第五章 频率特性法(5.4)——稳定判据
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自动控制原理 第五章 频率特性法
R（ω）称为实频特性，I（ω）称为虚频特性。由复变函数理 论可知：
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相
A() R2 () I 2 ()
() arctan I ( ) R( )
R() A()cos()
I () A()sin()
2023年12月29日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
N(s)
D(s) (s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
为简化分析，假定系统的特征根全为不相等的负实根。
输入信号为 r(t)=Rsinωt
输出信号的拉氏变换为：
N(s)
Rω
C(s) =
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn ) (s + jω)(s - jω)
1.在某一特定频率下，系统输入输出的幅值比与相位差是确定 的数值，不是频率特性。当输入信号的频率ω在0→∞的范围内 连续变化时，则系统输出与输入信号的幅值比与相位差随输入 频率的变化规律将反映系统的性能，才是频率特性 。
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
频域内全面描述系统的性能。只与系统的结构、参数有关，是线性 定常系统的固有特性。
2023年12月29日
A（ω）反映幅值比随频率而变化的规律，称为幅频 特性，它描述在稳态响应不同频率的正弦输入时在幅值上 是放大（A＞1）还是衰减（A＜1）。
而（ω）反映相位差随频率而变化的规律，称为相
5.4 频率域稳定判据
e j ( 90)1 G(s) H (s) G1 ( jwn ) 1 (2wne )
A( s )
90, 即s=jwn G1 ( jwn ), ( s) G1 ( jwn ) ( 90) 1 , (90, 90) G ( jw ) 180, 90, 即s=jwn 1 n 1
Z P 2N
N N N
N + ：半Nyquist曲线自上向 下穿越 GH 平面 (-, - 1)区间 的次数。
N -- ：半Nyquist曲线自下向 上穿越 GH 平面 （-, - 1 ） 区间的次数。
Z P 2( N N )
Z P 2( N N )
s 的选择考虑： 使它包围整个 s 右半平面。
2.稳定判据和对数频率稳定判据
（1） S 平面上封闭路径s 的选择 （2） S 平面上封闭路径s 在G(s)H(s) 平面上的映象 （3） Nyquist Criterion （4） Nyquist Criterion 的几种等价表述
（1）S 平面上封闭路径s 的选择 对封闭路径s 的要求：能包含整个S右半平面。 也就是说，假如开环传 递函数G(s)H(s) 具有“正实部极点”，那末这些极点一定被封闭路径s 所包围。 若G(s)H(s) 在虚轴上没有极点，则选择图 1 所示的路径。它由两部分组 成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。 若G(s)H(s) 在虚轴上有极点，则选择图 2 所示的路径。它由三部分组成： 包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无 穷大的右半园。 END
B( s) A( s) B( s ) F (s) 1 G(s) H (s) 1 A( s) A( s)
A( s )
90, 即s=jwn G1 ( jwn ), ( s) G1 ( jwn ) ( 90) 1 , (90, 90) G ( jw ) 180, 90, 即s=jwn 1 n 1
Z P 2N
N N N
N + ：半Nyquist曲线自上向 下穿越 GH 平面 (-, - 1)区间 的次数。
N -- ：半Nyquist曲线自下向 上穿越 GH 平面 （-, - 1 ） 区间的次数。
Z P 2( N N )
Z P 2( N N )
s 的选择考虑： 使它包围整个 s 右半平面。
2.稳定判据和对数频率稳定判据
（1） S 平面上封闭路径s 的选择 （2） S 平面上封闭路径s 在G(s)H(s) 平面上的映象 （3） Nyquist Criterion （4） Nyquist Criterion 的几种等价表述
（1）S 平面上封闭路径s 的选择 对封闭路径s 的要求：能包含整个S右半平面。 也就是说，假如开环传 递函数G(s)H(s) 具有“正实部极点”，那末这些极点一定被封闭路径s 所包围。 若G(s)H(s) 在虚轴上没有极点，则选择图 1 所示的路径。它由两部分组 成：整条虚轴；半径无穷大的右半园。 若G(s)H(s) 在虚轴上有极点，则选择图 2 所示的路径。它由三部分组成： 包围虚轴上极点、半径无穷小的、右半圆；扣除极点后的虚轴；半径无 穷大的右半园。 END
