特殊平行四边形综合练习题 2
特殊平行四边形难题综合训练（含答案）
特殊平⾏四边形难题综合训练（含答案）第五章特殊平⾏四边形难题综合训练1、正⽅形ABCD ，正⽅形BEFG 和正⽅形RKPF 的位置如图所⽰，点G 在线段DK 上，且G 为BC 的三等分点，R 为EF 中点，正⽅形BEFG 的边长为4，则△DEK 的⾯积为（） A ．10B ．12C ．14D ．162、如图，在正⽅形ABCD 内有⼀折线段，其中AE ⊥EF ，EF ⊥FC ，并且AE =6，EF =8，FC =10，则正⽅形的边长为 .第1题第2题第3题第4题 3、如图，平⾯内4条直线l 1、l 2、l 3、l 4是⼀组平⾏线，相邻2条平⾏线的距离都是1个单位长度，正⽅形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平⾏线上，其中点A 、C 分别在直线l 1、l 4上，该正⽅形的⾯积是平⽅单位． 4、如图，在菱形ABCD 中，边长为10，∠A =60°.顺次连结菱形 ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形 A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…….则四边形A 2B 2C 2D 2的周长是；四边形A 2013B 2013C 2013D 2013的周长是 . 5、如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点，若BE =1，AG =4，则AB 的长为 .6、如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的⾯积为8，则BE =（） A ．2 B ．3 C ．22 D ．32第5题第6题第7题第8题7、如图，菱形OABC 的顶点O 在坐标原点，顶点A 在x 轴上，∠B =120°，OA =2，将菱形OABC 绕原点顺时针旋转105°⾄OA ′B ′C ′的位置，则点B ′的坐标为（）A 、（2,2-）B 、（2,2-）C 、（3,3-）D 、（2,2--）8、如图，正⽅形ABCD 中，AB =3，点E 在边CD 上，且CD =3DE ．将△ADE 沿AE 对折⾄△AFE ，延长EF 交边BC 于A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 9、如图，在正⽅形ABCD 中，点O 为对⾓线AC 的中点，过点0作射线OM 、ON 分别交AB 、BC 于点E 、F ，且∠EOF =90°，BO 、EF 交于点P ．则下列结论中：（1）图形中全等的三⾓形只有两对；（2）正⽅形ABCD 的⾯积等于四边形OEBF ⾯积的4倍；（3）BE +BF =20A ；（4）AE 2+CF 2=20POB ．正确的结论有（）个． A ．1B ．2C ．3D ．410、如图，在矩形ABCD 中，由8个⾯积均为1的⼩正⽅形组成的L 型模板如图放置，则矩形ABCD 的周长为 .11、在边长为6的菱形ABCD 中，动点M 从点A 出发，沿A →B →C 向终点C 运动，连接DM 交AC 于点N ．(1)如图11－1，当点M 在AB 边上时，连接BN ．求证：ABN ADN △≌△；(2)如图11－2，若∠ABC = 90°，记点M 运动所经过的路程为x （6≤x ≤12）．试问：x 为何值时，△ADN 为等腰三⾓形．12、如图所⽰，正⽅形ABCD 的边CD 在正⽅形ECGF 的边CE 上，连接BE DG ，． (1）求证：BE DG ．(2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三⾓形若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由． CMBNAD（图11-2）CB M AND（图11-1）13、请阅读，完成证明和填空．数学兴趣⼩组在学校的“数学长廊”中兴奋地展⽰了他们⼩组探究发现的结果，内容如下：(1）如图13-1，正三⾓形ABC 中，在AB AC 、边上分别取点M N 、，使BM AN =，连接BN CM 、，发现BN CM =，且60NOC ∠=°．请证明：60NOC ∠=°．(2）如图13-2，正⽅形ABCD 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN DM 、，那么AN = ，且DON ∠=度．(3）如图13-3，正五边形ABCDE 中，在AB BC 、边上分别取点M N 、，使AM BN =，连接AN EM 、，那么AN = ，且EON ∠= 度．(4）在正n 边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请⼤胆猜测，⽤⼀句话概括你的发现：． 14、ABC △是等边三⾓形，点D 是射线BC 上的⼀个动点（点D 不与点B C 、重合），ADE △是以AD 为边的等边三⾓形，过点E 作BC 的平⾏线，分别交射线AB AC 、于点F G 、，连接BE ． (1）如图（a ）所⽰，当点D 在线段BC 上时．A A A BBB CCC DDO OOM M M NNN E图13-1图13-2图13-3…(3）在（2）的情况下，当点D 运动到什么位置时，四边形BCGE 是菱形并说明理由．15、如图，ABC △中，点O 是边AC 上⼀个动点，过O 作直线MN BC ∥，设MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外⾓平分线于点F ．(1）探究：线段OE 与OF 的数量关系并加以证明；(2）当点O 在边AC 上运动时，四边形BCFE 会是菱形吗若是，请证明，若不是，则说明理由； (3）当点O 运动到何处，且ABC △满⾜什么条件时，四边形AECF 是正⽅形16、如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．(1）求ABC △的⾯积；AG CD BF E 图（a ）ADCBFEG图（b ）AF N DC B M EO17、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转⾓α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．(1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系并证明你的结论； (2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由18、在菱形ABCD 中，对⾓线AC 与BD 相交于点O ，56AB AC ==，．过点D 作DE AC ∥交BC 的延长线于点E ．(1）求BDE △的周长；(2）点P 为线段BC 上的点，连接PO 并延长交AD 于点Q ．求证：BP DQ =．ADBECF 1AADBECF 1A 1C19、如图，在平⾯直⾓坐标系中，矩形AOBC在第⼀象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90，使EF交矩形的外⾓平分线BF于点F，设C（m，n）．(1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；(2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB 的何处时，使得EF =（t + 1）AE成⽴并求出点E的坐标．20、如图，将正⽅形沿图中虚线（其中x＜y）剪成①②③④四块图形，⽤这四块图形恰．能拼成⼀个．．．．．矩形（⾮正⽅形）．(1）画出拼成的矩形的简图；(2）求x的值．A Q DEB P COxO E BAyCFxO E BAyCFO E BAyCF21、如图所⽰，在矩形ABCD 中，1220AB AC ==，，两条对⾓线相交于点O ．以OB 、OC 为邻边作第1个平⾏四边形1OBBC ；对⾓线相交于点1A ；再以11A B 、1A C 为邻边作第2个平⾏四边形111A B C C ，对⾓线相交于点1O ；再以11O B 、11O C 为邻边作第3个平⾏四边形1121O B B C ……依次类推． (1）求矩形ABCD 的⾯积；(2）求第1个平⾏四边形11OBB C 、第2个平⾏四边形111A B C C 和第6个平⾏四边形的⾯积．22、如图（22），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平⾏于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正⽅形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）． (1）求A B 、两点的坐标；(2）⽤含t 的代数式表⽰MON △的⾯积1S ；A 1 A 2B 2C 2C 1 B 1O 1 DABC O①当2t ≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △⾯积的51623、如图15，在四边形ABCD 中，E 为AB 上⼀点，△ADE 和△BCE 都是等边三⾓形，AB 、BC 、CD 、DA 的中点分别为P 、Q 、M 、N ，试判断四边形PQMN 为怎样的四边形，并证明你的结论． OMAP N y l mx BO MAP N y l mxBE PF 图2224、数学课上，张⽼师出⽰了问题：如图1，四边形ABCD 是正⽅形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF交正⽅形外⾓DCG ∠的平⾏线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，⼩明展⽰了⼀种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进⼀步的研究：(1）⼩颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意⼀点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成⽴，你认为⼩颖的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2）⼩华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意⼀点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成⽴．你认为⼩华的观点正确吗如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．25、如图，ABCD 是正⽅形，点G 是BC 上的任意⼀点，DE AG ⊥于E ，BF DE ∥，交AG 于F ．求证：AF BF EF =+． ADF CGE B图1 ADF C GE B 图2 ADFC GE B图3DCBA EF G参考答案1、D2、1043、5或94、2010052355 5、15 6、C 7、A 8、B 9、C 10、5811、（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形∴AB = AD ，∠1 =∠2⼜∵AN = AN ∴△ABN ≌△ADN (2）解：∵∠ABC =90°，∴菱形ABCD 是正⽅形此时，∠CAD =45°．下⾯分三种情形：Ⅰ）若ND =NA ，则∠ADN =∠NAD =45°．此时，点M 恰好与点B 重合，得x =6；∴∠3=∠4，从⽽CM =CN ，易求AC =62，∴CM =CN =AC －AN =62－6，故x = 12－CM =12－（62－6）=18－62综上所述：当x = 6或12 或18－62时，△ADN 是等腰三⾓形12、（1）因为ABCD 是正⽅形，所以BC =CD 。
人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷 含答案解析
