重庆市中考数学题型复习 题型八 二次函数综合题 类型一 线段、周长最值问题练习
2020年重庆中考二次函数最值专题训练(含答案)
2020年重庆中考二次函数最值专题训练类型一、线段的最值问题【例1】（2019•铜仁市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，0）、C（4，0），BC ⊥x轴于点C，且AC＝BC，抛物线y＝x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点E是线段AB上一动点（不与A、B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标；解：∵A（﹣1，0）、C（4，0），∴OA＝1，OC＝4，∴AC＝5，∵BC⊥x轴于点C，且AC＝BC，∴B（4，5），将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：b＝﹣2，c＝﹣3．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（2）∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5），设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AB的解析式为：y＝x+1，∵二次函数y＝x2﹣2x﹣3，∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3），∴EF＝（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣（t﹣），∴当t＝时，EF的最大值为，∴点E的坐标为（）．【例2】（2019•贺州）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC ＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．（1）求A，C两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．解：（1）OA＝OC＝4OB＝4，故点A、C的坐标分别为（4，0）、（0，﹣4）；（2）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4），即﹣4a＝﹣4，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣4；（3）直线CA过点C，设其函数表达式为：y＝kx﹣4，将点A坐标代入上式并解得：k＝1，故直线CA的表达式为：y＝x﹣4，过点P作y轴的平行线交AC于点H，∵OA＝OC＝4，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，∵PH∥y轴，∴∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（x，x2﹣3x﹣4），则点H（x，x﹣4），PD＝HP sin∠PFD＝（x﹣4﹣x2+3x+4）＝﹣x2+2x，∵＜0，∴PD有最大值，当x＝2时，其最大值为2，此时点P（2，﹣6）． 【例3】（2019•覃塘区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，若点F在线段OC上，且OF＝OA，经入过点F的直线在第一象限内与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，求的最大值；（3）如图2，若P为抛物线的顶点，动点Q在抛物线上，当∠QCO＝∠PBC时，请直接写出点Q的坐标．解：（1）函数的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，则点C（0，3）；（2）过点D作y轴的平行线交BC于点N，将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：函数BC表达式为：y＝﹣x+3， OF＝OA＝1，则点F（0，1），CF＝2，设点D（x，﹣x2+2x+3），则点N（x，﹣x+3），∵DN∥CF，∴＝＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣x2+x，∵﹣0，则有最大值，此时x＝，的最大值为；（3）连接PC，点P坐标（1，4），则PC＝，PB＝，BC＝，则△PBC为直角三角形，tan∠PBC＝＝，过点Q作QH⊥y轴于点H，设点Q（x，﹣x2+2x+3），则tan∠HCQ＝tan＝，解得：x＝0或5或﹣1（舍去0），故点Q（﹣1，0）或（5，﹣12）．【练习】1、（2019•河南模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）交x轴于A，B（1，0）两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F （1）求抛物线的解析式；（2）若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；解：（1）将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为（﹣3，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）， ∴y＝a（x+3）（x﹣1）．∵点C的坐标为（0，﹣1），∴﹣3a＝﹣1，得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣1；（2）设点E的坐标为（m，m+3），线段EF的长度为y，则点F的坐标为（m，m2+m﹣1）∴y＝（m+3）﹣（m2+m﹣1）＝﹣m2+m+4即y＝（m﹣）2+，此时点E的坐标为（，）；2、（2019•安阳二模）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于点B，C，点A在x轴负半轴上，且OA＝OB，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，B，C三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值．解：（1）由y＝﹣x+4，当x＝0时，y＝4；当y＝0时，x＝4，∴B（4，0），C（0，4），∴OB＝4，∴OA＝OB＝2，∴A（﹣2，0），把A（﹣2，0），B（4，0）代入抛物线y＝ax2+bx+4中，得，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点P在二次函数y＝﹣x2+x+4图象上且横坐标为m，∴P（m，﹣m2+m+4），过P作PF∥y轴，交BC于F，则F（m，﹣m+4），∴PF＝﹣m2+2m，∵PD⊥AB于点D，∴在Rt△OBC中，OB＝OC＝4，∴∠OCB＝45°，∵PF∥y轴，∴∠PFD＝∠OCB＝45°，∴PD＝PF•sin∠PFD＝（﹣m2+2m）＝﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜4，﹣＜0，∴当m＝2时，PD最大，最大值为．3、（2019•仁寿县模拟）在平面直角坐标系XOY中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（8，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C是抛物线与y轴的交点，连接BC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D．是否存在点P，使线段PD的长度最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；解：（1）把A（﹣2，0），B（8，0）代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，，解得：， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+4；（2）由（1）知C（0，4），∵B（8，0），将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，如图1，过P作PG⊥x轴于G，PG交BC于E，Rt△BOC中，OC＝4，OB＝8，∴BC＝4，在Rt△PDE中，PD＝PE•sin∠PED＝PE•sin∠OCB＝PE，∴当线段PE最长时，PD的长最大，设P（t，﹣t2+t+4），则E（t，﹣t+4），∴PE＝PG﹣EG＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣（t﹣4）2+4，（0＜t＜8），当t＝4时，PE有最大值是4，此时P（4，6），∴PD═，即当P（4，6）时，PD的长度最大，最大值是；4、（2019•邓州市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A（﹣2，0），B（8，0），连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE⊥BC，垂足为E，求线段DE的长度最大时，点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P（异于点A，B，C），使S△P AC＝S△PBC？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣2，0），B（8，.0）分别代入y＝ax2+bx+4中得∴抛物线的解析式为y＝，令x＝0，得y＝4．∴点C的坐标为（0，4）；（2）如图1，过点D作DF∥y轴，交BC于点F，则∠DFE＝∠BCO．∵C＝（0，4），B（8，0），∴OC＝4，OB＝8，在Rt△OBC中，BC＝，∴sin∠BCO＝，∴在Rt△DEF中，DE＝DF・sin∠DFE＝DF•sin∠BCO＝，设直线BC的解析式为y＝kx+t，把B（8，0），C（0，4）分别代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝， 设D（m，，则F（m，）∴DF＝，∴DE＝，∵，∴当m＝4时，DE的值最大，最大值为，此时点D的坐标为（4，.6）；（3）存在点P，使S△P AC＝S△PBC，过点C与AB平行的直线交抛物线于P，∵CP∥AB，∴点A、B到CP的距离相等，∴△P AC、△PBC的面积相等，∵C（0，4），把y＝4代入y＝，解得x＝0或x＝6，∴P（6，4），∴使S△P AC＝S△PBC的点P的坐标为（6，4）．类型二、线段和的最值问题【例4】（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，则直线l与x轴的夹角为45°，即：则PE＝PE，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点F（x，﹣x﹣1），PE+PF＝2PF＝2（﹣x2+3x+4+x+1）＝﹣2（x﹣2）2+18，∵﹣2＜0，故PE+PF有最大值，当x＝2时，其最大值为18；【例5】（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+P A的最小值；解：（1）将点B的坐标为（4，m）代入y＝﹣x+，m＝﹣4+＝﹣，∴B的坐标为（4，﹣），将A（3，2），B（4，﹣）代入y＝﹣x2+bx+c，解得b＝1，c＝，∴抛物线的解析式y＝；（2）设D（m，），则E（m，﹣m+），DE＝（）﹣（﹣m+）＝＝﹣（m﹣2）2+2， ∴当m＝2时，DE有最大值为2，此时D（2，），作点A关于对称轴的对称点A'，连接A'D，与对称轴交于点P．PD+PA＝PD+PA'＝A'D，此时PD+PA最小，∵A（3，2），∴A'（﹣1，2），A'D＝＝，即PD+PA的最小值为；类型三、线段差或线段差的绝对值的最值问题【例6】（2019•零陵区一模）如图，已知抛物线y＝ax2﹣4x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，6）．（1）求抛物线y的函数表达式及点B的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P使PB﹣PC的值最大？