2019年中考数学真题分类专项训练二次函数综合题

2019年中考数学真题分类专项训练--二次函数综合题1．（2019广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y =233373x x +-与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 右侧），点D 为抛物线的顶点，点C 在y 轴的正半轴上，CD 交x 轴于点F ，△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ，点A 恰好旋转到点F ，连接BE ． （1）求点A 、B 、D 的坐标；（2）求证：四边形BFCE 是平行四边形；（3）如图2，过顶点D 作DD 1⊥x 轴于点D 1，点P 是抛物线上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴，点M 为垂足，使得△PAM 与△DD 1A 相似（不含全等）． ①求出一个满足以上条件的点P 的横坐标； ②直接回答这样的点P 共有几个？解：（1）令233373848x x +-=0， 解得x 1=1，x 2=–7．∴A （1，0），B （–7，0）． 由y 233373x x +-233)23x +-得，D （–3，–3）；（2）∵DD 1⊥x 轴于点D 1，∴∠COF =∠DD 1F =90°，∵∠D 1FD =∠CFO ，∴△DD 1F ∽△COF ，∴11D D COFD OF=， ∵D （–3，–3 ∴D 1D 3，OD =3，∵AC =CF ，CO ⊥AF ，∴OF =OA =1， ∴D 1F =D 1O –OF =3–1=2231OC=， ∴OC 3CA =CF =FA =2，∴△ACF 是等边三角形，∴∠AFC =∠ACF ， ∵△CAD 绕点C 顺时针旋转得到△CFE ， ∴∠ECF =∠AFC =60°，∴EC ∥BF ， ∵EC =DC 223(323)++， ∵BF =6，∴EC =BF ，∴四边形BFCE 是平行四边形； （3）∵点P 是抛物线上一动点， ∴设P 点（x 233373x x +-）， ①当点P 在B 点的左侧时， ∵△PAM 与△DD 1A 相似， ∴11DD D A PM MA =或11DD D AAM PM=， 2234133373x x x =-+-22333373x x =+-，解得：x 1=1（不合题意舍去），x 2=–11或x 1=1（不合题意舍去）x 2=–373； 当点P 在A 点的右侧时， ∵△PAM 与△DD 1A 相似，∴11DD PM AM D A =或11D APM MA DD =，∴23337323 84814 x xx+-=-或233373848123x xx+-=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=11DDD A或PMMA=11D ADD，∴2333732384814x xx+-=-或233373848123x xx+-=-，解得：x1=1（不合题意舍去），x2=–3（不合题意舍去）或x1=1（不合题意舍去），x2=–53；综上所述，点P的横坐标为–11或–373或–53；②由①得，这样的点P共有3个．2．（2019深圳）如图，抛物线经y=ax2+bx+c过点A（-1，0），点C（0，3），且OB=OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x=1上的两个动点，且DE=1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，故-3a=3，解得：a=-1，故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3，对称轴为x=1．（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC10=、DE=1是常数，故CD +AE 最小时，周长最小，取点C 关于函数对称点C （2，3），则CD =C ′D ， 取点A ′（-1，1），则A ′D =AE ，故：CD +AE =A ′D +DC ′，则当A ′、D 、C ′三点共线时，CD +AE =A ′D +DC ′最小，周长也最小，四边形ACDE 的周长的最小值=AC +DE +CD +AE 101=++A ′D +DC ′101=++A ′C ′10113=++． （3）如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为3∶5两部分， 又∵S △PCB ∶S △PCA 12=EB ×（y C -y P ）∶12AE ×（y C -y P ）=BE ∶AE ， 则BE ∶AE =3∶5或5∶3， 则AE 52=或32， 即：点E 的坐标为（32，0）或（12，0）， 将点E 、C 的坐标代入一次函数表达式：y =kx +3， 解得：k =-6或-2，故直线CP 的表达式为：y =-2x +3或y =-6x +3，联立22363y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩并解得：x =4或8（不合题意值已舍去），故点P 的坐标为（4，-5）或（8，-45）．3.（2019雅安） 已知二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象过点（2，-1），点P （P 与O 不重合）是图象上的一点，直线l 过点（0，1）且平行于x 轴。