人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷一．选择题（共10小题）1．下列性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．4个内角相等D．一条对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（）A．B．BD＝CD C．D．4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．157．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．49．已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④10．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是（）A．∠DAN＝15°B．∠CMN＝45°C．AM＝MN D．MN＝NC二．填空题（共8小题）11．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．12．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．13．矩形ABCD中，要使矩形ABCD成为正方形还需满足的条件是（横线只需填一个你认为合适的条件即可）14．如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，则AC的长为cm．15．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若BD＝8，则MN的长为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，D是AB的中点，则∠DCB＝度．17．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为．18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN 的长为．三．解答题（共8小题）19．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE ∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．21．如图．在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、DB、BF．（1）求证：DE＝BF；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．22．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证四边形ACED是正方形．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．24．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．26．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，故选项A、B不合题意；∵矩形的四个角都是直角，故选项C不合题意；∵矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D符合题意；故选：D．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，∵∠D＝130°，∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠DAB＝25°．故选：B．3．【解答】解：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD＝CD＝BC，故选项A、B、D不符合题意．若∠BAC＝90°时，AD＝BC才成立，否则不成立．故选项C符合题意．故选：C．4．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．7．【解答】解：∵BE＝DB，∴∠BDE＝∠E，∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45°∴∠BDE＝×45°＝22.5°．故选：A．8．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．9．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：作MG⊥BC于G．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠DAB＝°∠DCB＝90°∵△MBC是等边三角形，∴MB＝MC＝BC，∠MBC＝∠BMC＝60°，∵MG⊥BC，∴BG＝GC，∵AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∴∠ABM＝30°，∵BA＝BM，∴∠MAB＝∠BMA＝75°，∴∠DAN＝90°﹣75°＝15°，∠CMN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，故A，B，C正确，故选：D．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形12．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；故答案为：菱形．13．【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．14．【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，∴×4×AC＝6，解得：AC＝3，故答案为：3．15．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，BD＝8∴BD＝2BO，即2BO＝8．∴BO＝4．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝2．故答案是：2．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝28°，∴∠DCB＝90°﹣28°＝62°，故答案为：62．17．【解答】解：如图，当AB为对角线时，观察图象可知D（5，3）．当AB为矩形的边时，观察图象可知D2（﹣3，2），∴直线AD2的解析式为y＝x+，∴C1（0，），∵AC1＝BD1，∴D1（3，），综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．故答案为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．18．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，∴GF＝GB＝6，BC＝9，∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，∴CF＝＝＝3．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．【解答】证明；∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．20．【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝BE，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF；（2）证明：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，∴DC＝AB，CD∥AB，∴DF∥EB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠ADB＝90°，∴DE＝AB，∴DE＝EB，∴四边形DEBF是菱形．22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．∵O是CD的中点，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形．23．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．25．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．。
【3套】特殊平行四边形习题(含答案)
特殊平行四边形习题（含答案）特殊平行四边形习题一、选择题1.如图,在菱形ABCD中,AB=5,∠BCD=120°,则△ABC的周长等于( )A.20B.15C.10D.5答案 B ∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC,AB∥CD,∴∠B+∠BCD=180°,∴∠B=180°-∠BCD=180°-120°=60°,∴△ABC是等边三角形,故△ABC的周长=3AB=15.2.如图,四边形ABCD的对角线互相平分,要使它变为矩形,需要添加的条件是( )A.AB=CDB.AD=BCC.AC=BDD.AB=BC答案 C 可添加AC=BD,∵四边形ABCD的对角线互相平分,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形,故选C.3.已知:如图,菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,OE∥DC交BC于点E,AD=6cm,则OE 的长为( )A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm答案 C 因为菱形的四条边相等且对角线互相垂直平分,所以可以由OE∥DC证得点E是BC 的中点,此时利用三角形的中位线或直角三角形斜边上中线的性质都可以求得OE的长为3 cm.4.如图,在菱形ABCD中,AB=8,点E、F分别在AB、AD上,且AE=AF,过点E作EG∥AD交CD于点G,过点F作FH∥AB交BC于点H,EG与FH交于点O.当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时,AE的值为( )A.6.5B.6C.5.5D.5答案 C 设AE=x,则EB=8-x,∵四边形ABCD是菱形,AE=AF,EG∥AD,FH∥AB,∴四边形AEOF和四边形OHCG都是菱形.∵四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12,∴4x-4(8-x)=12,解得x=5.5.故选C.5.如图,将一个长为10cm,宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折,再按照从下向上的方向对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下(如图1-4-5①),再打开,得到如图1-4-5②所示的小菱形的面积为( )A.10cm2B.20cm2C.40cm2D.80cm2答案 A 由题意可得AC=5cm, BD=4cm,故小菱形的面积为×4×5=10(cm2).故选A.6.如图,正方形ABCD中,E、F是对角线AC上两点,连接BE、BF、DE、DF,则添加下列条件:①∠ABE=∠CBF;②AE=CF;③AB=AF;④BE=BF.可以判定四边形BEDF是菱形的条件有( )A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C 连接BD,交AC于点O,在正方形ABCD中,AB=BC,∠BAC=∠ACB,AC⊥BD,OB=OD,①在△ABE与△CBF中,∴△ABE≌△CBF(ASA),∴AE=CF,∵OA=OC,∴OE=OF,又∵AC⊥BD,∴四边形BEDF是菱形,故①正确.②正方形ABCD 中,OA=OB=OC=OD,∵AE=CF,∴OE=OF,又EF⊥BD,BO=OD,∴四边形BEDF是菱形,故②正确.③由AB=AF不能推出四边形BEDF其他边的关系,故不能判定它是菱形,故③错误.④在正方形ABCD 中,OA=OC=OB=OD,AC⊥BD,∵BE=BF,EF⊥BD,∴OE=OF,∴四边形BEDF是菱形,故④正确.故选C.7.如图所示,在菱形ABCD中,BE⊥AD,BF⊥CD,E、F为垂足,AE=ED,则∠EBF等于( )A.75°B.60°C.50°D.45°答案 B 连接BD.因为BE⊥AD,AE=ED,所以AB=BD.又因为AB=AD,所以△ABD是等边三角形,所以∠A=60°,所以∠ADC=120°.在四边形BEDF 中,∠EBF=360°-∠BED-∠BFD-∠ADC=360°-90°-90°-120°=60°,故选B.8.如图所示,矩形纸片ABCD中,AB=6cm, BC=8cm,现将其沿EF对折,使得点C与点A重合,则AF长为( )A .cm B.cm C.cm D.8cm答案 B 设AF=x cm,则D'F=DF=(8-x)cm,在Rt△AFD'中,(8-x)2+62=x2,解得x=.9.如图所示,把一个长方形的纸片对折两次,然后剪下一个角,为了得到一个钝角为120°的菱形,剪口与第二次折痕所成角的度数应为( )A.15°或30°B.30°或45°C.45°或60°D.30°或60°答案 D 画出所剪的图形示意图如图.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠ABC,∠BAC=∠BAD,AD∥BC,∵∠BAD=120°,∴∠ABC=180°-∠BAD=180°-120°=60°,∴∠ABD=30°,∠BAC=60°.∴剪口与第二次折痕所成的角的度数应为30°或60°.故选D.10.如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF;(3)AO=OE;(4)S△AOB=S四边形DEOF,其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个答案 B ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD=DC,∠D=∠BAD=90°,∵CE=DF,∴DE=AF,∴△DEA≌△AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF.