四年级数学找规律1
小学数学四年级上册《找规律》精美
小学数学四年级上册《找规律》精美在小学数学的学习旅程中，四年级上册的“找规律”这一单元就像是一把神奇的钥匙，为孩子们打开了探索数学世界奥秘的大门。
它不仅能够锻炼孩子们的观察能力和思维逻辑，还能让他们在有趣的数学现象中发现规律的美妙。
规律，这个看似抽象的概念，其实在我们的生活中无处不在。
比如，四季的更替、昼夜的交替、月亮的阴晴圆缺等等，都是大自然呈现给我们的规律。
而在数学中，找规律更是一项重要的技能，它可以帮助我们快速解决问题，提高计算效率，培养数学思维。
让我们先来看看在数字方面的规律。
例如，有这样一组数：1，3，5，7，9，＿___ ，＿___ 。
通过观察，我们不难发现，每个数字都比前一个数字大2，所以后面两个空应该依次填入11 和13。
再比如，2，4，8，16，32，＿___ ，＿___ 。
这组数中，后一个数都是前一个数的2 倍，因此接下来的两个数是 64 和 128 。
除了数字，图形中也藏着许多规律。
比如，用小正方形拼成的图案：第一个图案用了 1 个小正方形，第二个图案用了 3 个小正方形（拼成一个“L”形），第三个图案用了 6 个小正方形（拼成一个“T”形），那么第四个图案会用几个小正方形呢？通过分析可以发现，第二个图案比第一个图案多了 2 个小正方形，第三个图案比第二个图案多了 3 个小正方形。
以此类推，第四个图案应该比第三个图案多4 个小正方形，所以第四个图案要用 10 个小正方形。
在解决找规律的问题时，孩子们需要认真观察、仔细分析。
首先，要确定所给的信息是按照什么顺序排列的，是递增还是递减，是按照一定的数量增加或减少，还是按照倍数关系变化。
然后，尝试用不同的方法去验证自己找到的规律是否正确。
找规律的学习不仅能够帮助孩子们在数学考试中取得好成绩，更重要的是，它能够培养孩子们的逻辑思维能力和创新能力。
当孩子们能够熟练地找出规律，并运用规律解决问题时，他们会逐渐形成一种严谨的思维方式，这种思维方式将对他们今后的学习和生活产生深远的影响。
四年级奥数寻找数列中的隐藏规律
四年级奥数寻找数列中的隐藏规律数学是一门深奥的学科，它蕴含着各种规律和奥妙。
在四年级的数学学习中，我们经常遇到数列这个概念。
数列是一系列按照一定规律排列的数目，它隐藏着许多规律等待我们去寻找。
本文将带领大家一起探索数列中的隐藏规律。
一、等差数列等差数列是最简单的一类数列，每个数与它后面的数的差值相等。
我们可以通过观察数列中相邻两个数的变化来找到其隐藏规律。
例如，给定数列：2，4，6，8，10，...我们可以发现，每个数与它前面的数的差值都是2，即：4-2=2，6-4=2，8-6=2，...这说明这个数列是一个等差数列，并且它的公差（即相邻两个数的差值）为2。
所以，数列的通项公式可以表示为：an=2n。
二、等差数列的应用等差数列不仅仅是一个简单的数学概念，它还有广泛的应用。
在我们日常生活中，很多现象都可以用等差数列来描述。
例如，我们在买菜的时候，发现某种蔬菜的价格每天都在递增。
如果我们知道第一天的价格和每天的涨幅（即公差），就可以轻松计算出未来几天的价格。
又如，我们在饭店吃饭的时候，发现菜单上的价格每个菜品之间都有规律的增减。
如果我们能够找到这个规律，就可以更好地安排我们的餐点。
三、等比数列除了等差数列，还有一种常见的数列叫做等比数列。
等比数列指的是相邻两个数之比是一个常数。
同样地，我们可以通过观察数列中相邻两个数的比值来找到其隐藏规律。
例如，给定数列：2，4，8，16，32，...我们可以发现，每个数与它前面的数的比值都是2，即：4/2=2，8/4=2，16/8=2，...这说明这个数列是一个等比数列，并且它的公比（即相邻两个数的比值）为2。
所以，数列的通项公式可以表示为：an=2^n。
四、等比数列的应用和等差数列一样，等比数列也是我们生活中经常遇到的。
它可以描述很多复杂的增长和衰减现象。
例如，我们在银行存钱，每年的利息都是按照某个百分比增长。
如果我们知道第一年的存款和每年的增长率（即公比），就可以计算未来几年的存款金额。
小学四年级数学教案 苏教版四年级数学上册找规律9篇
小学四年级数学教案苏教版四年级数学上册找规律9篇苏教版四年级数学上册找规律 1第五单元找规律一、知识点：1、简单周期现象中的排列规律。
2、体会画图、列举、计算等多样化的解决问题的策略。
二、目标要求：1、使学生结合具体情境，探索并发现一些简单周期现象中的排列规律，能根据规律确定某个序号所代表的使什么物体或图形，能正确计算按周期规律排列的某类物体或图形共有多少个。