PM ⊥l 于点M ，点F （0，-1）．（1）求二次函数的解析式；（2）求证：点P 在线段MF 的中垂线上；（3）设直线 PF 交二次函数的图象于另一点Q ，QN ⊥l 于点N ，线段MF 的中垂线交l 于点R ，求MRRN的值； （4）试判断点R 与以线段PQ 为直径的圆的位置关系．解：（1）∵y=ax 2(a ≠0)的图象过点（2，-1），∴-1=a ×22，即a=14-，∴214y x =-； （2）设214y x =-的图象上的点P （x 1,y 1）,则M(x 1，1)，21114y x =-，即x 12=-4y 1，PM=｜1-y 1｜，又｜y 1-1｜=PM ，即PF=PM ，∴点P 在线段MF 的中垂线上；（3）连接RF ，∵R 在线段MF 的中垂线上，∴MR=FR ，又∵PM=PF ，PR=PR ，∴△PMR ≌△PFR ，∴∠PFR=∠PMR=90°，∴RF ⊥PF ，连接RQ ，又在Rt △RFQ 和Rt △RNQ 中，∵Q 在214y x =-的图象上，由（2）结论知∴QF=QN ，∵RQ=RQ ，∴Rt △RFQ ≌Rt △RNQ ，即RN=FR ，即MR=FR=RN ，∴1MRRN=； （4）在△PQR 中，由（3）知PR 平分∠MRF ，QR 平分∠FRN ，∴∠PRQ=12（∠MRF+∠FRN ）=90°，∴点R 在以线段PQ 为直径的圆上．4．（2019南宁）如果抛物线C1的顶点在拋物线C2上，抛物线C2的顶点也在拋物线C1上时，那么我们称抛物线C1与C2“互为关联”的抛物线．如图1，已知抛物线C1：y1=14x2+x与C2：y2=ax2+x+c是“互为关联”的拋物线，点A，B分别是抛物线C1，C2的顶点，抛物线C2经过点D（6，–1）．（1）直接写出A，B的坐标和抛物线C2的解析式；（2）抛物线C2上是否存在点E，使得△ABE是直角三角形？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）如图2，点F（–6，3）在抛物线C1上，点M，N分别是抛物线C1，C2上的动点，且点M，N的横坐标相同，记△AFM面积为S1（当点M与点A，F重合时S1=0），△ABN的面积为S2（当点N与点A，B重合时，S2=0），令S=S1+S2，观察图象，当y1≤y2时，写出x的取值范围，并求出在此范围内S的最大值．解：（1）C1顶点在C2上，C2顶点也在C1上，由抛物线C1：y1=14x2+x可得A（–2，–1），将A（–2，–1），D（6，–1）代入y2=ax2+x+c得4213661a ca c-+=--+=-⎧⎨⎩，解得142ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴y2=–14x2+x+2，∴B（2，3）；（2）易得直线AB 的解析式：y =x +1， ①若B 为直角的顶点，BE ⊥AB ，k BE •k AB =–1， ∴k BE =–1，则直线BE 的解析式为y =–x +5．联立25124y x y x x =-+⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得23x y =⎧⎨=⎩或61x y =⎧⎨=-⎩，此时E （6，–1）；②若A 为直角顶点，AE ⊥AB ，k AE •k AB =–1， ∴k AE =–1，则直线AE 的解析式为y =–x –3，联立23124y x y x x =--⎧⎪⎨=-++⎪⎩， 解得21x y =-⎧⎨=-⎩或1013x y =⎧⎨=-⎩，此时E （10，–13）； ③若E 为直角顶点，设E （m ，–14m 2+m +2） 由AE ⊥BE 得k BE •k AE =–1，即22111344122m m m m m m -+--++⋅=--+，解得m =2或–2（不符合题意均舍去）， ∴存在，∴E （6，–1）或E （10，–13）；（3）∵y 1≤y 2，观察图形可得：x 的取值范围为–2≤x ≤2， 设M （t ，14t 2+t ），N （t ，−14t 2+t +2），且–2≤t ≤2， 易求直线AF 的解析式：y =–x –3， 过M 作x 轴的平行线MQ 交AF 于Q ，由y Q=y M，得Q（14t2−t−3，14t2+t），S1=12|QM|•|y F–y A|=12t2+4t+6，设AB交MN于点P，易知P坐标为（t，t+1），S2=12|PN|•|x A–x B|=2–12t2，S=S1+S2=4t+8，当t=2时，S的最大值为16．5．（2019广州）已知抛物线G：y=mx2-2mx-3有最低点．（1）求二次函数y=mx2-2mx-3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．解：（1）∵y=mx2-2mx-3=m（x-1）2-m-3，抛物线有最低点，∴二次函数y=mx2-2mx-3的最小值为-m-3．（2）∵抛物线G：y=m（x-1）2-m-3，∴平移后的抛物线G1：y=m（x-1-m）2-m-3，∴抛物线G1顶点坐标为（m+1，-m-3），∴x=m+1，y=-m-3，∴x+y=m+1-m-3=-2，即x+y=-2，变形得y=-x-2，∵m>0，m=x-1，∴x-1>0，∴x>1，∴y与x的函数关系式为y=-x-2（x>1）．（3）法一：如图，函数H ：y =-x -2（x >1）图象为射线，x =1时，y =-1-2=-3；x =2时，y =-2-2=-4，∴函数H 的图象恒过点B （2，-4）， ∵抛物线G ：y =m （x -1）2-m -3，x =1时，y =-m -3；x =2时，y =m -m -3=-3，∴抛物线G 恒过点A （2，-3），由图象可知，若抛物线与函数H 的图象有交点P ，则y B <y P <y A ， ∴点P 纵坐标的取值范围为-4<y P <-3．法二：2223y x y mx mx =--⎧⎨=--⎩， 整理的：m （x 2-2x ）=1-x ，∵x >1，且x =2时，方程为0=-1不成立， ∴x ≠2，即x 2-2x =x （x -2）≠0， ∴m 1(2)xx x -=>-0，∵x >1， ∴1-x <0， ∴x （x -2）<0， ∴x -2<0， ∴x <2，即1<x <2， ∵y P =-x -2， ∴-4<y P <-3，6．（2019海南）如图，已知抛物线y =ax 2+bx +5经过A （–5，0），B （–4，–3）两点，与x 轴的另一个交点为C ，顶点为D ，连结C D ．（1）求该抛物线的表达式；（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．①当点P在直线BC的下方运动时，求△PBC的面积的最大值；②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：2555016453a ba b-+=⎧⎨-+=-⎩，解得16ab=⎧⎨=⎩，故抛物线的表达式为：y=x2+6x+5．