第四章 (4.3.2)频率特性法分析系统稳定性(稳定裕度)
第四章 频率特性分析(2011第9讲)
第9讲
③频域法是一种工程上广为采用的分析和综合系统 间接方法。另外，除了电路与频率特性有着密切关系外， 在机械工程中机械振动与频率特性也有着密切的关系。 机械受到一定频率作用力时产生强迫振动，由于内反馈 还会引起自激振动。机械振动学中的共振频率、频谱密 度、动刚度、抗振稳定性等概念都可归结为机械系统在 频率域中表现的特性。
G(− jω) = G( jω) e− j∠G( jω)
由此得到系统的稳态响应为： xos = tlim xo (t) = →∞
e j[ωt +∠G( jω)] − e− j[ωt+∠G( jω)] = G( jω) Xi = G( jω) Xi sin[ ωt + ∠G( jω)] 2j
第9讲
由频率特性的定义可知，系统的幅频特性和相频特 性分别为：
石家庄铁道大学机械工程学院
第9讲
第四章 频率特性分析 前面我们学习了系统的数学模型：时间域中的微分 方程/差分方程；复数域中的传递函数；今天我们开始 学习系统的另一种数学模型，即频率域中的频率特性。 与传递函数一样，频率特性仅适用于线性定常系统。 频率特性分析方法是控制理论中研究和分析系统特 性的主要方法。它将传递函数从复数域引到频率域， 使系统数学模型的物理概念明确化。那么引入频率特 性分析方法有什么意义呢？
第9讲
3、频率特性的求法 、 本节介绍频率特性的三种求法。 ①根据系统的频率特性来求取 已知系统的传函，据输入谐波信号求得系统的稳态 响应，然后按定义得到其频率特性。 ②将传递函数中的s用jω代替来求取 将传递函数中的 代替来求取 对系统传递函数而言,系统的频率特性就是其复变量 s = σ + jω在 σ = 0时的特例，这样，将系统的传递函数 G(s)中的s用jω代替，就得到系统的频率特性 。
第四章-系统的频率特性分析
G(s)H (s) G1(s)G2 (s) Gr (s) 系统幅相特性为：
G( jw)H ( jw) A1(w)e j1(w) A2 (w)e j2 (w) Ar (w)e jr (w)
A1(w) A2 (w)
A (w)e j[1 (w)2 (w) r ( w)] r
r
起点 K0
v 0 终点 0 90(n m)
90v v 0
3. 一般系统Nyquist形状
设系统的开环传递函数为
系统的型号:一种依据系统开环传递函数中积分环节的多少 来对系统进行分类的方法
１．0 型系统（v=0） ２．I 型系统（v=1） 3 . II 型系统（v=2） ……
系统开环对数幅值等于各环节的对数幅值之和；相位等于各环 节的相位之和。因此，开环对数幅值曲线及相位曲线分别由各串联 环节对数幅值曲线和相位曲线叠加而成。
系统的Bode图
G(s)
K (τ1s 1)(τm s 1) sv (T1s 1)(Tnv s 1)
L(w ) 20 lg G
20lg K 20lg1 j1w 20lg1 j mw 20v lgw 20lg1 jT1w 20lg1 jTn-vw
(w) G arctan 1w arctan mw 90v arctan T1w arctan Tn-vw
（3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还 适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性 系统的分析。
总结：
1、频率特性的定义； 2、频率特性表示方法； 3、频率特性的求法。
复习：频率特性表示法
频率特性可用解析式或图形来表示。 （一）解析表示：系统开环频率特性可用以下解析式表示
第4章3 频率特性分析系统性能
1−ζ 2
σ% = e
×100%
二阶系统σ%、Mp、γ与ζ的关系 二阶系统 、 、 与 的关系
根据给定的相角裕度γ可以查得反映系统动态特性的时域指标最大超调量 根据给定的相角裕度 可以查得反映系统动态特性的时域指标最大超调量σ%，反之 可以查得反映系统动态特性的时域指标最大超调量 ， 亦然，二者之间为一一对应的确定的关系。 增大 随之增大 增大， 随之增大， 减小。 亦然，二者之间为一一对应的确定的关系。ζ增大，γ随之增大，σ%减小。 减小
6 tan γ
c