2、使学生主动经历自主探索、合作交流的过程，体会画图、列举、计算等解决问题的不同策略。
3、使学生在探索规律的过程中体会数学与日常生活的联系，获得成功的体验，增强学习的兴趣和自信心。
三、典型训练题：一、按规律在括号理画出每组第32个图形。
二、有249朵花，按5朵红花，9朵黄花、13朵绿花的顺序排列，红花、黄花、绿花各有多少朵？第六单元解决问题的策略一、知识点：1、用一一列举的策略解决简单的实际问题。
2、知道列举时要注意的问题，以及学会不同的列举。
二、目标要求：1、通过实践活动，经历收集描述和分析数据的过程，认识并掌握用列举法解决问题的策略，能正确运用列举法解决问题，体验事件发生有多种的可能性结果。
2、学生能结合经验对具体情境中的有关数字信息作出合理解释；能进行有条理的思考，探索出解决问题的有效方法，初步学会与他人合作交流。
3、培养学生对数学问题的好奇心，主动参与意识和质疑精神。
体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以借助数学方法来解决；体会数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考过程的条理行和结论的确定性。
三、典型训练题：李红的书桌上有一本故事书、一本杂志，一本漫画。
她想把这三本书顺次放在书架上，她有多少种不同放法？苏教版四年级数学上册找规律 2小学数学四年级上册说课稿《找规律》怎么写好呢?下面是由小编为大家带来的关于《找规律》说课稿，希望能够帮到您!一、教材分析教学目标：1、让学生通过观察、猜测、实验、推理等活动发现图形排列规律。
2、使学生在教学活动中充分感受数学的价值，知道生活中事物有规律的排列隐含着数学知识，初步培养学习发现规律和欣赏数学美的意识。
四年级奥数之找 规 律(一)
找规律（一）1.先找出下列数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
1，4，7，10，（），16，192 .先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（），22，26（2）3，6，9，12，（），18，21（3）33，28，23，（），13，（），3（4）55，49，43，（），31，（），19（5）3，6，12，（），48，（），192（6）2，6，18，（），162，（）（7）128，64，32，（），8，（），2（8）19，3，17，3，15，3，（），（），11，3..3 .先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
1，2，4，7，（），16，224 .先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）10，11，13，16，20，（），31（2）1，4，9，16，25，（），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（），（），11，2（4）53，44，36，29，（），18，（），11，9，8 （5）81，64，49，36，（），16，（），4，1，0 （6）28，1，26，1，24，1，（），（），20，1 （7）30，2，26，2，22，2，（），（），14，2 （8）1，6，4，8，7，10，（），（），13，145 .先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
23，4，20，6，17，8，（），（），11，126.先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）1，6，5，10，9，14，13，（），（）（2）13，2，15，4，17，6，（），（）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（），（），18，14 （4）21，2，19，5，17，8，（），（）（5）32，20，29，18，26，16，（），（），20，12 （6）2，9，6，10，18，11，54，（），（），13，486 （7）1，5，2，8，4，11，8，14，（），（）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（），（）7 .在数列1，1，2，3，5，8，13，（），34，55……中，括号里应填什么数？8 .先找出规律，然后在括号里填上适当的数。