（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F.在抛物线y=x2+6x+5中，令y=0，则x2+6x+5=0，解得x=–5，x=–1，∴点C的坐标为（–1，0）.由点B（–4，–3）和C（–1，0），可得直线BC的表达式为y=x+1.设点P的坐标为（t，t2+6t+5），由题知–4<t<–1，则点F（t，t+1），∴FP =（t +1）–（t 2+6t +5）=–t 2–5t –4， ∴S △PBC =S △FPB +S △FPC =12·FP ·3 =()23542t t --- =2315622t t ---=23527228t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭.∵–4<–52<–1， ∴当t =–52时，△PBC 的面积的最大值为278．②存在．∵y =x 2+6r +5=（x +3）2–4，∴抛物线的顶点D 的坐标为（–3，–4）. 由点C （–l ，0）和D （–3，–4），可得 直线CD 的表达式为y =2x +2. 分两种情况讨论：（i ）当点P 在直线BC 上方时，有∠PBC =∠BCD ，如图2.若∠PBC =∠BCD ， 则PB ∥CD ，∴设直线PB 的表达式为y =2x +b . 把B （–4，–3）代入y =2x +b ，得b =5， ∴直线PB 的表达式为y =2x +5.由x 2+6x +5=2x +5，解得x 1=0，x 2=–4（舍去）， ∴点P 的坐标为（0，5）.（ii ）当点P 在直线BC 下方时，有∠PBC =∠BCD ，如图3.设直线BP 与CD 交于点M ，则MB =M C.过点B 作BN ⊥x 轴于点N ，则点N （–4，0）， ∴NB =NC =3， ∴MN 垂直平分线段B C.设直线MN 与BC 交于点G ，则线段BC 的中点G 的坐标为53,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由点N （–4，0）和G 53,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭，得 直线NG 的表达式为y =–x –4.∵直线CD :y =2x +2与直线NG :y =–x –4交于点M ， 由2x +2=–x –4，解得x =–2， ∴点M 的坐标为（–2，–2）. 由B （–4，–3）和M （–2.–2），得直线BM 的表达式为y =112x -． 由x 2+6x +5=112x -，解得x 1=–32，x 2=–4（含去），∴点P 的坐标为（–32，–74）.综上所述，存在满足条件的点P 的坐标为（0，5）和（–32，–74）. 7. （2019镇江）如图，二次函数245y x x =-++图象的顶点为D ，对称轴是直线1，一次函数215y x =+的图象与x 轴交于点A ，且与直线DA 关于l 的对称直线交于点B ． （1）点D 的坐标是 ；（2）直线l 与直线AB 交于点C ，N 是线段DC 上一点（不与点D 、C 重合），点N 的纵坐标为n ．过点N作直线与线段DA 、DB 分别交于点P 、Q ，使得DPQ ∆与DAB ∆相似． ①当275n =时，求DP 的长； ②若对于每一个确定的n 的值，有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似，请直接写出n 的取值范围 ．解：（1）顶点为(2,9)D ；故答案为(2,9)； （2）对称轴2x =， 9(2,)5C ∴，由已知可求5(2A -，0)，点A 关于2x =对称点为13(2，0)，则AD 关于2x =对称的直线为213y x =-+， (5,3)B ∴，①当275n =时，27(2,)5N ， 95DA ∴，185DN =，365CD = 当//PQ AB 时，DPQ DAB ∆∆∽， DAC DPN ∆∆Q ∽，∴DP DNDA DC=， 95DP ∴=当PQ 与AB 不平行时，DPQ DBA ∆∆∽， DNQ DCA ∴∆∆∽，∴DP DNDB DC=， 95DP ∴=综上所述，95DN =； ②当//PQ AB ，DB DP =时， 35DB =，∴DP DNDA DC=， 245DN ∴=， 21(2,)5N ∴， ∴有且只有一个DPQ ∆与DAB ∆相似时，92155n <<； 故答案为92155n <<； 8．（2019陕西）在平面直角坐标系中，已知抛物线L ：y =ax 2+（c –a ）x +c 经过点A （–3，0）和点B （0，–6），L 关于原点O 对称的抛物线为L ′． （1）求抛物线L 的表达式；（2）点P 在抛物线L ′上，且位于第一象限，过点P 作PD ⊥y 轴，垂足为D ．若△POD 与△AOB 相似，求符合条件的点P 的坐标．解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：(9306)a c a c c --+==-⎧⎨⎩，解得16a c =-=-⎧⎨⎩，∴L ：y =–x 2–5x –6．（2）∵点A 、B 在L ′上的对应点分别为A ′（3，0）、B ′（0，6）， ∴设抛物线L ′的表达式y =x 2+bx +6，将A′（–3，0）代入y=x2+bx+6，得b=–5，∴抛物线L′的表达式为y=x2–5x+6，A（–3，0），B（0，–6），∴AO=3，OB=6，设：P（m，m2–5m+6）（m＞0），∵PD⊥y轴，∴点D的坐标为（0，m2–5m+6），∵PD=m，OD=m2–5m+6，Rt△POD与Rt△AOB相似.①△PDO∽△BOA时，PDOB=ODOA，即m=2（m2–5m+6），解得：m=32或4；②当△ODP∽△AOB时，同理可得：m=1或6；∵P1、P2、P3、P4均在第一象限，∴符合条件的点P的坐标为（1，2）或（6，12）或（32，34）或（4，2）．9.（2019常州）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．（1）b＝；（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P的横坐标小于3，过点P作PQ⊥BD，垂足为Q，直线PQ与x轴交于点R，且S△PQB＝2S△QRB，求点P的坐标．