之间的关系 绘成曲线如图5—71所示。 的关系， 所示。 上式表示二阶系统tsωc与γ之间的关系，绘成曲线如图 所示 由以上分析可知，对二阶系统， 成反比； 给定后， 成反比； 由以上分析可知，对二阶系统，tsωc与γ成反比；当γ给定后，ts与ωc成反比；当要求 从物理意义上解释， 越大， 系统具有相当的灵敏度时，ωc应该较大。从物理意义上解释，ωc越大，说明系统能 够响应的输入信号的频率越高，也就是跟踪输入信号的速度越快，系统的惯性较小， 够响应的输入信号的频率越高，也就是跟踪输入信号的速度越快，系统的惯性较小， 即快速性好。由于在控制系统的实际运行中，输入的控制信号一般为低频信号， 即快速性好。由于在控制系统的实际运行中，输入的控制信号一般为低频信号，而干 扰信号（如调速系统中电网电压的波动等）一般为高频信号， 越大， 扰信号（如调速系统中电网电压的波动等）一般为高频信号，ωc越大，说明系统对高 频干扰信号的抑制能力就越差。因此， 频干扰信号的抑制能力就越差。因此，ωc的取值要同时根据系统的快速性与抗高频干 扰信号的要求确定。 扰信号的要求确定。
2.中频段 P99 中频段
系统的动态性能 一般用时域指标最大超调 系统的 动态性能一般用时域指标 最大超调 动态性能 一般用时域指标 量 σ%和 调节时 间 ts 来描述 。 由开环频率特性 和 调节时间 来描述。 来研究系统的动态性能,一般是用对数幅频特 来研究系统的动态性能 一般是用对数幅频特 相位裕量γ 性的幅值穿越频率 性的幅值 穿越频率 ωc 和 相位裕量 γ 这两个特征 两个特征量都与系统中频段的形状有关。 量，这两个特征量都与系统中频段的形状有关。 开环对数幅频特性 L(ω)的中频段是指L(ω) 的中频段是指 曲线在幅值穿越频率 附近的区段。 曲线在幅值穿越频率ωc附近的区段。 中频段特性集中反映了闭环系统的 特性集中反映了闭环系统的动态性 中频段特性集中反映了闭环系统的动态性 能，中频段的斜率与宽度反映系统动态响应中 中频段的斜率与宽度反映系统动态响应中 斜率与宽度 平稳性， 的大小反映快速性 快速性。 的平稳性，幅值穿越频率 ωc的大小反映快速性。
频率特性分析法4
稳定
L()
Im G(j)
0dB
K 小 Re
-1
0
A()
()
-180
()
20lgK 小
A()=1 ()>- ()=- A()<1
L() = 0dB () > - ()= - L()<0dB
临界稳定
Im -1
G(j)
K 临 Re
A()=1 ()=-
L()
20lgK 临 0dB
0
-180
()
L() = 0dB () = -
系统稳定旳充要条件为
N
'
N'
0
P 2
利用奈氏判据鉴别系统稳定性旳环节
1. 绘制极坐标图 2. 补半圈 ( : 0 旳极坐标图)
3. 0 ? ,补半径为无穷大旳圆弧
4. 图形围绕 (1, j0) 旋转旳圈数 5. Z=? 判断闭环稳定性
3.伯德图上旳稳定性鉴别
伯德图与极坐标图旳相应关系
稳定裕度定义只合用于最小相位系统。 稳定裕度能够作为频域性能指标用于系统分析，
也能够用于系统设计指标使用。
稳定裕度又可称为相对稳定性指标。
相位裕度 c 计算简朴以便，所以经常使用相
位裕度。
例：已知单位反馈旳最小相位系统，其开环对数
幅频特征如图所示，（1）试求开环传递函数；
（2）计算系统旳稳定裕度。
当K<2.6时系统则 变为稳定
例5-9 单位反馈系统
GK
(s)
K s 1
解：开环不稳定。P=1 N=-1 Z＝N+P=0 K>1系统稳定 K<1系统不稳定
这点与最小相位系统不同
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计
控制系统的稳定性分析与稳定裕度设计控制系统的稳定性是指系统在受到外界干扰或参数变化时，是否能保持输出的稳定性和可控性。
稳定性分析与稳定裕度设计是控制系统设计与优化中非常重要的环节。
本文将介绍控制系统的稳定性分析方法和稳定裕度设计的原则与方法。
一、稳定性分析方法在控制系统中，稳定性分析的目的是确定系统的稳定性边界，也就是确定系统参数的取值范围，使系统保持稳定。
常用的稳定性分析方法有两种：频域方法和时域方法。
1. 频域方法频域方法一般基于系统的传递函数进行分析，常用的工具有Bode图和Nyquist图。
Bode图可以直观地表示系统的幅频特性和相频特性，通过分析Bode图可以确定系统的相角裕度和幅值裕度，从而判断系统的稳定性。
Nyquist图则是通过绘制系统的频率响应曲线来判断系统的稳定性。
2. 时域方法时域方法主要根据系统的差分方程进行分析，常用的工具有阶跃响应和脉冲响应。
通过分析系统的阶跃响应曲线和脉冲响应曲线，可以得出系统的超调量、调节时间和稳态误差等指标，从而判断系统的稳定性。
二、稳定裕度设计原则与方法稳定裕度是指系统在满足稳定性的前提下，能够容忍一定幅度的参数变化或干扰。
稳定裕度设计可以提高系统的鲁棒性和可靠性，常用的稳定裕度设计原则和方法有以下几点：1. 相角裕度设计相角裕度是指系统在开环传递函数的相角曲线与-180度线之间的角度差。