若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由；解：（1）函数过点C，则其表达式为：y＝ax2﹣4x+6，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣2， 故抛物线的表达式为：y＝﹣2x2﹣4x+6…①，令y＝0，则x＝1或﹣3，过点B（1，0）；（2）存在，理由：连接BC并延长交函数对称轴于点P，此时，PB﹣PC的值最大，将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣6x+6， 当x＝﹣1时，y＝12，故点P（﹣1，12）；【例7】（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；解：（1）①将A（0，3），C（﹣3，0）代入y＝x2+bx+c得：，解得：，∴抛物线的解析式是y＝x2+x+3；（2）将直线y＝x+3表达式与二次函数表达式联立并解得：x＝0或﹣4，∵A（0，3），∴B（﹣4，1）①当点B、C、M三点不共线时，|MB﹣MC|＜BC②当点B、C、M三点共线时，|MB﹣MC|＝BC∴当点、C、M三点共线时，|MB﹣MC|取最大值，即为BC的长，过点B作x轴于点E，在Rt△BEC中，由勾股定理得BC＝＝，∴|MB﹣MC|取最大值为；【练习】如图，已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点．（1）求直线BC的解析式；（2）若点P是直线BC上方抛物线上的一点，当△PBC面积的值最大时，在y轴上找一点D，使得|AD ﹣PD|值最大，请求出D点的坐标和|AD﹣PD|的最大值；解：（1）抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于C点， 令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），令y＝0，则，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x＝1或﹣3，∴B（﹣3，0），A（1，0），设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（﹣3，0），C（0，3）代入得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+3；（2）设P（x，﹣x2﹣2x+3），∵OB＝3＝OC，∴S四边形OBPC＝S△PDB+S梯形PDOC＝（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+×（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）＝﹣x2﹣3x+ ∴S△PBC＝S四边形OBPC﹣S△BOC＝﹣x2﹣3x+﹣×3×3＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+1）2+∴当x＝﹣1时，△PBC面积的值最大，∴P（﹣1，4），∵抛物线的顶点为（﹣1，4），∴P点是抛物线的顶点，∴PB＝P A，要使|AD﹣PD|值最大，则点P、D、B三点在一条直线上，∴设直线PB：y＝mx+n（m≠0），则，解得，∴直线PB：y＝2x+6．当x＝0时，y＝6，则点D的坐标是（0，6）．此时，|AD﹣PD|的最大值为：；类型四、三角形或四边形面积最值问题【例8】（2019•黄埔区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．①求△ACP的面积S关于t的函数关系式．②求△ACP的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），点B（1，0）两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．（2）①设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+3，过点P作PQ∥y轴交直线AC于点Q，设P（t，﹣t2﹣2t+3），Q（t，t+3），∴PQ＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，∴S＝S△PQC+S△PQA＝＝＝﹣．②∵S＝﹣，∴t＝﹣时，△ACP的面积最大，最大值是，此时P点坐标为（﹣，）．【例9】（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y＝ax+bx﹣4经过点A（﹣2，0），B（4，0），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2+x﹣4；（2）如图1，连接OP，设点P（x，），其中﹣4＜x＜0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C（0，﹣4），∴S＝S△AOC+S△OCP+S△OBP＝+，＝4﹣2x﹣x2﹣2x+8，＝﹣x2﹣4x+12，＝﹣（x+2）2+16．∵﹣1＜0，开口向下，S有最大值，∴当x＝﹣2时，四边形ABPC的面积最大，此时，y＝﹣4，即P（﹣2，﹣4）．因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为（﹣2，﹣4）．（3），∴顶点M（﹣1，﹣）．如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小．设直线AM的解析式为y＝kx+b，且过点A（2，0），M（﹣1，﹣），∴，∴直线AM的解析式为y＝﹣3．在Rt△AOC中，＝2．∵D为AC的中点，∴，∵△ADE∽△AOC，∴，∴，∴AE＝5，∴OE＝AE﹣AO＝5﹣2＝3，∴E（﹣3，0），由图可知D（1，﹣2）设直线DE的函数解析式为y＝mx+n，∴，解得：，∴直线DE的解析式为y＝﹣﹣．∴，解得：，∴G（）．类型五、三角形周长的最值问题【例10】（2019•宜城市模拟）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2﹣2x+3；设直线AC的函数关系式为y＝mx+n（m≠0），将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝mx+n，得：，解得：，∴直线AC的函数关系式为y＝﹣x+1．（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1）， ∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点Q的坐标为（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时点M的坐标为（﹣1，2）．∵点A的坐标为（1，0），点C的坐标为（﹣2，3），点N的坐标为（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝3+．∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为3+．【练习】1、（2018秋•潮南区期末）如图，已知抛物线y＝x2+3x﹣8的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B 的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；（2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）对于抛物线y＝x2+3x﹣8，令y＝0，得到x2+3x﹣8＝0，解得x＝﹣8或2，∴B（﹣8，0），A（2，0），令x＝0，得到y＝﹣8，∴A（2，0），B（﹣8，0），C（0，﹣8）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣8．（2）如图1中，作FN∥y轴交BC于N．设F（m，m2+3m﹣8），则N（m，﹣m﹣8）∴S△FBC＝S△FNB+S△FNC＝•FN×8＝4FN＝4[（﹣m﹣8）﹣（m2+3m﹣8）]＝﹣2m2﹣16m＝﹣2（m+4）2+32，∴当m＝﹣4时，△FBC的面积有最大值，此时F（﹣4，﹣12），∵抛物线的对称轴x＝﹣3，点B关于对称轴的对称点是A，连接AF交对称轴于P，此时△BFP的周长最小，设直线AF的解析式为y＝ax+b，则有，解得，∴直线AF的解析式为y＝2x﹣4， ∴P（﹣3，﹣10），∴点F的坐标和点P的坐标分别是F（﹣4，﹣12），P（﹣3，﹣10）．（3）如图2中，∵B（﹣8，0），F（﹣4，﹣12），∴BF＝＝4，①当FQ1＝FB时，Q1（0，0）或（0，﹣24）（虽然FB＝FQ，但是B、F、Q三点一线应该舍去）．②当BF＝BQ时，易知Q2（0，﹣4），Q3（0，4）．③当Q4B＝Q4F时，设Q4（0，m），则有82+m2＝42+（m+12）2，解得m＝﹣4，∴Q4（0，﹣4），∴Q点坐标为（0，0）或（0，4）或（0，﹣4）或（0，﹣4）．2、（2019•昆山市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，交y轴于点C，其中A（﹣1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是线段BC上方抛物线上一动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交BC 于点E，作PF⊥直线BC于点F，设点P的横坐标为x，△PEF的周长记为l，求l关于x的函数关系式，并求出l的最大值及此时点P的坐标；（3）点H是直线AC上一点，该抛物线的对称轴上一动点G，连接OG，GH，则两线段OG，GH的长度之和的最小值等于 ，此时点G的坐标为 （，） （直接写出答案．）解：（1）将A、C代入解析式，可得c＝3，a＝ ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3（2）设P（m，﹣m2+m+3）， 直线BC的解析式为y＝x+3 点E（m，m+3）∴PE＝﹣m2+m+3+m﹣3＝﹣m2+3m∵△OBC∽△PEF ∴＝ ， ∴l＝﹣m2+m当m＝2时L的最大值为，点P坐标为（2，）（3）如图，作点O关于对称轴的对称点Q（3，0），作QH⊥AC交对称轴于G∵△AOC∽△ABH ∴＝ ∴＝ ∴QH＝∵△GMQ∽△ACO ∴＝ ∴＝ ∴GM＝∴G（，）3、（2019•齐齐哈尔）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC和BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，点D的坐标为 （，﹣5） ．（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．求△BCE面积的最大值及此时点E的坐标；（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵OA＝2，OC＝6 ∴A（﹣2，0），C（0，﹣6）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A、C ∴解得： ∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣6 （2）∵当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝3∴B（3，0），抛物线对称轴为直线x＝∵点D在直线x＝上，点A、B关于直线x＝对称∴x D＝，AD＝BD∴当点B、D、C在同一直线上时，C△ACD＝AC+AD+CD＝AC+BD+CD＝AC+BC最小设直线BC解析式为y＝kx﹣6 ∴3k﹣6＝0，解得：k＝2 ∴直线BC：y＝2x﹣6∴y D＝2×﹣6＝﹣5 ∴D（，﹣5）（3）过点E作EG⊥x轴于点G，交直线BC与点F设E（t，t2﹣t﹣6）（0＜t＜3），则F（t，2t﹣6）∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t∴S△BCE＝S△BEF+S△CEF＝EF•BG+EF•OG＝EF（BG+OG）＝EF•OB＝×3（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+∴当t＝时，△BCE面积最大∴y E＝（）2﹣﹣6＝﹣∴点E坐标为（，﹣）时，△BCE面积最大，最大值为．（4）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形．