解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣1，0）∴﹣1﹣b+3＝解得：b＝2故答案为：2．（2）存在满足条件呢的点P，使得PM＝MN＝NH．∵二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3当x＝0时y＝3，∴C（0，3）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3∴A（﹣1，0），B（3，0）∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3∵点D为OC的中点，∴D（0，）∴直线BD的解析式为y，设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t+3），N（t，t），H（t，0）∴PM＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，MN＝﹣t+3﹣（x）t，NH t ∴MN＝NH∵PM＝MN∴﹣t2+3t t解得：t1，t2＝3（舍去）∴P（，）∴P的坐标为（，），使得PM＝MN＝NH．（3）过点P作PF⊥x轴于F，交直线BD于E∵OB＝3，OD，∠BOD＝90°∴BD∴cos∠OBD∵PQ⊥BD于点Q，PF⊥x轴于点F∴∠PQE＝∠BQR＝∠PFR＝90°∴∠PRF+∠OBD＝∠PRF+∠EPQ＝90°∴∠EPQ＝∠OBD，即cos∠EPQ＝cos∠OBD在Rt△PQE中，cos∠EPQ∴PQ PE在Rt△PFR中，cos∠RPF∴PR PF∵S△PQB＝2S△QRB，S△PQB BQ•PQ，S△QRB BQ•QR ∴PQ＝2QR设直线BD与抛物线交于点G∵x2+2x+3，解得：x1＝3（即点B横坐标），x2∴点G横坐标为设P（t，﹣t2+2t+3）（t＜3），则E（t，t）∴PF＝|﹣t2+2t+3|，PE＝|﹣t2+2t+3﹣（t）|＝|﹣t2t| ①若t＜3，则点P在直线BD上方，如图2，∴PF＝﹣t2+2t+3，PE＝﹣t2t∵PQ＝2QR∴PQ PR∴PE•PF，即6PE＝5PF∴6（﹣t2t）＝5（﹣t2+2t+3）解得：t1＝2，t2＝3（舍去）∴P（2，3）②若﹣1＜t，则点P在x轴上方、直线BD下方，如图3，此时，PQ＜QR，即S△PQB＝2S△QRB不成立．③若t＜﹣1，则点P在x轴下方，如图4，∴PF＝﹣（﹣t2+2t+3）＝t2﹣2t﹣3，PE t（﹣t2+2t+3）＝t2t∵PQ＝2QR∴PQ＝2PR∴PE＝2•PF，即2PE＝5PF∴2（t2t）＝5（t2﹣2t﹣3）解得：t1，t2＝3（舍去）∴P（，）综上所述，点P坐标为（2，3）或（，）．10．（2019河北）如图，若b是正数，直线l：y=b与y轴交于点A；直线a：y=x–b与y轴交于点B；抛物线L：y=–x2+bx的顶点为C，且L与x轴右交点为D．（1）若AB=8，求b的值，并求此时L的对称轴与a的交点坐标；（2）当点C 在l 下方时，求点C 与l 距离的最大值；（3）设x 0≠0，点（x 0，y 1），（x 0，y 2），（x 0，y 3）分别在l ，a 和L 上，且y 3是y 1，y 2的平均数，求点（x 0，0）与点D 间的距离；（4）在L 和a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，分别直接写出b =2019和b =2019.5时“美点”的个数．解：（1）当x =0吋，y =x ﹣b =﹣b ，∴B （0，﹣b ）， ∵AB =8，而A （0，b ），∴b ﹣（﹣b ）=8，∴b =4． ∴L ：y =﹣x 2+4x ，∴L 的对称轴x =2， 当x =2时，y =x ﹣4=﹣2，∴L 的对称轴与a 的交点为（2，﹣2）；（2）∵y =﹣（x ﹣2b ）2+24b ，∴L 的顶点C （2b ，24b ），∵点C 在l 下方，∴C 与l 的距离为b ﹣24b =﹣14（b ﹣2）2+1≤1，∴点C 与l 距离的最大值为1； （3）由題意得1232y y y +=，即y 1+y 2=2y 3， 得b +x 0﹣b =2（﹣x 02+bx 0）， 解得x 0=0或x 0=b ﹣12．但x 0≠0，取x 0=b ﹣12， 对于L ，当y =0时，0=﹣x 2+bx ，即0=﹣x （x ﹣b ），解得x 1=0，x 2=b ， ∵b ＞0，∴右交点D （b ，0）．∴点（x 0，0）与点D 间的距离为b ﹣（b ﹣12）=12. （4）①当b =2019时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019x ， 直线解析式a ：y =x ﹣2019，联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019，∴可知每一个整数x 的值 都对应的一个整数y 值，且﹣1和2019之间（包括﹣1和﹣2019），共有2021个整数；∵另外要知道所围成的封闭图形边界分两部分：线段和抛物线，∴线段和抛物线上各有2021个整数点，∴总计4042个点，∵这两段图象交点有2个点重复重复，∴美点”的个数：4042﹣2=4040（个）；②当b =2019.5时，抛物线解析式L ：y =﹣x 2+2019.5x ，直线解析式a ：y =x ﹣2019.5，联立上述两个解析式可得：x 1=﹣1，x 2=2019.5，∴当x 取整数时，在一次函数y =x ﹣2019.5上，y 取不到整数值，因此在该图象上“美点”为0， 在二次函数y =x +2019.5x 图象上，当x 为偶数时，函数值y 可取整数，可知﹣1到2019.5之间有1009个偶数，并且在﹣1和2019.5之间还有整数0，验证后可知0也符合， 条件，因此“美点”共有1010个．故b =2019时“美点”的个数为4040个，b =2019.5时“美点”的个数为1010个．11. （2019邵阳）如图，二次函数213y x bx c =-++的图象过原点，与x 轴的另一个交点为(8,0) （1）求该二次函数的解析式；（2）在x 轴上方作x 轴的平行线1y m =，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点C ．