四年级数学测题找规律填写数字的位置
四年级数学测题找规律填写数字的位置1. 填写数字的位置规律是什么？在四年级数学学习中，经常会遇到找规律填写数字的位置的题目。
这类题目要求我们观察一组数字、图形或序列的变化规律，然后填写下一个数字的位置。
通过这种练习，我们能够培养我们的观察力、逻辑思维能力以及数学思维能力。
2. 数字的位置规律示例让我们通过一个示例来进一步理解填写数字的位置规律。
假设我们有以下一组数字序列：2, 4, 6, 8, ...现在我们需要填写数字"10"的位置。
观察给定的数字序列，我们可以发现每个数字都是前一个数字加上2。
根据这个规律，我们可以计算出下一个数字的位置为：2 + 2 = 44 + 2 = 66 + 2 = 88 + 2 = 10因此，数字"10"的位置在第四个。
3. 找规律填写数字的位置的方法在解决这类题目时，我们可以遵循以下方法：- 观察数字、图形或序列的变化规律，找出数字之间的关系。
- 分析数字之间的差异、倍数关系或者其他特征，寻找规律。
- 根据找到的规律，计算出下一个数字的位置。
4. 数字序列中的不同规律在填写数字的位置中，存在多种不同的规律。
以下是一些常见的规律：- 顺序递增或递减：每个数字都比前一个数字大（或小）一定的数值。
- 增量递增或递减：每个数字的增量（差值）递增（或递减）。
- 倍数关系：每个数字都是前一个数字乘以一个固定的倍数。
- 平方数或立方数序列：每个数字是前一个数字的平方或立方。
- 几何图形变化：每个数字代表一个几何图形的面积、周长或边长。
通过对以上规律的观察和分析，我们能够解决不同类型的填写数字的位置题目。
5. 填写数字的位置练习为了更好地掌握填写数字的位置的规律，我们可以进行一些练习。
以下是几个例题：- 3, 5, 7, 9, ...规律：每个数字比前一个数字大2。
下一个数字的位置：9 + 2 = 11，数字"11"的位置是第五个。
四年级找规律题100道含答案
四年级找规律题100道含答案以下是100道四年级找规律题及答案：一、数字规律（整数）1. 2，4，6，8，（），（）规律：后一个数比前一个数大2。
答案：10，12。
2. 1，4，7，10，（），（）规律：相邻两个数的差是3。
答案：13，16。
3. 15，13，11，9，（），（）规律：依次减2。
答案：7，5。
4. 3，6，9，12，（），（）规律：后一个数比前一个数多3。
答案：15，18。
5. 20，18，16，14，（），（）规律：依次减少2。
答案：12，10。
6. 5，10，15，20，（），（）规律：后一个数是前一个数加5。
答案：25，30。
7. 11，9，7，5，（），（）规律：相邻数的差是2，且递减。
答案：3，1。
8. 4，8，12，16，（），（）规律：依次加4。
答案：20，24。
9. 25，20，15，10，（），（）规律：依次减5。
答案：5，0。
10. 7，14，21，28，（），（）规律：后一个数比前一个数大7。
答案：35，42。
11. 18，15，12，9，（），（）规律：相邻数的差是3，且递减。
答案：6，3。
12. 6，12，18，24，（），（）规律：依次加6。
答案：30，36。
13. 30，27，24，21，（），（）规律：依次减3。
答案：18，15。
14. 8，16，24，32，（），（）规律：后一个数比前一个数大8。
答案：40，48。
15. 14，12，10，8，（），（）规律：依次减少2。
答案：6，4。
16. 9，18，27，36，（），（）规律：后一个数是前一个数加9。
答案：45，54。
17. 22，20，18，16，（），（）规律：相邻数的差是2，且递减。
答案：14，12。
18. 10，20，30，40，（），（）规律：依次加10。
答案：50，60。
19. 35，30，25，20，（），（）规律：依次减5。
答案：15，10。
20. 12，24，36，48，（），（）规律：后一个数比前一个数大12。
小学数学四年级上册《找规律》精美数学教案设计
小学数学四年级上册《找规律》精美數學教案設計标题：小学数学四年级上册《找规律》精美數學教案設計
一、教学目标：
1. 让学生理解并掌握找规律的基本方法，能通过观察和思考找出事物的规律。
