第5章 频率特性法
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自动控制原理(第2版)(余成波_张莲_胡晓倩)习题全解及MATLAB实验第5章习题解答
第5章频率特性法频域分析法是一种图解分析法，可以根据系统的开环频率特性去判断闭环系统的性能，并能较方便地分析系统参量对系统性能的影响，从而指出改善系统性能的途径，已经发展成为一种实用的工程方法，其主要内容是：1）频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入的复数之比对频率的函数关系。
频率特性是传递函数的一种特殊形式，也是频域中的数学模型。
频率特性既可以根据系统的工作原理，应用机理分析法建立起来，也可以由系统的其它数学模型（传递函数、微分方程等）转换得到，或用实验法来确定。
2）在工程分析和设计中，通常把频率特性画成一些曲线。
频率特性图形因其采用的坐标不同而分为幅相特性(Nyquist图)、对数频率特性(Bode图)和对数幅相特性(Nichols图)等形式。
各种形式之间是互通的，每种形式有其特定的适用场合。
开环幅相特性在分析闭环系统的稳定性时比较直观，理论分析时经常采用；波德图可用渐近线近似地绘制，计算简单，绘图容易，在分析典型环节参数变化对系统性能的影响时最方便；由开环频率特性获取闭环频率指标时，则用对数幅相特性最直接。
3）开环对数频率特性曲线(波德图)是控制系统分析和设计的主要工具。
开环对数幅频特性L(ω)低频段的斜率表征了系统的型别(v)，其高度则表征了开环传递系数的大小，因而低频段表征系统稳态性能；L(ω)中频段的斜率、宽度以及幅值穿越频率，表征着系统的动态性能；高频段则表征了系统抗高频干扰的能力。
对于最小相位系统，幅频特性和相频特性之间存在着唯一的对应关系，根据对数幅频特性，可以唯一地确定相应的相频特性和传递函数。
4）奈奎斯特稳定性判据是利用系统的开环幅相频率特性G(jω)H(jω)曲线，又称奈氏曲线，是否包围GH平面中的(－l，j0)点来判断闭环系统的稳定性。
利用奈奎斯特稳定判据，可根据系统的开环频率特性来判断闭环系统的稳定性，并可定量地反映系统的相对稳定性，即稳定裕度。
稳定裕度通常用相角裕量和幅值裕量来表示。
第5章-线性系统的频域分析法
0.1 0.2
0.5
1
2
5
10
20
50
（） -96.3 -102.5 -116.6 -140.7 -164.7 -195.3 -219.3 -240.6 -257.5
5-4 频率域稳定判据
一、奈氏判据的数学基础 1、幅角原理
设F(s)为复变函数，F(s)
在s平面上任一点 K*(s z1)(s z2) (s zm)
G( j) j L() 20lg () 90
L(dB) 40 20
0 0.01 0.1
1
20
20dB / dec
10
-40
( ) 90
0 0.01 0.1
1
90
10
4、一阶惯性环节
G(
j)
1
Tj
1
1
e arctgT
1 T 22
L() 20 lg 1 T 22
() arg tgT
5-1 引言
频率特性是研究自动控制系统的一种工程方法，它 反映正弦信号作用下系统性能。应用频率特性可以 间接地分析系统的动态性能与稳态性能。频率特性 法的突出优点是组成系统的元件及被控对象的数学 模型若不能直接从理论上推出和计算时，可以通过 实验直接求得频率特性来分析系统的品质。其次， 应用频率特性法分析系统可以得出定性和定量的结 论，并且有明显的物理意义。在应用频率特性法分 析系统时，可以利用曲线，图表及经验公式，因此， 用频率特性法分析系统是很方便的。
1
T
() 45
L(dB) 0
20
40
60 ( )
0
1 T
精确特性
45
90
渐进特性
20dB/ dec
第五章(5) 频域：用实验法确定系统的传递函数
第五节 用实验法确定系统传递函数
例
已知采用积分控制液位系统的结构 和对数频率特性曲线,试求系统的传 和对数频率特性曲线 试求系统的传 hr(t) 递函数。 递函数。 1 K h(t)
1 4
L(ω)/dB
20 0 -20 -20dB/dec
S
Ts+1
φ(ω)
0 -90 -180