∵A（﹣2，0），C（0，﹣6） ∴AC＝①若AC为菱形的边长，如图3，则MN∥AC且，MN＝AC＝2∴N1（﹣2，2），N2（﹣2，﹣2），N3（2，0）②若AC为菱形的对角线，如图4，则AN4∥CM4，AN4＝CN4设N4（﹣2，n） ∴﹣n＝ 解得：n＝﹣ ∴N4（﹣2，﹣）综上所述，点N坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣2），（2，0），（﹣2，﹣）．类型六、四边形周长的最值问题【例11】（2019•顺庆区校级自主招生）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为（1，4），交x轴于A，B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G，H的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线顶点为（1，4）∴设顶点式y＝a（x﹣1）2+4∵点B（3，0）在抛物线上∴a（3﹣1）2+4＝0 解得：a＝﹣1∴抛物线解析式为y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3（2）x轴上存在点H使D，G，H，F四点所围成的四边形周长最小．如图，作点F关于x轴对称的对称点F'，连接EF'∵x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3 ∴D（0，3）∵当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0 解得：x1＝﹣1，x2＝3 ∴A（﹣1，0）∵点E在抛物线上且横坐标为2 ∴y E＝﹣22+2×2+3＝3 ∴E（2，3）∴点D、E关于对称轴对称 ∴DG＝EG设直线AE解析式为y＝kx+e ∴解得： ∴直线AE：y＝x+1 ∴F（0，1） ∴F'（0，﹣1），HF＝HF'，DF＝3﹣1＝2∴C四边形DGHF＝DF+DG+GH+FH＝DF+EG+GH+F'H∴当点E、G、H、F'在同一直线上时，C四边形DGHF＝DF+EF'最小∵EF'＝∴C四边形DGHF＝2+2设直线EF'解析式为y＝mx﹣1∴2m﹣1＝3∴m＝2∴直线EF'：y＝2x﹣1当y＝0时，解得x＝∴H（，0）当x＝1时，y＝2﹣1＝1∴G（1，1）∴四边形DGHF周长最小值为2+2，点G坐标为（1，1），点H坐标为（，0）．【练习】1、（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBP A的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．解：（1）∵OB＝OC，∴点B（3，0），则抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2﹣2ax﹣3a，故﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①；（2）ACDE的周长＝AC+DE+CD+AE，其中AC＝、DE＝1是常数，故CD+AE最小时，周长最小，取点C关于函数对称点C（2，3），则CD＝C′D，取点A′（﹣1，1），则A′D＝AE，故：CD+AE＝A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE＝A′D+DC′最小，周长也最小，四边形ACDE的周长的最小值＝AC+DE+CD+AE＝+A′D+DC′＝+A′C′＝+；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（y C﹣y P）：AE×（y C﹣y P）＝BE：AE，则BE：AE，＝3：5或5：3，则AE＝或，即：点E的坐标为（，0）或（，0），将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+3，解得：k＝﹣6或﹣2，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+3或y＝﹣6x+3…②联立①②并解得：x＝4或8（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（4，﹣5）或（8，﹣45）．2、（2017•日照模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2．（1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值；（3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）令y＝0，解得x1＝﹣1或x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；将C点的横坐标x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3得y＝﹣3，∴C（2，﹣3），∴直线AC的函数解析式是y＝﹣x﹣1，（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2），则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3），∵P点在E点的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，∴当x＝时，PE的最大值＝，△ACE的面积最大值＝PE[2﹣（﹣1）]＝PE＝，（3）D点关于PE的对称点为点C（2，﹣3），点Q（0，﹣1）点关于x轴的对称点为K（0，1）， 连接CK交直线PE于M点，交x轴于N点，可求直线CK的解析式为y＝﹣2x+1，此时四边形DMNQ 的周长最小，最小值＝|CM|+QD＝2+2，求得M（1，﹣1），N（，0）．3、（2017秋•南岸区校级期中）如图1，抛物线y＝x2﹣x﹣3，与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为，直线AM与y 轴交于点D，连接BC、AC．（1）求直线AD和BC的解折式；（2）如图2，E为直线BC下方的抛物线上一点，当△BCE的面积最大时，一线段FG＝4（点F在G的左侧）在直线AM上移动，顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG，请求出当四边形BEFG 的周长最小时点F的坐标；解：（1）在抛物线y＝中，令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），令y＝0，得，解得x1＝﹣1，x2＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），令x＝，得y＝＝，∴M（，），设直线AD的解析式为y＝k1x+b1，将A（﹣1，0），M（，）代入得， 解得，∴直线AD的解析式为y＝x+1．设直线BC的解析式为y＝k2x+b2，将B（4，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3；（2）如图2，过点E作EH∥y轴交BC于H，设E（t，），H（t，），∴HE＝＝∴＝＝＝∵＜0，∴当t＝2时，S△BCE的最大值＝6，此时E（2，），作点B关于直线y＝x+1的对称点B1，连接B1G，过点F作B2F∥B1G，且B2F＝B1G，∴B1（﹣1，5）， ∵FG＝4，且FG在直线y＝x+1上，∴F可以看作是G向左平移4个单位，向下平移4个单位后的对应点，∴B2（﹣5，1），当B2、F、E三点在同一直线上时，BEFG周长最小，设直线B2E解析式为y＝mx+n，将B2（﹣5，1），E（2，）分别代入，得，解得，∴直线B2E解析式为y＝，联立方程组，解得．∴F（，）．类型七、线段与系数线段的和差最值问题【例12】（2018•南岸区模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+x﹣与x 轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求抛物线的对称轴和直线AC的解析式；（2）P为直线AC下方抛物线上（不与A、C重合）的一动点，PB交AC于D，当取得最大值时，M为y轴上一动点，N为抛物线对称轴上一动点且MN⊥y轴，求PM+MN+AN的最小值；解：（1）﹣＝﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，令x＝0，y＝﹣，∴C（0，﹣），令y＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（0，﹣1），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则解得∴AC的解析式为y＝﹣x﹣．（2）过点P作y轴的平行线交AC于点H，过点B作y轴的平行线交y轴于点Q，当x＝1时，y＝﹣，∴BQ＝，设点P的坐标为（m，），则点H（m，﹣），∴PH＝﹣﹣（）＝﹣，∵△PHD∽△BDQ，∴，∴＝﹣，此时点P（﹣，﹣），过点P作y轴的对称点P′，则P′（，﹣），将点A向右平移一个单位得到点A′，则点A ′（﹣2，0），连接A′P′，与y轴的交点即为点M，过M作x轴的平行线，与对称轴的交点即为点N，设直线A′P′的解析式为y＝kx+b，，解得，∴y＝﹣x﹣，∴M（0，﹣），N（﹣1，﹣），A′P′＝＝，∴PM+MN+AN的最小值为：1+．【例13】已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴交于点A，B，与y轴交于点C，过直线BC的下抛物线上与动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P点作PE⊥x轴于点E，交BC于点D； （1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M，N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM 的最小值．解：（1）对于二次函数y＝x2﹣x﹣2，令x＝0得y＝﹣2，令y＝0，得x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或2， ∴A（﹣1，0），B（2，0），C（0，﹣2），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2．（2）∵B（2，0），C（0，﹣2），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，OB＝OC＝2，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵PE⊥x轴，∴∠DEB＝90°，∴∠EDB＝∠QDP＝∠EBD＝45°，∵PQ∥AC，∴∠PQC＝∠ACQ，∴∠PQD，∠PDQ是定值，∴PD最长时，△PDQ的最长最大，设P（m，m2﹣m﹣2），则D（m，m﹣2），∴PD＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，∵﹣1＜0，∴m＝1时，PD的值最大，PD最大值为1，此时P（1，﹣2），D（1，﹣1），∴直线PQ的解析式为y＝﹣2x，由，解得，∴Q（，﹣），∴PD＝1，PQ＝，DQ＝ ∴△PDQ的最长的最大值为1++．（3）如图2中，作PP′∥y轴，使得PP′＝MN＝1，连接AP′交y轴于M，此时PN+NM+AM的值最小．由（2）可知P （1，﹣2），∴P ′（1，﹣1），∵A （﹣1，0），∴直线AP ′的解析式为y ＝﹣x ﹣，∴M （0，﹣），N （0，﹣），∴AM ＝＝，PN ＝＝，∴AM +MN +PN 的最小值为+1．【例14】如图，抛物线2142y x x =+-与x 轴交于A 、B （A 在B 的左侧)，与y 轴交于点C ，抛物上的点E 的横坐标为3，过点E 作直线1l ∥x 轴。
重庆市2017年中考数学 第二部分 题型研究 题型八 二次函数综合题讲义
【思维教练】要使SD－SB的值最大，则需分两种情 况讨论：①S、B、D三点不共线时构成三角形，由 三角形三边关系得到SD－SB<BD；②当三点共线时， 有SD－SB＝BD.从而得到当点S在DB的延长线上时 满足条件，求出直线BD的解析式后，求出直线BD 与y轴的交点坐标即可．
例1题解图④
∵B(1，0)，D( 5 ， 9 )，
(4)存在．要使△BCF的周长最小，即BC＋BF＋CF
最小，在Rt△OBC中，OB＝1，OC＝2，由勾股定理
得BC＝ 12 22 5 为定值，
∴当BF＋CF最小时，C△BCF最小． ∵点B与点A关于直线l对称，
∴AC与对称轴l的交点即为所
求的点F，如解图③所示．
例1题解图③
根据抛物线解析式可得对称轴l为直线 x＝ 5 .
