随机过程第二章
随机过程第二章
4、有限维分布族
定义：设
X t ; t T 为一个 S .P. ，其有限
维分布函数的全体（一维分布函数，二维分布函
数，n维分布函数）。
F Ft1 ,t2 ,,tn x1, x2 ,, xn ; xi R，ti T，n N, i 1,2,, n
称之为 S.P. X t 的有限维分布函数。
2、特点：
独立增量过程在零均值且二阶矩存在时，是正交增量过程。 注：独立增量过程在现实环境中大量存在（例2.10）
3、平稳独立增量过程（定义 2.8）
增量 X(t)-X(s) 的分布律仅依赖于区间长度t-s。(第三章) （三）马尔可夫过程（第四、五章） （四）正态过程 1、定义 2.10： X(t)的有限维分布律是n维正态随机向量的分布律. 2、特点： ①二阶矩过程 ②数字特征成为其参数。
状态空间：S .P. X t 的状态所有可能取值的 集合，称之为状态空间。
小结：
X e, t 是状态与参数的二元函数
若 若
e
t
确定 确定
X e, t 是时间函数
X e, t 是随机变量
是一个确定值 是随机过程 S .P.
r.v.
若 e, t 确定 若 e, t 不定
随机过程的分类
一维正态过程分布律：
X (t ) ~ N u(t ),
2 2
2
(t )
二维正态过程分布律：
X (t1 ), X (t2 ) ~ N u(t1 ),u(t2 ),
这里有5个参数。 其中 1
(t1 ), (t2 ), (t1 , t2 )
(t1 , t2 ) 1 为相关系数或归一化协方差函数
随机过程 第二章
F ( x, t ) f ( x, t ) x 相应的一维特征函数为
X ( , t ) E{e
i X
}
f ( x, t )ei x dx
n 维分布律
[定义] 设 XT ={X (t), t T } 是随机过程，对任意 n 1 和
t1, t2, …, tn T ，随机过程 XT 的 n 维分布函数为
证明：B (s, t ) E[( X (s) m (s))( X (t ) m (t ))] X X X
E[ X ( s) X (t )] E[ X ( s)]mX (t ) E[ X (t )]mX ( s ) mX ( s )mX (t )
RX (s, t ) mX (s)mX (t )
度、重量、速度等物理量。随机过程本来通称随机函
数，当参数 T 时间集时称为随机过程，但现在将参数 不是时间集的随机函数也称为随机过程，对参数集 T 不再有时间集的限制。
2.2 随机过程的分布律和数字特征
[定义] 随机过程XT ={X (t), t T }在时刻 t 的一维分布函
数为
F ( x, t ) P{ X (t ) x}
例3
天气预报问题： 在天气预报中， 若以Xt表示某地 区第t次统计所 得到的该天最 高气温，则Xt是 随机变量， {Xt , t =0, 1, … }是随 机过程。
例4
Brown运动：漂浮在液 体表面上的微小粒子 不断进行无规则的运 动，它是大量分子随
机碰撞的结果，若记
（X(t),Y(t))为粒子在平
归一化协方差函数——相关系数：
BX ( s , t ) X ( s, t ) X ( s) X (t )
随机过程-第二章 随机过程
同样地， k 维随机过程的
n 维联合分布函数具有对称性和相容性。
i 1 i
k
例 2.1 设随机变量 X b(n, p) ，求 X 的特征函数
解：当 n 1 时， X 服从 0-1 分布，
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
所以
(t ) eitk P( X k ) peit (1 p)
自协方差函数与自相关函数之间的关系：
CX (s, t ) RX (s, t ) X (s) X (t )
注：自相关函数与自协方差函数均具有对称性和非负定性的性质。
2.3.2 二维随机过程
两个随机过程 X (t ), t T 和 Y (t ), t T 的互协方差函数
n
Ft1 ,,tm ,tm1 ,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1 ,,tm ( x1 ,, xm )
对应具有有限分布族的随机过程 X (t ), t T 的特征函数
t ,,t (u1 ,, un ) E (ei (u X (t )u X (t )) ) ei (u X (t )u X (t )) dFt ,,t ( x1 ,, xn )
解：先求 Y
X
的特征函数。因为 Y N (0,1) ，所以
2 2
Y (t ) e
由于 ixe
itx x2 2
itx
x itx 1 x2 1 2 e dx e dx 2 2
x2 2
xe
，且
2
xe
x2 2
dx ห้องสมุดไป่ตู้ ，所以
随机过程讲义（第二章）（PDF）