由△DEA≌△AFB得S△DEA=S△AFB,∴S△DEA-S△AOF=S△AFB-S△AOF,∴S△AOB=S四边形DEOF,所以正确的是(1)(2)(4),共3个,故选B.二、填空题11.如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,不添加任何辅助线,请添加一个条件,使四边形ABCD是正方形(填一个即可).答案AC=BD(答案不唯一)12.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM 的周长为.答案20解析在Rt△ABC中,由勾股定理易得AC=13,由矩形的性质得AO=BO=AC=,而OM是△ACD 的中位线,所以OM=CD=,所以四边形ABOM的周长为AB+BO+OM+AM=5+++6=20.13.如图,已知矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= .答案2解析∵在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,AO=1,∴AO=CO=BO=DO=1,∴BD=2.14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,对角线AC,BD相交于点O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为.答案3解析∵AE垂直平分OB,AB=3,∴AB=AO=3,∵四边形ABCD是矩形,∴BO=AO=3,∴BD=2BO=6,∴AD===3.15.如图,两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动.要使四边形CBFE为菱形,还需添加的一个条件是(写出一个即可).答案CB=BF(或BE⊥CF或∠EBF=60°或BD=BF等,答案不唯一)解析由已知得CB∥EF,CB=EF,∴四边形CBFE是平行四边形.因此可以添加CB=BF;BE⊥CF;∠EBF=60°;BD=BF等,都能说明四边形CBFE是菱形.16.如图,正方形ABCO的顶点C,A分别在x轴,y轴上,BC是菱形BDCE的对角线,若∠D=60°,BC=2,则点D的坐标是.答案(2+,1)解析过点D作DF⊥x轴,垂足为F,在正方形ABCO中,∠BCO=90°,所以∠BCF=90°,在菱形BDCE中,BD=DC,又因为∠D=60°,所以△BCD是等边三角形,因为BC=2,所以CD=2,又∠BCD=60°,所以∠DCF=30°,在Rt△DCF中,因为∠DCF=30°,CD=2,所以DF=CD=1,由勾股定理得CF=,所以OF=OC+CF=2+,所以点D的坐标为(2+,1).17.如图，菱形ABCD的面积为120cm2,正方形AECF的面积为50cm2,则菱形的边长为cm.答案13解析连接BE,EF,FD,AC,∵菱形、正方形为轴对称图形,对角线所在直线是其对称轴,∴B,E,F,D在同一条直线上,∵S正方形AECF=AC·EF=AC2=50cm2,∴AC=10cm,∵S菱形ABCD=AC·BD=120cm2,∴BD=24cm.设AC,BD的交点为O,由菱形的性质可得AC⊥BD,AO=5cm,OB=12 cm,∴AB===13cm.18.如图,在菱形ABCD中,∠BAD=120°,点E、F分别在边AB、BC上,△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,且点G在边AD上.若EG⊥AC,AB=6,则FG的长为.答案3解析设AC与EG相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=120°,∴∠EAC=∠DAC=60°,∠B=60°,AB=BC.∴△ABC是等边三角形.又∵AB=6,∴△ABC的面积为18.∴菱形ABCD的面积为36,∵EG⊥AC,∴∠AOE=∠AOG=90°.∴∠AGE=90°-60°=30°.∵△BEF与△GEF关于直线EF对称,点B的对称点是点G,∴∠EGF=∠B=60°,∴∠AGF=∠EGF+∠AGE=90°.∴FG⊥AD,∴FG===3.三、解答题19.如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明:四边形ACDE是平行四边形;(2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长.答案(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,AC⊥BD,∴AE∥CD,∠AOB=90°,又∵DE⊥BD,即∠EDB=90°,∴∠AOB=∠EDB.∴DE∥AC.∴四边形ACDE是平行四边形.(2)∵四边形ABCD是菱形,AC=8,BD=6,∴AO=4,DO=3,∴AD=CD==5.又∵四边形ACDE是平行四边形,∴AE=CD=5,DE=AC=8.∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18.20.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于F,连接CF.(1)求证:AD=AF;(2)如果AB=AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.答案(1)证明:∵AF∥BC,∴∠EAF=∠EDB,∵E是AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEB中,∴△AEF≌△DEB(ASA),∴AF=BD,∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中线,∴AD=BD=DC=BC,∴AD=AF.(2)四边形ADCF是正方形.∵AF=BD=DC,AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AB=AC,AD是中线,∴AD⊥BC,∵AD=AF,∴四边形ADCF是正方形.21.如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边AB、BC上,∠ADE=∠CDF.(1)求证:AE=CF;(2)连接DB交EF于点O,延长OB至点G,使OG=OD,连接EG、FG,判断四边形DEGF是否为菱形,并说明理由.答案(1)证明:在正方形ABCD中,AD=CD,∠A=∠C=90°,在△ADE和△CDF中,∴△ADE≌△CDF(ASA),∴AE=CF.(2)四边形DEGF是菱形.理由如下:在正方形ABCD中,AB=BC,∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF,∴BD垂直平分EF,∴OE=OF,又∵OG=OD,∴四边形DEGF为平行四边形,∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴四边形DEGF是菱形.22.如图,AB∥CD,点E、F分别在AB、CD上,连接EF.∠AEF、∠CFE的平分线交于点G,∠BEF、∠DFE的平分线交于点H.(1)求证:四边形EGFH是矩形;(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索.过G作MN∥EF,分别交AB、CD于点M、N,过H 作PQ∥EF,分别交AB、CD于点P、Q,得到四边形MNQP.此时,他猜想四边形MNQP是菱形.请在下列框图中补全他的证明思路.答案(1)证明:∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.∵FH平分∠DFE,∴∠EFH=∠DFE.∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=90°,又∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°.同理可证,∠EGF=90°.∵EG平分∠AEF,∴∠FEG=∠AEF.∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF.∵点A、E、B在同一条直线上,∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°.∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,即∠GEH=90°.∴四边形EGFH是矩形.(2)本题答案不唯一,下面答案供参考.例如,FG平分∠CFE;GE=FH;∠GME=∠FQH;∠GEF=∠EFH.23.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点,AF,DE相交于点G,当E,F分别为边BC,CD 的中点时,有:①AF=DE;②AF⊥DE成立.试探究下列问题:(1)如图①,若点E不是边BC的中点,F不是边CD的中点,且CE=DF,上述结论①,②是否仍然成立?(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)(2)如图②,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上,且CE=DF,此时,上述结论①,②是否仍然成立?若成立,请写出证明过程,若不成立,请说明理由;(3)如图③,在(2)的基础上,连接AE和EF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并证明你的结论.答案(1)成立.(2)仍然成立.证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC,∠BCD=∠ADC=90°.在△ADF和△DCE中,∴△ADF≌△DCE(SAS),∴AF=DE,∠FAD=∠EDC,∵∠ADG+∠EDC=90°,∴∠ADG+∠DAF=90°,∴∠AGD=90°,即AF⊥DE.(3)四边形MNPQ是正方形.证明:如图,设MQ,DE分别交AF于点G,O,PQ交DE于点H,∵点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,AD的中点,∴MQ=PN=DE,PQ=MN=AF,MQ∥DE,PQ∥AF,∴四边形OHQG是平行四边形,∵AF=DE,∴MQ=PQ=PN=MN,∴四边形MNPQ是菱形,∵AF⊥DE,∴∠AOD=90°,∴∠HQG=∠AOD=90°,∴四边形MNPQ是正方形.人教版八年级数学下册第十八章平行四边形单元检测卷一、选择题1.如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是( )A.∠1=∠2B.∠BAD=∠BCDC.AB=CDD.AC=BC2.如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是( )A.10B.14C.20D.223.四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( )A.3种B.4种C.5种D.6种4.如图,在△ABC中,AB=6,AC=10,点D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则四边形ADEF的周长为( )A.8B.10C.12D.165.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E分别是边AB,AC的中点,延长BC至F,使CF=BC,若AB=10,则EF的长是( )A.5B.4C.3D.26.下列命题中正确的是( )A.两条对角线相等的平行四边形是矩形B.有三个角是直角的多边形是矩形C.两条对角线相等的四边形是矩形D.有一个角是直角的四边形是矩形7.如图,菱形ABCD的周长为20,一条对角线AC的长为8,另一条对角线BD的长为( )A.16B.12C.6D.48.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形CODE的周长为( )A.4B.6C.8D.109.如图,以正方形ABCD的对角线AC为一边作菱形AEFC,则∠FAB=( )A.30°B.45°C.22.5°D.135°10.如图,直线EF经过矩形ABCD对角线的交点O,分别交AB、CD于点E、F,那么图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )A. B. C. D.二、填空题11.如图,平行四边形ABCD的周长为20,对角线AC的长为5,则△ABC的周长为.12.如图,在平行四边形ABCD中,点E、F分别在边BC、AD上,请添加一个条件: ,使四边形AECF是平行四边形(只填一个即可).13.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线EF是OA的中垂线,分别交AD、OA 于点E、F.若AB=6 cm,BC=8 cm,则△DEO的周长= cm.14.如图,菱形ABCD中,对角线AC交BD于O,AB=8,E是CD的中点,则OE的长等于.15.如图,在正方形ABCD中,点E是BC上的一定点,且BE=5,EC=7,点P是BD上的一动点,则PE+PC的最小值是.16.如图所示,平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD、BC于点M、N,若△CON的面积为2,△DOM的面积为4,则△AOB的面积为.