【思维教练】要求GD＋GB的值最小，解决方法为找 其中一点的对称点，将两条线段转化成一条线段求解， 即先找点B关于y轴的对称点B′，再连接B′D，则B′D 与y轴的交点即为所求的G点，可先求直线B′D的解析 式，再求其与y轴的交点即可．
(3)存在．如解图②，取点B关于y轴的对称点B′，则
点B′的坐标为(－1，0)．连接B′D，直线B′D与y轴的
题型八二次函数综合题
类型一与线段、周长有关的问题 类型二 与面积有关的问题 类型三与特殊三角形有关的问题 类型四与特殊四边形有关的问题
类型一 与线段、周长有关的问题
典例精讲
例 1 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于 点A、B(1，0)，与y轴交于点C，直线y＝ 1 x－2经过
2 点A、C.抛物线的顶点为D，对称轴为直线l.
28
∴易得直线BD的解析式为y＝ 3 x－ 3 ，
【精选】重庆市中考数学题型复习题型八二次函数综合题类型一线段周长最值问题课件
∴在等边△PGQ中，PV＝ PG＝ ，
1 ∴R、T点的纵坐标都为 ，V( ， )．
2 设直线AW的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
代入(－2，0)，(0，3 )，得
3
，∴
，
∴直线AW的解析式为y＝
x＋3 .
3 9 23
3
0 2m n
m
3
3
2
3 3 n
n 3 3 33
3 3
33
2
15 3
73
4
4
(4)在(3)的条件下，在y轴上找一点R，使|RF′－RE′|的值最大，请求出R点坐标及|RF′－RE′|的最大 值．
【思维教练】R是y轴任意一点，只有R在E′F′所在的直线上时，才会有|RF′－RE′|最大，最大为F′E′， 求出E′F′所在直线的解析式可易求出R坐标，E′F′的长度可利用两点间距离公式进行求解．
四、听方法。
在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字，一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向；分析小说，一般都是从人物、环境、情节三个要素入手；写记叙文，则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法，如解数学题时，会用到反正法；换元法；待定系数法；配方法；消元法； 因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
点A时停止．记平移后的△QPG为△Q′P′G′，当点Q′到x轴的距离与点Q′到直线AW的距离相等时，求点Q′的坐 标．
【思维教练】点Q′到AW和x轴距离相等，则Q′ 必在 AW与x轴所组成的角的角平线上，则分为 AW与x轴 组成的锐角角平分线上和钝角角平分线上两种情况 进行求解．
重庆市中考数学题型复习 题型八 二次函数综合题 类型一 线段、周长最值问题练习
类型一线段、周长最值问题1. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，C两点(点A在C的左边)，抛物线交y轴于点B，点D是抛物线的顶点．(1)求线段AB的长；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G，求出△PFG周长的最大值；2. 已知二次函数y＝x2－x－2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.(1)求直线AC的解析式；(2)求△PQD周长的最大值；(3)当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，若MN＝1，求PN ＋MN＋AM的最小值．第2题图3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H.(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP＝∠CDB时，求出点P的坐标；(3)以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴正半轴上一动点(OE>OH)，连接ME，把线段ME绕点M旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．第3题图4. (2017遵义改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－a－b(a<0，a、b为常数)与x轴交于A、C两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y ＝89x ＋163.(1)求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；(2)已知点M (m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点．当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON (旋转角在0°到90°之间)；ⅰ：探究：线段OB 上是否存在定点P (P 不与O 、B 重合)，无论ON 如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⅱ：试求出此旋转过程中，(NA ＋34NB )的最小值．第4题图5. (2016重庆渝中区校级二模)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－33x 2－3x ＋433交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为－5. (1)求直线BD 的解析式；(2)点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF ＋BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP ＋PQ ＋QE 的最小值； (3)如图②，连接BC ，把△OBC 沿x 轴翻折，翻折后的△OBC 记为△OBC ′，现将△OBC ′沿着x 轴平移，平移后△OBC ′记为△O ′B ′C ″，连接DO ′、C ″B ，记C ″B 与x 轴形成较小的夹角度数为α，当∠O ′DB ＝α时，求出此时C ″的坐标．第5题图6. (2017重庆西大附中月考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，且B (33，0)，对称轴为直线x ＝3，点E (23，0)，连接CE 交对称轴于点F ，连接AF 交抛物线于点G .(1)求抛物线的解析式和直线CE 的解析式；(2)如图②，过E 作EP ⊥x 轴交抛物线于点P ，点Q 是线段BC 上一动点，当QG ＋45QB 最小时，线段MN 在线段CE 上移动，点M 在点N 上方，且MN ＝152，请求出四边形PQMN 周长最小时点N 的横坐标．第6题图答案1. 解：(1)抛物线y ＝－x 2－2x ＋3， 令y ＝0，则－x 2－2x ＋3＝0，(x －1)(x ＋3)＝0，x 1＝1，x 2＝－3，∵点A 在点C 的左边， ∴A (－3，0)，C (1，0)， 令x ＝0，得y ＝3，∴B (0，3)， ∴AB ＝32＋32＝32， ∴线段AB 长为3 2.(2)由题意可知△PFG 是等腰直角三角形，设P (m ，－m 2－2m ＋3)， ∴F (m ，m ＋3)，∴PF ＝－m 2－2m ＋3－m －3＝－m 2－3m ，∴PG ＝FG ＝22PF ， △PFG 周长为：PG ＝FG ＋PF ＝PF ＋2PF ＝－m 2－3m ＋2(－m 2－3m )＝－(2＋1)(m ＋32)2＋9（2＋1）4， ∴△PFG 周长的最大值为9（2＋1）4.2. 解：(1)令y ＝0，x 2－x －2＝0 ∴x 1＝－1，x 2＝2， ∴A (－1，0)，B (2，0)， 令x ＝0，y ＝－2， ∴C (0，－2)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过点A 、C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝－2， ∴直线AC 解析式为y ＝－2x －2； (2)∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠ACO ＝tan ∠EPQ ＝12，过Q 作PE 的垂线QH ，垂足是H .设QH ＝a ，PH ＝2a ，DH ＝a ，a ＋2a ＝PD ，a ＝13PD ，设P (m ，m 2－m －2)，D (m ，m －2)，C △PQD ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝5＋2＋33PD ， C △PQD ＝5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2＋5＋2＋33， ∴当m ＝1时，C △PQD 最大＝5＋2＋33，此时P (1，－2)； (3)把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)连接A ′P ， ∴AM ＋MN ＋PN 最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.第2题解图① 第2题解图②3. 解：(1)y ＝x 2－2x －3＝(x －3)(x ＋1)，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，则A (－1，0)，B (3，0)；(2)过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，过点D 作DK ⊥y 轴于K ，如解图①，由C (0，－3)，D (1，－4)，得OC ＝OB ＝3，CK ＝DK ＝1，∴∠BCO ＝∠DCK ＝45°， ∵BC ＝32，CD ＝2，BD ＝25，∴BC 2＋CD 2＝BD 2，∴∠BCD ＝90°， 当∠ABP ＝∠CDB 时， 有Rt △PQB ∽Rt △BCD ，故PQ BQ ＝BC CD ＝322＝3，即PQ ＝3BQ . 设P (x ，x 2－2x －3)，则BQ ＝||3－x ，PQ ＝||x 2－2x －3.