返回 解: 将测得的对数 -40dB/dec 1 = 曲线近似成渐 0.25S2+1.25S+1) 近线: 近线 ω 1 φ(s)= (S+1) (S/4+1)
第五章 频率特性法
第五节 用实验法确定系统传递函数
频率特性具有明确的物理意义， 频率特性具有明确的物理意义，可 用实验的方法来确定它.这对于难以列 用实验的方法来确定它 这对于难以列 写其微分方程的元件或系统来说,具有 写其微分方程的元件或系统来说 具有 很重要的实际意义。 很重要的实际意义。
一、用实验法确定系统的伯德图 二、根据伯德图确定传递函数
1. ι= 0
系统的伯德图： 系统的伯德图：
x
L(ω)/dB
-20dB/dec
低频渐近线为
0
20lgK-40dB/源自ecL(ω)=20lgK=χ 即
χ
ωc
ω
K=10 20
第五节 用实验法确定系统传递函数
2. ι= 1
系统的伯德图： 系统的伯德图： ω=1 L(ω)=20lgK
L(ω)/dB 20lgK
0
-20dB/dec
ω0
1 ω1 ωc
-40dB/dec
ω
低频段的曲线与横 轴相交点的频率为 的频率为ω 轴相交点的频率为 0 20lgK 因为 =20 lgω0-lg1
第五章频率特性法
教学内容
1、频率特性的概念 2、典型环节频率特性
3、开环幅相曲线绘制方法，重点：开环对数频率特性曲线
4、频域稳定判据，奈奎斯特判据，对数频率稳定判据 5、稳定裕度的概念 6、闭环系统的频域指标
5-1 频率特性
频率特性法：用频率特性作为数学模型来分析和设 计系统的方法。 优点：①具有明确的物理意义； ②计算量很小，采用近似作图法，简单、直 观，易于在工程技术中使用； ③可以采用实验的方法求出系统或元件的频 率特性。
1 1 (T1 )
2
1 1 (T2 )
2
k
相频特性： ( ) tan1 T1 tan1 T2
1.确定开环幅相曲线的起点和终点
0时， G ( j 0) k (0) 0 时， G ( j 0) 0 (0) －180
式中, φ=-arctgωτ。
式(5.3)的等号右边 , 第一项是输出的暂态分量 , 第
二项是输出的稳态分量。 当时间t→∞ 时, 暂态分量趋 于零, 所以上述电路的稳态响应可以表示为
1 1 limuo (t ) sin( t ) U sin t (5.4) 2 2 t 1 j 1 j 1 U
0
ω 0 1/T ∞
∠G（jω ） 0º -90º -180º
│G(jω │ 1 1/2ζ 0
U(ω ) 1 0 0
V(ω )
-0.5
ζ =0.2— 0.8
0 -1/2ζ 0
-1.5 -0.5 0 0.5 1 1.5 -1
振荡环节的幅相曲线
: 0 ， G ( j )曲 线 有 单 调 衰 减 和 谐 两 振种形式。
第五章 频率特性分析法
由于 G( j ) G(s) s j 是一个复数，可写为
G( j ) G( j ) e
jG ( j )
A( )e
j ( )
G( j ) 和 G( j )是共轭的，故 G( j ) 可写成
G( j ) A( )e
j ( )
R Kc A( )e j ( ) 2j R K c A( )e j ( ) 2j
Kc e
jt
K c e
jt
若系统稳定， G ( s ) 的极点均为负实根。当 t 时得 c(t ) 的稳态分量为 css (t ) lim c(t ) K c e jt K c e jt
t
R G ( j ) R 其中 K c G( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j R G ( j ) R K c G ( s) ( s j ) s j ( s j )(s j ) 2j
为方便讨论，设所有极点为互不相同的实数。
若输入信号为正弦函数，即
r (t ) R sin t
其拉氏变换为
R R R( s ) 2 2 s ( s j )(s j )
N ( s) X 则 C ( s) ( s p1 )(s p2 ) (s pn ) ( s j )(s j )
第5章 线性系统的频域分析法
频率特性是研究控制系统的一种工程方法， 应用频率特性可间接地分析系统的动态性能和稳 态性能。频域分析法的突出优点是可以通过实验 直接求得频率特性来分析系统的品质，应用频率 特性分析系统可以得出定性和定量的结论，并具 图表及经验公式。
有明显的物理含义，频域法分析系统可利用曲线、