第二章 随机过程的一般概念2.1 随机过程的基本概念和例子定义2.1.1：设(P ,,F )Ω为概率空间，T 是某参数集，若对每一个，是该概率空间上的随机变量，则称为随机过程(Stochastic Process)。
T t ∈),(w t X ),w t (X 随机过程就是定义在同一概率空间上的一族随机变量。
随机过程可以看成定义在),(w t X Ω×T 上的二元函数，固定Ω∈0w ，即对于一个特定的随机试验，称为样本路径(Sample Path)，或实现(realization)，这是通常所观测到的过程；另一方面，固定，是一个随机变量，按某个概率分布随机取值。
),(0w t X T t ∈0),(0w t X抽象一点：令，即∏∈=Tt T R R T R 中的元素为),(T t x X t t ∈=,为其Borel域(插乘)(T R B σ域)，随机过程实质上是()F ,Ω到())(,T T R R B 上的一个可测映射，在())(,T TR RB 上诱导出一个概率测度：T P ()B X P B P R B T T T ∈=∈∀)(),(B 。
一般代表的是时间。
根据参数集T 的性质，随机过程可以分为两大类： t 1)为可数集，如T {}L ,2,1,0=T 或{}L L ,1,0,1,−=T ，称为离散参数随机过程，也称为随机序列；2)为不可数集，如T {}0≥=t t T 或{}∞<<∞−=t t T ，称为连续参数随机过程。
随机过程的取值称为过程所处的状态(State)，所有状态的全体称为状态空间(State Space)。
通常以表示随机过程的状态空间。
根据状态空间的特征，一般把随机过程分为两大类：T t t X ∈),(S 1) 离散状态，即取一些离散的值； )(t X 2)连续状态，即的取值范围是连续的。
)(t X离散参数离散状态随机过程： Markov 链 连续参数离散状态随机过程： Poisson 过程 离散参数连续状态随机过程： *Markov 序列连续参数连续状态随机过程： Gauss 过程，Brown 运动例2.1.1：一醉汉在路上行走，以的概率向前迈一步，以q 的概率向后迈一步，以p r 的概率在原地不动，1=++r q p ，选定某个初始时刻，若以记它在时刻的位置，则就是直线上的随机游动(Random Walk)。
通信原理第2章 随机过程
aa
则称该平稳随机过程具有各态历经性。 R() R()
“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现（样本函数） 都经历了随机过程的所有可能状态。因此， 我们无需（实际中 也不可能）获得大量用来计算统计平均的样本函数，而只需从 任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征， 从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的 问题大为简化。
注意： 具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程， 但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的 随机信号和噪声， 一般均能满足各态历经条件。
第2章 随 机 过 程
三、平稳随机过程自相关函数
对于平稳随机过程而言， 它的自相关函数是特别重要的一 个函数。（其一，平稳随机过程的统计特性，如数字特征等， 可通过自相关函数来描述；其二，自相关函数与平稳随机过程 的谱特性有着内在的联系）。因此，我们有必要了解平稳随机 过程自相关函数的性质。
E[(t1)] x1f1(x1,t1)d1x
第2章 随 机 过 程
注意，这里t1是任取的，所以可以把t1直接写为t, x1改为x, 这时 上式就变为随机过程在任意时刻的数学期望，记作a(t)， 于是
a(t)E[(t)] x1(fx,t)dx
a(t)是时间t的函数，它表示随机过程的（n个样本函数曲线的） 摆动中心。
第2章 随 机 过 程
3. 相关函数
衡量随机过程在任意两个时刻获得的随机变量之间的关联 程度时，常用协方差函数B(t1, t2)和相关函数R(t1, t2)来表示。
（1）（自） 协方差函数：定义为 B(t1,t2)=E｛［ξ(t1)-a(t1)］［ξ(t2)-a(t2)］｝
= [x1a(t1)]x2[a(t2)f]2(x1,x2; t1,t2)dx1dx2
随机过程第二章
例2.8利用掷一枚硬币的试验定义一个随机过程 2.8
cosπt,出现正面 X (t) = 2t, 出现反面
0 ≤ t < +∞
已知出现正面与反面的概率相等. ⑴ 求X(t)的一维分布函数F(1/2; x),F(1; x). F(1/2; ),F(1; ). ⑵ 求X(t) 的二维分布函数F(1/2,1; x1,x2).