三、解答题17.如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BA的延长线上,且BE=AD,点F在AD上,AF=AB,求证:△AEF≌△DFC.18.如图,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC,交AB于点E,BF平分∠ABC,交CD于点F.(1)求证:DE=BF;(2)连接EF,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)19.在矩形ABCD中,点E是BC上一点,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F,求证:DF=DC.20.如图,在▱ABCD中,E、F为BC上的两点,且BE=CF,AF=DE.求证:(1)△ABF≌△DCE;(2)四边形ABCD是矩形.21.已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若AB=6,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积.22.如图,在直角梯形纸片ABCD中,AB∥DC,∠A=90°,CD>AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使点A落在边CD上的点E处,折痕为DF.连接EF并展开纸片.求证:四边形ADEF是正方形.23.在▱ABCD中,点E、F分别在AB、CD上,且AE=CF.(1)求证:△ADE≌△CBF;(2)若DF=BF,求证:四边形DEBF为菱形.参考答案1-10 DBBDA ACCCB11.1512.答案不唯一,如AF=CE13.1314.415.1316.617.证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD且AB∥CD,∴∠EAF=∠ADC,又∵AF=AB,BE=AD,∴AF=CD,AE=DF,在△AEF和△DFC中,∴△AEF≌△DFC.18.(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,∴∠CDE=∠AED,∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD,同理,CF=CB,又AD=CB,AB=CD,∴AE=CF,∴DF=BE,∴四边形DEBF是平行四边形,∴DE=BF.(2)△ADE≌△CBF,△DFE≌△BEF.19.证明∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD∥BC,∠B=90°.∵DF⊥AE,∴∠AFD=∠B=90°.∵AD∥BC,∴∠DAE=∠AEB,又∵AD=AE,∴△ADF≌△EAB,∴DF=AB,∴DF=DC.20.证明(1)∵BE=CF,BF=BE+EF,CE=CF+EF,∴BF=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.在△ABF和△DCE中,∴△ABF≌△DCE(SSS).(2)∵△ABF≌△DCE,∴∠B=∠C.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD.∴∠B+∠C=180°.∴∠B=∠C=90°.∴四边形ABCD是矩形.21.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°,∵DE∥AC,AE∥BD,∴四边形AODE是平行四边形,∵∠AOD=90°,∴▱AODE是矩形.(2)∵四边形ABCD是菱形,∴AO=OC=AC,BO=OD,AB=BC,AB∥CD,∴∠ABC+∠BCD=180°,∵∠BCD=120°,∴∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴AC=AB=6,∴OA=3.在Rt△ABO中,由勾股定理得BO=3,∴DO=3,∴S矩形AODE=AO·DO=3×3=9.22.证明∵△DEF由△DAF折叠得到,∴∠DEF=∠A=90°,DA=DE,∵AB∥CD,∴∠ADE=180°-∠A=90°.∵∠DEF=∠A=∠ADE=90°,∴四边形ADEF是矩形.又∵DA=DE,∴四边形ADEF是正方形.23.证明(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,∵在△ADE和△CBF中,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD,∵AE=CF,∴EB=DF,又∵DF∥EB,∴四边形DEBF是平行四边形,又∵DF=BF,∴四边形DEBF为菱形.人教版八年级下册第十八章平行四边形单元测试含答案一、选择题1、下列说法错误的是（）A．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形 B．每组邻边都相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．四个角都相等的四边形是矩形2、如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE=1，则AB的长是A．1 B． 2 C．3 D．43、如图，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F，若∠BAF = 60°，则∠DAE = （）（A）15°（B）30°（C）45°（D）60°4、在□ABCD中，AB=3，BC=4，当□ABCD的面积最大时，下列结论正确的有（）①AC=5；②∠A+∠C=180°；③AC⊥BD；④AC=BD．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④5、四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．下列条件中，能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD=BC，AB∥CD B．AO=CO，AD=BCC．AD∥BC，∠ADC=∠ABC D．AD=BC，∠ABD=∠CDB6、如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点E作垂线交BC于点F，已知BC＝10，△ABD的面积为12，则EF的长为( )A．4.8 B．3.6 C．2.4 D．1.27、如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，2），则CE的长是（）A． B．2 C． D．8、如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题9、已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x= ．10、如图，▱ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD=12，则△DOE 的周长为 ______ ．11、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、BC、CA上的中点，且AB=6cm，AC=8cm，则四边形ADEF的周长等于cm．12、如图，矩形中，、交于点，，平分交于点，连接，则。
初中数学特殊的平行四边形50题(含答案)
特殊的平行四边形练习题（50题）菱形、矩形、正方形一、单选题（共18题；共36分）1.下列条件中，能判定一个四边形为矩形的条件是( )A. 对角线互相平分的四边形B. 对角线相等且平分的四边形C. 对角线相等的四边形D. 对角线相等且互相垂直的四边形【答案】B【解析】【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A不符合题意；B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故B符合题意；C、对角线相等的四边形不是矩形，故C不符合题意；D、对角线相等且互相垂直的四边形不是矩形，故D不符合题意.故答案为：B.【分析】根据矩形的判定方法，逐项进行判断，即可求解2.如图，点A、D、G、M在半圆上，四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，设BC=a ，EF=b ，NH= c ，则下列各式中正确的是（）A. a > b > cB. a =b =cC. c > a > bD. b > c > a【答案】B【解析】【解答】解：连接OA、OD、OM，如图所示：则OA=OD=OM，∵四边形ABOC、DEOF、HNMO均为矩形，∴OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，∴a=b=c；故答案为：B.【分析】连接OA、OD、OM，则OA=OD=OM，由矩形的对角线相等得出OA=BC=a，OD=EF=b，OM=NH=c，再由同圆的半径相等即可得出a=b=c.3.如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )A. 1B. 2C.D.【答案】 D【解析】【解答】解：连接DE交AC于P，连接BD，BP，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于AC对称，则PD=PB，∴PE+PB=PE+PD=DE，即DE就是PE+PB的最小值，∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∵AE=BE=AB=1，∴DE⊥AB，在Rt△ADE中，DE=，∴ PE+PB的最小值是.故答案为：D.【分析】连接DE交AC于P，连接BD，BP，根据菱形的性质得出B、D关于AC对称，得出DE就是PE+PB 的最小值，根据等边三角形的判定与性质得出DE⊥AB，再根据勾股定理求出DE的长，即可求解.4.若正方形的对角线长为2 cm，则这个正方形的面积为（）A. 4B. 2C.D.【答案】B【解析】【解答】解：设正方形的边长为xcm，根据题意得：x2+x2=22，∴x2=2，∴正方形的面积=x2=2（cm2）.故答案为：B.【分析】设正方形的边长为xcm，利用勾股定理列出方程，求出x2=2，即可求出正方形的面积为2.5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A. 72B. 24C. 48D. 96【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=4，∴BD=8，∵OA=6，∴AC=12，∴菱形ABCD的面积= AC•BD＝×12×8＝48．故答案为：C．【分析】根据菱形的性质得O为BD的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得BD的长度，最后由菱形的面积公式求得面积．6.将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状,则∠ABC等于( )A. 73°B. 56°C. 68°D. 146°【答案】A【解析】【解答】如图，∵∠CBD=34°，∴∠CBE=180°﹣∠CBD=146°，由折叠的性质可得∠ABC=∠ABE= ∠CBE=73°.故答案为：A【分析】根据补角的知识可求出∠CBE，从而根据折叠的性质∠ABC=∠ABE= ∠CBE，可得出∠ABC的度数.7.如图，已知矩形AOBC的顶点O(0，0)，A（0，3），B(4，0)，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OC，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠BOC内交于点F；③作射线OF，交边BC于点G，则点G的坐标为（）A. (4，1)B. (4，)C. (4，)D. (4，)【答案】B【解析】【解答】解：∵四边形AOBC是矩形，A（0，3），B（4，0），∴OB＝4，OA＝BC＝3，∠OBC＝90°，∴OC＝＝5，作GH⊥OC于H，如图，由题意可知：OG平分∠BOC，∵GB⊥OB，GH⊥OC，∴GB＝GH，设GB＝GH＝x，由S△OBC＝×3×4＝×5×x+ ×4×x，解得：x＝，∴G（4，）.故答案为：B.【分析】根据勾股定理可得OC的长，作GH⊥OC于H，根据角平分线的性质可得GB＝GH，然后利用面积法求出GB即可.8.如图1，在矩形ABCD中，点E在CD上，∠AEB＝90°，点P从点A出发，沿A→E→B的路径匀速运动到点B停止，作PQ⊥CD于点Q，设点P运动的路程为x，PQ长为y，若y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝6时，PQ的值是( )A. 2B.C.D. 1【答案】B【解析】【解答】解：由图象可知：AE＝3，BE＝4，在Rt ABE中，∠AEB＝90°AB= =5当x＝6时，点P在BE上，如图,此时PE=4-(7-x)=x-3=6-3=3∵∠AEB＝90°, PQ⊥CD∴∠AEB=∠PQE=90°,在矩形ABCD中，AB//CD∴∠QEP=∠ABE∴PQE BAE, ∴=∴=∴PQ=故答案为：B.