B( s) A( s) B( s ) F (s) 1 G(s) H (s) 1 A( s) A( s)
第五节 Nyquist稳定判据
闭环系统稳定的条件为系统的闭环极点均在s平面的左半平面，即 Z=0 或 R=P。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
解 绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。
已知 P 0
由图知 R ，则2
Z P R 0 (2) 2
所以按Nyquist判据判断该系统是不稳定的，其闭环系统在右半s平面上的极点数为 2。
利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传递系数K对闭环系统稳定性的影响。当K值 改变时，在任一频率下将引起幅频特性成比例地变化，而相频特性不受影响。对图5-
45，当频率ω＝3时，曲线与负实轴正好相交在（－2，j0）点，若传递系数K缩小一半，
即由5.2降为2.6时，曲线恰好通过（－1，j0）点，这是临界稳定状态；若K值进一步缩 小，当K＜2.6时，频率特性将从（－1，j0）点的右边穿过负实轴，整个频率特性曲线 将不再包围（－1，j0）点，这时闭环系统则是稳定的了。
Nyquist轨迹及其映射 为将映射定理与控制系统稳定性的分
析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Γ。 如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为∞ 的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一 圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。
Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一 条封闭曲线，称为Nyquist曲线。
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性 的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。
例：分析下图映射关系
（3）、S平面闭合曲线Γ的选择 系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数F（S）零点的位置，因此当选择S平面
闭合曲线Γ 包围S平面的右半部分时，Z＝0系统稳定。考虑到闭合曲线不通过F(S)任一 零极点的条件， Γ可取两种形式。见P194
解 绘出该系统的极坐标频率特性曲线如图5-45所示。
已知 P 0
由图知 R ，则2
Z P R 0 (2) 2
所以按Nyquist判据判断该系统是不稳定的，其闭环系统在右半s平面上的极点数为 2。
利用Nyquist判据我们还可以讨论开环传递系数K对闭环系统稳定性的影响。当K值 改变时，在任一频率下将引起幅频特性成比例地变化，而相频特性不受影响。对图5-
45，当频率ω＝3时，曲线与负实轴正好相交在（－2，j0）点，若传递系数K缩小一半，
即由5.2降为2.6时，曲线恰好通过（－1，j0）点，这是临界稳定状态；若K值进一步缩 小，当K＜2.6时，频率特性将从（－1，j0）点的右边穿过负实轴，整个频率特性曲线 将不再包围（－1，j0）点，这时闭环系统则是稳定的了。
Nyquist轨迹及其映射 为将映射定理与控制系统稳定性的分
析联系起来，适当选择s平面的封闭曲线Γ。 如图5-43所示，它是由整个虚轴和半径为∞ 的右半圆组成，试验点按顺时针方向移动一 圈，该闭合曲线称为Nyquist轨迹。
Nyquist轨迹在F(s)平面上的映射也是一 条封闭曲线，称为Nyquist曲线。
1、奈氏判据的数学基础
复变函数理论中的幅角原理是奈氏判据的数学基础，幅角原理用于控制系统稳定性 的判定还需选择辅助函数和闭合曲线。
54奈奎斯特稳定判据解析
这里需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个 s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅 角条件的？
2、如何确定相应的映射 F(s)对原点的包围次数 N，并将它和开环频率特性
Gk (jw)相联系？
第1个问题： 先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向做一条曲线
CS包围整个 s右半平面，这条封闭曲线称为 奈奎斯特路径 。如下图所示。它 可分为三部分：
j?1
Im S平面
?? ??
?
Re
??
Im
?