自动控制原理--第五章-频率特性法
2.频率特性反映系统本身性能，取决于系统结构、参数，与外 界因素无关。
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
3. 频率特性随输入频率变化的原因是系统往往含有电容、电感、 弹簧等储能元件，导致输出不能立即跟踪输入，而与输入信号 的频率有关。
4.频率特性表征系统对不同频率正弦信号的跟踪能力，一般有 “低通滤波”与“相位滞后”作用。
2024年5月3日
2024年5月3日
若用一个复数G（jω）来表示，则有 G（jω）=∣G（jω）∣·ej∠G（jω）=A（ω）·ej 指数表示法
G（jω）=A(ω)∠ (ω) 幅角表示法
G（jω）就是频率特性通用的表示形式，是ω的函数。
当ω是一个特定的值时，可以 在复平面上用一个向量去表示G （jω）。向量的长度为A(ω)，向量
频率特性的数学意义
频率特性是描述系统固有特性的数学模型,与微分方程、 传递函数之间可以相互转换。
微分方程
（以t为变量）
d s
dt
传递函数
（以s为变量）
s j 频率特性
（以ω为变量）
控制系统数学模型之间的转换关系
以上三种数学模型以不同的数学形式表达系统的运 动本质，并从不同的角度揭示出系统的内在规律，是经 典控制理论中最常用的数学模型。
R() A()cos()
I () A()sin()
2024年5月3日
以上函数都是ω的函数，可以用曲线表示它 们随频率变化的规律，使用曲线表示系统的频率 特性，具有直观、简便的优点，应用广泛。
并且A(ω)与R（ω）为ω的偶函数， (ω)与I
（ω）是ω的奇函数。
2024年5月3日
三、频率特性的实验求取方法
css(t) =Kce-jωt+K-cejωt
系数Kc和K-c由留数定理确定，可以求出
第五章 频率特性法
-10 -20
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
度 -30 -60 -90
0.1
1
10
③特点： a.由于缩小了比例尺，能够在较宽的频率范围内研 究频率特性. b.可以简化绘制工作. G1(jw)=A1(w)ej() C.将实验获得的频率特性数据画成对数频率特性曲 线，可简便地确定频率特性表达式 3.对数幅相特性. 又称尼柯尔斯图. 以w为参变量表示对数幅频特性与对数相频特性的 关系. 横坐标表示相频特性的函数值，单位为度 纵坐标表示幅频特性的函数值，单位为分贝 优点：能比较方便地确定闭环系统的稳定性和频域 性能指标。
1
C
1
U0(t)
Ui Ui
1+T22
U0(s)=
Ts+1
Ui(s)=
Ts+1 s2+2
拉氏变换得：U0(t)=
sin(t-arctanT)
=U0sin(t+)
可见，1、输出电压仍是正弦电压 2、输出与输入的频率相同 3、输出幅值为原幅值的U0/Ui倍 4、输出相角超前 而且：A()= U0/Ui 为幅频特性 ()=-arctanT为相角特性 图形如下
在低频段，因w τ ＜＜1，故 L（w）≈0（dB） 在高频段，因w τ＞＞1，故 L（w）≈20lg w τ 可见，高频段是一条斜线。斜率为 +20dB/dec，该斜率在w=1/ τ处正好与低频渐 近线相衔接。 惯性环节和一阶微分环节的对数幅频特性， 两式相比较，仅仅是一个符号之差，其结果 是两种环节的低频渐近线完全相同，高频渐 近线则一个向下倾斜，另一个向上倾斜，且 斜率大小相等，方向相反。两种环节的特性 对称于横坐标w，即以w轴为基准，互为镜像。
L （w）/dB w/（rad·-1） s
点且斜率为每十频程下降20dB的斜线，见 图。 对数相频曲线φ（w）恒为-90°，故是 一条纵坐标为- 90°的水平线。 4、微分环节的伯德图 （1）纯微分环节 L（w）=20lgA（w）=20lgw 纯微分环节的对数幅频特性亦是一条 斜线，它的斜率20dB/dec，并与零分贝线 交于w=1处。 对数相频特性的描述，由于相角
频率特性分析方法
0
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。
（2）放大环节
Im
G(s) K G( j) K
φ
方法② 直接用频率特性测试仪测取，直接在X-Y 记录仪上显示 x jy或者 B e j 。