当矩形ABCD 为正方形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 出发沿射线AB 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q 以相同的速度从点A 出发沿线段AD 匀速运动，到达点D 时立即原速返回，当动点Q 返回到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒(0)t >．过点P 向x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线AC 于点F ，问：以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）将(0,0)，(8,0)代入213y x bx c =-++，得：064803c b c =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，解得：830b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴该二次函数的解析式为21833y x x =-+．（2）当y m =时，21833x x m -+=， 解得：14163x m =-24163x m =-，∴点A 的坐标为(4163m --)m ，点B 的坐标为(4163m +-)m ，∴点D 的坐标为(4163m -0)，点C 的坐标为(4163m -0)．Q 矩形ABCD 为正方形，4163(4163)m m m ∴+--=，解得：116m =-（舍去），24m =．∴当矩形ABCD 为正方形时，m 的值为4．（3）以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点A 的坐标为(2,4)，点B 的坐标为(6,4)，点C 的坐标为(6,0)，点D 的坐标为(2,0)．设直线AC 的解析式为(0)y kx a k =+≠，将(2,4)A ，(6,0)C 代入y kx a =+，得：2460k a k a +=⎧⎨+=⎩，解得：16k a =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为6y x =-+．当2x t =+时，22181443333y x x t t =-+=-++，64y x t =-+=-+，∴点E 的坐标为214(2,4)33t t t +-++，点F 的坐标为(2,4)t t +-+．Q 以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且//AQ EF ，AQ EF ∴=，分三种情况考虑：①当04t <„时，如图1所示，AQ t =，2214174(4)3333EF t t t t t =-++--+=-+，21733t t t ∴=-+，解得：10t =（舍去），24t =；②当47t <„时，如图2所示，4AQ t =-，2214174(4)3333EF t t t t t =-++--+=-+，217433t t t ∴-=-+，解得：32t =-（舍去），46t =；③当78t <„时，4AQ t =-，2214174(4)3333EF t t t t t =-+--++=-，217433t t t ∴-=-，解得：5513t =-，6513t =+．综上所述：当以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t 的值为4或6．12．（2019河南）如图，抛物线y=ax2+12x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=–12x–2经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AC于点M，设点P的横坐标为m．①当△PCM是直角三角形时，求点P的坐标；②作点B关于点C的对称点B′，则平面内存在直线l，使点M，B，B′到该直线的距离都相等．当点P在y轴右侧的抛物线上，且与点B不重合时，请直接写出直线l：y=kx+b的解析式．（k，b可用含m的式子表示）解：（1）∵直线y=–12x–2交x轴于点A，交y轴于点C，∴A（-4，0），C（0，-2）.∵抛物线y=ax2+12x+c经过点A，C，∴01622a cc=-+⎧⎨-=⎩，∴142ac⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线的解析式为y=14x2+12x–2．（2）①∵点P的横坐标为m，∴点P的坐标为（m，14m2+12m–2）.当△PCM是直角三角形时，有以下两种情况：（i）当∠CPM=90°时，PC∥x轴，14x2+12x–2=-2.解得m1=0（舍去），m2=-2.∵当m =-2时，14m 2+12m –2=-2.∴点P 的坐标为（-2，-2）.（ii ）当∠PCM =90°时，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，∴∠CNP =∠AOC =90°.∵∠NCP +∠ACO =∠OAC +∠ACO =90°，：∠NCP =∠OAC ，∴△GNP ∽△AOC ，∴CN PNAO CO =，∵C （0，-2），N （0，14m 2+12m –2），∴CN =21142m m +，PN =m . 即2114242m mm +=，解得a 3=0（含去），m 4=6.∵当m =6时，14m 2+12m –2=10，∴点P 的坐标为（6，10）.综上所述，点P 的坐标为（-2，-2）或（6，10）.②当y =0时，14x 2+12x –2=0，解得x 1=–4，x 2=2，∴点B 的坐标为（2，0）．∵点C 的坐标为（0，–2），点B ，B ′关于点C 对称，∴点B ′的坐标为（–2，–4）．∵点P 的横坐标为m （m ＞0且m ≠2），∴点M 的坐标为（m ，–12m –2）．