稳定裕度

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稳定裕度

稳定裕度

最小相位系统的极坐标图与(-1,j0)点的接近程度可以分别用 极坐标图穿过负实轴的幅值和极坐标图幅值为1时的相角来表示。
j G(s平面
Ag
-1 g
c
→∞ 0
c
→0
定义极坐标图穿过负实轴(此时
()=-180° )对应的频率为相角穿 越频率,用g表示;
定义幅值A()=1对应的频率为幅 值穿越频率,用c表示。
-6.0
0.33
0
0.67
0.7
-3.1
0.96
0
1.37
0.8
-1.9
1.78
0
2.22
1.0
0

0

1.2
1.6
-3.327
0
2.73
1.4
2.9
-2.40
0
1.46
1.6
4.1
-1.64
0
1.03
1.8
5.1
-1.46
0
0.80
2.0
6.0
-1.33
0
0.67
3.0
9.6
-1.13
0
0.38
M=1.2
定的,除非-60dB/dec段非常短,且该段两端所接折线的斜率
大于-40dB/dec,此时即使稳定,相位裕度 也是非常小的。
5.6 闭环系统的频率特性
5.6.1 用向量法求闭环频率特性 5.6.2 等幅值轨迹(等M圆)和等相角轨迹 (等N圆)
5.6.1 用向量法求闭环频率特性
对于单位反馈系统,闭环系统的频率特性F(j)和开环系统 的频率特性G(j)的关系为
2
2
若M≠1,上式变为:

(自动控制原理)稳定裕度

(自动控制原理)稳定裕度

2 干扰和噪声
外部干扰和噪声会降低系统的稳定裕度。
3 参数变化
系统参数的变化会对稳定裕度产生影响。
提高稳定裕度的方法和技巧
1
参数调整
通过调整系统参数来增加稳定器类型和参数来提高稳定裕度。
3
滤波器应用
通过滤波器来减少干扰和噪声对系统稳定裕度的影响。
结论和总结
稳定裕度是评估系统稳定性的重要指标,它能够确保系统在面对干扰和参数变化时保持稳定。了解稳定 裕度的定义、计算方法和影响因素,以及提高稳定裕度的方法和技巧,对于优化系统设计和提高系统可 靠性至关重要。
(自动控制原理)稳定裕度
稳定裕度是评估系统稳定性的重要指标。它衡量系统在面对干扰时的能力, 是确保系统可靠运行的关键。
定义稳定裕度
稳定裕度可以定义为系统离稳定界限的距离。它衡量了系统在存在不确定因素或参数变化时仍然保持稳 定的能力。
稳定裕度的公式和计算方法
稳定裕度公式
常见的稳定裕度公式是: 稳定裕度 = 1 / (1 + G(s))
计算方法
计算稳定裕度时,需要确定系统的传递函数, 并对其进行频率响应分析。
1. 确定幅值裕度和相位裕度的要求。 2. 绘制系统的频率响应曲线。 3. 根据要求的裕度计算稳定裕度。
稳定裕度的意义和重要性
1 系统可靠性
稳定裕度能够确保系统在面对干扰或参数变化时保持稳定性。
2 容错能力
稳定裕度增加系统的容错能力,即使出现不确定情况也能维持系统的稳定。
3 稳定边界
通过评估稳定裕度,可以确定系统的稳定边界,并提前采取措施来避免系统不稳定。
常见的稳定裕度指标
相位裕度 幅值裕度 增益裕度
系统响应相位与稳定边界相差的角度值。 系统响应幅值与稳定边界之间的比例关系。 系统传递函数增益与单位增益相差的值。