A
例1：某系统的传递函数为G：(s)
2(s s2
2)
当输入信号为：r(t) sin(t 1000 )
求出它的稳态输出响应。
解：
G(
j
2( j j )2
如何求模和相角？
G( j
tg1 1800
sin e j e j
2j
t 2
r=Asinωt
K Ts 1
Yss
KA
1 T 2 2
sin(
t
2 )
稳态输出仍是一个正弦信号，输出幅值和相位发生 了变化，角频率ω没变。
稳态输出与输入 r Asint 比较可得：
幅值比 B
K
A 1 T 22
相位差 2 arctg(T )
2
KU 2 U2 V 2
整理：U 2
V
2
KU
经配方，
即：
U
K 2
2
U V 2
K 2
2
圆的方程。圆心 (K/2, j0),半径K/2。
G( j 与G( j 为共轭复数。
当ω: -∞→+∞，得到完整的频率特性。 顺时针方向是频率特性变化的方向，即ω增加的方向。
Im
K Re
G( j) 为频率特性，是一复数，模 K 为系统的幅
1 T 22
值比
B ，其相角 A
2 为系统的相位差。
推广到一般的情况，对于任何线性定常系统，只 要将传递函数中的变量s用jω代替，便得到了系统的 频率特性。
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得相位裕度为 180 (c ) 54.2
该系统是稳定的。为Ⅰ型系统，有Kv=100 具有闭环主导极点的三阶系统，应用二阶近似 公式可求取时域指标为： c tg 26.873 4 0.5302 n 4 2 2 4 1 2 2 ( tg ) 1
1 1 L( ) 20 lgT 20 lg 20 lg T T
惯性环节的伯德图（续1）
Bode Diagram
L(ω)
Magnitude (dB)
0
1/10T
1/T
10/T
-10
-20
-30
Φ(ω)
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 10
-2
10
-1
10
0
10
1Байду номын сангаас
1 1 Am H (s) Am H (s) s j s j s j s j s j s j
1 H ( j ) H ( j ) Am j 2 s j s j
10(s 3) G( s) 1 1 2 1 s s 1 s s 1 2 2 2
解：将G(s)变换成典型环节之积形式有
1 1 1 1 G( s) 10 3 s 1 1 1 2 1 3 s 比例 s 1 s s 1 一阶微分积 2 2 2
系统性能分析举例
例5.5某单位负反馈系统测得开环幅频特性图 如图所示，试分析其性能。 1
100( s 1) 6 G(s) 1 1 s( s 1)( s 1) 2 60
解：求ωc有 20 lg100 20 lg 2 40 lg 3 20 lg 6 100
c
3
c
系统性能分析举例（续）
ω=1
5.4.2高频段
• 高频段是能使|H(jω)|≈|G(jω)|的频率区域。 在开环幅频特性中对应的信号频率很高。 • 高频段对于系统的稳态性能、动态性能影 响不大，但它对高频信号的抑制作用，对 于系统的抗干扰能力具有重要意义。 • 高频段斜率越大系统抗干扰能力越好。
5.4.3中频段
• 中频段从概念上讲指低、高频中间的信号 频率范围，从闭环幅频角度看可以认为低 频段和中频段的界限为M ，中频段和高频 段的界限为b。 • 中频段在闭环幅频特性中为M→b之间范 围，而从开环幅频特性看，其标志为c， 故开环幅频特性中c两侧一定频率范围内 为中频段。
5.3频率特性指标
开环频率特性指标
闭环频率特性指标
M称为复现频率 b称为截止频率 Mr称为相对谐振
峰值
5.4开环频率特性的系统分析
低频段：在开环对数幅频特性中使闭环取得复 现带的频率区间称为低频段，即0→M区间的 幅频曲线。
低频段主要影响系统的稳态特性，即误差，因 此由低频段可以确定系统的无差度，可以确定 误差系数Kp、Kv、Ka。
无差度的确定
若首段斜率为－20×v db/dec，则其中v为开环 传递函数的积分环节个数或型数。
误差系数的计算
