第五章 频率特性法
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频率特性法
§5-2
一、幅相频率特性
1、代数形式
频率特性表达方法
即极坐标图，也称为 Nyquist 图
G( j) P() jQ()
2、指数形式
由G ( j ) A( )e j ( )
3、幅相特性表示法 极坐标图形式
二、对数频率特性 即 Bode 图
G ( j ) A( )e j ( ) A( ) P 2 ( ) Q 2 ( ) Q ( ) P ( )
对数幅频特性绘在以 10 为底的对数坐标中，幅值的对数值用分贝（dB）表示
L() 20lg A()
纵轴是 L(w)，横轴实际上是 lgw，由于是用 w 标注，所以又转化成 w 的值，这使得每一单位 的 w 增加量为 10 倍，这 10 倍频记为 dec。横轴的起点不为 0。.
§5-3
一、比例环节
2 2
1 T
1
L( ) 20 lg A( ) 20 log 1 20 lg (1 2T 2 ) (2T ) 2
六、时滞环节或延迟环节
传递函数 : G ( s) e s j 频率特性 : G ( j )e 幅频特性 : A( ) 1 相频特性 : ( ) G ( j ) cos j sin e j cos j sin G ( j ) 1
积分环节的对数频率特性
四、微分环节
G (s) s G ( j ) j 代数式 G ( j ) j 0 j 指数式 G ( j ) j 90
L( w) 20 lg | G( jw) | 20 lg w G( jw) 90
理想微分环节的副相频率特性
五、振荡环节(0<§<1)
第五章 频率特性法 (2)
1 1
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
斜率 (dB/dec) 0 -20 -40 0，-20 ，
特殊点 ω L( )=lgK ω =1, L( )=0 ω ω =1, L( )=0 ω
φ(ω) 0o -90o -180o
s2 1 Ts+1
1+τs
ωn 2 s2+2ζ ωns+ωn
2
转折ω = 1 0o -90o ～ 频率 T 转折ω = 1 0o～90o 0，20 频率 ， τ 0，-40 转折 ω =ω n 0o～-180o ， 频率
一、典型环节的频率特性 二、控制系统开环频率特性
第二节 典型环节与系统的频率特性
一 典型环节的频率特性
1．比例环节 ．
传递函数和频率特性 G(s)=K G(jω)=K 幅频特性和相频特性 A(ω)=K φ(ω)=0o (1) 奈氏图 奈氏图是实轴上的 点 奈氏图是实轴上的K点。 是实轴上的 比例环节的奈氏图
第二节 典型环节与系统的频率特性
(1) 奈氏图
振荡环节的奈氏图
Im
ω=0 =∞
A(ω)=1 A(ω)=0 (ω)=0o φ(ω)=-180o 1 A(ω)= 2ζ 率特性曲线因ζ值 率特性曲线因 值 φ(ω)=-90o 不同而异. 的不同而异
ω ∞
0
1
ω=0
Re
ω=ωn 振荡环节的频
ω= ωn
ξ=0.8 ξ=0.6 ξ=0.4
积分环节的伯德图
40 20 0 -20 0.1 1
L(ω)/dB -20dB/dec
10
ω
Φ(ω)
0 0.1 1 10
φ(ω)=-90o
ω
-90
第二节 典型环节与系统的频率特性
3．微分环节 ．
第五章(5) 频域：用实验法确定系统的传递函数
第五节 用实验法确定系统传递函数
例
已知采用积分控制液位系统的结构 和对数频率特性曲线,试求系统的传 和对数频率特性曲线 试求系统的传 hr(t) 递函数。 递函数。 1 K h(t)
1 4
L(ω)/dB
20 0 -20 -20dB/dec
S
Ts+1
φ(ω)
0 -90 -180
返回 解: 将测得的对数 -40dB/dec 1 = 曲线近似成渐 0.25S2+1.25S+1) 近线: 近线 ω 1 φ(s)= (S+1) (S/4+1)
第五章 频率特性法
第五节 用实验法确定系统传递函数
频率特性具有明确的物理意义， 频率特性具有明确的物理意义，可 用实验的方法来确定它.这对于难以列 用实验的方法来确定它 这对于难以列 写其微分方程的元件或系统来说,具有 写其微分方程的元件或系统来说 具有 很重要的实际意义。 很重要的实际意义。
一、用实验法确定系统的伯德图 二、根据伯德图确定传递函数
1. ι= 0
系统的伯德图： 系统的伯德图：
x
L(ω)/dB
-20dB/dec
低频渐近线为
0
20lgK-40dB/源自ecL(ω)=20lgK=χ 即
χ
ωc
ω
K=10 20
第五节 用实验法确定系统传递函数
2. ι= 1
