命题：：若直线在平面外，则；：过空间中任意两条相交直线有且仅有一个平面；：若平面平面，，直线，则；：若平面平面，直线，则.则下列命题为真命题的是（）A. B. C. D.个个个个8. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，对于下列四个命题：①，，，②，③，，④，其中正确命题的个数有（）A. B. C. D.9189. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，为等腰直角三角形，其中与重合，，则的面积是（）A. B. C. D.10. 如图，在三棱锥V-ABC中，VO⊥平面ABC，O∈CD，VA=VB，AD=BD，则下列结论中不一定成立的是（）AC=BCVC ⊥VD AB ⊥VC S △VCD ·AB=S △ABC ·VO A. B. C. D. 若 ， ，则 若 ， ，则若 ， ，则 若 ， ，则11. 已知， 表示两条不同的直线， 表示平面.下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 12. 我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没有伸出部分，山面裸露没有变化．硬山式屋顶（如图1）可近似地看作直三棱柱（如图2），其高为 ， 到平面的距离为 ， 为 ， 则可估算硬山式屋顶的体积约为（ ）A. B. C. D.阅卷人得分二、填空13. 一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .14. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断：① m ⊥n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： .15. 已知正三棱柱中 中， ， ， ， 分别是棱 ， 的中点，则异面直线 与 所成角的正切值为 .16. 已知四面体的顶点都在同一个球的球面上， ， ，且 ， ， . 若该三棱锥的体积为 ，则该球的表面积为 .17. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．(1) 已知AB=BC，AF=CF，求证：AC⊥平面BEF；(2) 已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．18. 在四棱锥中，底面为菱形，且，，是的中点.(1) 求证：面(2) 求直线和平面所成的角的正弦值．19. 如图，在四边形中，，，四边形为矩形，且平面，.(1) 求证：平面；(2) 求二面角的余弦值.20. 三棱锥ABCD中，BC=DC=AB=AD= ，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD的中点，P、Q分别为线段AO，BC上的动点，且AP=CQ，求三棱锥PQCO体积的最大值．21. 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD是正三角形．(1) 求证：AD⊥PB；(2) 已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)(1)(2)19.(1)(2)20.21.(1)(2)。
2023-2024学年陕西省西安市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-3-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年陕西省西安市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(3)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 已知长方体内接于球 ，底面 是边长为2的正方形， 为 的中点， 平面 ，则球 的表面积是（ ）A. B. C. D.若m ⊥n ，n ⊥α，m ⊂β，则α⊥β若α∥β，n ⊥α，m ⊥β，则m ∥n 若m ⊥n ，n ⊂α，m ⊂β，则α⊥β若α∥β，n ⊂α，m ∥β，则m ∥n2. 已知两个不重合的平面α，β和两条不同直线m ，n ，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 如果某正方体的八个顶点都在同一个半径为的球面上，那么该正方体的体积是（ ）A. B. C. D.线段BM 的长度是定值点M 在某个球面上运动存在某个位置，使DE ⊥A 1C 存在某个位置，使 平面A 1DE4. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝2AD ，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE.若M 为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）A. B. C. D.120°150°180°240°5. 若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为（ ）A. B. C. D. c ⊥α，若c ⊥β，则α∥βb ⊂α，c ⊄α，若c ∥α，则b ∥c b ⊂β，若b ⊥α，则β⊥αa ，b ⊂α，a∩b=P ，c ⊥a ，c ⊥b ，若α⊥β，则c ⊂β6. 设a ，b ，c 表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（ ）A. B. C. D. 这两个球的体积之和的最小值是这两个球的表面积之和的最小值是7. 在棱长为的正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点，若球，的半径分别为，，则（ ）A. B.C. D. AD CD PC PD8. 已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA≠AD ，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，则MN 垂直于（ ）A. B. C. D. 不一定存在与a 平行的直线只有两条与a 平行的直线存在无数条与a 平行的直线存在唯一一条与a 平行的直线9. 已知α∥β，a ⊂α，B ∈β，则在β内过点B 的所有直线中（ ）A. B. C. D. 10. 如图所示的铅笔模型是由正三棱柱和正三棱锥构成的，正三棱锥的底面边长和高都是1，正三棱柱的高是正三棱锥的高的20倍，则这只铅笔模型的体积是（）A. B. C. D.