控制系统稳定裕度设计

控制系统稳定裕度设计

控制系统稳定裕度设计控制系统的稳定性是系统工程中至关重要的一环。

稳定裕度是控制系统在面对外部扰动时能保持稳定的能力。

本文将讨论控制系统稳定裕度的概念、影响因素以及设计原则。

一、稳定裕度的概念稳定裕度是指控制系统在满足性能要求的同时,对于内外部扰动能够保持稳定的能力。

通常用裕度指标来描述系统的稳定性,例如相位裕度和增益裕度。

相位裕度是指系统的相位与临界相位的差值,增益裕度是指系统增益与临界增益的差值。

二、影响因素1. 系统动态特性:系统的动态特性直接影响稳定裕度。

例如,系统的阻尼比、谐振频率以及过冲量等参数都会对稳定裕度产生影响。

2. 控制器设计参数:控制器的设计参数会直接影响稳定裕度。

例如,比例系数和积分时间常数的选择都会对稳定裕度产生影响。

3. 系统外部扰动:外部扰动的大小和频率对系统的稳定性有直接影响。

稳定裕度设计需要考虑外部扰动的影响。

三、稳定裕度设计原则1. 设定合适的相位裕度:相位裕度是决定系统稳定性的重要指标。

通常,相位裕度应大于一定阈值,以确保系统不会产生不稳定的振荡。

2. 提高增益裕度:增益裕度是指系统增益与临界增益的差值,也是保证系统稳定性的关键因素。

增益裕度的提高可以通过合适的控制器设计参数以及系统结构的良好调整来实现。

3. 引入补偿网络:通过引入补偿网络可以改善系统的稳定裕度。

常用的补偿网络包括PID控制器、滤波器等。

4. 考虑外部扰动:稳定裕度设计需要充分考虑外部扰动对系统稳定性的影响。

可以采用滤波器、增加机械结构等手段来减小外部扰动的影响。

四、结论控制系统稳定裕度的设计是确保系统稳定性的关键步骤。

通过正确选择相位裕度和增益裕度,优化控制器设计参数以及考虑外部扰动的影响,可以提高系统的稳定性。

这将有助于系统的性能优化,提高工程的可靠性和稳定性。

在控制系统中,稳定裕度的合理设计对于保证系统稳定性和性能具有重要作用。

我们应该深入理解稳定裕度的概念、影响因素以及设计原则,并根据具体系统的特点和需求进行相应的设计和优化。

稳定裕度

稳定裕度
j 1
m
(1 ij )
j
(1 T j )
闭环传递函数和频率特性可表示为:
GK ( s ) ( s) 1 GK ( s ) K (1 i s ) s

m i 1 j
(1 T s) K (1 s)
j 1 i 1 i m
n
|M(j|下降到
[0, b ]称为系统带宽。
2 M 0 时,对应的频率 b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
16

一、稳态性能指标分析:
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v(即积分环节的个数) 和开环放大系数 K 的话,则可求得系统的稳态误差。(见3.6 稳态误差分析) 在波德图上,低频渐近线的斜率 和 的关系如下: 由 20 (dB / Dec),可求得 值; 也可由
|M(j|下降到
② 对典型欠阻尼二阶系统而言,性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率。
tp 2 d n 1z

d%e

z
1z 2
100%
4 z ,当Δ 2时 n ts 3 ,当Δ 5时 z n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言,性能指标只有ts 。
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -120 -150 -180 -210 -240
10
K=30 K=3 K=0.3
-20dB/dec
当K=3,c=1.583, 23.3° 当K=30, -40dB/dec c=5.12, 16° -60dB/dec
20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 0.01 0.1 1 10 100 1000

飞机稳定裕度计算

飞机稳定裕度计算

飞机稳定裕度计算
飞机的稳定裕度通常以飞机的焦点到重心的距离占机翼平均空气动力弦长的百分比来表示,且焦点位于重心之后为正,反之为负。

早期,战斗机的纵向稳定裕度为正5%左右,运输机的纵向稳定裕度一般为正5%-10%。

飞机的纵向稳定性条件也适用于羽毛球、纸飞机、毽子等体育、娱乐用品。

除纵向稳定性外,飞机还有横向稳定性和方向稳定性问题,三者大体类似,不再逐一展开。

飞机的稳定裕度是一个重要的参数,它可以帮助设计者评估飞机的稳定性,并优化飞机的设计。

稳定裕度的讲解

稳定裕度的讲解
相角裕度
180 G( jwc )
1 G( jw g )
相角交界频率ωg G( jωg ) 180
幅值 的物理意义 相角
h
系统在
幅值 一般要求
方面的稳定储备量
40 h 2
§5.5
例3 G ( s )
5
稳定裕度 (3)
自动控制原理
§5. 线性系统的频域分析与校正
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §5.5 §5.6 §5.7 频率特性的基本概念 幅相频率特性(Nyquist图) 对数频率特性(Bode图) 频域稳定判据 稳定裕度 利用开环频率特性分析系统的性能 利用闭环频率特性分析系统的性能
自动控制原理
§5.5 稳定裕度
课程小结
稳定裕度的概念
稳定裕度的定义
(开环频率指标) 截止频率 ωc 相角裕度 穿越频率 幅值裕度 h
G( jωc ) 1
180 G( jwc )
ωg G( jωg ) 180
h 1 G( jw g )
稳定裕度的意义 稳定裕度计算方法
, h 的几何意义 , h 的物理意义
s s s( 1)( 1) 2 10 100 , s( s 2)( s 10 ) ,求
§5.5.2 稳定裕度的计算
h。
解法I:由幅相曲线求 , h。
§5.5
稳定裕度 (6)
解法II:由Bode图求 , h。
§5.5
6(
稳定裕度 (7)
例4
s 1) 2.5 ,求 , h。 G( s ) s s s s( 1)( 1)( 1) 2 5 12.5
L(w ) wc 180 (wc ) 1 (w ) 180 w g h G( jw g )