系统的伯德图： 系统的伯德图： ω=1 L(ω)=20lgK
L(ω)/dB 20lgK
0
-20dB/dec
ω0
1 ω1 ωc
-40dB/dec
ω
低频段的曲线与横 轴相交点的频率为 的频率为ω 轴相交点的频率为 0 20lgK 因为 =20 lgω0-lg1
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
第五章 频率特性分析法
由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、
第五章 频率特性法3
求穿越－1800的ωg 求穿越－
ωg = 3 ω g = 3.3
ϕ (3) = −1780 ϕ (3) = −181.40 ϕ (3) = −180.40
ωg ωc1 ωc2
取ωg ＝3.2
ω g = 3.2
k =5 k = 20
k g1 = 40(lg 3.2 − lg 2.24 ) = 6.2dB
ω
rad / s
2
26dB K=20 0dB 1
-40
40(lg ω c 2 − lg 1) = 26dB 40 lg ω c 2 = 26dB,
ω c 2 = 4.47
ωc2
ϕ (ω c1 ) = −900 − tg −1 (ω c1 ) − tg −1 (0.1ω c1 ) = −191.50
例5.5
k G0 ( s ) = s( s + 1 )( 0.1s + 1 )
K=5和k=20 =5和
判系统的稳定性， 判系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量 (1)低频段: (1)低频段: 低频段 ω＝1
k=5 L(1) = 20lg5 = 14dB
-20dB/dec
k=20 L(1) = 20lg20 = 26dB
ω r = ω n 1 − 2ξ
2
M
r
=
1 2ξ 1 − 2ξ
0 -3 带宽
2
（5-24） 24）
2.截止频率和频带宽度 2.截止频率和频带宽度 当幅值下降到低于零频率值以下3dB 当幅值下降到低于零频率值以下3 对应的频率ω 称为截止频率。 时，对应的频率ωb称为截止频率。 频率范围0 频率范围0≤ω≤ ωb通常称为系统的 频带宽度。 频带宽度。
k g 2 = 40(lg 3.2 − lg 4.47 ) = −5.8dB
ωg = 3 ω g = 3.3
ϕ (3) = −1780 ϕ (3) = −181.40 ϕ (3) = −180.40
ωg ωc1 ωc2
取ωg ＝3.2
ω g = 3.2
k =5 k = 20
k g1 = 40(lg 3.2 − lg 2.24 ) = 6.2dB
ω
rad / s
2
26dB K=20 0dB 1
-40
40(lg ω c 2 − lg 1) = 26dB 40 lg ω c 2 = 26dB,
ω c 2 = 4.47
ωc2
ϕ (ω c1 ) = −900 − tg −1 (ω c1 ) − tg −1 (0.1ω c1 ) = −191.50
例5.5
k G0 ( s ) = s( s + 1 )( 0.1s + 1 )
K=5和k=20 =5和
判系统的稳定性， 判系统的稳定性，求相角裕量和幅值裕量 (1)低频段: (1)低频段: 低频段 ω＝1
k=5 L(1) = 20lg5 = 14dB
-20dB/dec
k=20 L(1) = 20lg20 = 26dB
ω r = ω n 1 − 2ξ
2
M
r
=
1 2ξ 1 − 2ξ
0 -3 带宽
2
（5-24） 24）
2.截止频率和频带宽度 2.截止频率和频带宽度 当幅值下降到低于零频率值以下3dB 当幅值下降到低于零频率值以下3 对应的频率ω 称为截止频率。 时，对应的频率ωb称为截止频率。 频率范围0 频率范围0≤ω≤ ωb通常称为系统的 频带宽度。 频带宽度。
k g 2 = 40(lg 3.2 − lg 4.47 ) = −5.8dB
自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
频率特性分析方法
0
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。
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-10 -20
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
因而一阶微分环节的幅相频率特性是在GH 平面上由（1，j0）点出发，平行于虚轴而 一直向上引伸的一条直线，如图所示。
Im
.1
w→∞
w
w=3π/（2τ）
.