通常情况下，相角裕度越大表示系统的稳定性越好。
为了增加相角裕度，可以通过增大系统的增益或者增加相位补偿器的相位裕度。
2. 幅值裕度设计幅值裕度是指系统在开环传递函数的幅度曲线与0dB线之间的距离。
幅值裕度越大表示系统对参数变化和干扰的鲁棒性越好。
为了增加幅值裕度，可以通过增大系统的增益或者增加幅值补偿器的增益。
3. 稳定裕度的频率特性设计系统的稳定裕度也与频率有关，不同频率下的稳定裕度可能存在差异。
因此，需要根据系统的工作频率范围来设计稳定裕度。
在系统的工作频率范围内，要保证系统的相角裕度和幅值裕度都能满足要求。
第四章 频率分析法
与引例4-1类似， A()和()的物理意义在于： 稳态输出的幅值是输入的A()倍，而与输入的相位 差为()，即此时系统的稳态输出为
lim c(t ) G ( j ) sin(t ( ))
t
需要指出的是，对于物理上可实现的系统，其 传递函数的分母多项式阶次n总是大于或等于分子 多项式的阶次m，即nm。 因此，不可能出现当 →∞时系统输出的幅值也趋于无穷大的情况。 G(j)的幅频、相频特性和实频、虚频特性之 间具有下列关系：
上式写成幅值和幅角表达式为
U 1 1 1 o U i 1 jT 1 jT 1 jT 1 1 T
2 2
arctan ω
则RC网络的幅频特性为
A( )
相频特性为
1 1 T
2 2
( ) [ arctanT ]
可以证明，从RC网络得到的这一重 要结论，对于任何稳定的线性定常系统 都是正确的。设系统的传递函数为
同理，幅频特性A()是的偶函数，而相 频特性()则是的奇函数。
G(j)的极坐标图绘制时需要取的增量逐 点作出，因此不便于手工作图。一般情况下， 根据作图原理，可以粗略地绘制出极坐标图的 草图。
G(j)的极坐标图通常用于频域稳定性分析中。
2、对数坐标图
通常也称为波德(Bode)图、对数频率特性图。 它具有方便实用的特点，因而被广泛地应用于控 制系统的分析和设计中。 波德图是根据频率特性的矢量表达式
P( ) A( ) cos ( ) Q( ) A( ) sin ( )
A( ) P 2 ( ) Q 2 ( ) Q ( ) ( ) arct an P ( )
4-1-2 频率特性的定义
从直观上看，可以把频率特性定义为 系统的稳态正弦输出信号的复数符号与输 入正弦信号的复数符号之比，即
第四章系统的频率特性分析
第四章 频率特性分析4.1 什么是频率特性？解 对于线性定常系统，若输入为谐波函数，则其稳态输出一定是同频率的谐波函数，将输出的幅值与输入的幅值之比定义为系统的幅频特性；将输出的相位于输入的相位之差定义为系统的相频特性。
将系统的幅频特性和相频特性统称为系统的频率特性。
4.2 什么叫机械系统的动柔度，动刚度和静刚度？解 若机械系统的输入为力，输出为位移（变形），则机械系统的频率特性就是机械系统的动柔度；机械系统的频率特性的倒数就是机械系统的动刚度；当0=w 时，系统频率特性的倒数为系统的静刚度。
4.3已知机械系统在输入力作用下变形的传递函数为 12+s (mm/kg)，求系统的动刚度，动柔度和静刚度。
解 根据动刚度和动柔度的定义有 动柔度()()()12+====jw jw s s G jw G jw λ mm/kg 动刚度 )(jw K =)(1jw G =21+jw kg/mm 静刚度 ()()5.0021010==+====K w jw w jw G w jw kg/mm4.4若系统输入为不同频率w 的正弦函数Asinwt,其稳态输出相应为Bsin(wt+ϕ).求该系统的频率特性。
解：由频率特性的定义有 G （jw ）=AB e jw。
4.5已知系统的单位阶跃响应为）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-，试求系统的幅辐频特性与相频特性。
解：先求系统的传递函数，由已知条件有）（。
t x =1-1.8te 4-+0.8te9-（t 0≥））（S X i =s 1）（。
S X =s 1-1.841+s +0.891+s ）（S G =）（）（。
S X S X =()()9436++s s ）（jw G =jw s s G =）（=()()jw jw ++9436）（w A =）（jw G =22811636ww +•+）（w ϕ=0-arctan 4w -arctan 9w =-arctan 4w -arctan 9w4.6 由质量、弹簧、阻尼器组成的机械系统如图所示。
稳定裕度
m
(1 ij )
j
(1 T j )
闭环传递函数和频率特性可表示为：
GK ( s ) ( s) 1 GK ( s ) K (1 i s ) s
m i 1 j