2. 培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力，提升其问题解决能力。
3. 通过实践活动，让学生体验学习的乐趣，增强对数学的兴趣。
二、教学内容：
1. 规律的概念
2. 找规律的方法
3. 实践活动
三、教学过程：
（一）导入新课：
教师可以通过生活中的实例引入课题，如：时钟的走动，四季的变化等，引导学生发现其中的规律，引出本节课的主题——找规律。
（二）讲解新知：
1. 规律的概念：指事物发展变化中内在的、稳定的联系。
可以是数字、形状、颜色等的变化规律。
2. 找规律的方法：观察、比较、归纳。
（三）实践活动：
设计一些找规律的题目，让学生分组进行讨论和解答，如：数列的规律，图形的规律等。
教师在学生完成实践后进行点评和总结。
四、教学反思：
通过本节课的学习，学生应能掌握找规律的基本方法，并能在实际生活中应用。
教师应注意观察学生的学习情况，及时调整教学策略，以提高教学效果。
五、家庭作业：
布置一些找规律的题目作为家庭作业，让学生在家中也能练习找规律的能力。
六、教学资源：
教师可以准备一些相关的教具和图片，如：数列卡片，图形模型等，以便于教学演示。
以上就是小学数学四年级上册《找规律》的教案设计，希望对您有所帮助。
(苏教版)四年级数学下册找规律第1课时
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穿衬衣和裙子，有几种不同的穿法？
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穿衬衣和裤子，有几种不同的穿法？
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智力大闯关
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如果我们班也组织一次这样的活动，同学们想当主 持人吗？如果在我们班各选一名男、女主持人共同 主持，那一共有多少种配对方法呢？赶快算一算吧！
男生29人 女生30人
29×30=870（种）
苏教版四年级数学下册
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1
本节课我们来学习探索事 物搭配的规律，同学们细 心观察，认真思考。自己 总结事物的搭配规律。
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2
买一个木偶娃娃,再配1顶帽子,
可以有多少种选配方法?
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3
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4
先选帽子
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先选木偶
5
先选帽子
返回
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6
先选木偶
返回
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7
小组讨论：
（1）怎样选配才能既不重复又不遗漏？ （2应）该木有偶顺的序个、数有和条帽理子地的选顶配数。，与有多少种
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
早餐搭配
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饮料
食品
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20
饮 料
牛奶
豆浆
食
油条 包子
品
馒头
小丽喝一种饮料,吃一种食品,
她有几种h 选配方法呢?
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22
搭配方法有什么关系？ （木3偶）的你个能数列×式帽计子算的出顶有数多=少搭种配搭方配法方的法种吗数？。
3×2=6或2×3=6。
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8
如果再增加一顶帽子， 可以有多少种选配方法?