F(s)
? (s)
F(s)平面 Re
当S 平面上动点 s从s1经过某曲线 CS到达s2，映射到 F(s)平面上也将是一段
曲线CF ，该曲线完全由 F(s)表达式和 s平面上的曲线 CS决定。若只考虑动点 s
从s1到达s2相角的变化量，则有
?? F (s) ? ? F (s2 ) ? ? F (s1)
函数F(s)是复变量s的单值函数， s可以在整个 s平面上变化，对于其 上的每一点，除有限 (n) 个极点外，函数 F(s)都有唯一的一个值与之对应。
s平面上的点与 F(s)平面上的点有对应关系
F (s) ? K (s ? z1)(s ? z2 ) (s ? zm ) (s ? p1 )(s ? p2 ) (s ? pn )
N ? 0, CF顺时针包围原点N周；
N ? 0, CF不包围原点；
N ? 0, CF逆时针包围原点N周；
Z ? 1, P ? 0, N ? Z? P?1
Z ? 0,
P ? 1,
N ??1
Z ? 2, P ? 2, N?0
顺时针包围 原一周；
逆时针包围 原一周；
5.4奈圭斯特稳定判据
Saturday, June 13, 2020
18
Ⅰ部分：正虚轴， 0 ，Ⅱ部分为半径
为无穷大的右半圆 s R e j , R , ~ ；
Ⅲ部分负虚轴， 0，Ⅳ部分2为半2径为
无穷小的右半圆，s R' e j ' , R'
0, '
~
22
Ⅰ
0 0
Ⅳ
R
'
'e
j
这里有一定的规律，就是下面介绍的柯西3, 2020
6
[柯西幅角定理]：s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 s包 围s平面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭曲 线 s移动一周时，在F(s)平面上相对应于封闭曲线 f 将以顺时针 方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为：N=z-p。
Saturday, June 13, 2020
14
[例5-7]设开环系统传递函数为：Gk 氏判据判断闭环系统的稳定性。
(s)
(s
1)(
52 s2
2s
5)
，试用奈
[解]：开环极点为-1，
-1 j2，都在s左半平面， 所以Pk 0。奈氏图如右。 从图中可以看出：奈氏
图顺时针围绕 (-1,j2)
点2圈。所以闭环系统在
上面讨论的奈圭斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有开环 极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角定理的条 件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上（原点）有 极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系统的稳定性。 为了解决这一问题，需要重构奈圭斯特路径。
Saturday, June 13, 2020
-4
-2
0
2
4
第五章 频率特性法 (4)
ω=0 Re
根的实部为负，系统稳 根的实部为负， 相角增量为90 定，相角增量为 0 。
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
TS-1 因子的相角变化量为： 因子的相角变化量为：
ω=0→∞
∆ ∠(jωT-1)
TS-1幅相频率特性曲线 幅相频率特性曲线
Im ∞
=90o-180o=-90o 根的实部为正， 根的实部为正， 系统不稳定， 系统不稳定，相角 增量为-90 增量为 0 。
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
例 已知系统开环传递函数试判断 闭环系统的稳定性。 闭环系统的稳定性。 K G(s)H(s)= S(TS-1) 奈氏曲线： 奈氏曲线： 系统开环频率特性为： 解： 系统开环频率特性为： ω=0+ 特殊点： 特殊点： Im K G(jω)H(jω)= jω(jωT-1) 曲线顺时针方向 ω=0+ υ =1 点的， 绕过 (-1, j0)φ(ω)=90o K A(ω)=∞ 点的， A(ω)= ω 1+(ωT)2 所以系统不稳定。 ω=∞ 所以系统不稳定。 ω= ∞ 0 Re ω=0 -1 o-tg-1 ωT φ(ω)=-90 A(ω)= 0 φ(ω)=180o -1