系统对数幅频特性不论其形状如何，其首段( 或延长线)与1交点所对应的分贝值一定为 20lgK， 两种常用计算方法 1.首段延长线法 当首段为0dB/dec时，其首段所对应的 分贝值即为20lgKp。 当首段为-20db/dec时，将其延长与横 轴相交，交点所对应的频率值即为Kv。 首段-40db/dec其延长交点频率值为 Ka
分 惯性 二阶振荡
20lgK=29.5db，存在积分环节，故在w=1处 做29.5db点，过该点做-20dB/dec斜率直线L1
伯德图的绘制举例（续1）
列写其余环节转折频率
二阶振荡环节转折频率
惯性环节转折频率
1 2
2 2
一阶微分 惯性环节 二阶振荡 积分环节
一阶微分环节转折频率
3 3
2
5.2.5由对称性获得特性曲线
• 基本环节中的微分环节、一阶微分环节、 二阶微分环节分别与积分环节、惯性环节、 二阶振荡环节具有关于横轴对称的特性 。
微分环节伯德图 一阶微分环节伯德图 二阶微分环节伯德图
5.2.6时滞环节
时滞环节增益为 G( s) e 频率特性函数为
s
G( j) e
相频特性则分别绘出各 环节相频曲线逐点叠加 即可。
从伯德图求开环传递函数
步骤：由首段确定积分环节个数，对应每个 转折频率点斜率变化值确定基本环节，最后 确定K值。 例5.2已知某最小相位系统的伯德图，求其开 环传递函数。
1 100( s 1) 5 G(s) 1 1 s( s 1)( s 1) 2 20
A( ) 1 [1 (T ) 2 ]2 (2T ) 2
2T ( ) arctan 1 (T ) 2
二阶振荡环节伯德图
1 当 (T ) 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T 1 2 L( ) 20 lg(T ) T 1 40 lg 40 lg T
中频段的斜率
如果开环幅频特性是以-20dB/dec通过c的，而 且c两侧足够宽，即低、高频对中频影响可忽 略不计，则开/闭环传递函数可以近似表示为
k c G( s ) s s
c
s
H (s) 1
c
s
1 1
c
s 1
相当于一阶系统，系统是完全稳定的
中频段的斜率（续1）
主要内容
• • • • • • 频率特性及频率特性法的基本概念 基本环节的频率特性分析 频率特性指标 开环频率特性的系统分析 控制系统的频率法校正 系列设计举例
5.1频率特性及频率特性法
对线性系统输入正弦信号，其输出的稳态响应 称为系统的频率响应。 设施加的正弦输入信号为 r (t ) Am sint Am 则频率响应为 Css (s) H (s) R(s) H (s) 2 s 2
ωc的计算
1. 精确计算 | G ( jc ) | 1
例5.3已知单位负反馈系统开环传递函数为确 2 定其c G(s)
1 s( s 1)( s 1) 5 10 1 解：由G(s)令 | G( jc ) | 2 2 c 1 c 25 c
解得c =1.23
ωc的计算（续）
p% e
/ 1 2
100% 14.7%
ts
3
n
0.211
5.5控制系统的频率法校正
对已有的系统通过增加一些装置的方式改善其 性能，提高其指标的过程称为对原有系统进行 校正，所增加的装置称为校正装置。 1. 串联校正
校正方案（续1）
2.并联校正
3.反馈校正
校正方案（续2）
首段延长线法（续）
20 lg K a 20 lg | G ( j a ) | 40 lg1 lg a
20 lg K a 40 lga
a Ka
ωa
正增益斜率计算法
曲线 B为Ⅰ型系统 C 为Ⅱ型系统 曲线 A为 0型系统 2 cc c 20 lg K20 20 lg 40 lg 20 lg lg K 40 lg 20 lg v 20 lg K p a1 40 lg 2 20 lg 1 1 22 2 2 2 2 c 2 a c K vK p K 2 c 2 c 2 1 1 2 1
伯德图研究系统频率响应的优点
• 动态补偿器的设计可以完全以伯德图为 依据。 • 伯德图可以由实验的方法获得。 • 串联系统的伯德图可简单相加而得，这 非常方便。 • 对数尺度允许伯德图表示相当广的频率 范围，而线性尺度很难做到。
5.2基本环节的频率特性分析
5.2.1比例环节 比例环节的增益为G(s)=K 频率特性函数为G(j)=K
伯德图的绘制（续）
• 绘制相位曲线图步骤：
–
–
画相位曲线在低频段的渐近线，为n×90°。