∵P 点在x 轴下方时， ∴－x 2＋2x ＋3＝3(3－x )，整理得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3(不合题意，舍去)． 此时点P 的坐标为(2，－3)．∴当∠ABP ＝∠CDB 时，P 的坐标为(2，－3)．第3题解图①(3)易证△OME ≌△BMF ，故∠MBF ＝∠MOE ＝60°. 连接FB 并延长交抛物线对称轴于点G ，如解图②， ∴当DF ⊥BG 时，DF 取得最小值． ∵∠GBH ＝60°，∴∠G ＝30°， ∴HG ＝3BH ＝2 3.DF ＝12DG ＝2＋3，∴线段DF 的长的最小值为2＋3.第3题解图②4. 解：(1)在y ＝89x ＋163中，令x ＝0，则y ＝163，令y ＝0，则x ＝－6，∴B (0，163)，A (－6，0)，把B (0，163)，A (－6，0)代入y ＝ax 2＋bx －a －b 得⎩⎪⎨⎪⎧36a －6b －a －b ＝0－a －b ＝163，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－89b ＝－409，∴抛物线的函数关系式为y ＝－89x 2－409x ＋163，令y ＝0，则－89x 2－409x ＋163＝0，∴x 1＝－6，x 2＝1， ∴C (1，0)；(2)∵点M (m ，0)，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，如解图①，∴D (m ，89m ＋163)，当DE 为等腰三角形的底时，作BG ⊥DE 于G ，则EG ＝GD ＝12ED ，GM ＝OB ＝163，∵DM ＋DG ＝GM ＝OB ，∴89m ＋163＋12(－89m 2－409m ＋163－89m －163)＝163， 解得：m 1＝－4，m 2＝0(不合题意，舍去)，∴当m ＝－4时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形；第4题解图①ⅰ：存在，∵ON ＝OM ′＝4，OB ＝163，∵∠NOP ＝∠BON ，∴当△NOP ∽△BON 时，OP ON ＝NP NB ＝ON OB ＝34，∴NPNB不变， 即OP ＝34ON ＝34×4＝3，∴P (0，3)ⅱ：如解图②，N 在以O 为圆心，4为半径的半圆上，由(ⅰ)知，NP NB ＝OP ON ＝34，∴NP ＝34NB ，∴(NA ＋34NB )的最小值＝NA ＋NP ，∴此时N ，A ，P 三点共线，∴(NA ＋34NB )的最小值＝32＋62＝35.第4题解图②5. 解：(1)令y ＝0，则－33x 2－3x ＋433＝0，解得x ＝－4或1， ∴A (－4，0)，B (1，0)， 令x ＝0，则y ＝433，∴C (0，433)，当x ＝－5时，y ＝－2533＋53＋433＝－23，∴点D 坐标(－5，－23)，设直线BD 解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧－5k ＋b ＝－23k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝－33，∴直线BD 的解析式为y ＝33x －33. (2)如解图①中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－33)，设E (m ，33m －33)，则F (m ，－33m 2－3m ＋433)，第5题解图①∴tan ∠ABD ＝33， ∴∠ABD ＝30°，∴EF ＋EB ＝－33m 2－3m ＋433－(33m －33)＋2(33－33m )＝－33(m ＋3)2＋1633， ∴m ＝－3时，EF ＋EB 的值最大，此时点E 坐标(－3，－433)，如解图②，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，第5题解图②∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP ＝PM ，E 、N 关于y 轴对称，∴QE ＝QN ，∴OP ＋PQ ＋QE ＝PM ＋PQ ＋QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP ＋PQ ＋QE 最小，最小值为MN 的长，在Rt △MNE 中，MN ＝EM 2＋EN 2＝（433）2＋62＝2933.∴OP ＋PQ ＋QE 的最小值为2933.(3)如解图③中，作O ′M ⊥BD 于M ，BD ＝（1＋5）2＋（23）2＝43，设O ′B ＝a ，则O ′M ＝12a ，BM ＝32a ，DM ＝BD －BM ＝43－32a ，第5题解图③∵∠O ′DM ＝∠C ″BO ′，∠O ′MD ＝∠BO ′C ″＝90°， ∴△O ′MD ∽△C ″O ′B ， ∴O ′M O ′C ″＝DM BO ′， ∴12a 433＝43－32aa ，∴a 2＋4a －32＝0，解得a ＝4或－8(舍去)， ∴C ″坐标为(－3，－433)．6. 解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43的对称轴－b 2a ＝ 3 ①，点E (23，0)在抛物线上，则(33)2a ＋33b ＋43＝0 ②， 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－439b ＝83，则抛物线的解析式为y ＝－439x 2＋83x ＋43， 又点C (0，43)，E (23，0)， 设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎨⎧0＋b ＝43，23k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝43，∴直线CE 的解析式为y ＝－2x ＋4 3. (2)由抛物线y ＝－439x 2＋83x ＋43知，当x ＝23时，y ＝43， 则点P 的坐标为(23，43)， 根据对称性得A (－3，0)， 由y ＝－2x ＋43知，当x ＝3时，y ＝23，F (3，23)， 直线AF 的解析式为：y ＝x ＋3，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－439x 2＋83x ＋43y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝934y ＝1334，点G 的坐标为(934，1334)．由sin ∠OBC ＝OC BC ＝4353＝45，∴当QG ⊥x 轴时，QG ＋45QB 最小，∵直线BC 的解析式为y ＝－43x ＋43，∴当x ＝934时，y ＝3，∴点Q (934，3)．如解图，过点P 作PK ∥MN ，取PK ＝MN ＝152， 则四边形PMNK 是平行四边形，∴四边形PQNM 的周长＝PM ＋MN ＋NQ ＋PQ ＝NK ＋MN ＋NQ ＋PQ ，由于MN 、PQ 的值不变，所以只需NK ＋NQ 最短，所以作K 关于直线CE 的对称点K ′，连接K ′Q ，交CE 于N ，即当K ′、N 、Q 三点共线时，四边形PQNM 的周长最短．∵P 的坐标为(23，43)，PK ＝152，PK ∥CE ， ∴K 点横坐标x k ＝23＋152cos ∠CEO ＝23＋32＝532， K 点纵坐标为y k ＝43－152sin ∠CEO ＝43－152×255＝33，∴K (532，33)，∵直线KK ′与直线CE 垂直， ∴设直线KK ′的解析式为y ＝12x ＋b ，则12×532＋b ＝33，解得b ＝734， ∴直线KK ′为：y ＝12x ＋734，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋734y ＝－2x ＋43，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9103y ＝1153，则KK ′与CE 交点坐标为(9310，1135)，由对称特点可得K ′的横坐标为9310×2－532＝－7310，K ′的纵坐标为1135×2－33＝735， ∴K ′(－7310，735)，由Q (934，3)，设直线K ′Q 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－7310k ＋b ＝735934k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－859b ＝77359，∴直线K ′Q 的解析式为y ＝－859x ＋77359，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋43y ＝－859x ＋77359 ，解得x ＝1593110，则N 点的横坐标为1593110.第6题解图。
中考数学 考点系统复习 第三章 函数 第八节 二次函数与几何综合题
如解图 1，连接 OP，
则 S△PBC＝S△OPC＋S△OPB－S△OBC，
1
1
1
＝2·OC·xp＋2·OB·yp－2·OB·OC
＝12×3×32＋12×4×7156－12×4×3
＝485，
45 ∴△PBC 的面积为 8 .
(3)①∵在△OBC 中，BC＜OC＋OB， ∴当动点 E 运动到终点 C 时，另一个动点 D 也停止运动，
(1)求 A，B，C 三点的坐标(用数字或含 m 的式子表示)； (2)已知点 Q 在抛物线的对称轴上，当△AFQ 的周长的最小值等于152时，
求 m 的值． 解：(1)由 x2－(m＋1)x＋m＝0 得 x＝m 或 1， ∴A(m，0)，B(1，0)，
∴对称轴为直线 x＝m＋2 1，∴Cm＋2 1，0.
(3)将点 D 向左平移 3 个单位，向上平移 1 个单位得到点 D′(－2，－a)， 如解图，
作点 F 关于 x 轴的对称点 F′，则点 F′的坐标为(0，a－1)，当满足条 件的点 M 落在 F′D′上时，由图象的平移知 DN＝D′M，故此时 FM＋ND 最小，理由：
∵FM＋ND＝F′M＋D′M＝F′D′＝2 10为最小，
∴当点 F，Q，B 三点共线时，FQ＋AQ 最小，此时△AFQ 的周长最小，如 解图．
∵△AFQ 的周长的最小值为152， ∴FQ＋AQ 的最小值为75，即 BF＝75. ∵OF2＋OB2＝BF2， ∴1－m2＋1＝4295，∴m＝±15. ∵－1<m<0，∴m＝－15.