【分析】由图象可知：AE＝3，BE＝4，根据勾股定理可得AB=5,当x＝6时，点P在BE上，先求出PE的长，再根据△ PQE ∽△ BAE，求出PQ的长.9.如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使以点，，，为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A. 向左平移1个单位，再向下平移1个单位B. 向左平移个单位，再向上平移1个单位C. 向右平移个单位，再向上平移1个单位D. 向右平移1个单位，再向上平移1个单位【答案】 D【解析】【解答】解：因为B（1,1）由勾股定理可得OB=,所以OA=OB，而AB<OA.故以AB为对角线，OB//AC，由O（0,0）移到点B（1,1）需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，由平移的性质可得由A（,0）移到点C需要向右平移1个单位，再向上平移1个单位，故选D.【分析】根据平移的性质可得OB//AC，平移A到C，有两种平移的方法可使O，A，B，C四点构成的四边形是平行四边形；而OA=OB>AB，故当OA，OB为边时O，A，B，C四点构成的四边形是菱形，故点A平移到C的运动与点O平移到B的相同.10.如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1=500，则∠AEF的度数等于（）A. 25ºB. 50ºC. 100ºD. 115º【答案】 D【解析】解析:∵把矩形ABCD沿EF对折，∴AD∥BC，∠BFE=∠2，∵∠1=50°，∠1+∠2+∠BFE=180°，∴∠BFE==65°，∵∠AEF+∠BFE=180°，∴∠AEF=115°．故选D11.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF.EC交于点H，下列结论中：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．正确的是（）A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④【答案】 D【解析】【解答】∵AB＝1，AD＝，∴BD＝AC＝2，OB＝OA＝OD＝OC＝1．∴△OAB，△OCD为正三角形．AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，即△ABF是一个等腰直角三角形．∴BF＝AB＝1，BF＝BO＝1．∵AF平分∠DAB，∴∠FAB＝45°，∴∠CAH＝45°﹣30°＝15°．∵∠ACE＝30°（正三角形上的高的性质）∴∠AHC＝15°，∴CA＝CH由正三角形上的高的性质可知：DE＝OD÷2，OD＝OB，∴BE＝3ED．所以正确的是②③④.故选D．【分析】这是一个特殊的矩形：对角线相交成60°的角．利用等边三角形的性质结合图中的特殊角度解答．本题主要考查了矩形的性质及正三角形的性质．12.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB 上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（）A. （3，1）B. （3，）C. （3，）D. （3，2）【答案】B【解析】【解答】解：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．∵D（，0），A（3，0），∴H（，0），∴直线CH解析式为y=﹣x+4，∴x=3时，y= ，∴点E坐标（3，）故选：B．【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称﹣最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．13.如图，正方形ABCD的边长为4，M在DC上，且DM=1，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）．A. 3B. 4C. 5D.【答案】C【解析】【分析】由正方形的对称性可知点B与D关于直线AC对称，连接BM交AC于N′点，N′即为所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的长即可．【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于直线AC对称，连接BD，BM交AC于N′，连接DN′，N′即为所求的点，则BM的长即为DN+MN的最小值，∴AC是线段BD的垂直平分线，又CM=CD-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BM==5，故DN+MN的最小值是5．故选C．【点评】本题考查的是轴对称-最短路线问题及正方形的性质，先作出M关于直线AC的对称点M′，由轴对称及正方形的性质判断出点M′在BC上是解答此题的关键．14.将矩形OABC如图放置，O为原点．若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（）A. （4，2）B. （2，4）C. （，3）D. （3，）【答案】 D【解析】【解答】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，∵∠EAO+∠AOE=90°,∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO，∴∠AEO∽△COM，∴=，∵∠BAN+∠OAN=90°,∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中∴△ABN≌△OCM(AAS)，∴BN=CM，∵点A(−1,2),点B的纵坐标是，∴BN= ，∴CM= ，∴MO==2CM=3，∴点C的坐标是：(3, ).故选：D.【分析】次题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.15.如图，CB=CA，∠ACB=90°，点D在边BC上（与B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC=FG；②S△FAB：S四边形CBFG=1：2；③∠ABC=∠ABF；④AD2=FQ•AC，其中正确的结论的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】 D【解析】【解答】解：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD=90°，AD=AF=EF，∴∠CAD+∠FAG=90°，∵FG⊥CA，∴∠C=90°=∠ACB，∴∠CAD=∠AFG，在△FGA和△ACD中，，∴△FGA≌△ACD（AAS），∴AC=FG，①正确；∵BC=AC，∴FG=BC，∵∠ACB=90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF=90°，S△FAB= FB•FG= S四边形CBFG，②正确；∵CA=CB，∠C=∠CBF=90°，∴∠ABC=∠ABF=45°，③正确；∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC：AD=FE：FQ，∴AD•FE=AD2=FQ•AC，④正确；故选：D．【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．由正方形的性质得出∠FAD=90°，AD=AF=EF，证出∠CAD=∠AFG，由AAS证明△FGA≌△ACD，得出AC=FG，①正确；证明四边形CBFG是矩形，得出S△FAB= FB•FG= S四边形CEFG，②正确；由等腰直角三角形的性质和矩形的性质得出∠ABC=∠ABF=45°，③正确；证出△ACD∽△FEQ，得出对应边成比例，得出D•FE=AD2=FQ•AC，④正确．16.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点F是AB的中点，E为BC边上一点，且EF⊥ED，连结DF，M 为DF的中点，连结MA，ME．若AM⊥ME，则AE的长为（）A. 5B.C.D.【答案】B【解析】【解答】设BE=x，则CE=6-x，∵四边形ABCD矩形，AB=4，∴AB=CD=4，∠C=∠B=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°，又∵F是AB的中点，∴BF=2，又∵EF⊥ED，∴∠FED=90°，∴∠FEB+∠DEC=90°，∴∠FEB=∠CDE，∴△BFE∽△CED，∴=，∴=，∴（x-2）（x-4）=0，∴x=2，或x=4，①当x=2时，∴EF=2，DE=4，DF=2，∴AM=ME=，∴AE===2,②当x=4时，∴EF=2，DE=2，DF=2，∴AM=ME=，∴AE==2,AE==4,∴x=4不合题意，舍去故答案为：B.【分析】设BE=x，则CE=6-x，由矩形性质得出AB=CD=4，∠C=∠B=90°，又由EF⊥ED，根据同角的余角相等可得出∠FEB=∠CDE；由相似三角形的判定得出△BFE∽△CED，再根据相似三角形的性质得出=，由此列出方程从而求出x=2或x=4，分情况讨论：①当x=2时，由勾股定理算出AE===2,②当x=4时，由勾股定理算出AE==2,AE==4,故x=4不合题意，舍去.17.如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH，其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】B【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，∵AG=CE，∴BG=BE，由勾股定理得：BE=GE，∴①错误；∵BG=BE，∠B=90°，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°，∴∠GAE+∠AEG=45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，∵∠BEG=45°，∴∠AEG+∠FEC=45°，∴∠GAE=∠FEC，在△GAE和△CEF中∴△GAE≌△CEF，∴②正确；∴∠AGE=∠ECF=135°，∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正确；∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；即正确的有2个．故选B．【分析】根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．18.如图,P是正方形ABCD内一点，∠APB=135，BP=1，AP=，求PC的值（）A. B. 3 C. D. 2【答案】B【解析】【分析】解答此题的关键是利用旋转构建直角三角形，由勾股定理求解.如图，把△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABP′，点C的对应点C′与点A重合.根据旋转的性质可得AP′=PC，BP′=BP，△PBP′是等腰直角三角形，利用勾股定理求出，然后由∠APB=135,可得出∠APP′=90°，再利用勾股定理列式计算求出.故选B.二、填空题（共15题；共16分）19.如图所示，△ABC为边长为4的等边三角形，AD为BC边上的高，以AD为边的正方形ADEF的面积为________。
2022-2023学年九年级数学特殊的平行四边形综合练习题(含答案,教师版)