A, 例2.5 设 S.P.X (t) = A+ Bt，其中 B 相互独 S 立同服从正态分布 (0,1) ，求.P.X (t) 的一 N 维和二维分布．
例2.6 设 其中
S.P.X (t) = Acos t, t ∈ R ，
A是 r.v. ， 而且具有概率分布
A P 1 1/3 2 1/3 3 1/3
由于初位相的随机性， 由于初位相的随机性，在某时刻t = t0 , X (t0 )是一 个随机变量． 个随机变量． 若要观察任一时刻 描述. 变量 X (t ) 描述
t
的波形， 的波形，则需要用一族随机
为随机过程． 则称 { X (t ), t ∈ [0, +∞)}为随机过程．
例2 .4样本曲线与状态 样本曲线与状态 X(t) = Acos(ωt + Φ)
2.1： 热噪声电压） 例2.1：（热噪声电压）电子元件或器件由于内部微观粒子
（如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 如电子）的随机热骚动所引起的端电压称为热噪声电压， 时刻的值是随机变量， 它在任一确定 t 时刻的值是随机变量，记为 V (t ) ． 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间， 不同时刻对应着不同的随机变量，当时间在某区间，譬如 [0, +∞)上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量．在无 上推移时，热噪声电压表现为一簇随机变量． 线电通讯技术中，接收机在接收信号时， 线电通讯技术中，接收机在接收信号时，机内的热噪声电 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（假设没有 压要对信号产生持续的干扰，为消除这种干扰（ 其它干扰因素）， ），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 其它干扰因素），就必须考虑热噪声电压随时间变化的过 为此， 程.为此，我们通过某种装置对电阻两端的热噪声电压进
第二章 随机过程的基本概念
第二章随机过程的基本概念说明与解释2.1 随机过程的定义◆{X(t), t∈T}称为随机过程，是定义在样本空间Ω和参数集T上的一个二元函数◆当t=t0固定时，X(t0)为一个随机变量，当样本点ω固定时，X(ω,t)随时间变化，称为样本函数，在平面上为一条曲线，或折线段2.2 随机过程的分布◆对于随机过程{X(t), t∈T}，当参数t取有限n个不同值时，则得到一个n维随机向量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))，它的概率分布即为概率论中多维随机向量的联合概率分布。
◆定理2.2.1的说明（1）对称性随机过程的n维分布函数F(x1,x2⋯,x n;t1,t2⋯,t n)=P[(X(t1)≤x1,X(t2)≤x2,⋯,X(t n)≤x n]上面大括号内是n个事件的积，事件的积运算满足交换律，所以对称性成立。
（2）相容性以二维随机向量(X,Y)为例，有F X(x)=F XY(x,∞)所以，相容性成立。
◆例2.2.1的说明因为U、V相互独立且同分布，都服从标准正态分布，因此它们的线性组合也服从正态分布，只需求出X(t)=U+tV的数学期望和方程即可。
（1）一维密度函数根据期望与方差的性质，有E(X(t))=E(U+tV)E(U)+tE(V)=0D(X(t))=D(U+tV)=D(U)+D(tV)=1+t2D(V)=1+t2而一维正态随机变量的密度函数为f(x)=1√2πσ{−(x−μ)22σ2}（2）n维密度函数可以根据定理1.2.2证明(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))服从n维正态分布，所以下面只需求出其数学期望向量μ和协方差矩阵Σ根据（1）的计算结果，μ=E(X(t))为0向量cov(X(t i),X(t j))=cov(U+t i V,U+t j V)=cov(U,V)+t i cov(V,U)+t j cov(U,V)+t i t j cov(V,V)=D(U)+0+0+t i t j D(V)=1+t i t j记σij=1+t i t j,( i,j=1,2,⋯,n),Σ=(σij)n×n,x=(x1,x2,⋯,x n)由定理1.2.1知n维正态变量(X(t1),X(t2),⋯,X(t n))的密度函数为f(x)=1√2πn√|Σ|{−12(x−μ)TΣ−1(x−μ)}◆如果随机过程{X(t),−∞<t<+∞}的任意有限为分布都是正态分布，则称随机过程为正态过程，或高斯过程2.3 