类型二：二次函数与面积 问题
OT OE TE ∴△ETO∽△OEB，∴EB＝OB＝OE， ∴OE2＝OB·TE，∴3TE＝2455＝95， 解得 TE＝35， ∴OT＝ BE5＝65，∴E53，－65，
中考数学总复习《线段周长问题(二次函数综合)》专项测试卷带答案
中考数学总复习《线段周长问题（二次函数综合）》专项测试卷带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴的正半轴上3OA OB ==．经过点O ，A 的抛物线L ：2y ax bx =+交AB 于点C ，点C 的横坐标为1．点P 在线段AB 上，当点P 与点C 不重合时，过点P 作PQ y ∥轴，与抛物线交于点Q .以PQ 为边向右侧作矩形PQMN ，且1PN =．设点P 的横坐标为m 时，解答下列问题．(1)求此抛物线L 的解析式；(2)当抛物线的顶点落在边PN 上时，求m 的值； (3)矩形PQMN 为正方形时，直接写出m 的值． 2．已知二次函数23y x bx c =++（b ，c 是常数）．(1)当()3,2A -是二次函数23y x bx c =++图象上的点时，求代数式24381b c -的值；(2)若二次函数23y x bx c =++的表达式可以写成()232y x h =--（h 是常数）的形式，求b c -的最大值； (3)若二次函数23y x bx c =++的表达式可以写成()()31y x x m =--（m 是常数，且10m -<<）的形式，该函数图象与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 左侧），已知点D 、点E 都是该抛物线对称轴上的点，点D 位于第一象限，且90ODC ∠=︒，点F 是点O 关于该抛物线的对称轴对称的点，连接FD 并延长交y 轴于点G ，连接BG ．当BEG 的周长的最小值等于94时，求此时m 的值．3．如图，直线2y x =-与抛物线()220y ax bx a =++≠相交于()1,1A -和(),2B m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点C 是线段AB 上的动点，过点C 作CD x ⊥轴，交抛物线于点D ．是否存在这样的C 点，使线段CD 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3)x 轴上是否存在点M ，使得ABM 为等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线()240y ax bx a =+-≠经过A ，B ，C 三点．已知点B 的坐标为()1,0-，且4OA OB =．(1)求A ，C 两点的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD AC ⊥于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的值． 5．【问题背景】如图，抛物线²4y ax bx =++交x 轴于(20)A -，，(40)B ，两点，与y 轴交于点C ，连接AC BC ，．点M 为线段OB 上的一个动点，过点M 作PM x ⊥轴，交抛物线于点P ，交BC 于点Q ．（1）求抛物线的解析式； 【构建联系】（2）过点P 作PN BC ⊥，垂足为点N ，设M 点的坐标为()0M m ，①请用含m 的代数式表示线段PN 的长；①连接PB PC ，求出当m 为何值时，四边形ABPC 的面积有最大值，最大值是多少？ 【深入探究】（3）若点G 是对称轴上一动点，将线段GA 绕点G 顺时针旋转90︒，当点A 的对应点为A '刚好落在抛物线上时，求出点G 的坐标．6．如图，抛物线2y x bx c =-++与直线2y x =+相交于()()2,03,A B m -，两点，与x 轴相交于另一点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是直线AB 上方抛物线上的一个动点（不与A B ，重合），过点P 作直线PD x ⊥轴于点D ，交直线AB 于点E ，当2PE ED =时，求P 点坐标；(3)当点P 运动到什么位置时，PAB 的面积有最大值？(4)抛物线上是否存在点M 使ABM 的面积等于ABC 面积的一半？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ．已知抛物线的对称轴为2x =，点D 的坐标为()0,5，点B 的坐标为()5,0．(1)求二次函数的解析式．(2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值x 的的取值范围．(3)P 是线段BD 上的一个动点，过P 点作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限内时，求线段PM 长度的最大值．8．如图，已知抛物线2y ax bx c =++的顶点是()1,4--，且与x 轴交于A 、()10B ，两点，交y 轴于点C ．(1)求此抛物线的解析式；(2)①当x 的取值范围满足条件 时3y <-；①若()1D m y ，，()22E y ，是抛物线上两点，且12y y >，求实数的取值范围；(3)直线x t =平行于y 轴，分别交线段AC 于点M 、交抛物线于点N ，求线段MN 的长度的最大值； (4)若以抛物线上的点P 为圆心作圆与x 轴相切时，正好也与y 轴相切，求点P 的坐标． 9．如图1，已知抛物线1C ：214y x bx c =++经过y 轴正半轴上一点()0,2C ，和x 轴负半轴上一点A ，且2OCOA=．(1)求抛物线解析式：(2)将抛物线1C 平移至其顶点与()0,1B 重合得到抛物线2C ，如图2所示，设抛物线2C 上有任意一点P ，过P 作PM x ⊥轴于点M ，则y 轴正半轴上是否存在一定点N 使得线段PM PN =恒成立？若存在，请求出N 点坐标；若不存在，则说明理由；(3)在（2）的基础上，设过点N 的直线l 分别交抛物线2C 于D E 、两点，如图3所示，请求出3DN EN +的最小值．10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2()30y ax bx a =++≠交x 轴于点A B 、，交y 轴于点C ，其中3OA =抛物线的对称轴是直线3x =(1)求抛物线的表达式；(2)CD 平分OCB ∠交x 轴于D ，点P 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PE CB ⊥交直线CB 于点E ，交直线CD 于点F ，点G 是线段BC 上一动点，连接PG ，当线段PF 取最大值时，求12PG BG +的最小值；(3)如图2，连接AC ，将该抛物线沿射线BC 方向平移，使得新抛物线经过点C ，且与直线BC 相交于另一点H ，点Q 为新抛物线上的一个动点当QCH ACO ∠=∠时，直接写出所有符合条件的点Q 的坐标． 11．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于()1,0A -，B 两点，AB=4，C 为抛物线顶点．(1)求b ，c 的值；(2)点P 为直线AC 下方抛物线上一点，过点P 作PQ x ⊥轴，垂足为点Q ，交AC 于点M ，是否存在3QM PM =？若存在，求出此时P 点坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，以B 为圆心，2为半径作圆，N 为圆B 上任一点，求12CN AN +的最小值． 12．如图，抛物线25y ax ax b =++经过点()1,5D --，且交x 轴于()6,0A -，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，过点D 作DM x ⊥轴，垂足为M ，点P 在直线AD 下方抛物线上运动，过点P 作PE AD ⊥PF DM ⊥ 求PE 的最大值，以及此时点P 的坐标．(3)将原抛物线沿射线CA 5G ，使得45CAG ∠=︒，请写出所有符合条件的点G 的横坐标，并写出其中一个的求解过程．13．如图，抛物线2y ax bx c =++交轴于点()1,0A -和()3,0B ，交y 轴于点C 60CAB ∠=︒ 点E 是线段AB 上一动点，作//EF AC 交线段BC 于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，延长线段EF 交抛物线于点G ，点D 是AC 边中点，当四边形ADGF 为平行四边形时，求出G 点坐标；(3)如图2，M 为射线EF 上一点，且EM EB =，将射线EF 绕点E 逆时针旋转60︒，交直线AC 于点N ，连接MN ，P 为MN 的中点，连接AP ，BP ，问：AP BP +是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值，若不存在，请说明理由． 14．综合与探究如图1，二次函数239344y x x =-++的图象与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ．点P是y 轴左侧抛物线上的一个动点，设点P 的横坐标为m ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点D ，交抛物线于另一点E ．(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)如图2，当点P 在第二象限时，连接BC ，交直线PE 于点F ．当PF EF =时，求m 的值．(3)当点P 在第三象限时，以BD 为边作正方形DBMN ，当点C 在正方形DBMN 的边上时，直接写出点D 的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，已知22OB OC OA ==．