利用待定系数法可求出：直线BM 的解析式为y =–424m m +-x +42m m +-，直线B ′M 的解析式为y =424m m -++x –542m m ++，直线BB ′的解析式为y =x –2．分三种情况考虑，如图2所示：当直线l∥BM且过点C时，直线l的解析式为y=–424mm+-x–2；当直线l∥B′M且过点C时，直线l的解析式为y=424mm-++x–2；当直线l∥BB′且过线段CM的中点N（12m，–14m–2）时，直线l的解析式为y=x–34m–2．综上所述：直线l的解析式为y=–424mm+-x–2，y=424mm-++x–2或y=x–34m–2．13.（2019荆州）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC的顶点A，C的坐标分别为（6，0），（4，3），经过B，C两点的抛物线与x轴的一个交点D的坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若∠AOC的平分线交BC于点E，交抛物线的对称轴于点F，点P是x轴上一动点，当PE+PF的值最小时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，过点A作OE的垂线交BC于点H，点M，N分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）∵平行四边形OABC中，A（6，0），C（4，3）∴BC＝OA＝6，BC∥x轴∴x B＝x C+6＝10，y B＝y C＝3，即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）∴解得：∴抛物线解析式为y x2x（2）如图1，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P∵C（4，3）∴OC∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴x E＝x C+5＝9，即E（9，3）∴直线OE解析式为y x∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x7 ∴F（7，）∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上∴E'（9，﹣3），PE＝PE'∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小设直线E'F解析式为y＝kx+h∴解得：∴直线E'F：y x+21当x+21＝0时，解得：x∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（，0）．（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．设AH与OE相交于点G（t，t），如图2，∵AH⊥OE于点G，A（6，0）∴∠AGO＝90°∴AG2+OG2＝OA2∴（6﹣t）2+（t）2+t2+（t）2＝62∴解得：t1＝0（舍去），t2∴G（，）设直线AG解析式为y＝dx+e∴解得：∴直线AG：y＝﹣3x+18当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5∴H（5，3）∴HE＝9﹣5＝4，点H、E关于直线x＝7对称①当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的边时，如图2则HE∥MN，MN＝HE＝4∵点N在抛物线对称轴：直线x＝7上∴x M＝7+4或7﹣4，即x M＝11或3当x＝3时，y M99∴M（3，）或（11，）②当HE为以点M，N，H，E为顶点的平行四边形的对角线时，如图3则HE、MN互相平分∵直线x＝7平分HE，点F在直线x＝7上∴点M在直线x＝7上，即M为抛物线顶点∴y M497 4∴M（7，4）综上所述，点M坐标为（3，）、（11，）或（7，4）．14. （2019梧州）如图，已知A e 的圆心为点(3,0)，抛物线2376y ax x c =-+过点A ，与A e 交于B 、C 两点，连接AB 、AC ，且AB AC ⊥，B 、C 两点的纵坐标分别是2、1．（1）请直接写出点B 的坐标，并求a 、c 的值；（2）直线1y kx =+经过点B ，与x 轴交于点D ．点E （与点D 不重合）在该直线上，且AD AE =，请判断点E 是否在此抛物线上，并说明理由；（3）如果直线11y k x =-与A e 相切，请直接写出满足此条件的直线解析式．解：（1）过点B 、C 分别作x 轴的垂线交于点R 、S ， 90BAR RAB ∠+∠=︒Q ，90RAB CAS ∠+∠=︒， RAB CAR ∴∠=∠，又AB AC =， RtBRA ∴△Rt ASC(AAS)≅∆，2AS BR ∴==，1AR CS ==，故点B 、C 的坐标分别为(2,2)、(5,1)， 将点B 、C 坐标代入抛物线2376y ax x c =-+并解得：56a =，11c =，故抛物线的表达式为：25371166y x x =-+；（2）将点B 坐标代入1y kx =+并解得：112y x =+，则点(2,0)D -，点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(3,0)、(2,2)、(5,1)、(2,0)-， 则5AB 5AD =，点E 在直线BD 上，则设E 的坐标为1(,1)2x x +，AD AE =Q ，则22215(3)(1)2x x =-++，解得：2x =-或6（舍去2)-，故点(6,4)E ，把6x =代入253711466y x x =-+=， 故点E 在抛物线上； （3）①当切点在x 轴下方时，设直线11y k x =-与A e 相切于点H ，直线与x 轴、y 轴分别交于点K 、(0,1)G -，连接GA ，5AH AB =10GA =90AHK KOG ∠=∠=︒Q ，HKA HKA ∠=∠，KOG KHA ∴∆∆∽，∴KO OG KH HA =25(3)5KO +- 解得：2KO =或12-（舍去1)2-， 故点(2,0)K -，把点K 、G 坐标代入11y k x =-并解得：直线的表达式为：112y x =--； ②当切点在x 轴上方时，直线的表达式为：21y x =-；故满足条件的直线解析式为：112y x =--或21y x =-． 