Re
w=π/τ
0
w=π/（2τ）
.w=0Re 1
0 1
w=0
. -1
W增大
一阶微分环节的幅相频率
延迟环节的幅相频率特性
6、延迟环节 延迟环节的传递函数为 G（s）=e- τ s 相应的频率特性表达式是 G（jw）=e-j τ s=1 · -j τ s e 故有 A（w）=1=const φ（w）= - τ 可见，延迟环节的幅值恒为1，相角与成 正比，其比例系数为τ。环节的幅值频率特 性是一个圆。圆心在原点上，半径为1，如 图所示。
1
2.对数频率特性曲线. 又称波特（Bode)图. 即将系统的频率特性表示在对数坐标中， Bode 图包括两部分 对数幅频特性 对数相频特性 ①对数幅频特性 纵坐标常用幅值的分贝表示，关系为 L（w）=20logA(w) (dB) 如A(w)=10,则L（w)=20dB L(w)称为增益，将A（w）变为L(w)后，可 用普通比例尺标注。
0 w=-∞ w=+∞
1/2
1 Re （w=0） 0
w→∞ Re
w1 w→0
图a 惯性的幅相频率特性
图b 积分环节的幅相频率特性
3、积分环节 积分环节的传递函数
G（s）=
1
s
其频率特性表达式为
1
G（jw）=
jw
= -j
1 w
=P（w）+jQ（w） 1 式中，P（w）=0；Q（w）=- w
故
A（w）=
由前可知， 函数 1/（1+jT） 完整地描述了RC网络在正弦 输入电压作用下稳态输出电压的幅值和相角 1/（1+jT） 随正弦输入电压频率变化的规律， 称 为网络的频率特性。 又由于G(s)= 1/（1+Ts） ∴以jw代替传函中的S，就可以到频率特性。 即G(jw)=G(s)|s=jw 这就是以频率特性来研究系统的根据。
A() () 0° -90°
由图可知： ω 从0→∞，幅值逐渐减小为0，而相角迟 后从0→-90°。 综上所述，频率特性的定义为：线性定常 系统（元件）的频率特性是初零条件下稳 态输出正弦信号与输入信号的复数比。 用G(j)表示: G(j)=A( ) ( ) =P()+jQ() 二 频率特性和传递函数的关系
φ （w）/（°）
误差，但并不大。可以证明，越近转折率， 误差就越大。最大误差出现在转折率w=1/T处， 其值为3.01dB。 3、积分环节的伯德图 L（w）=-20lgw 这是一个线性方 20 程，在半对数坐 0 标上表现为一条 -20 斜线。 1 10 0。1 积分环节的对数 幅频特性是一条 90 通过横轴w=1点 0
如图
线性 系统
输 入
输 出
幅值比：同频率下输出信号与输入信号的幅 值之比。（y/x) 相位差：同频率下输出信号相位与输入信 号相位差。（Φ）
频 率 特 性
幅频特性：幅值比随频率变化的特性 相位特性：相位差随频率变化的特性
一 频率特性的定义
若有RC网络如图 , Ui(t)=Uisint
R
Ui(t)
5-2 典型环节与开环系统频率特性
一、典型环节的幅相频率特性 求幅相频率一般可参照下列步骤进行： （1）求环节（或系统）的传递函数G（s）。 （2）用jw取代传递函数中s，求出频率特性表达 式G（jw ）。 （3）用G（jw ）的实部P（w）和虚部Q（w）求 出幅频特性A（w）和相频特性（w）表达式。 （4）选取不同的w值并计算A（w）和（w）， 在极坐标上描点并连成曲线。
1、比例环节 比例环节的传递函数为 G（s）=K=const 其频率特性表达式为 G（jw）=K=const 由于K是一个恒定的实数，故有 P（w）=K=const Q（w）=1 求得： A（w）=Κ√K2+0=K=const （w）=arctan0/K =0°