存在直线 ， 使存在直线 ， 使存在直线 ， 使l ，m 相交存在直线 ， 使l ，m 所成角为11. 已知直线 ， 平面 ， 满足， 则下列命题一定正确的是（ ）．A. B. C. D. 12. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D.213. 在三棱锥中，，则三棱锥的外接球表面积为 .14. 如图，已知圆柱的轴截面是正方形，C是圆柱下底面弧的中点，是圆柱上底面弧的中点，那么异面直线与所成角的正切值为 .15. 球内接直三棱柱，则球表面积为 .16. 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有条.17. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点．(1) 证明：平面PBE⊥平面PAC(2) 试在BC上找一点F，使AD∥平面PEF？并说明理由．18. 如图，在四棱锥中，底面，且底面是菱形.(1) 证明：平面平面；(2) 若，求二面角的余弦值.19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA= ，连接CE并延长交AD于F(1) 求证：AD⊥平面CFG；(2) 求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值．20. 在底面为正方形的四棱锥中，平面平面分别为棱和的中点.(1) 求证：平面；(2) 若直线与所成角的正切值为，求平面与平面所成锐二面角的大小.21. 如图，四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形．(1) 求证：．(2) 若，，求二面角的余弦值．答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)。
2023-2024学年江苏省南京市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-12-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年江苏省南京市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(12)姓名：____________ 班级：____________学号：____________考试时间：120分钟满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 在长方体中，，则异面直线与 所成角的正切值为（ ）A. B. C.D.在空间中，若两条直线没有交点，则两条直线一定相互平行若一条直线与平面没有公共点，则直线一定与这个平面平行若一条直线不平行于平面，则这条直线一定和这个平面相交若一条直线上的两个点在平面内，则这条直线可能不在平面内2. 下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 在 轴上在平面内在 平面内在 平面内3. 点 (2，0，1)在空间直角坐标系中的位置是（ ）A. B. C. D. 若则若则若则若 ， 则4. 已知是两个不同的平面，l,m,n 是不同的直线，下列命题不正确的是（ ）A. B. C. D. 圆椭圆双曲线抛物线5. 设m 是平面内的一条定直线，P 是平面外的一个定点，动直线n 经过点p 且与m 成30度角，则直线n 与平面的交点Q 的轨迹是 ( )A. B. C. D.①③①②②③③④6. 下列四个命题中，正确的是（ ）①夹在两条平行线间的平行线段相等；②夹在两条平行线间的相等线段平行；③如果一条直线和一个平面平行，那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等；④如果一条直线和一个平面平行，那么夹在 这条直线和平面间的相等线段平行A. B. C. D. 7. 如图所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是（）A. B. C. D.若，则若，则若，则若，则8. 已知平面和直线，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 23459.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，则用( )个这样的几何体可以拼成一个棱长为4的正方体．A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，，，现分别沿将矩形折叠使得与重合，则折叠后的几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.11. 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆.著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：①②③①②①③①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②椭圆的短轴长与嵌入圆柱的球的直径相等；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 234612. 陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且 ， 则该陀螺下半部分的圆柱与上半部分的圆锥的体积的比值是（ ）A. B. C. D. 阅卷人得分二、填空13. 设正四面体的内切球半径为 ， 外接球半径为 ， 则 ．14. 已知三棱锥内接于表面积为 的球中，平面 平面 ， ， ，，则三棱锥 体积为 .15. 如图所示是一个三棱锥的三视图，其中俯视图是边长为2的等边三角形，侧视图的面积为，则该三棱锥的体积为 ．16. 对于四面体ABCD ，以下命题中，真命题的序号为 （填上所有真命题的序号）①若AB=AC ，BD=CD ，E 为BC 中点，则平面AED ⊥平面ABC ；②若AB ⊥CD ，BC ⊥AD ，则BD ⊥AC ；③若所有棱长都相等，则该四面体的外接球与内切球的半径之比为2：1；④若以A 为端点的三条棱所在直线两两垂直，则A 在平面BCD 内的射影为△BCD 的垂心；⑤分别作两组相对棱中点的连线，则所得的两条直线异面．阅卷人三、解答题（共6题，共70分）得分17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，平面为等边三角形，.