ω=0+ + ω=0
-1
Im Im ω=∞ ω=0 ω=∞ ω=0 Re -1 0 0 Re
曲线包围了(-1,j0)点， 曲线包围了 点 曲线没有包围(-1,j0)点， 点 曲线没有包围 系统不稳定。 系统不稳定。 系统是稳定的。 系统是稳定的。
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
五、对数频率稳定判据
第四节 用频率特性法分析系统稳定性
已知系统的奈氏曲线,试判断系统的 例 已知系统的奈氏曲线 试判断系统的 稳定性。 稳定性。 解： 系统的 系统的G(jω)H (jω)曲线如图 曲线如图
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
自动控制原理第5章_线性控制系统的频率特性分析法
5. 2控制系统开环传递函数的对数频率特性
5.2.2 系统伯德图的绘制
开环对数幅频渐近特性曲线的绘制步骤： （1）把系统开环传递函数化为标准形式，即化为典型环节的传递函
数乘积，分析它的组成环节； （2）确定一阶环节、二阶环节的转折频率，由小到大将各转折频率
标注在半对数坐标图的频率轴上； （3）绘制低频段渐近特性线； （4）以低频段为起始段，从它开始每到一个转折频率，折线发生转
开环极点的个数。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.4 控制系统的相对稳定性
开环频率特性 G( j)H( j)在剪切频率 c处所对应的相角与 180 之差称为相角裕度，记为 ，按下式计算
(c ) (180 ) 180 (c )
开环频率特性 G( j)H的( 相j)角等于 时所1对80应的角频率称为相
闭环系统稳定的充要条件是，当 由 0 时0，开 环奈奎斯 特曲线逆时针方向包围( )点 周1, j。0 是具P有2 正实部P 的开 环极点的个数。 需注意，若开环传递函数含有 v 个积分环节，所谓 由 0 0 ，指的 是由 0 0 0 ，此时奈 奎斯特曲线需顺时针增补 v 角度的无穷大半径的圆弧。
5. 4 频域稳定判据与系统稳定性
5.4.1 奈奎斯特稳定判据
若闭环系统在[ s]右半平面上有 个P开环极点，当 从 变化到
时，奈奎斯特曲线 G( j对)H点( j) 的包围1周, j数0 为 （ 为逆时N针，
为顺N 时 0针），则系统N<在0[ ]右半平面上的闭环极点s的个数为 。
折，斜率变化规律取决于该转折频率对应的典型环节的种类； （5）如有必要，可对上述折线渐近线加以修正，一般在转折频率处
频率稳定判据
第五章频率域方法频率稳定判据（1）频率稳定判据两种频率稳定判据：奈奎斯特（Nyquist）稳定判据和对数频率稳定判据。
奈奎斯特判据是利用系统的开环幅相特性曲线判断闭环系统稳定性的一种方法，而对数频率稳定判据是利用系统的开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性，两种方法本质上没有区别。
频率稳定判据是建立在幅角原理的基础上的，因此，下面先介绍有关幅角原理的内容。
设F(s)是复变量s 的单值函数，例如1212()()()=()()()()s z s z F s F s F s s p s p −−=∠−−1z 2z 1p 2p 0sjs 平面SΓ0F)(s F ∠jFΓF 平面设是s 平面上的一条封闭的轨线，且不经过F(s)的任何一个零点或极点。
对于上的任意一点，通过F(s)的映射，可以在F 平面上确定一个对应的点，称为的象，若沿顺时针移动一周，则对应的象在F 平面上形成一条封闭曲线。
S ΓF ΓS ΓS Γs F s s 12,z z 零点：12,p p 极点：1z 2z 1p 2p 0sjs 平面SΓ幅角原理若s 平面上的包围了F(s)的Z 个零点和P 个极点，则当点沿顺时针移动一周时，在F 平面上闭合曲线逆时针绕原点的圈数R 为P 和Z 之差，即R=P-Z若R<0，则表示顺时针方向绕原点的圈数。