幅相频率特性仅仅 是复平面实轴上的一 个固定点，其坐标值 为（K，j0），如图 所示。
2 ζ w/wn 2 ζ w/wn （w）= 0-arctan 1-（w/w ）2 =-arctan 1-（w/wn）2 n
以阻尼系数ζ 为参变量，频率w由0→∞取一系列数 值，按照以上两式计算出相应的幅值和相角，即可绘 出幅相频率特性曲线。（图5-12）
5、微分环节 （1）纯微分环节 纯微分环节的传递函数为 G（s）=s 其频率特性表达式 G（jw）=jw 由于G（jw）是纯虚数，故有 P （w）=0 Q（w）=w 从而得 A（w）=w Q（w） （w）=arctan P（w） =90°
第五章 频率特性法
频率特性是经典控制理论中较重要的概 念之一，主要内容有： 一、频率特性曲线的绘制 二、奈魁斯特稳定判据 三、频率特性的实验求法 四、频率特性的校正
5-1 频率特性 频率特性：系统对正弦输入信号的稳态 响应特性。 人们曾经做过实验，当线性系统输入端 有正弦波作用时，输出响应仍是同频率的 正弦波，只是幅值和相位不同。而且输出 响应的幅值和相位将随频率的变化而变化。
在低频段，w很小。当w＜＜1/T即wT＜＜1 时， L（ w ）≈0（dB） 在高频段， w很大。当w＞＞1/T的高频段 亦可用一根斜线来表示，并称为高频渐近线。 具有-20dB/10倍频程的斜率，记为20dB/dec或简写[-20]。 当w=1/T时 L（w）=0（db） 即高频渐近线在频率w=1/T时正好与低频渐 近线相交，交点处的频率称为转折频率。 用渐近线代替对数幅频特性会带来一些
式中， P（w）=
1 1+T2w2
-Tw
Q（w）=
1+T2w2
故有 1 2（w）+Q2（w）= A（w）=P 1+T2w2
（w）=arctan P（w） =-arctanTw 其幅相频率特性曲线是一个以（1/2，j0） 为圆心、1/2为半径的半圆。
Q（w）
如图a所示
Im
-w1
GH平面
Im
GH平面
二 频率特性的几何表示法 频率特性图示法通常可由三种曲线描述. 1.幅相频率特性曲线. 又称极坐标图，或奈魁斯特(Nyquist)图. 作法：以ω为参变量，将幅频、相频同时 画在极坐标图上如RC网络： 不同的ω 对应不同的矢量 ω 从0→∞，矢量的矢端描绘 出的曲线即频率特性 ω =0. 幅值为1. 相角为0. ω =1/T 幅值为0.71 相角为-45° ω =∞ 幅值为0 相角为-90°
Im
GH平面
0
· Re K
比例环节的幅相频率特性
2、惯性环节 设惯性环节的传递函数为
1
G（s）=
TS+1
用jw代替传递函数中的s，得惯性环节的 频率特性表达式为
1
G（jw）=
1+jTW
将上式作有理化处理如下：
（1-jTw） （1-jTw） G（jw）= =P（w）+jQ（w） （1+jTw）（1-jTw） =（1+T2w2）
w/（rad·-1） s
2、惯性环节的伯德图 将A（）取对数，并乘上20倍得
L（w）=20lg =-20lg √ 1+T2w2 √ 1+T2w2
1
在时间常数T已知的情况下，将w由0至 无穷取值，计算出相应的L（w）值，即可 绘出惯性环节的对数幅频特性曲线。用这 种计算方法所得的结果很准确，但费时， 工程上一般不采用，而是代之以简便的近 似方法，即用渐近线分段表示对数幅频特 性。
w2n
1
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
因而一阶微分环节的幅相频率特性是在GH 平面上由（1，j0）点出发，平行于虚轴而 一直向上引伸的一条直线，如图所示。
Im
.1
w→∞
w
w=3π/（2τ）
.