稳定性分析与稳定裕度

稳定性分析与稳定裕度

稳定性分析与稳定裕度稳定性是指系统在受到内外部扰动时能否回到平衡状态的能力。

稳定裕度则是指系统能够容忍的扰动大小。

在工程领域中,稳定性分析和稳定裕度的研究对于保障系统的安全可靠性至关重要。

本文将介绍稳定性分析与稳定裕度的概念、计算方法以及其在不同领域的应用。

一、稳定性分析的概念稳定性分析是一种评估系统稳定性的方法。

它可以通过分析系统的特性和参数来判断系统在遭受外界扰动时是否能够保持平衡。

在稳定性分析中,常用的方法包括等效线性化、Bifurcation分析、Lyapunov稳定性分析等。

等效线性化是一种常见的稳定性分析方法。

它通过将非线性系统在某一特定工作点附近进行线性化处理,得到等效线性系统,并通过研究其特征根来判断系统的稳定性。

Bifurcation分析则是研究系统在参数变化过程中平衡点的分岔情况,以此来判断系统是否存在稳定性转变。

而Lyapunov稳定性分析则是利用Lyapunov函数的性质来评估系统的稳定性。

二、稳定裕度的计算稳定裕度是评估系统稳定性的指标之一。

它是指系统在遭受一定范围内的扰动时能够保持稳定的能力。

稳定裕度的计算通常涉及到系统的摄动响应和性能指标的定义。

摄动响应是指系统在受到扰动时的响应情况。

常见的稳定裕度指标包括幅值裕度和相位裕度。

幅值裕度是指系统在受到特定幅值的扰动时,输出信号的幅值与输入信号幅值之间的差值。

相位裕度则是指系统在受到特定相位的扰动时,输出信号相位与输入信号相位之间的差值。

稳定裕度的计算与系统的数学模型和特性密切相关。

在实际工程中,可以通过仿真实验或实际测试来获取系统的摄动响应,从而计算稳定裕度。

此外,还可以通过建立数学模型,利用控制理论和信号处理方法来计算稳定裕度。

三、稳定性分析与稳定裕度的应用稳定性分析与稳定裕度的研究在众多领域中都有广泛的应用。

以下是几个典型的应用案例:1.电力系统稳定性分析:电力系统中存在较大的复杂性和不确定性,稳定性分析可以帮助评估系统的动态响应和抗干扰能力,为电力系统的设计和运行提供指导。