S ΓS ΓF Γs 0F)(s F ∠jFΓF 平面12,z z 零点：12,p p 极点：（注意不能经过F(s)的任何一个零点和极点）S Γ)(s G )(s H 闭环121212()()()()=1()()()()()()M s N s G s s G s H s N s N s M s M s Φ=++11()()()M s G s N s =前向22()()()M s H s N s =反向开环1212()()()()()()M s M s G s H s N s N s =辅助函数121212()()()()()=1+()()()()N s N s M s M s F s G s H s N s N s +=辅助函数1122(),(),(),()M s N s M s N s 均为s 的实系数多项式开环特征多项式闭环特征多项式=)(s F F(s)的极点是开环的极点，F(s)的零点是闭环的极点。
自动控制原理_第五章_第四讲_对数频率稳定判据
b n 1 2 2 (1 2 2 ) 2 1
c n
arctg
(4 4 1 2 2
2 4 4 1 2 2
1 2
ζ≈γ/100
% e
tS
100 %
7 tg
3 .5
n
c t S
(2)高阶系统频域指标与时域指标的关系 ① 谐振峰值 ② 超调量
0
ωc
1
Hale Waihona Puke 幅值裕度 h=1G(jωx)
G(jω)
∠G(jωc)
hdB 20lgG( jx )
相角裕度
γ =180o +∠G(jωc)
稳定裕度的定义续1
1. h
1 G ( j g ) H ( j g )
G(jωg)H(jωg)
j
其中，ωg为穿越频率。 定义的含义：如果系统的开环 传递系数增大到原来的h倍， 则系统处于临界稳定状态。 对数坐标下:
h>1即h（dB）>0 时系统是稳定的
其中： 1. h
1 G ( j g ) H ( j g )
2. 1800 G( j c )H ( j c )
结论：为了得到满意的性能：
γ：300~600
h：≥6dB
映射关系
极坐标图（Nyquist图） 单位圆：A(w)=1 单位圆外：A(w)>1 单位圆内：A(w)<1 负实轴 正实轴 G(jw)H(jw)穿过(- 1,∞)负 实轴 对数坐标图（bode图） 0 分贝线，L(w)=0 0分贝线以上，L(w)>0 0分贝线以下，L(w)<0 -180线 0度线 在 L(w)>0 的范围内，穿过 -180 线
c n
arctg
(4 4 1 2 2
2 4 4 1 2 2
1 2
ζ≈γ/100
% e
tS
100 %
7 tg
3 .5
n
c t S
(2)高阶系统频域指标与时域指标的关系 ① 谐振峰值 ② 超调量
0
ωc
1
Hale Waihona Puke 幅值裕度 h=1G(jωx)
G(jω)
∠G(jωc)
hdB 20lgG( jx )
相角裕度
γ =180o +∠G(jωc)
稳定裕度的定义续1
1. h
1 G ( j g ) H ( j g )
G(jωg)H(jωg)
j
其中，ωg为穿越频率。 定义的含义：如果系统的开环 传递系数增大到原来的h倍， 则系统处于临界稳定状态。 对数坐标下:
h>1即h（dB）>0 时系统是稳定的
其中： 1. h
1 G ( j g ) H ( j g )
2. 1800 G( j c )H ( j c )
结论：为了得到满意的性能：
γ：300~600
h：≥6dB
映射关系
极坐标图（Nyquist图） 单位圆：A(w)=1 单位圆外：A(w)>1 单位圆内：A(w)<1 负实轴 正实轴 G(jw)H(jw)穿过(- 1,∞)负 实轴 对数坐标图（bode图） 0 分贝线，L(w)=0 0分贝线以上，L(w)>0 0分贝线以下，L(w)<0 -180线 0度线 在 L(w)>0 的范围内，穿过 -180 线
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于对数频率稳定判据是在 L( ) 0 的频率范围内依相
频曲线 ( ) 来确定穿越次数N。
二、对数频率稳定判据