连接BC ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点P 是直线BC 上方抛物线上一动点，过点P 作PE BC ⊥，垂足为点E ，作PF BC ∥交y 轴于F 55PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)如图2，将抛物线沿射线AC 的方向平移221y ，点Q 为新抛物线1y 上一动点，连接BQ 并延长交AC 所在的直线于D 点，是否存在点Q 满足条件ADB ABC CAB ∠+∠=∠，若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的横坐标；若不存在，请说明理由参考答案：1．(1)抛物线L 的解析式为23y x x =-+ (2)34m =(3)m 的值为222 2．(1)2025 (2)5 (3)7m = 3．(1)242y x x =-+ (2)存在，当52n =时，线段PC 有最大值且为94(3)存在，)171,0或()171,0或()144,0或()144,0或()3,04．(1)()4,0A ()0,4C - (2)234y x x =--(3)PD 最大值为22 此时点()2,6P -5．（1）2142y x x =-++；（2）①()22204PN m m =≤≤；①当2m =时，四边形ABPC 的面积有最大值，最大值是16；（3）()1,1G 或()1,3G - 6．(1)228y x x =-++ (2)()1,9P (3)12m =(4)存在 1113111322M ⎛ ⎝⎭， 21131113M --⎝⎭ 313713722M ⎛- ⎝⎭4137137M ---⎝⎭7．(1)245y x x =-++ (2)0x <或5x > (3)2548．(1)223y x x =+-(2)①20x -<<；①4m <-或2m > (3)94(4)113113⎝--+⎭+，或113113----⎝⎭，或321321-+-⎝⎭，或321321--+⎝⎭， 9．(1)219244y x x =++； (2)存在，()0,2 (3)34 10．(1)212333y x =-+ (2)12PG BG +的最小值74(3)点Q 的坐标为()3,6或()43,3- 11．(1)2b =- 3c =-.(2)存在 132,39⎛⎫- ⎪⎝⎭17 12．(1)215322y x x =+- (2)PE =25216 745,28P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)132917329-+--⎝⎭或1946917469-++⎝⎭13．(1)23233=y x ； (2)43G ⎛ ⎝⎭或(3G ； (3)存在 2714．(1)()1,0A - ()4,0B ()0,3C 315-(3)()02-,或160,3⎛⎫- ⎪⎝⎭15．(1)211242y x x =-++55PE 有最大值94，此时53,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)Q 点横坐标为252-或141-141-25+。
重庆中考二次函数最值复习
3. ③已知点 M（-2，3），连接 CM ，DM ，CD，求 S△CDM 的最大值及此时点 D 的坐标：
④过点 B 作 BE ∥ AC 交抛物线于点 E ，连接 AD，CD，AD 交直线 BE 于点 F ，求 S△CDF 的最大值 及此时点 D 的坐标：
AB= x1 - x2 = x2 - x1
例 1、如图 1，抛物线 y=-2x2+4x+6 与 x 轴交与点 A 和点 B，与 y 轴交于点 C， （1）点 A 坐标为 ， ，点 B ， ，点 C , ；直线 BC 的解析式； （2）如图 1 在直线 BC 上方的抛物线上有一点 P，过点 P 作 Y 轴的平行线交 BC 于点 Q，求线段 PQ 长的最大值，并求此时点 P 的坐标：
（1）连接 AD，CD. ①已知 S△ACD = S△ABC ，求点 D 的坐标：
②已知 S△ACD : S△ABC = 2：3，求点 D 的坐标；
③已 知 点 M（ -2 ，3 ），连 接 CM ，DM ，CD ，已 知 S△CDM : S△ABC = 1 ：2 ，求 点 D 的 坐 标 ：
（2）过点 B 作 BE ∥ AC 交抛物线于点 E，连接 AD，CD，AD 交直线 BE 于点 F。
y
C
D
F H
G
AE
B
x
二次函数第二问解题模型
1. 例 1. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y = ax2 + bx + c 分别交 x 轴于 A（-4，0），B（-1，0），交 y 轴于点 C（0，4）. （1）求抛物线的解析式； （2）点 D 为抛物线上位于直线 AC 下方的一个动点 .
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
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类型一线段、周长最值问题1. 如图，抛物线y＝－x2－2x＋3交x轴于A，C两点(点A在C的左边)，抛物线交y轴于点B，点D是抛物线的顶点．(1)求线段AB的长；(2)点P是直线AB上方的抛物线上一点(不与A，B重合)，过点P作x轴的垂线，交x轴于点H，交直线AB于点F，作PG⊥AB于点G，求出△PFG周长的最大值；2. 已知二次函数y＝x2－x－2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴交于点C，过直线BC的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D.(1)求直线AC的解析式；(2)求△PQD周长的最大值；(3)当△PQD的周长最大值时，在y轴上有两个动点M、N(M在N的上方)，若MN＝1，求PN ＋MN＋AM的最小值．第2题图3. (2017重庆大渡口二模)如图，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，该抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于H.(1)求A、B两点的坐标；(2)设点P在x轴下方的抛物线上，当∠ABP＝∠CDB时，求出点P的坐标；(3)以OB为边在第四象限内作等边△OBM，设点E为x轴正半轴上一动点(OE>OH)，连接ME，把线段ME绕点M旋转60°得MF，求线段DF的长的最小值．第3题图4. (2017遵义改编)如图，抛物线y＝ax2＋bx－a－b(a<0，a、b为常数)与x轴交于A、C两点，与y 轴交于B 点，直线AB 的函数关系式为y ＝89x ＋163.(1)求该抛物线的函数关系式与C 点坐标；(2)已知点M (m ，0)是线段OA 上的一个动点，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点．当△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形时，动点M 相应位置记为点M ′，将OM ′绕原点O 顺时针旋转得到ON (旋转角在0°到90°之间)；ⅰ：探究：线段OB 上是否存在定点P (P 不与O 、B 重合)，无论ON 如何旋转，NPNB始终保持不变，若存在，试求出P 点坐标；若不存在，请说明理由； ⅱ：试求出此旋转过程中，(NA ＋34NB )的最小值．第4题图5. (2016重庆渝中区校级二模)如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝－33x 2－3x ＋433交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ，抛物线上一点D 的横坐标为－5. (1)求直线BD 的解析式；(2)点E 是线段BD 上的动点，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当折线EF ＋BE 最大时，在对称轴上找一点P ，在y 轴上找一点Q ，连接QE 、OP 、PQ ，求OP ＋PQ ＋QE 的最小值； (3)如图②，连接BC ，把△OBC 沿x 轴翻折，翻折后的△OBC 记为△OBC ′，现将△OBC ′沿着x 轴平移，平移后△OBC ′记为△O ′B ′C ″，连接DO ′、C ″B ，记C ″B 与x 轴形成较小的夹角度数为α，当∠O ′DB ＝α时，求出此时C ″的坐标．第5题图6. (2017重庆西大附中月考)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点为点D ，且B (33，0)，对称轴为直线x ＝3，点E (23，0)，连接CE 交对称轴于点F ，连接AF 交抛物线于点G .(1)求抛物线的解析式和直线CE 的解析式；(2)如图②，过E 作EP ⊥x 轴交抛物线于点P ，点Q 是线段BC 上一动点，当QG ＋45QB 最小时，线段MN 在线段CE 上移动，点M 在点N 上方，且MN ＝152，请求出四边形PQMN 周长最小时点N 的横坐标．第6题图答案1. 解：(1)抛物线y ＝－x 2－2x ＋3， 令y ＝0，则－x 2－2x ＋3＝0，(x －1)(x ＋3)＝0，x 1＝1，x 2＝－3，∵点A 在点C 的左边， ∴A (－3，0)，C (1，0)， 令x ＝0，得y ＝3，∴B (0，3)， ∴AB ＝32＋32＝32， ∴线段AB 长为3 2.(2)由题意可知△PFG 是等腰直角三角形，设P (m ，－m 2－2m ＋3)， ∴F (m ，m ＋3)，∴PF ＝－m 2－2m ＋3－m －3＝－m 2－3m ，∴PG ＝FG ＝22PF ， △PFG 周长为：PG ＝FG ＋PF ＝PF ＋2PF ＝－m 2－3m ＋2(－m 2－3m )＝－(2＋1)(m ＋32)2＋9（2＋1）4， ∴△PFG 周长的最大值为9（2＋1）4.2. 解：(1)令y ＝0，x 2－x －2＝0 ∴x 1＝－1，x 2＝2， ∴A (－1，0)，B (2，0)， 令x ＝0，y ＝－2， ∴C (0，－2)，设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)， ∵直线过点A 、C ，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－k ＋b b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝－2， ∴直线AC 解析式为y ＝－2x －2； (2)∵BO ＝CO ，∠BOC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°，∠ACO ＝∠EPQ ， ∴tan ∠ACO ＝tan ∠EPQ ＝12，过Q 作PE 的垂线QH ，垂足是H .