画近似相位曲线，在每个转折频率处改变 ±90°（一阶）或±180°（二阶）。 确定各单个相位曲线的渐进线，使得相位的 改变与上步骤一致，画每个相位曲线草图。 在图上把每个相位曲线相加。
–
–
伯德图的绘制举例
• 例5.1已知系统开环传递函数，绘制伯德图。
伯德图
• 伯德图(又称为频率特性的对数坐标图) :伯 德图将幅频特性和相频特性分别绘制。 • 幅频特性坐标横轴取信号角频率的对数 lg标定，但标写的数值为值。纵轴以分 贝为单位等分标定，其值为20lgA()dB 。 • 相频特性横轴和幅频特性相对应，纵轴为 φ()的度数。 • 常采用折线方式来近似绘制 。
4.前馈校正
校正方案（续3）
5.前置校正
6.干扰补偿
校正方法
• 确定校正装置的结构和参数的过程称为选 择校正方法。目前主要有分析法和综合法 两类。
比例环节伯德图
5.2.2惯性环节
1 惯性环节增益为 G(s) Ts 1 1 对数幅频 L( ) 20 lg 20 lg 1 (T ) 2 1 (T ) 2 特性：
1 当 (T )2 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T
5.1.2基本概念
频率特性法是通过系统开环的频率特性图像 来对系统性能指标进行分析以及对系统加以 综合、校正的方法。它避免求解闭环极点， 其图形化方式具有极强的直观性。 频率特性法使得可以通过实验所确定的系统 频率响应来推断未知系统的传递函数。而且 设计者可以控制系统的带宽，以及控制系统 对不期望噪声和扰动响应的某些指标。 频率特性法的不足在于频域和时域之间缺乏 直接联系，需要靠各种设计准则来调整频率 响应特性以达到满意的暂态响应。
该系统是稳定的。为Ⅰ型系统，有Kv=100 具有闭环主导极点的三阶系统，应用二阶近似 公式可求取时域指标为： c tg 26.873 4 0.5302 n 4 2 2 4 1 2 2 ( tg ) 1
1 1 L( ) 20 lgT 20 lg 20 lg T T
惯性环节的伯德图（续1）
Bode Diagram
L(ω)
Magnitude (dB)
0
1/10T
1/T
10/T
-10
-20
-30
Φ(ω)
Phase (deg)
-40 0
-45
-90 10
-2
10
-1
10
0
10
1Байду номын сангаас
1 1 Am H (s) Am H (s) s j s j s j s j s j s j
1 H ( j ) H ( j ) Am j 2 s j s j
10(s 3) G( s) 1 1 2 1 s s 1 s s 1 2 2 2
解：将G(s)变换成典型环节之积形式有
1 1 1 1 G( s) 10 3 s 1 1 1 2 1 3 s 比例 s 1 s s 1 一阶微分积 2 2 2
系统性能分析举例
例5.5某单位负反馈系统测得开环幅频特性图 如图所示，试分析其性能。 1
100( s 1) 6 G(s) 1 1 s( s 1)( s 1) 2 60
解：求ωc有 20 lg100 20 lg 2 40 lg 3 20 lg 6 100
c
3
c
系统性能分析举例（续）
ω=1
5.4.2高频段
• 高频段是能使|H(jω)|≈|G(jω)|的频率区域。 在开环幅频特性中对应的信号频率很高。 • 高频段对于系统的稳态性能、动态性能影 响不大，但它对高频信号的抑制作用，对 于系统的抗干扰能力具有重要意义。 • 高频段斜率越大系统抗干扰能力越好。
5.4.3中频段
• 中频段从概念上讲指低、高频中间的信号 频率范围，从闭环幅频角度看可以认为低 频段和中频段的界限为M ，中频段和高频 段的界限为b。 • 中频段在闭环幅频特性中为M→b之间范 围，而从开环幅频特性看，其标志为c， 故开环幅频特性中c两侧一定频率范围内 为中频段。
5.3频率特性指标
开环频率特性指标
闭环频率特性指标
M称为复现频率 b称为截止频率 Mr称为相对谐振
峰值
5.4开环频率特性的系统分析
低频段：在开环对数幅频特性中使闭环取得复 现带的频率区间称为低频段，即0→M区间的 幅频曲线。
低频段主要影响系统的稳态特性，即误差，因 此由低频段可以确定系统的无差度，可以确定 误差系数Kp、Kv、Ka。
无差度的确定
若首段斜率为－20×v db/dec，则其中v为开环 传递函数的积分环节个数或型数。