特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．C．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，将△ABD 沿射线BD 的方向平移得到△A ′B ′D ′，分别连接A ′C ，A ′D ，B ′C ，则A ′C＋B ′C5.菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E(0，－1)，当EP ＋BP 最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB＝4，BC＝1，在运动过程中，点D到点O8.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A′处．在EF上任取一点G，连接GC，GA′，CA′，则△CGA′周长的最小值为79.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE ⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG，DF.(1)求证：四边形BDFG为菱形；(2)若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为20．证明：∵∠ABC＝90°，BD为AC的中线，∴BD＝12 AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF. ∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC.(1)求证：AE ＝DC ；(2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°.∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°.∴∠AEF ＋∠CED ＝90°.∴∠EFA ＝∠CED.在△AEF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F.(1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC.∴∠ABE ＝∠CDF.∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF.(2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD . 12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC ⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD. ∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC. ∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE.∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．∵点F 是AE 的中点，∴AF ＝12AE ＝2. ∴当PA ＋PF 最小时，△PAF 的周长最小，即点P 为CF 与BE 的交点时，△PAF 的周长最小．此时△PAF 的周长为PA ＋PF ＋AF ＝CF ＋AF.∵CE ＝DE ，∴∠ECD ＝∠D ＝30°，∠ACE ＝90°－30°＝60°.∴△ACE 是等边三角形．∴AC ＝AE ＝CE ＝4.∵AF ＝EF ，∴CF ⊥AE.∴CF ＝AC 2－AF 2＝2 3.△PAF 周长的最小值为CF ＋AF ＝23＋2. 13.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，过点C 的直线MN ∥AB ，D 为AB 边上一点，过点D 作DE ⊥BC ，垂足为F ，交直线MN 于点E ，连接CD ，BE.(1)求证：CE ＝AD ；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC ≌△EPC.∴BE ＝PE.∴∠EBP ＝∠EPB.∵E 为AB 的中点，∴BE ＝AE.∴AE ＝PE.∴∠EPA ＝∠EAP .∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°.∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF.∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MN DN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM.∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC.∴∠ANM ＝∠CMN.∴∠CMN ＝∠CNM.∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形， ∴HC ＝DN ，NH ＝DC.∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH 12ND ·NH ＝MC ND ＝3， ∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x.∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x.∴MN DN ＝23x x ＝2 3.16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°.∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF.∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°.∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°.∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°， ∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC.在△DAG 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP .(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°.∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°.∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ.∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ.∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°.∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊的平行四边形》单元综合练习题（附答案）一．选择题1．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．四边相等B．四角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直2．如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE ＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．1B．C．D．﹣13．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（）A．10B．12C．16D．184．关于平行四边形ABCD的叙述，正确的是（）A．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是正方形C．若AC＝BD，则平行四边形ABCD是矩形D．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是正方形5．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．46．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比3：4，则菱形面积为（）A．96cm2B．48cm2C．24cm2D．12cm27．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD＝8，BC＝5，AE⊥BC于点E，则AE的长等于（）A．5B．C．D．8．已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的周长是（）A．36B．30C．24D．209．矩形的对角线长为20，两邻边之比为3：4，则矩形的面积为（）A．56 B．192 C．20 D．以上答案都不对10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD中点，若AB＝6，BC＝8，则△AEF的周长为（）A．6B．8C．9D．1011．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，AD＝8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD＝（）A．3B．4C．5D．6二．填空题12．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC＝60°，则四边形ABCD的面积为．13．如图，四边形ABCD是平行四边形，补充一个条件使其成为菱形，你补充条件是（只需填一个即可）．14．如图所示，四边形ABCD为矩形，AE⊥EG，已知∠1＝25°，则∠2＝15．如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且AB＝AE，则∠BEC的度数是度．16．已知正方形的对角线长为2，则它的面积．17．如图，两个正方形边长分别为2、a（a＞2），图中阴影部分的面积为．18．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PF⊥AD于F，PF＝3cm，点E为AB边上一动点，则PE的最小值为cm．三．解答题19．已知：菱形ABCD中，对角线AC＝16cm，BD＝12cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD 的面积和BE的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、CD．求证：EF＝CD．21．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接DE，EC，DE交BC于点O．（1）求证：△ABD≌△BEC；（2）连接BD，若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．22．如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G，若正方形ABCD的周长是40cm．（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？23．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB＝90°，PM⊥AD，PN⊥AB．（1）求证：四边形PMAN是正方形；（2）求证：EM＝BN．24．如图所示，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P，若四边形ABCD的面积是36，求DP的长．25．如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O．（1）求证：△DAF≌△ABE；（2）写出线段AE、DF的数量和位置关系，并说明理由．参考答案一．选择题1．解：正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的四个角不一定相等，而正方形的四个角一定相等．故选：B．2．解：如图，连接EF，延长BA，使得AM＝CE，∵OA＝OC，∠OCE＝∠AOM，∴△OCE≌△OAM（SAS）．∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA，∵∠EOF＝45°，∴∠COE+∠AOF＝45°，∴∠MOA+∠AOF＝45°，∴∠EOF＝∠MOF，在△OFE和△OFM中，，∴△OFE≌△FOM（SAS），∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x，∵CE＝＝＝2，∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x，∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2，∴x＝，∴点F的纵坐标为，故选：B．3．解：作PM⊥AD于M，交BC于N．则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，∴S阴＝8+8＝16，（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）故选：C．4．解：A、错误．若AB⊥BC，则平行四边形ABCD是矩形；B、错误．若AC⊥BD，则平行四边形ABCD是菱形；C、正确．D、错误．若AB＝AD，则平行四边形ABCD是菱形；故选：C．5．解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．6．解：设菱形的对角线分别为3a，4a，∵菱形的周长为40，∴菱形的边长为10，∴（）2+（2a）2＝102，∴a2＝16，∴菱形的面积＝×3a×4a＝6a2＝96．故选：A．7．解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝8，∴BO＝DO＝4，∠BOC＝90°，在Rt△OBC中，OC＝＝＝3，∴AC＝2OC＝6，∴AE×BC＝BO×AC故5AE＝24，解得：AE＝．故选：C．8．解：如图所示，根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB＝＝5，∴此菱形的周长为：5×4＝20．