设QH ＝a ，PH ＝2a ，DH ＝a ，a ＋2a ＝PD ，a ＝13PD ，设P (m ，m 2－m －2)，D (m ，m －2)，C △PQD ＝PQ ＋QD ＋PD ＝(5＋2＋3)a ＝5＋2＋33PD ， C △PQD ＝5＋2＋33PD ＝5＋2＋33(－m 2＋2m )＝－5＋2＋33(m －1)2＋5＋2＋33， ∴当m ＝1时，C △PQD 最大＝5＋2＋33，此时P (1，－2)； (3)把点A 向下平移1个单位到点A ′，则A ′(－1，－1)连接A ′P ， ∴AM ＋MN ＋PN 最小值＝A ′P ＋MN ＝5＋1.第2题解图① 第2题解图②3. 解：(1)y ＝x 2－2x －3＝(x －3)(x ＋1)，令y ＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3，则A (－1，0)，B (3，0)；(2)过点P 作PQ ⊥x 轴于Q ，过点D 作DK ⊥y 轴于K ，如解图①，由C (0，－3)，D (1，－4)，得OC ＝OB ＝3，CK ＝DK ＝1，∴∠BCO ＝∠DCK ＝45°， ∵BC ＝32，CD ＝2，BD ＝25，∴BC 2＋CD 2＝BD 2，∴∠BCD ＝90°， 当∠ABP ＝∠CDB 时， 有Rt △PQB ∽Rt △BCD ，故PQ BQ ＝BC CD ＝322＝3，即PQ ＝3BQ . 设P (x ，x 2－2x －3)，则BQ ＝||3－x ，PQ ＝||x 2－2x －3.∵P 点在x 轴下方时， ∴－x 2＋2x ＋3＝3(3－x )，整理得x 2－5x ＋6＝0，解得x 1＝2，x 2＝3(不合题意，舍去)． 此时点P 的坐标为(2，－3)．∴当∠ABP ＝∠CDB 时，P 的坐标为(2，－3)．第3题解图①(3)易证△OME ≌△BMF ，故∠MBF ＝∠MOE ＝60°. 连接FB 并延长交抛物线对称轴于点G ，如解图②， ∴当DF ⊥BG 时，DF 取得最小值． ∵∠GBH ＝60°，∴∠G ＝30°， ∴HG ＝3BH ＝2 3.DF ＝12DG ＝2＋3，∴线段DF 的长的最小值为2＋ 3.第3题解图②4. 解：(1)在y ＝89x ＋163中，令x ＝0，则y ＝163，令y ＝0，则x ＝－6，∴B (0，163)，A (－6，0)，把B (0，163)，A (－6，0)代入y ＝ax 2＋bx －a －b 得⎩⎪⎨⎪⎧36a －6b －a －b ＝0－a －b ＝163，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－89b ＝－409，∴抛物线的函数关系式为y ＝－89x 2－409x ＋163，令y ＝0，则－89x 2－409x ＋163＝0，∴x 1＝－6，x 2＝1， ∴C (1，0)；(2)∵点M (m ，0)，过点M 作x 轴的垂线l 分别与直线AB 和抛物线交于D 、E 两点，如解图①，∴D (m ，89m ＋163)，当DE 为等腰三角形的底时，作BG ⊥DE 于G ，则EG ＝GD ＝12ED ，GM ＝OB ＝163，∵DM ＋DG ＝GM ＝OB ，∴89m ＋163＋12(－89m 2－409m ＋163－89m －163)＝163， 解得：m 1＝－4，m 2＝0(不合题意，舍去)，∴当m ＝－4时，△BDE 恰好是以DE 为底边的等腰三角形；第4题解图①ⅰ：存在，∵ON ＝OM ′＝4，OB ＝163，∵∠NOP ＝∠BON ，∴当△NOP ∽△BON 时，OP ON ＝NP NB ＝ON OB ＝34，∴NPNB不变， 即OP ＝34ON ＝34×4＝3，∴P (0，3)ⅱ：如解图②，N 在以O 为圆心，4为半径的半圆上，由(ⅰ)知，NP NB ＝OP ON ＝34，∴NP ＝34NB ，∴(NA ＋34NB )的最小值＝NA ＋NP ，∴此时N ，A ，P 三点共线，∴(NA ＋34NB )的最小值＝32＋62＝3 5.第4题解图②5. 解：(1)令y ＝0，则－33x 2－3x ＋433＝0，解得x ＝－4或1， ∴A (－4，0)，B (1，0)， 令x ＝0，则y ＝433，∴C (0，433)，当x ＝－5时，y ＝－2533＋53＋433＝－23，∴点D 坐标(－5，－23)，设直线BD 解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎨⎧－5k ＋b ＝－23k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝33b ＝－33，∴直线BD 的解析式为y ＝33x －33. (2)如解图①中，设BD 交y 轴于K ，则K (0，－33)，设E (m ，33m －33)，则F (m ，－33m 2－3m ＋433)，第5题解图①∴tan ∠ABD ＝33， ∴∠ABD ＝30°，∴EF ＋EB ＝－33m 2－3m ＋433－(33m －33)＋2(33－33m )＝－33(m ＋3)2＋1633， ∴m ＝－3时，EF ＋EB 的值最大，此时点E 坐标(－3，－433)，如解图②，作点E 关于y 轴的对称点N ，EM ⊥AB 于M ，连接MN ，交对称轴于P ，交y 轴于Q ，第5题解图②∵M 、O 关于对称轴对称，∴OP ＝PM ，E 、N 关于y 轴对称，∴QE ＝QN ，∴OP ＋PQ ＋QE ＝PM ＋PQ ＋QN ，∴当M 、N 、P 、Q 共线时，OP ＋PQ ＋QE 最小，最小值为MN 的长，在Rt △MNE 中，MN ＝EM 2＋EN 2＝（433）2＋62＝2933.∴OP ＋PQ ＋QE 的最小值为2933.(3)如解图③中，作O ′M ⊥BD 于M ，BD ＝（1＋5）2＋（23）2＝43，设O ′B ＝a ，则O ′M ＝12a ，BM ＝32a ，DM ＝BD －BM ＝43－32a ，第5题解图③∵∠O ′DM ＝∠C ″BO ′，∠O ′MD ＝∠BO ′C ″＝90°， ∴△O ′MD ∽△C ″O ′B ， ∴O ′M O ′C ″＝DM BO ′， ∴12a 433＝43－32aa ，∴a 2＋4a －32＝0，解得a ＝4或－8(舍去)， ∴C ″坐标为(－3，－433)．6. 解：(1)由抛物线y ＝ax 2＋bx ＋43的对称轴－b 2a ＝ 3 ①，点E (23，0)在抛物线上，则(33)2a ＋33b ＋43＝0 ②， 由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－439b ＝83，则抛物线的解析式为y ＝－439x 2＋83x ＋43， 又点C (0，43)，E (23，0)， 设直线CE 的解析式为y ＝kx ＋m ，则⎩⎨⎧0＋b ＝43，23k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝－2b ＝43，∴直线CE 的解析式为y ＝－2x ＋4 3. (2)由抛物线y ＝－439x 2＋83x ＋43知，当x ＝23时，y ＝43， 则点P 的坐标为(23，43)， 根据对称性得A (－3，0)， 由y ＝－2x ＋43知，当x ＝3时，y ＝23，F (3，23)， 直线AF 的解析式为：y ＝x ＋3，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－439x 2＋83x ＋43y ＝x ＋3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝934y ＝1334，点G 的坐标为(934，1334)．由sin ∠OBC ＝OC BC ＝4353＝45，∴当QG ⊥x 轴时，QG ＋45QB 最小，∵直线BC 的解析式为y ＝－43x ＋43，∴当x ＝934时，y ＝3，∴点Q (934，3)．如解图，过点P 作PK ∥MN ，取PK ＝MN ＝152， 则四边形PMNK 是平行四边形，∴四边形PQNM 的周长＝PM ＋MN ＋NQ ＋PQ ＝NK ＋MN ＋NQ ＋PQ ，由于MN 、PQ 的值不变，所以只需NK ＋NQ 最短，所以作K 关于直线CE 的对称点K ′，连接K ′Q ，交CE 于N ，即当K ′、N 、Q 三点共线时，四边形PQNM 的周长最短．∵P 的坐标为(23，43)，PK ＝152，PK ∥CE ， ∴K 点横坐标x k ＝23＋152cos ∠CEO ＝23＋32＝532， K 点纵坐标为y k ＝43－152sin ∠CEO ＝43－152×255＝33，∴K (532，33)，∵直线KK ′与直线CE 垂直， ∴设直线KK ′的解析式为y ＝12x ＋b ，则12×532＋b ＝33，解得b ＝734， ∴直线KK ′为：y ＝12x ＋734，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋734y ＝－2x ＋43，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9103y ＝1153，则KK ′与CE 交点坐标为(9310，1135)，由对称特点可得K ′的横坐标为9310×2－532＝－7310，K ′的纵坐标为1135×2－33＝735， ∴K ′(－7310，735)，由Q (934，3)，设直线K ′Q 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－7310k ＋b ＝735934k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－859b ＝77359，∴直线K ′Q 的解析式为y ＝－859x ＋77359，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋43y ＝－859x ＋77359 ，解得x ＝1593110，则N 点的横坐标为1593110.第6题解图。