(1) 若平面，求的值；(2) 在（1）的条件下，求二面角的余弦值.18. 如图，在四棱锥中，底面，，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）试在棱上确定一点，使截面把该几何体分成的两部分与的体积比为；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角的余弦值．19. 如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB= ．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE= ，CE =2EB=2(1) 证明：DE⊥平面PCD(2) 求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．20. 如图，是圆的直径，垂直圆所在的平面，是圆上的一点.(1) 求证：平面平面；(2) 若，求直线与平面所成角的正弦值.21. 平行四边形所在的平面与直角梯形所在的平面垂直，，，且，，，为的中点.(1) 求证：平面；(2) 求证：；(3) 若直线上存在点，使得，所成角的余弦值为，求与平面所成角的大小.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)20.(1)(2)21.(1)(2)(3)。
2023-2024学年河北省衡水市高中数学人教B版 必修四-立体几何初步-强化训练-7-含解析
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年河北省衡水市高中数学人教B 版 必修四-立体几何初步-强化训练(7)姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）1. 某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥最长的棱长为（ ）A. B. C. D.平面 2. 如图所示， 垂直于以 为直径的圆 所在的平面， 为圆上异于 的任一点，则下列关系中不正确的是（ ）A. B. C. D.3. 已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为（ ）A. B. C. D.4. 在四面体PABC 中，PA ，PB ，PC 两两垂直且相等，E 是AB 的中点，则异面直线AC 和PE 所成角为（ ）A. B. C. D.AP ⊥EF点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心二面角A －EF －P 的余弦值为若四面体P －AEF 的四个顶点在同一个球面上，则该球的表面积是245. 如图，ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，则下列结论错误的是（）A. B. C. D. 6. 如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点 ， 截面将正方体分成体积比为的两部分，则的值为（）A. B. C. D.1247. 在长方形ABCD 中，AB=2AD ，过AD ，BC 分别作异于平面ABCD 的平面，，若，则l 与BD 所成角的正切值是（ ）A. B. C. D.若则若则若则若 ， 则8. 设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列四个命题中假命题的是( )A. B. C. D. 四面体最小体积四面体最小表面积四面体最短棱长四面体最小高9. 正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶；正四面体的重心，四条高的交点，外接球、内切球球心共点.4个半径为1的小球装入一个正四面体内，下列四个结论中错误的是（ ）A. B. C. D.2410. 一梯形用斜二测画法得到的直视图是如图所示的等腰梯形，且该梯形的面积1，则原梯形的面积为（ ）A. B. C. D. 若 ，则 若 ，则若 ，则 若 ，则11. 设l,m 表示空间中不同的直线，表示不同的平面，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 若 ， 则若 ， 则若 ， 则若 ， 则12. 已知l ，m 是两条不同的直线，是个平面，则下列命题正确的是（ ）A. B. C. D. 13. 长宽高分别为5cm 、4cm 、3cm 的长方体的顶点均在同一球面上，则该球的表面积是 cm 2 ．14. 四棱锥P ﹣ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰直角三角形．则在四棱锥P ﹣ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有 对．15. 如图，在正方体中，O 为底面ABCD 的中心，E 为 的中点，则异面直线 与EO 所成角的余弦值为.16. 如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有条.17. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，点是线段的中点.(1) 求证：面；(2) 求平面与平面所成锐二面角的余弦值.18. 如图，边长为4的正方形ABCD所在平面与正△PAD所在平面互相垂直，M，Q分别为PC，AD的中点.(1) 求证:PA//平面MBD.(2) 试问:在线段AB上是否存在一点N，使得平面PCN⊥平面PQB?若存在，试指出点N的位置，并证明你的结论;若不存在，请说明理由.19. 如图甲，在四边形中，，是边长为4的正三角形，把沿折起到的位置，使得平面平面，如图乙所示，点分别为棱的中点．(1) 求证：平面；(2) 求三棱锥的体积．20. 如图是从上下底面处在水平状态下的棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中分离出来的：(1) 试判断A1是否在平面B1CD内；（回答是与否）(2) 求异面直线B1D1与C1D所成的角；(3) 如果用图示中这样一个装置来盛水，那么最多可以盛多少体积的水．21. 如图，在三棱锥中，和均为正三角形.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，（ⅰ）求证：平面平面；（ⅱ）求二面角的平面角的余弦值.答案及解析部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.16.(1)(2)18.(1)(2)19.(1)(2)20.(1)(2)(3)21.。