故选：D．9．解：∵矩形的两邻边之比为3：4，∴设矩形的两邻边长分别为：3x，4x，∵对角线长为20，∴（3x）2+（4x）2＝202，解得：x＝4，∴矩形的两邻边长分别为：12，16；∴矩形的面积为：12×16＝192．故选：B．10．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，∠BAD＝90°，OB＝OD＝OA＝OC，在Rt△BAD中，∵BD＝＝＝10，∴OD＝OA＝OB＝5，∵E．F分别是AO．AD中点，∴EF＝OD＝，AE＝，AF＝4，∴△AEF的周长为9，故选：C．11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8，AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF，∵E为BC中点，BC＝8，∴BE＝4，在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝4，由勾股定理得：AE＝5，∴AF＝AE＝5，∴DF＝AD﹣AF＝8﹣5＝3，故选：A．二．填空题12．解：∵纸条的对边平行，即AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两张纸条的宽度都是3，∴S四边形ABCD＝AB×3＝BC×3，∴AB＝BC，∴平行四边形ABCD是菱形，即四边形ABCD是菱形．如图，过A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ABC＝60°，∴∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∴AB＝2BE，在△ABE中，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝AB2+32，解得AB＝2，∴S四边形ABCD＝BC•AE＝2×3＝6．故答案是：6．13．解：∵AB＝BC，且四边形ABCD为平行四边形∴四边形ABCD是菱形故答案为：AB＝BC（答案不唯一）14．解：∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DFE＝∠2∵∠DFE＝∠1+∠E＝115°∴∠2＝115°故答案为：115°15．解：在正方形ABCD中，AC平分∠BAD，∴∠BAE＝45°而AB＝AE∴∠ABE＝∠AEB＝＝67.5°又∵∠AEB+∠BEC＝180°∴∠BEC＝180°﹣67.5°＝112.5°故答案为112.5．16．解：∵正方形的一条对角线的长2，∴这个正方形的面积＝＝4，故答案为417．解：阴影部分的面积＝18．解：∵四边形ABCD是菱形∴AC为∠DAB的角平分线∵PF⊥AD于点F，PF＝3cm．∴PE最短时PE＝PF＝3cm．故答案为3．三．解答题19．解：菱形ABCD的面积S＝×16×12＝96，∵AC⊥BD，∴AB＝10，∴CD＝AB＝10，∴×CD×BE＝48，∴BE＝cm，所以菱形ABCD的面积为96cm2，BE的长为cm．20．证明：∵DE、DF是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DF∥AC，∴四边形DECF是平行四边形，又∵∠ACB＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴EF＝CD．21．证明：（1）在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB∥CD，则BE∥CD．又∵AB＝BE，∴BE＝DC，∴四边形BECD为平行四边形，∴BD＝EC．∴在△ABD与△BEC中，，∴△ABD≌△BEC（SSS）；（2）由（1）知，四边形BECD为平行四边形，则OD＝OE，OC＝OB．∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，∴∠OCD＝∠ODC，∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，即BC＝ED，∴平行四边形BECD为矩形．22．解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB⊥BC，∠B＝90°．∵EF⊥AB，EG⊥BC，∴∠BFE＝90°，∠BGE＝90°．又∵∠B＝90°，∴四边形BFEG是矩形；（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，∴AB＝40÷4＝10cm．∵四边形ABCD为正方形，∴△AEF为等腰直角三角形，∴AF＝EF，∴四边形EFBG的周长C＝2（EF+BF）＝2（AF+BF）＝20cm．（3）若要四边形BFEG是正方形，只需EF＝BF，∵AF＝EF，AB＝10cm，∴当AF＝5cm时，四边形BFEG是正方形．23．解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形PMAN是矩形，∵PM＝PN，∴四边形PMAN是正方形；（2）证明：∵四边形PMAN是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．24．解：作DE⊥BC，交BC延长线于E，如图，∵DP⊥AB，ABC＝90°，∴四边形BEDP为矩形，∴∠PDE＝90°，即∠CDE+∠PDC＝90°，∵∠ADC＝90°，即∠ADP+∠PDC＝90°，∴∠ADP＝∠CDE，在△ADP和△CDE中，，∴△ADP≌△CDE，∴DP＝DE，S△ADP＝S△CDE，∴四边形BEDP为正方形，S四边形ABCD＝S矩形BEDP，∴DP2＝36，∴DP＝6．25．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAF＝∠ABE＝90°，∵AF＝BE，∴△DAF≌△ABE（SAS）；（2）AE＝DF，AE⊥DF，理由如下：由（1）得：△DAF≌△ABE，∴DF＝AE，∠ADF＝∠BEA，∵∠DAO+∠EAB＝∠DAF＝90°，∴∠DAO+∠ADF＝90°，∴∠DOA＝90°，∴AE⊥DF．。
2022年八年级数学下册周周卷二特殊的平行四边形习题课件新版新人教版
(2)若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形 A解：B过C点DF作的FG面⊥B积C于点. G.
∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，AE⊥BF，
∴OE＝ 1 AE＝3，OB＝ 1 BF＝4，
2
2
∴BE＝ OB2 + OE2 ＝5，∴BC＝BE＋CE＝8.
∵S菱形ABEF＝
1 2
AE·BF＝BE·FG，即 1
– C.75°
– D.80°
7.如图，已知O是矩形ABCD的对角线的交 点，∠AOB＝60°，DE∥AC，CE∥BD， DE，CE相交于点E.若四边形OCED的周长
B
是–2A0.5，则BC的长是 ( – B.5 )
3
– C.10
– D.10
3
8.如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一 点，△ADE和△BCE都是等边三角形，CP， Q–，A.M等腰，梯N形分别为AB，BC，CD，DA的中点， 则–四B.矩边形形MNPQ是( )
13.如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中 点，菱形2 3ABEO的边长为2，则BC的长为
________.
14.如图，在正方形ABCD中，点P在边AB
上，AE⊥DP于点E，3 CF⊥DP于点F.若AE ＝4，CF＝7，则EF＝________.
15.如图，将两条宽度都为3的纸片重叠在 一起，使∠6A3BC＝60°，则四边形ABCD 的面积为________.
附加题(20分)
如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的
三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，AD上
，AH＝2，连接CF.
2
(1)当四边形EFGH为正方形时，6 DG的长为________；
《特殊平行四边形》单元练习题(含答案)
第一章《特殊平行四边形》单元练习题一．选择题（共10小题）1．若菱形的两条对角线分别长8、6，则菱形的面积为( B)A．48B．24C．14D．122．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1:2，则较长的对角线长为( C)A．4.5cm B．4cm C．D．3．已知菱形OABC在下面直角坐标系中的位置如图所示，点(4,0)A，60∠=︒，则点BCOA的坐标为( D)A．(4+，2)B．(6,2)C．(4+，D．(6，4．在四边形ABCD中，//=，添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形AB CD，AB AD的是( A)A．AB CD==D．AB BC =B．//AD BC C．BC CD5．矩形的边长是4cm，一条对角线的长是，则矩形的面积是( C)A．232cm B．2C．2D．26．下列说法正确的有( A)（1）一组对边相等的四边形是矩形；（2）两条对角线相等的四边形是矩形；（3）四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；（4）四条边都相等的四边形是菱形．A．1B．2C．3D．47．平行四边形的四个内角的平分线，如果能围成一个四边形，那么这个四边形一定是( A) A．矩形B．菱形C．正方形D．等腰梯形8．将一个正方形纸片放在平面直角坐标系中，已知(1,0)DA-，(1,1)C，若绕点(0,0)B-，(0,1)顺时针旋转这个正方形，旋转角为135︒，则旋转后点B的坐标B'为( C)A．(1,1)B．(2,0)C．，0)D．(1,1)-9．如图，以Rt ABC∆的斜边BC为一边在ABC∆的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为AB=，AO=，那么AC的长等于( A)O，连接AO，如果3A．5B．．6C．7D．810．如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线a b，则点P绕点E顺时针旋转90︒AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(,)得到的对应点P'的坐标是( D)A．(,)-D．(,0)ba bb a C．(,0)a b a-B．(,)二．填空题（共8小题）11．如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F，G，H分别是OA，OB，=或OC，OD的中点，若要使四边形EFGH成为菱形，则ABCD应满足的条件是AB AD ⊥（写出一种即可）．AC BD12．如图，边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，菱形的面积为24．13．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 上，且EC 平分BED ∠，1AB =，45ABE ∠=︒，则BC14．如图，在ABCD 中，再添加一个条件 AC BD = （写出一个即可），ABCD 是矩形（图形中不再添加辅助线）15．顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是 矩形 ．16．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5BC =，12AC =，M 为斜边AB 上一动点，过M 作MD AC ⊥，过M 作ME CB ⊥于点E ，则线段DE 的最小为13．17．如图所示，直线经过正方形ABCD 的顶点A ，分别过正方形的顶点B 、D 作BF a ⊥于点F ，DE a ⊥于点E ．若5DE =，3BF =，则EF 的长为 8 ．18．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为(0,4)，B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=，则点C的坐标为(12,8)．三．解答题（共8小题）19．如图，在菱形ABCD中，DE AB⊥，垂足为点E，且E为边AB的中点．（1）求A∠的度数；（2）如果4AB=，求对角线AC的长．解：连接AC，BD（1）四边形ABCD是菱形AD AB∴=E是AB中点，DE AB⊥AD DB∴=AD DB AB∴==ADB∴∆是等边三角形60A∴∠=︒（2）四边形ABCD是菱形AC BD ∴⊥，1302DAC DAB∠=∠=︒，AO CO=，DO BO=4==AD BA∴=，AO=DO2AC∴=20．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作//BD AB，并交AB的延长线相交于点E，则ACE∆是等腰三角形吗？请说明理由．解：ACE∆是等腰三角形，理由如下：四边形ABCD是矩形，CD AB，∴=，//AC BD即//DC BE，BD CE，//∴四边形DCEB是平行四边形，∴=，BD CE∴=，AC CE∴∆是等腰三角形．