随机过程的数字特征◆随机过程的数字特征与概率论中的数字特征完全类似◆均方值函数存在的随机过程称为二阶矩过程◆例设随机过程X(t)=tV,t>0，其中V为离散型随机变量，其分布律为试求X(t)的均值函数、均方值函数、方差函数、均方差函数、自相关函数、协方差函数解根据概率论知识，E(V)=0.2,E(V2)=1，由此可得均值函数μX(t)=E(tV)=tE(V)=0.2t均方值函数ψX2(t)=E((X(t))2)=E((tV)2)=t2E(V2)=t2方差函数σX2(t)=ψX2(t)−(μX(t))2=t2−(0.2t)2=0.96t2均方差函数σX(t)=√σX2(t)=√0.96t自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t))=E(sVtV)=stE(V2)=st自协方差函数C X(s,t)=R X(s,t)−μX(s)μX(t)=st−0.04st=0.95st◆在随机过程所有的数字特征中，均值函数和自相关函数是最基本的数字特征，其它数字特征都可从它们推出2.4 二维随机过程和复随机过程2.5 几类常用的随机过程◆平稳过程的分布只与参数的起点有关，而与参数的增量无关，即(X(t))与X(t+ℎ)同分布◆定理2.5.1的说明一般来说，利用随机过程的自协方差函数可以直接写出它的方差函数，但定理2.3.1告诉我们，当随机过程在初始时刻的状态为常数时，则已知方差可直接写出自协方差函数，即C X(t,t)=σX2(t)◆独立过程独立抛掷一颗骰子100次，观察每次掷出的点数，记X n为第n次出现的点数，则{X n, n=1,2,3,⋯,100}为独立过程（独立时间序列）◆参数为p的贝努利过程{X n, n≥1}是独立过程◆以贝努利过程{X n, n≥1}说明平稳独立增量过程记N n =∑X i n i=1，则服从二项分布B(n,p). 当m <n 时， N n −N m =N m+1+N m+2+⋯+N n ~B(n −m,p) 对任意正整数k ≥1,N n+k −N m+k =N m+k+1+⋯+N n+k ~B(n −m,p) 所以，{X n , n ≥1}是平稳过程其次，如果n 1<n 2<⋯<n mm ，可证N n 2−N n 1,N n 3−N n 2,⋯,N n m −N n m−1相互独立。
第二章 随机过程基本概念
E = {x : X (t , ω ) = x, t ∈ T , ω ∈Ω}
3.1 随机过程的定义
定义2 是一个实数集。 定义2 设( ,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。 )是一个概率空间， 是一个实数集 X(t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)是定义在 和 上的二元函数。若对于 (, ) ∊Ω) , ∊Ω 是定义在T和 上的二元函数。 任意固定的ω∊Ω 总有一个t 的函数X( , ) 任意固定的 ∊Ω ，总有一个 的函数 (t,ω)（t ∊T）与之对 ） 的函数， 应,对于所有的ω∊Ω ，就得到一族确知的 的函数，则称这一 对于所有的 ∊Ω 就得到一族确知的t的函数 则称这一 的函数的集合{ ( , ), ),t , ∊Ω ∊Ω} 族 t 的函数的集合{X(t,ω), ∊T, ω∊Ω}是( ,ℱ,P)上的随机 )上的随机 过程。 过程。 其中，每一个函数称为样本函数， 其中，每一个函数称为样本函数，或该随机过程的一个 函数称为样本函数 实现。 实现。
i 0 1 X2 1 i 0 Xm 1 i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……
3.1 随机过程的定义
电话问题。 ( ≥0)固定时，电话交换站在[0 ] ≥0)固定时 [0， 例2 电话问题。当t(t≥0)固定时，电话交换站在[0，t] 时间内接到的呼唤次数是个随机变量 它可以取非负整数值0 随机变量， 时间内接到的呼唤次数是个随机变量，它可以取非负整数值0， 变到∞ 1，2，…。如果 从0变到∞， t 时刻前接收到的呼唤次数就 。如果t 需要用一族随机变量表示 是一个随机过程 一族随机变量表示， 随机过程。 需要用一族随机变量表示，是一个随机过程。 做一次试验， 做一次试验，可得到一 条表示t 条表示 时刻前接收到的 呼唤次数的非降阶梯曲 样本函数）。 ）。各次 线（样本函数）。各次 试验所得的曲线是随机 所有这些样本函数 的。所有这些样本函数 组成一随机过程 随机过程。 组成一随机过程。
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§2.1 基本概念
一、实际背景