15.（2019本溪）抛物线229y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （5，0）两点，顶点为C ，对称轴交x 轴于点D ，点P 为抛物线对称轴CD 上的一动点（点P 不与C ，D 重合），过点C 作直线PB 的垂线交PB 于点E ，交x 轴于点F.（1）求抛物线的解析式；（2）当△PCF的面积为5时，求点P的坐标；（3）当△PCF为等腰三角形时，请直接写出点P的坐标.解：（1）函数的表达式为：y=29(x+1)(x-5)=-29x2+89x+109；（2）抛物线的对称轴为x=1，则点C（2，2），设点P（2，m），将点P、B的坐标代入一次函数表达式：y=sx+t并解得：函数PB的表达式为：y=-13mx+53m…①，∵CE⊥PE，故直线CE表达式中的k值为3m，将点C的坐标代入一次函数表达式，同理可得直线CE的表达式为：y=3mx+(2−6m)…②，联立①②并解得：x=2-23m，故点F（2-23m，0），S△PCF=12×PC×DF=12(2-m)(2-23m-2)=5，解得：m=5或-3（舍去5），故点P（2，-3）；（3）由（2）确定的点F的坐标得：CP2=(2-m)2，CF2=(23m)2+4，PF2=(23m)2+m2，①当CP=CF时，即：(2-m)2=(23m)2+4，解得：m=0或365（均舍去），②当CP=PF时，(2-m)2=(23m)2+m2，解得：m=32或3（舍去3），③当CF=PF时，同理可得：m=±2（舍去2），故点P（2，32）或（2，-2）．16.（2019湘西）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A 在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y x2﹣4x（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'21012∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E∵D（2，﹣6）∴OD，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE PE•x P PE•（x D﹣x P）PE（x P+x D﹣x P）PE•x D＝PE t2+t∵△ODP中OD边上的高h，∴S△ODP OD•h∴t2+t2方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E t2﹣4t﹣（﹣3t）t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE PE•x P PE•（x P﹣x D）PE（x P﹣x P+x D）PE•x D＝PE t2﹣t∴t2﹣t2解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．17.（2019郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k，当k为何值时，CF AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）①∵在Rt△AOC中，OA＝3，OC＝3，∴AC2＝OA2+OC2＝18，∵D（﹣1，4），C（0，3），A（﹣3，0），∴CD2＝12+12＝2∴AD2＝22+42＝20∴AC2+CD2＝AD2∴△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°．∵，∴F为AD的中点，∴，∴．②在Rt△ACD中，tan，在Rt△OBC中，tan，∴∠ACD＝∠OCB，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∴∠FAO＝∠ACB，若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：当∠AOF＝∠ABC时，△AOF∽△CBA，∴OF∥BC，设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣3x+3，∴直线OF的解析式为y＝﹣3x，设直线AD的解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝2x+6，∴，解得：，∴F（）．当∠AOF＝∠CAB＝45°时，△AOF∽△CAB，∵∠CAB＝45°，∴OF⊥AC，∴直线OF的解析式为y＝﹣x，∴，解得：，∴F（﹣2，2）．综合以上可得F点的坐标为（）或（﹣2，2）．18.（2019孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为，点B的坐标为，线段AC的长为，抛物线的解析式为．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a，故抛物线的表达式为：y x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则AC＝2，故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、y x2﹣x﹣4；（2）①当BC是平行四边形的一条边时，如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0），则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0，解得：m＝4或6（舍去4），即点Q（6，0）；②当BC是平行四边形的对角线时，设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n m2﹣m﹣4，由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4，解得：s＝2或4（舍去4），故点Q（2，0）；故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，∴△EPH∽△CAO，∴，即：，则EP PH，设点P（t，y P），点H（x H，y P），则t2﹣t﹣4＝x H﹣4，则x H t2﹣t，f PH＝[t﹣（t2﹣t）]（t2﹣4t），当t＝m时，f1（m2﹣4m），当t＝4m时，f2（m2﹣2m），则f1﹣f2m（m），则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f1＞f2．