(1 T s) K (1 s)
j 1 i 1 i m
n
|M(j|下降到
[0, b ]称为系统带宽。
2 M 0 时，对应的频率 b 称为带宽频率。频率范围 2
5.8 闭环系统性能分析
16
一、稳态性能指标分析：
如果通过频率特性曲线能确定系统的无差度阶数 v（即积分环节的个数） 和开环放大系数 K 的话，则可求得系统的稳态误差。（见3.6 稳态误差分析） 在波德图上，低频渐近线的斜率 和 的关系如下： 由 20 (dB / Dec),可求得 值； 也可由
|M(j|下降到
② 对典型欠阻尼二阶系统而言，性能指标与系统的特征参数有关。欠 阻尼二阶系统的特征参数是阻尼系数z 和无阻尼震荡频率。
tp 2 d n 1z
d%e
z
1z 2
100%
4 z ，当Δ 2时 n ts 3 ，当Δ 5时 z n
③ 对临界阻尼和过阻尼二阶系统而言，性能指标只有ts 。
60 40 20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -90 -120 -150 -180 -210 -240
10
K=30 K=3 K=0.3
－20dB/dec
当K=3，c=1.583， 23.3° 当K=30， －40dB/dec c=5.12， 16° －60dB/dec
20 0 -20 -40 -60 -80 -100 -120 -140 -90 -120 -150 -180 -210 -240 -270 0.01 0.1 1 10 100 1000
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幅相曲线和对数曲线相对于临界点 的位置即偏离临界点的程度，反映系统 的相对稳定性，即稳定裕量。
一、相位裕量 二、幅值裕量
临界稳定的概念
最小相位系统当G(jω)过(-1,j0)点时(见图)， 闭环系统临界稳定。 G(jω) = -1 1+G(jω) = 0 s=jω
解：
1
3
10
由上式可见 G(j ω)与坐标轴无交点。 40 0 . 5 2<ω<10 2.5s ∠-1800, ∴k =∞ ∵G(j∞)=0 g 5
例2 试绘制图示系统开环的伯德图，并确定 系统的相位稳定裕量γ 。
θ r(s)
–
10 s(0.25s+1)(0.1s+1)
θ c(s)
-1
j
1
0
G(jω) 特点：G(jω)曲线过(-1,j0)点时，说明有这么一个点
G(jω) =1 ∠ G(jω) = -180o
同时成立！
2
稳定裕度的定义
j
Kg
G(jωg)
=1
–180o
G(jωg) -1 ωg
G( jc ) =
0
1
ωc
幅值裕度 K
g= G(jωg)
1
G(jω)
∠G(jωc)
K g dB 20 lg G ( j g )
相角裕度 =180o +∠G(jωc)
3
0dB
幅值裕量: c
1 Kg G ( j g )
20lg G ( j g )
ωc ∠ G(jωc)
-180o
ωg
x
相位裕量: =180+ ∠ G(jωc)
对数曲线中稳定裕度的定义
4
例1 已知开环传递函数如下， 求γ和kg 40(0.5s+1) 2 o G(s)= 40.17 s(2.5s+1)(0.1s+1)
将分子有理化 ω 转折频率为 0.4 10 c= 8 40 (1 20.5 s )(1 得 0.5 s) G (s ) 40 令 -120 0 -1 s ( 2 . 5 s 1 )( 0 . 1 s 1 )( 1 0 . 5 s ) -tg 1 = 0<ω<0.4 得90 ω＝40 ，不在 +tg 40～0.4之间 γ s 2 -1 40(1 0 .25 ) =40.170 -tg 0.8 40 G ( j) 2 2 0.4<ω<2j[(1 1 2 .05 ) j( 2.1 0.125 )] 2.5s
ωc =0.784
1 Kg= P(ωg) = 11
(c ) 180 = 47.4o
7
=90o-57.67o -32.3o = 0.03o
例3 已知系统开环传递函数 10(s - 1) G(s) ，试求 和k g 2 s(s 1) o 解: c 3.08 53.9 g k g
可见，非最小相角系统不能由γ和kg判稳!
例4 已知系统的开环传递函数,求系统的幅值 1 裕量和相位裕量。 G(s)H(s)= s(s+1)(0.120 0 -20dB/dec 6.32 4 -40dB/dec 10
10 ≈1 0.25ωc2
ω
ωc=6.32
-20
-60dB/dec
(c ) 180
( )
0 -90 -180
γ
ω
=180o-90o-tg-1（0.25×6.23） - tg-1（0.1×6.23）