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四年级奥数找规律填数的技巧与方法总结
四年级奥数找规律填数的技巧与方法总结奥数作为一项智力竞赛，对于学生们的逻辑思维和数学能力提出了挑战。
在四年级的阶段，学生们需要掌握一些找规律填数的技巧与方法，以应对奥数的考验。
本文将总结四年级奥数找规律填数的技巧与方法，帮助学生们更好地解题。
一、数列规律的识别在找规律填数的题目中，经常会给出一组数列，要求我们找出这个数列的规律并填写接下来的数字。
这时，我们可以通过以下几种方法来帮助我们识别数列规律：1. 看数之间的关系：观察给出的数列中，每个数与前一个数之间是否有相同的差值或倍数关系，例如等差数列（公差为一个常数）、等比数列（公比为一个常数）等。
2. 找重复的数：如果数列中存在重复的数字，那么这个数字很可能就是数列的规律。
3. 观察数字的变化规律：有些数列中的数字变化不是很明显，可以通过仔细观察每个数字的变化情况来找出规律。
二、常见规律填数的方法在解决奥数找规律填数题时，有几种常见的方法可以帮助我们找出规律并填写正确的数字：1. 逆向思维法：有时，我们可以从题目给出的答案入手，逆向考虑规律，试着将答案反推回去找到规律。
2. 表格法：将数列中的数字按照一定的顺序排列在一个表格中，观察数字之间的规律，填写接下来的数字。
3. 分解法：将数列中的数字进行分解，观察每个数字的组成部分是否存在规律，并根据规律填写接下来的数字。
4. 假设法：设想一个可能的规律，然后试验这个规律是否能够适用于其他的数字，如果能够适用，那么这个假设就是正确的。
5. 倒推法：如果找不到数列的规律，我们可以试着从后往前倒推，观察前面数字与后面数字之间的关系，从而找到规律。
三、练习与应用为了更好地掌握奥数找规律填数的技巧与方法，我们需要进行大量的练习，并将所学应用于实际问题中。
可以通过以下几种途径来提高自己的能力：1. 完成奥数题目：多做一些奥数题目，尝试应用所学的技巧和方法，逐渐提高解题的能力。
2. 参加竞赛活动：报名参加奥数竞赛活动，与其他学生进行切磋和比拼，激发自己的学习兴趣和动力。
四年级奥数：找规律
四年级奥数：找规律（一）我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律.这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题.什么是周期性变化规律呢？比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天.年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律.再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题.下面，我们通过一些例题作进一步讲解.例1 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去.问：（1）第100盏灯是什么颜色？（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？分析与解：这是一个周期变化问题.彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现.（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯，是红灯.（2）150÷12=12……6，前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏），最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）.例2 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25.已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7.问：这串数中第24个数是几？前77个数的和是多少？分析与解：因为第1，2，3，4个数的和等于第2，3，4，5个数的和，所以第1个数与第5个数相同.进一步可推知，第1，5，9，13，…个数都相同.同理，第2，6，10，14，…个数都相同，第3，7，11，15，…个数都相同，第4，8，12，16…个数都相同.也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的.所以，第2个数等于第6个数，是6；第3个数等于第11个数，是7.前三个数依次是3，6，7，第四个数是25-（3+6+7）=9.这串数按照3，6，7，9的顺序循环出现.第24个数与第4个数相同，是9.由77÷4＝9……1知，前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478. 例3 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数.问：这串数中第88个数是几？628088640448…分析与解：这串数看起来没有什么规律，但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相邻数字相同，那么根据这串数的构成规律，这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化.我们试着将这串数再多写出几位：当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现，它们与第1，2位数相同，所以这串数按每20个数一个周期循环出现.由88÷20=4……8知，第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4.从例3看出，周期性规律有时并不明显，要找到它还真得动点脑筋.例 4 在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字.那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？135761939237134…分析与解：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法.按照例3的方法找到一周期，因为这个周期很长，所以也不是好方法.那么怎么办呢？仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数，按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，如果不看具体数，只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来，得到奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……可以看出，这串数是按照四个奇数一个偶数的规律循环出现的，永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”.例5 A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球.第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？分析与解：按照题意，前六位小朋友放过后，A，B，C，D四个盒子中的球数如下表：可以看出，第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后，每经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次.（100-1）÷4＝24……3，所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，A，B，C，D 盒中依次有4，6，3，5个球.