开环传函在右半s平面上的极点数为P， 开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相 频曲线与 (2k 1) 线的正负穿越次数之差为N ：
N N N
向上 正穿越的次数 负穿越的次数 向下
5.4 用频率特性法分析系统稳定性 ——稳定判据
利用开环幅相曲线和开环对数曲线 判断闭环系统的稳定性。
一、奈奎斯特稳定判据 二、对数频率稳定判据
一、奈氏稳定判据
闭环特征根在s右半平面的个数
z=
_2N p
开环极点在s右半平面的个数
开环幅相曲线穿越－1之左实轴的次数
-1
自上向下为正穿越，用N＋表示；
j
-1 -0.5
0
-2
-1
0
Z=P-2N=1-0=1
1 Z=P-2N 1 2 0 2
系统不稳定
系统稳定
开环传递函数含有积分环节
开环幅相曲线 G( j ) H ( j ) 起始于无穷远处。 若 v 1 ，则起始于负虚轴无穷远处 若 v 2 ，则起始于负实轴无穷远处 如何衡量开环幅相曲线是否包围 (1, j 0) 呢？
c
0dB
180o
1 z=1- 2 ) =2 不稳定 （ 2
270
对数判据例题2
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
180o
90o
0
o
c 1
2
90
o
180o
c 1或 c 2时
系统稳定
270o
360o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。
ω=0+
Im υ=1 p=1
奈氏曲线：
ω=0 -1
ω=∞ 0 Re
系统不稳定！
5(s 1) 已知单位反馈系统开环传递函数 G(s) 2 s(s 2s a)
5 G( j0 ) 270 o as
j
奈氏判据判稳
a 0, 试用奈氏判据判断闭环系统稳定时，a的取值范围。
起始或终止于(－1，j0)之左的负实轴。
1 N , N 0 2 1 N N N 2
当P=1时，系统稳定。
1 N 0, N 2 1 N N N 2
系统始终不稳定。
用奈氏判据判稳
1 G (s) Ts 2jຫໍສະໝຸດ 2 G ( s) Ts 1
从原开环幅相曲线的起点 0 ，逆时针补画半径
为无穷大的 v 90 圆弧，用虚线表示，再用奈氏判
据判稳。
只有起始于无穷远处时才需要补画！
例 系统的奈氏曲线如图,υ为积分环节的个数， p为 不稳定极点的个数，试判断闭环系统的稳定性。
解：
-1
Im
Im ω=0 ω=0 Re
ω=∞
0
-1
ω=0+
5 o G( j ) 2 0 180 s
5 － 2a
2
-1
0
P=1 a<2.5时
1 5(1 ) Z 1 2(1 ) 0 G( j) 2 2 2 j[ j(2 a ) (a )]
系统稳定！
奈氏判据
对数频率稳定判据
对数频率稳定判据和奈氏判据本质相同，其区别仅在
G( j) H ( j)
G( j) H ( j)
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
P 2N
从对数相频曲线的起点 0 ，向上补画一条 v 90 的虚线，再用对数频率稳定判据判稳。
对数判据例题1
50 G( s) H ( s) s( s 1)( s 2)
G( j) H ( j)
-1
自下向上为负穿越，用N－表示；
G( j) H ( j)
N=N＋-N－
Z 闭环特征根在右半s平面上的极点数：
系统稳定
P 2N
z=0
N＋=0 N－=0 N=N＋-N－=0
Z P 2N
当P=0时，系统稳定。
半次穿越
开环幅相曲线G(jω)H(jω)：
ω=0
p=0 υ=1
(a)
ω=0+ ω=0+
p=0 υ=2
0
Re
(b)
Im
Im
ω=0+
-1
0
Re
p=0 υ=3
ω=0
-1
ω=∞ 0 Re
(c)
υ=1
p=1
(d)
例 已知系统开环传递函数试判断闭环系统的稳定性。
K G(s) H (s) s(Ts 1)
A( ) ( ) 90 解： 起点 0 () 180 A( ) 0 终点
对数判据例题3
最小相位系统开环对数相频特性曲线
()
360o
180o
0o
1
c
c 1时 系统稳定
经验:只要N为 负,不管P为几, 系统都不可能 稳定!
180o
360o
540o
试确定系统闭环稳定时截止频率ωc的范围。