第五部分稳定裕度

第五部分稳定裕度

定裕度和幅值裕度
大约是8dB和21度。
因此系统在不稳定
21
之前,增益可以增
加8dB.
4
相位裕度和幅值裕度的计算:
相位裕度:先求穿越频率 c
A()
0.2k
2
(当k 10时)
| s | | s 1| | 0.2s 1| 1 2 1 0.04 2
在穿越频率处,A() 1 ,所以 2 (1 2 )(1 0.04 2 ) 4 ,解
生或同时不发生的,所以经常只用一种稳定裕度来表示系统的
稳定裕度。常用相角裕度。
[幅值稳定裕度物理意义]:稳定系统在相角穿越频率处将幅值增
加 k g倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图),则系统处于临界
状态。若增加的倍数大于
k
g倍(或
L
分贝),则系统变为不稳
g
定。
[相位稳定裕度的物理意义]:稳定系统在幅值穿越频率c 处将
相角减小 度,则系统变为临界稳定;再减小,就会变为不稳
定。
3
[例]设控制系统如下图所示 R(s)
k
C(s)
k=10和k=100时,试求系统 的相位稳定裕度和幅值裕度。
- s(s 1)(s 5)
[解]:相位稳定裕度和幅值裕度可以很容易地从波德图中求得。
当k=10时,开环系
统波德图如右所示。
8dB
这时系统的相位稳
kg
1
12
(g )
90
tg
1 g
tg10.2g
180
即:tg
1 g
tg10.2g
90
由三角函数关系得:g 0.2g 1, 解得:g 2.24
A(g ) g
2
0.33216
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Nyquist稳定性判据是根据开环传递函数 G(jw)H(jw) 曲线是否包围GH平面 上的临界点( -1, 0 ) 判断闭环稳定性的。那末,能否根据函数 G(jw)H(jw) 曲 线离开( -1, 0 ) 判断闭环系统的相对稳定性呢?这就是本节的内容。 s 平面上的等 s 线和等 w 线在GH 平面上的映象见图。S 平面上,s = 0线 在 GH 平面的映象若穿过( -1, 0 ) ,意味着闭环有极点在虚轴上。若某–s 线穿过( -1, 0 ) 点,则意味着闭环有极点在–s 线上。用同样方法,也可以 解释等 w 线映象的意义。因此,GH平面上, ( -1, 0 ) 点在“映象网格”中 的位置就反映了闭环极点在s 平面上的位置,体现了其相对稳定性。 为了简便,实际中不进行等 s 线和等 w 线的网格映射,而直接采用GH平 面上( -1, 0 )到 G(jw)H(jw) 曲线的距离来判断闭环的相对稳定性。
习题5、 系统的开环传递函数为 KTT K G( s) H ( s) = , 1 2 1 s(T1s 1)(T2 s 1) T1 T2 试用乃奎斯特稳定判据判断系统的稳定性 K (T1 T2 ) G( jw) H ( jw) = 1 w 2 (T12 T22 ) w 4T12T22
)(1 j ) 0.01 5
w
) 0.1
w
w
20lg K 20lg 1 (
K 10 =1 100 1
1 2 1 2 1 ) 20lg 1 ( ) 20lg 1 ( ) 2 = 20lg1 0.1 0.01 5 10(1 10s) G ( s ) = K = 10 s(1 100s)(1 0.2s)
(3)幅值裕度在Bode 图中的等价表述
hL = 20logh = 20logG( jw x )H ( jw x )
对于稳定的最小相位系统,增益裕度指出了系统在不稳定 之前,增益能够增大多少。对于不稳定系统,增益裕度指出了 为使系统稳定,增益应当减少多少。
一阶或二阶系统的增益裕度为多少? 一阶或二阶系统的增益裕度为无穷大,因为这类系统 的极坐标图与负实轴不相交。因此,理论上一阶或二阶系 统不可能是不稳定的。当然,一阶或二阶系统在一定意义 上说只能是近似的,因为在推导系统方程时,忽略了一些 小的时间滞后,因此它们不是真正的一阶或二阶系统。如 果计及这些小的滞后,则所谓的一阶或二阶系统可能是不 稳定的。 为了得到满意的性能,相位裕度应当在 30与60 之间,
解 : G( jw ) =
A(w) =
K [T1T2 ( jw ) 2 T2 jw 1](T3 jw 1)
频率特性
e j (w )
K
2 2 2 2 [(1 TT w ) ( T w ) ][1 ( T w ) ] 1 2 2 3
(w ) = arctg
T2w 1 T1T2w
= K T2 T3 1 T2 (T1 T3 ) T2T1T3
K 1 T2 (T1 T3 )w
2
w =wc
T2 T3 (T1 T3 ) K 1 T1T3
6
4
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, K = 8

2
Imag Axis
0
-2
-4
-6
-2
-1
0
1
2
3 Real Axis
N=-2≠P N+- N-=1 ≠ 0
习题6、
习题7、一单位反馈控制系统的开环传递函数为
G( s) = K (T1T2 s 2 T2 s 1)(T3s 1) 式中 K , T1 , T 2和T3
均为正值。为使系统稳定,开环增益 K 与时间常数
T1 , T 2和T3 之间满足什么关系?
习题5、 一个系统的开环传递函数为 G ( s ) H ( s ) = 试用乃奎斯特稳定判据判断系统的稳定性
K Ts 1
K 1
右半平面极点数:P=1 乃奎斯特曲线逆时针包 围(-1,j0)点的次数为 N=1=P 穿越的概念:
正穿越次数 N+=0.5
系统稳定 负穿越次数N-=0 N+- N-=0.5-0=1/2
K 1 T2 (T1 T3 )w 2 (T2 T3 T1T2T3w 2 ) jw
2
令虚部为零即可 T2 T3 T1T2T3w = 0
与负实轴相交于 G( jwc ) =
K T T 1 (T1 T3 ) 2 3 T1T3 1
T2 T3 wc = T1T2T3
G( jwc ) = 1