Re
w=π/τ
0
w=π/（2τ）
.w=0Re 1
0 1
w=0
. -1
W增大
一阶微分环节的幅相频率
延迟环节的幅相频率特性
6、延迟环节 延迟环节的传递函数为 G（s）=e- τ s 相应的频率特性表达式是 G（jw）=e-j τ s=1 · -j τ s e 故有 A（w）=1=const φ（w）= - τ 可见，延迟环节的幅值恒为1，相角与成 正比，其比例系数为τ。环节的幅值频率特 性是一个圆。圆心在原点上，半径为1，如 图所示。
1
2.对数频率特性曲线. 又称波特（Bode)图. 即将系统的频率特性表示在对数坐标中， Bode 图包括两部分 对数幅频特性 对数相频特性 ①对数幅频特性 纵坐标常用幅值的分贝表示，关系为 L（w）=20logA(w) (dB) 如A(w)=10,则L（w)=20dB L(w)称为增益，将A（w）变为L(w)后，可 用普通比例尺标注。
0 w=-∞ w=+∞
1/2
1 Re （w=0） 0
w→∞ Re
w1 w→0
图a 惯性的幅相频率特性
图b 积分环节的幅相频率特性
3、积分环节 积分环节的传递函数
G（s）=
1
s
其频率特性表达式为
1
G（jw）=
jw
= -j
1 w
=P（w）+jQ（w） 1 式中，P（w）=0；Q（w）=- w
故
A（w）=
由前可知， 函数 1/（1+jT） 完整地描述了RC网络在正弦 输入电压作用下稳态输出电压的幅值和相角 1/（1+jT） 随正弦输入电压频率变化的规律， 称 为网络的频率特性。 又由于G(s)= 1/（1+Ts） ∴以jw代替传函中的S，就可以到频率特性。 即G(jw)=G(s)|s=jw 这就是以频率特性来研究系统的根据。
A() () 0° -90°
由图可知： ω 从0→∞，幅值逐渐减小为0，而相角迟 后从0→-90°。 综上所述，频率特性的定义为：线性定常 系统（元件）的频率特性是初零条件下稳 态输出正弦信号与输入信号的复数比。 用G(j)表示: G(j)=A( ) ( ) =P()+jQ() 二 频率特性和传递函数的关系
φ （w）/（°）
误差，但并不大。可以证明，越近转折率， 误差就越大。最大误差出现在转折率w=1/T处， 其值为3.01dB。 3、积分环节的伯德图 L（w）=-20lgw 这是一个线性方 20 程，在半对数坐 0 标上表现为一条 -20 斜线。 1 10 0。1 积分环节的对数 幅频特性是一条 90 通过横轴w=1点 0
如图
线性 系统
输 入
输 出
幅值比：同频率下输出信号与输入信号的幅 值之比。（y/x) 相位差：同频率下输出信号相位与输入信 号相位差。（Φ）
频 率 特 性
幅频特性：幅值比随频率变化的特性 相位特性：相位差随频率变化的特性
一 频率特性的定义
若有RC网络如图 , Ui(t)=Uisint
R
Ui(t)
5-2 典型环节与开环系统频率特性
一、典型环节的幅相频率特性 求幅相频率一般可参照下列步骤进行： （1）求环节（或系统）的传递函数G（s）。 （2）用jw取代传递函数中s，求出频率特性表达 式G（jw ）。 （3）用G（jw ）的实部P（w）和虚部Q（w）求 出幅频特性A（w）和相频特性（w）表达式。 （4）选取不同的w值并计算A（w）和（w）， 在极坐标上描点并连成曲线。
1、比例环节 比例环节的传递函数为 G（s）=K=const 其频率特性表达式为 G（jw）=K=const 由于K是一个恒定的实数，故有 P（w）=K=const Q（w）=1 求得： A（w）=Κ√K2+0=K=const （w）=arctan0/K =0°