19.（2019咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2∴A（4，0），B（0，2）把A（4，0），B（0，2），代入，得，解得∴抛物线得解析式为（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE∴∠DBE＝∠ABE∴∠DBE＝∠BAC设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF ∵tan∠DBE，tan∠BAC∴，即解得x1＝0（舍去），x2＝2当x＝2时， 3∴点D的坐标为（2，3）（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF设E（m，），F（m，）EF＝|（）﹣（）|＝2解得m1＝2，，当BO为对角线时，OB与EF互相平分过点O作OF∥AB，直线OF交抛物线于点F（）和（）求得直线EF解析式为或直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）20.（2019十堰）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（2，0）和C（0，），与x轴交于另一点B，顶点为D．（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（E点不与A，B重合），且∠DEF＝∠A，则△DEF能否为等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由；（3）若点P在抛物线上，且m，试确定满足条件的点P的个数．解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴，∴，∵△AEF∽△BCE∴，∴EB AD，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，（n ﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH4×[（n﹣2）2+3]3×（n﹣2）4×3（n﹣4）2，∵0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值，观察图象可知：当0＜m时，满足条件的点P的个数有4个，当m时，满足条件的点P的个数有3个，当m时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．21.（2019黔西南）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点坐标为；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；（4）如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3…①，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，∴BD BC2，y D＝BD sin∠CBO＝2，则点D（﹣1，2）；（3）如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝45°，∴OH＝OE＝1，则直线HE的表达式为：y＝﹣x﹣1…②，联立①②并解得：x（舍去正值），故点P（，）；（4）不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y＝x+3，设点P（x，﹣x2﹣2x+3），点H（x，x+3），则S四边形BOCP＝S△OBC+S△PBC3×3（﹣x2﹣2x+3﹣x﹣3）×3＝8，整理得：3x2+9x+7＝0，解得：△＜0，故方程无解，则不存在满足条件的点P．22. （2019贵港）如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点为(4,3)A ，与y 轴相交于点(0,5)B -，对称轴为直线l ，点M 是线段AB 的中点．（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M 的坐标并求直线AB 的表达式；（3）设动点P ，Q 分别在抛物线和对称轴l 上，当以A ，P ，Q ，M 为顶点的四边形是平行四边形时，求P ，Q 两点的坐标．解：（1）函数表达式为：2(4)3y a x ==+，将点B 坐标代入上式并解得：12a =-， 故抛物线的表达式为：21452y x x =-+-；（2）(4,3)A 、(0,5)B -，则点(2,1)M -，设直线AB 的表达式为：5y kx =-，将点A 坐标代入上式得：345k =-，解得：2k =， 故直线AB 的表达式为：25y x =-；（3）设点(4,)Q s 、点21(,45)2P m m m -+-，①当AM 是平行四边形的一条边时，点A 向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M ， 同样点21(,45)2P m m m -+-向左平移2个单位、向下平移4个单位得到(4,)Q s ，即：24m -=，214542m m s -+--=，解得：6m =，3s =-，故点P 、Q 的坐标分别为(6,1)、(4,3)-；②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点定理得：424m +=+，2131452m m s -=-+-+，。