在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特 定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不 断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过 程. Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察, 记录得 { X ( t ), a t b},
当T=(1,2, … ,n,…),
时间序列
随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的
一般化,是随机变量X(t), t T 的集合. 用 E表示随机过程X T X t , t T 的值域,称E为 过程的状态空间. Ex.5 设(Ω,F, P)是对应于抛均匀硬币的概
率空间: Ω ω1 ,ω2 ,
Байду номын сангаас
tn ) P X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,
X (t n ) xn ，
称为随机变量 X (t ), t T 的n维分布函数
FX ( x1 , x2 ,
tn ) ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T
T ( t ,ω) 是一个 2)当固定ω Ω ,作为 t T 的函数，
定义在T上的普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3)
t1
t2
tn
定义 对每一固定ω Ω，称 X t ω是随机过程 { X ( t , ), t T } 的一个样本函数. 也称轨道, 路径,现实.
互相关函数
互协方差函数
如果二维随机过程 X (t ), Y (t ) 对任意的t1 , t2 T , 恒有CXY (t1 , t2 ) 0, 称X (t )和Y (t )是不相关的。
例 X(t)=U+tV,其中U和V相互独立，且都服从标准正态分布， 求X(t)的协方差函数。
练习 例6：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
解：设质点第i 次移动的距离为X i，X i可取 1，也可取 1， P( X i 1) p，P( X i 1) q 1 p。
0
. . . . . . . . . . .
x
设质点在t n 时处于位置Yn，则Yn是随机变量， Yn X i，而Y0 0。
X (t ) At 3B, t T , 的均值函数和自相关函数。 如果A, B相互独立，且A ~ N 1, 4 , B ~ U 0, 2 , 问X (t )的均值函数和自相关函数又是怎样的？
解： X (t ) E X (t ) tE ( A) 3E( B)
{ X t ,ω, t T }
为(ΩF,P)上的一个随机过程.
注
1) 称T是参数集(或参数空间) 当T=(1,2, …，n),
随机向量
{ X t ,ω, t T } ( X 1 , X 2 ,, X n )
{ X t ,ω, t T } ( X 1 , X 2 ,, )
Ft j1 ,...,t jn ( x j1 ,.., x jn ) P{X (t j1 ) x j1 ,..., X (t jn ) x jn }
P{X (t1 ) x1,..., X (tn ) xn } Ft1 ,...,tn ( x1,.., xn )
相容性：对 m n, 有
Ft1 ,...,tm ,tm1,...,tn ( x1,.., xm,,...) Ft1 ,...,tm ( x1,.., xm )
• 定理2.1 （Kolmogorov定理）
有限维分布 {Ft ,...t ( x1,...xn ),t1,...tn T , n 1}, 若满足对称性 和相容性，则必存在一个随机过程 { X (t ),t T }, 使得 {Ft ,...t ( x1,...xn ),t1,...tn T , n 1}, 恰好是 { X (t ), t T } 的有 限维分布族。
C XY (t1 , t2 ) E [ X (t1 ) X (t1 )][Y (t2 ) Y (t2 )] RXY (t1 , t2 ) X (t1 ) Y (t2 ) CYX (t1 , t2 ) RYX (t1 , t2 ) Y (t1 ) X (t2 ) t1 , t2 T t1 , t2 T
一般地， FX ( x1 , x2 ,
称为随机过程 X (t ), t T 的有限维分布函数族 它完全确定了随机过程的统计特性
例 4. 随机游动。设有一质点在x轴上作随机游动，在t 0 例 时位于原点o，在t 1, 2,3,..., 时质点可在x轴上正向或反向 移动一个单位距离，作正向移动一个单位距离的概率为p， 作反向移动一个单位距离的概率为q=1-p。求经过n次移动， 质点处于位置k的概率。
2) 独立过程 对任意整数 n及任意n个不同的 t i T ,随机变量
Tt1 ,, Ttn 相互独立.