练习71．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的.问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗红珠？2．将1，2，3，4，…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列.求这个数列前100个数的和.3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数.这串数中第100个数是几？前100个数之和是多少？4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数.这列数中第88个数是几？5．小明按1～3报数，小红按1～4报数.两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？6．A，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0个小球.第1个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球……当100个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？第8讲找规律（二）整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a.一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作a n，即本讲主要讲a n的个位数的变化规律，以及a n除以某数所得余数的变化规律.因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况.为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格，看看a，a2，a3，a4，…的个位数字各是什么.从表看出，a n的个位数字的变化规律可分为三类：（1）当a的个位数是0，1，5，6时，a n的个位数仍然是0，1，5，6.（2）当a的个位数是4，9时，随着n的增大，a n的个位数按每两个数为一周期循环出现.其中a的个位数是4时，按4，6的顺序循环出现；a的个位数是9时，按9，1的顺序循环出现.（3）当a的个位数是2，3，7，8时，随着n的增大，a n的个位数按每四个数为一周期循环出现.其中a的个位数是2时，按2，4，8，6的顺序循环出现；a的个位数是3时，按3，9，7，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时，按7，9，3，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时，按8，4，2，6的顺序循环出现.例1求67999的个位数字.分析与解：因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大，按7，9，3，1四个数的顺序循环出现.999÷4＝249……3，所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的个位数字是3.例2求291+3291的个位数字.分析与解：因为2n的个位数字按2，4，8，6四个数的顺序循环出现，91÷4＝22……3，所以，291的个位数字与23的个位数字相同，等于8.类似地，3n的个位数字按3，9，7，1四个数的顺序循环出现，291÷4＝72……3，所以3291与33的个位数相同，等于7.最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同，等于5.例3求28128-2929的个位数字.解：由128÷4＝32知，28128的个位数与84的个位数相同，等于6.由29÷2＝14 (1)知，2929的个位数与91的个位数相同，等于9.因为6＜9，在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7.例4 求下列各除法运算所得的余数：（1）7855÷5；（2）555÷3.分析与解：（1）由55÷4＝13……3知，7855的个位数与83的个位数相同，等于2，所以7855可分解为10×a＋2.因为10×a能被5整除，所以7855除以5的余数是2.（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解.为了寻找5n÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求.比如，52除以3的余数是1，53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同.这是因为52＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而53=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5，（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的余数与1×5除以3的余数相同.由上表看出，5n除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现.由55÷2=27……1知，555÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2.例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌.20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？分析与解：1时后有1×3=31（个）细菌，2时后有31×3=32（个）细菌……20时后，有320个细菌，所以本题相当于“求320÷7的余数”.由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下：由上表看出，3n÷7的余数以六个数为周期循环出现.由20÷6＝3……2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同，等于2.所以最后还剩2个细菌.最后再说明一点，a n÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复出现.练习81．求下列各数的个位数字：（1）3838；（2）2930；（3）6431；（4）17215.2．求下列各式运算结果的个位数字：（1）9222＋5731；（2）615+487+349；（3）469-6211；（4）37×48+59×610.3．求下列各除法算式所得的余数：（1）5100÷4；（2）8111÷6；（3）488÷7答案练习71.红；74颗.2.100. 提示：数列是1，2，0，1，2，0，1，2，0，…，以1，2，0三个数为周期循环出现.3.1；436.提示：这串数按9，7，3，1，3，3六个数循环出现.4.5.提示：这列数按6，3，0，7，4，1，8，5，2，9循环出现.5.27次. 提示：每报12个数有3个数相同.6.5，6,，3，4. 提示：解法同例5.练习81.（1）4；（2）1；（3）4；（4）3.2.（1）7；（2）7；（3）8；（4）2.3.（1）1；（2）2；（3）4.提示：（1）任何数除以4的余数都等于这个数的后两位数除以4的余数，5的任何（大于2）次方的后两位都是25.（2）8n除以6的余数，当n是奇数时等于2，当n是偶数时等于4.（3）与例4类似可得下表：4n除以7的余数，随着n的增大，按4，2，1的顺序循环出现.由88÷3=29 (1)知，488÷7的余数与41÷7的余数相同，是4.。