幅相频率特性仅仅 是复平面实轴上的一 个固定点，其坐标值 为（K，j0），如图 所示。
2 ζ w/wn 2 ζ w/wn （w）= 0-arctan 1-（w/w ）2 =-arctan 1-（w/wn）2 n
以阻尼系数ζ 为参变量，频率w由0→∞取一系列数 值，按照以上两式计算出相应的幅值和相角，即可绘 出幅相频率特性曲线。（图5-12）
5、微分环节 （1）纯微分环节 纯微分环节的传递函数为 G（s）=s 其频率特性表达式 G（jw）=jw 由于G（jw）是纯虚数，故有 P （w）=0 Q（w）=w 从而得 A（w）=w Q（w） （w）=arctan P（w） =90°
第五章 频率特性法
频率特性是经典控制理论中较重要的概 念之一，主要内容有： 一、频率特性曲线的绘制 二、奈魁斯特稳定判据 三、频率特性的实验求法 四、频率特性的校正
5-1 频率特性 频率特性：系统对正弦输入信号的稳态 响应特性。 人们曾经做过实验，当线性系统输入端 有正弦波作用时，输出响应仍是同频率的 正弦波，只是幅值和相位不同。而且输出 响应的幅值和相位将随频率的变化而变化。
在低频段，w很小。当w＜＜1/T即wT＜＜1 时， L（ w ）≈0（dB） 在高频段， w很大。当w＞＞1/T的高频段 亦可用一根斜线来表示，并称为高频渐近线。 具有-20dB/10倍频程的斜率，记为20dB/dec或简写[-20]。 当w=1/T时 L（w）=0（db） 即高频渐近线在频率w=1/T时正好与低频渐 近线相交，交点处的频率称为转折频率。 用渐近线代替对数幅频特性会带来一些
式中， P（w）=
1 1+T2w2
-Tw
Q（w）=
1+T2w2
故有 1 2（w）+Q2（w）= A（w）=P 1+T2w2
（w）=arctan P（w） =-arctanTw 其幅相频率特性曲线是一个以（1/2，j0） 为圆心、1/2为半径的半圆。
Q（w）
如图a所示
Im
-w1
GH平面
Im
GH平面
二 频率特性的几何表示法 频率特性图示法通常可由三种曲线描述. 1.幅相频率特性曲线. 又称极坐标图，或奈魁斯特(Nyquist)图. 作法：以ω为参变量，将幅频、相频同时 画在极坐标图上如RC网络： 不同的ω 对应不同的矢量 ω 从0→∞，矢量的矢端描绘 出的曲线即频率特性 ω =0. 幅值为1. 相角为0. ω =1/T 幅值为0.71 相角为-45° ω =∞ 幅值为0 相角为-90°
Im
GH平面
0
· Re K
比例环节的幅相频率特性
2、惯性环节 设惯性环节的传递函数为
1
G（s）=
TS+1
用jw代替传递函数中的s，得惯性环节的 频率特性表达式为
1
G（jw）=
1+jTW
将上式作有理化处理如下：
（1-jTw） （1-jTw） G（jw）= =P（w）+jQ（w） （1+jTw）（1-jTw） =（1+T2w2）
w/（rad·-1） s
2、惯性环节的伯德图 将A（）取对数，并乘上20倍得
L（w）=20lg =-20lg √ 1+T2w2 √ 1+T2w2
1
在时间常数T已知的情况下，将w由0至 无穷取值，计算出相应的L（w）值，即可 绘出惯性环节的对数幅频特性曲线。用这 种计算方法所得的结果很准确，但费时， 工程上一般不采用，而是代之以简便的近 似方法，即用渐近线分段表示对数幅频特 性。
w2n
1