3) 独立增量过程 对任一正整数n及任意 t i T , t1 t 2 t n ,随 机变量
X t 2 X t 1 , X t 3 X t 2 , , X t n X t n 1
i 1 n
: :
. . . . . . . . . . .
当 n 1时，质点的位置为Y1 1 或Y1 1， 而P(Y1 1) P( X 1 1) p， P(Y1 1) P( X 1 1) q 1 p
当 n 2时，质点的位置为Y2 2 , 0, 2, 而P(Y2 2) P( X 1 1, X 2 1) P( X 1 1) P( X 2 1) p 2，
相互独立. 重要子类有泊松过程，维纳过程.
过程 增量
4)马尔科夫过程.
the graph of y = cos x
George Pólya 1887 - 1985
§2.2 有限维分布和Kolmogorov定理
(一) 随机过程的分布函数族
设随机过程 X (t ), t T , 对每一固定的t T , FX ( x, t ) P X (t ) x，x R，称为随机过程 X (t ), t T 的一维分布函数
研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?
随机过程的 谱分析问题
Ex.2 从杂乱电讯号的一段观察{Y(t),0< t< T}
中,研究是否存在某种随机信号S(t )?
过程检测
Ex.3 监听器上收到某人的话音记录{Z(t),α<t <β} 试问他是否确实是追踪对象？
过程识别
二、随机过程定义 定义 设(Ω,F, P)是概率空间, T R ,若对每个 t T , X t ,ω 是概率空间(ΩF,P)上的随机变量, 则称这族随机变量
FX ( x, t ), t T 称为一维分布函数族
一般地，对任意n(n 2,3, )个不同的时刻，t1 , t2 , n维随机变量 X (t1 ), X (t2 ), FX ( x1 , x2 , xn；t1 , t2 , xn ; t1 , t2 , X (tn ) 的分布函数：xi R, i 1, 2, tn T n
其参数集T ={0,1,2,…}, 状态空间E={0,1}.
随机过程的理解 为集合T 与Ω的积集. 称 T Ω t ,ω : t T ,ω Ω
随机过程 X t ,ω 可看成定义在积集 T Ω 上的二 元函数
Ω
T
1)当固定 t T ,X t ω X (t , ) 是一个随机变量；
三、随机过程的分类
X T X (t ), t T
1. 按状态空间和参数集进行分类 1) T, E 均为可列集; 2) T 是可列集, E 不可列; 3) T 不可列, E 为可列集; 4) T, E 均不可列.
当T为可列集,称为离散参数随机过程, 随机 序列, 时间序列. 当E 为可列(或有限)集,称为离散状态随机过 程. 2. 按概率结构进行分类 1) 二阶矩过程 若过程Tt T (t ), t T 对每一个 t T , T ( t )的 二阶矩都存在.
CXX t1, t2 RXX t1, t2 X t1 X t2
定义 2.3
关于数字特征，除了X (t ), Y (t )各自的均值函数和自相关函数， 还有如下两个数字特征:
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )] t1 , t2 T RYX (t1 , t2 ) E[Y (t1 ) X (t2 )] t1 , t2 T
又设任意t1 , t2 T RXX (t1 , t2 ) E[ X (t1 ) X (t2 )] (自)相关函数, C XX (t1 , t2 ) Cov[ X (t1 ), X (t2 )] E [ X (t1 ) X (t1 )][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数.
依次类推，当移动n 次时，质点的位置为 Yn n, n 2 , n 4,... (n 4), (n 2), n。
若在n 次移动中有m 次质点正向移动，即有m 次X i 1， 则有n m 次质点作反向移动，即有n m 次X i 1 。
此时，Yn X i m(1) (n m)(1) 2m n k ,
P(Y2 0) P( X1 1, X 2 1) P( X1 1, X 2 1) P( X1 1) P( X 2 1) P( X1 1) P( X 2 1) 2 pq，
2
P(Y2 2) P( X1 1, X 2 1) P( X1 1)P( X 2 1) q ，