wc = w n
4 4 1 2 2
(3)按定义计算相角裕度
= 180 G ( jw c ) = 90 arctg
wc = arctg 2w n
2 4 4 1 2 2
〖说明〗 • 开环相角裕度 仅与系统阻尼比 有关,且它们之间是增函数关 系。 • 开环截止频率 wc 与自然振荡频率 wn 、阻尼比 间的关系 wc 与 wn 成正比; 愈大, wc 愈小。 • 根据截止频率可推知略大于它的自然振荡频率; 根据相角裕度的变化可推知阻尼比的增减,推知相应闭环系统的阶 跃响应的振荡程度的变化。 END
由于是最小相位系统,因而可通过计算相位裕度 是否大于零来判断系统的稳定性。由图可知 wc = 1 在 wc 处
1 1 1 (w c ) = 90 arctg arctg arctg = 106 .4 0.1 0.01 5
则得 = 180 (wc ) = 73.6 >>0 系统稳定
(3)幅值裕度的定义
穿越频率
wx
该频率满足如下关系式
G( jw x ) H ( jw x ) = (2k 1)
幅值裕度
h
1 h= G( jw x ) H ( jw x )
幅值裕度是:开环增益若再增大 h 倍,才导致闭环处于临界稳定。 幅值裕度 h 是 G(jw)H(jw) 到(-1, 0)点的另一个“距离”度量。从前 面的“映射理论”看,它较多地体现了 w 线的作用。幅值裕度愈大, 闭环主导极点靠实轴就愈近,阶跃响应振荡就愈小。
习题1、已知系统的开环传递函数,试绘制系统的开环Nyquist 图。
习题2、已知系统的开环传递函数,试绘制系统的开环 Nyquist图,并求Nyquist图与实轴的交点。
Nyquist图与实轴相交时
习题3、已知系统的开环传递函数,绘制系统的开环 Nyquist图。
习题4、已知系统的开环传递函数,绘制系统的对数幅相 频率特性曲线图。
1 1 单位斜坡输入时,系统的稳态误差为 ess = K = 10 = 0.1 v
60
G( jw ) =
解:由图得
40
jw (1 j
)(1 j ) 0.01 5
w
0.1
w
-40dB/dec
-20dB/dec
20
0
5 0.01 0.1 1
w
-20
rad/ -40dB/dec
10
1
-40 -3 10
10
-2
10
-1
10
0
10
2
G ( jw ) =
K (1 j jw (1 j
5-5 稳定裕度
在实际控制系统中,首先要求系统必须是稳定的,并且还要求有一定的稳 定程度,即稳定裕度。系统稳定裕度是用于衡量闭环系统的相对稳定程度 的指标,经常作为控制系统的频率域性能指标。
为了简便,直接采用GH平面上( -1, j0 )到 G(jw)H(jw) 曲线的距离来判断闭 环的相对稳定性。对于频率特性曲线可以用到虚轴的截距d以及旋转的角度 γ 来度量系统相对稳定性。当频率曲线越靠近( -1, j0 )点时,d值越接近1, γ 角也趋进于零,系统相对稳定性就越低。由此引出两个衡量系统相对稳 定性的指标:幅值稳定裕度和相角稳定裕度。
增益裕度应当大于6分贝。
【例5-5-1】研究典型二阶系统的相角裕度。
(1)写出开环频率特性
2 2 wn wn w G ( jw ) = = arctg 90 2 2 2 jw ( jw 2w n ) w w 4 w n 2w n
(2)根据定义确定截止频0

-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5 Real Axis
1
1.5
2
G( jw ) =
K [T1T2 ( jw ) 2 T2 jw 1](T3 jw 1)
展开
?与负实
轴的交点
=
=
K T1T2T3 ( jw ) 3 (T1T2 T2T3 )( jw ) 2 (T2 T3 ) jw 1
2
arctgT 3w
G( j) = 0 j 0
G( j 0) = K j 0
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, K = 2
1.5
1
0.5
Imag Axis
0

-0.5
-1
-1.5
-1
-0.5
0
0.5 Real Axis
1
1.5
2
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, K = 2
4
5
6
7
8
6
4
T1 = 1, T2 = 2, T3 = 3, K = 8
2
Imag Axis
0

-2
-4
-6
-2
-1
0
1
2
3 Real Axis
4
5
6
7
8
习题8、设一单位反馈系统对数幅频特性如下图所示(最小相 位系统)。写出系统的开环传递函数判别系统的稳定性 如果系统是稳定的,则求 r (t ) = t 时的稳态误差。 L(w ) 80 w dB K ( 1 j ) -20dB/dec
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