ACE21．如图1，ABD∆和BDC∆都是边长为1的等边三角形．（1）四边形ABCD是菱形吗？为什么？（2）如图2，将BDC ∆沿射线BD 方向平移到△111B D C 的位置，则四边形11ABC D 是平行四边形吗？为什么？（3）在BDC ∆移动过程中，四边形11ABC D 有可能是矩形吗？如果是，请求出点B 移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）． 解：（1）四边形ABCD 是菱形； 理由如下：ABD ∆和BDC ∆都是边长为1的等边三角形． AB AD CD BC DB ∴====， AB AD CD BC ∴===， ∴四边形ABCD 是菱形；（2）四边形11ABC D 是平行四边形． 理由：11160ABD C D B ∠=∠=︒ 11//AB C D ∴，又11AB C D =，∴四边形11ABC D 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． （3）四边形11ABC D 有可能是矩形．此时，1130D BC ∠=︒，1190D C B ∠=︒，111C D = 12BD ∴=，又111B D =， 11BB ∴=，即点B 移动的距离是1．22．在ABC ∆中，AD BC ⊥于点D ，点E 为AC 边的中点，过点A 作//AF BC ，交DE 的延长线于点F ，连接CF ．（1）如图1，求证：四边形ADCF 是矩形；（2）如图2，当AB AC =时，取AB 的中点G ，连接DG 、EG ，在不添加任何辅助线和字母的条件下，请直接写出图中所有的平行四边形（不包括矩形)ADCF ．（1）证明：//AF BC ，AFE EDC ∴∠=∠，E 是AC 中点， AE EC ∴=，在AEF ∆和CED ∆中， AFE CDE AEF CED AE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， AEF CED ∴∆≅∆，EF DE ∴=，AE EC =，∴四边形ADCF 是平行四边形，AD BC ⊥， 90ADC ∴∠=︒， ∴四边形ADCF 是矩形．（2）线段DG 、线段GE 、线段DE 都是ABC ∆的中位线，又//AF BC ， //AB DE ∴，//DG AC ，//EG BC ，∴四边形ABDF 、四边形AGEF 、四边形GBDE 、四边形AGDE 、四边形GDCE 都是平行四边形．23．已知：如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若CAD DBC ∠=∠． （1）求证：四边形ABCD 是正方形．（2）E 是OB 上一点，DH CE ⊥，垂足为H ，DH 与OC 相交于点F ，求证：OE OF =．（1）证明：四边形ABCD 是菱形，//AD BC ∴，2BAD DAC ∠=∠，2ABC DBC ∠=∠， 180BAD ABC ∴∠+∠=︒， CAD DBC ∠=∠， BAD ABC ∴∠=∠，2180BAD ∴∠=︒，90BAD ∴∠=︒， ∴四边形ABCD 是正方形；（2）证明：四边形ABCD 是正方形， AC BD ∴⊥，AC BD =，12CO AC =，12DO BO =， 90COB DOC ∴∠=∠=︒，CO DO =， DH CE ⊥，垂足为H ，90DHE ∴∠=︒，90EDH DEH ∠+∠=︒， 90ECO DEH ∠+∠=︒， ECO EDH ∴∠=∠，在ECO ∆和FDO ∆中，90ECO EDHCO DO COE DHE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()ECO FDO ASA ∴∆≅∆， OE OF ∴=．24．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，CDE ∠的平分线交AM 延长线于点F ．（1）如图1，若点E 为线段AM 的中点，:1:2BM CM =，BE =AB 的长；（2）如图2，若DA DE =，求证：BF DF +=．解：（1）设BM x =，则2CM x =，3BC x =， BA BC =，3BA x ∴=．在Rt ABM ∆中，E 为斜边AM 中点，2AM BE ∴==．由勾股定理可得222AM MB AB =+， 即22409x x =+，解得2x =． 36AB x ∴==．（2）延长FD 交过点A 作垂直于AF 的直线于H 点，过点D 作DP AF ⊥于P 点． DF 平分CDE ∠， 12∴∠=∠．DE DA =，DP AF ⊥ 34∴∠=∠．123490∠+∠+∠+∠=︒， 2345∴∠+∠=︒． 904545DFP ∴∠=︒-︒=︒．AH AF ∴=．90BAF DAF ∠+∠=︒，90HAD DAF ∠+∠=︒，BAF DAH ∴∠=∠．又AB AD =，()ABF ADH SAS ∴∆≅∆．AF AH ∴=，BF DH =． Rt FAH ∆是等腰直角三角形，∴=．HF AF=+=+，HF DH DF BF DF∴+=．BF DF。
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特殊平行四边形综合练习题
一、选择题
1：在下列命题中，正确的是（ ）
A ．一组对边平行的四边形是平行四边形
B ．有一个角是直角的四边形是矩形
C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形
D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。
A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
3：如图，在菱形
ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O E ，为AB 的中点，且OE a =，则菱形
ABCD 的周长为（ ） A ．16a B ．12a
C ．8a
D ．4a
4.对角线互相垂直平分的四边形是（ ）
A ．平行四边形、菱形
B ．矩形、菱形
C ．矩形、正方形
D ．菱形、正方形
5.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ）
A .等腰梯形
B .正方形
C .平行四边形
D .矩形
6.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形
7.如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ）
A ．
B ． C
．
D ．8
8.如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，若
22.5DBC ∠=°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角（虚线也视为角的边）有（ ）
A ．6个
B ．5个
C ．4个
D ．3个
D
C
B
A Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｅ
Ｂ
Ｃ
Ｅ Ｄ Ａ
B 22.5
9. 如图，EF 过矩形的对角线交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，如果阴影部分的面积为12，那么矩形的面积为（ ）
A ．60
B ．48
C ．40
D ．36
10. 如图所示：将一张矩形纸片ABCD 的角C 沿着GF 折叠（F 在BC 边上，不与B 、C 重合）使得C 点落在矩形ABCD 内部的E 处，FH 平分∠BFE ，则∠GFH 的度数α满足（ ）
A ．90°＜α＜180°
B ．α＝90°
C ．0°＜α＜90°
D ．α随着折痕位置的变化而变化
A
B
C
D E
H
G
F
二、填空题
1.在右图的方格纸中有一个菱形ABCD （A 、B 、C 、D 四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长
为1，则该菱形的面积为
2.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，已知120 2.5AOD AB ∠==，，则AC
的长为 ．
3.边长为５cm 的菱形，一条对角线长是6cm ，则另一条对角线的长是 .
4.如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC BD ，相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成
为正方形，则这个条件是 （只填一个条件即可）．
5.如图，已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP = BC ，则∠ACP 度数是 ．
6. 如果四边形ABCD 满足____________________条件，那么这个四边形的对角线AC 和BD 互相垂直（只需填写一组你认为适当的条件）．
7. 已知，如图所示，△ABC 三边的中点分别为D 、E 、F ，如果AB ＝6cm ，AC ＝8cm ，BC ＝10cm ，那么△DEF 的周长是__________cm ．
A A D
B
O
B C
D
A
P
B
F C
D
E
G
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D E
F
8.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L ”型图案，则
FAC ∠= ,FCA ∠= .
9.红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志.将宽为1cm 的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_______2
.cm
10.如图，将矩形纸ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH ，若EH ＝3厘米，EF ＝4厘米，则边AD 的长是___________厘米. （三）解答题
1. 已知：如图Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为∠ACB 的平分线，DE ⊥BC 于点E ，DF ⊥AC 于点F.
求证：四边形CEDF 是正方形.
2. 已知，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于 点F. 求证：四边形AEDF 是菱形.
3.如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB CD ，的延长线分别交
于E F ，．
（1）求证：BOE DOF △≌△； （2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A E C F ，，，为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
4：已知：如图，在正方形ABCD 中，G 是CD 上一点，延长BC 到E ，使CE CG =，连接BG 并
延长交DE 于F ．
（1）求证：BCG DCE △≌△
；
F D
O
C
B E
A
第12题图
B
C
（2）将DCE △绕点D 顺时针旋转90得到DAE '△，判断四边形E BGD '是什么特殊四边形？并说
明理由． 5、如图，P 是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P 与A 、C 不重合），点E 在射线BC 上，且
PE=PB .
（1）求证：① PE=PD ； ② PE ⊥PD ；
6、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE ≌△BCF ； （2）判断△BEF 的形状，并说明理由； （3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.
7.将两块全等的含30°角的三角尺如图1摆放在一起，设较短直角边为1．
(1)四边形ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由：________________________．
(2)如图2，将Rt △BCD 沿射线BD 方向平移到Rt △B 1C 1D 1的位置，四边形ABC 1D 1是平行四边形吗？说
图4
C
A
D
B 图3
C
A
D
B 图2
D 1
C 1B 1
C
A
D
B 图1
30︒
30︒
B D
A
C
A
B
C
D E
F E '
G A
B
C
P
D
E
出你的结论和理由：_________________________________________．
(3)在Rt△BCD沿射线BD方向平移的过程中，当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为矩形，其理由是_____________________________________；当点B的移动距离为______时，四边形ABC1D1为菱形，其理由是_______________________________．(图3、图4用于探究)。