误差系数的计算
系统对数幅频特性不论其形状如何，其首段( 或延长线)与1交点所对应的分贝值一定为 20lgK， 两种常用计算方法 1.首段延长线法 当首段为0dB/dec时，其首段所对应的 分贝值即为20lgKp。 当首段为-20db/dec时，将其延长与横 轴相交，交点所对应的频率值即为Kv。 首段-40db/dec其延长交点频率值为 Ka
分 惯性 二阶振荡
20lgK=29.5db，存在积分环节，故在w=1处 做29.5db点，过该点做-20dB/dec斜率直线L1
伯德图的绘制举例（续1）
列写其余环节转折频率
二阶振荡环节转折频率
惯性环节转折频率
1 2
2 2
一阶微分 惯性环节 二阶振荡 积分环节
一阶微分环节转折频率
3 3
2
5.2.5由对称性获得特性曲线
• 基本环节中的微分环节、一阶微分环节、 二阶微分环节分别与积分环节、惯性环节、 二阶振荡环节具有关于横轴对称的特性 。
微分环节伯德图 一阶微分环节伯德图 二阶微分环节伯德图
5.2.6时滞环节
时滞环节增益为 G( s) e 频率特性函数为
s
G( j) e
相频特性则分别绘出各 环节相频曲线逐点叠加 即可。
从伯德图求开环传递函数
步骤：由首段确定积分环节个数，对应每个 转折频率点斜率变化值确定基本环节，最后 确定K值。 例5.2已知某最小相位系统的伯德图，求其开 环传递函数。
1 100( s 1) 5 G(s) 1 1 s( s 1)( s 1) 2 20
A( ) 1 [1 (T ) 2 ]2 (2T ) 2
2T ( ) arctan 1 (T ) 2
二阶振荡环节伯德图
1 当 (T ) 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T 1 2 L( ) 20 lg(T ) T 1 40 lg 40 lg T
中频段的斜率
如果开环幅频特性是以-20dB/dec通过c的，而 且c两侧足够宽，即低、高频对中频影响可忽 略不计，则开/闭环传递函数可以近似表示为
k c G( s ) s s
c
s
H (s) 1
c
s
1 1
c
s 1
相当于一阶系统，系统是完全稳定的
中频段的斜率（续1）
主要内容
• • • • • • 频率特性及频率特性法的基本概念 基本环节的频率特性分析 频率特性指标 开环频率特性的系统分析 控制系统的频率法校正 系列设计举例
5.1频率特性及频率特性法
对线性系统输入正弦信号，其输出的稳态响应 称为系统的频率响应。 设施加的正弦输入信号为 r (t ) Am sint Am 则频率响应为 Css (s) H (s) R(s) H (s) 2 s 2
ωc的计算
1. 精确计算 | G ( jc ) | 1
例5.3已知单位负反馈系统开环传递函数为确 2 定其c G(s)
1 s( s 1)( s 1) 5 10 1 解：由G(s)令 | G( jc ) | 2 2 c 1 c 25 c
解得c =1.23
ωc的计算（续）
p% e
/ 1 2
100% 14.7%
ts
3
n
0.211
5.5控制系统的频率法校正
对已有的系统通过增加一些装置的方式改善其 性能，提高其指标的过程称为对原有系统进行 校正，所增加的装置称为校正装置。 1. 串联校正
校正方案（续1）
2.并联校正
3.反馈校正
校正方案（续2）
首段延长线法（续）
20 lg K a 20 lg | G ( j a ) | 40 lg1 lg a
20 lg K a 40 lga
a Ka
ωa
正增益斜率计算法
曲线 B为Ⅰ型系统 C 为Ⅱ型系统 曲线 A为 0型系统 2 cc c 20 lg K20 20 lg 40 lg 20 lg lg K 40 lg 20 lg v 20 lg K p a1 40 lg 2 20 lg 1 1 22 2 2 2 2 c 2 a c K vK p K 2 c 2 c 2 1 1 2 1
伯德图研究系统频率响应的优点
• 动态补偿器的设计可以完全以伯德图为 依据。 • 伯德图可以由实验的方法获得。 • 串联系统的伯德图可简单相加而得，这 非常方便。 • 对数尺度允许伯德图表示相当广的频率 范围，而线性尺度很难做到。
5.2基本环节的频率特性分析
5.2.1比例环节 比例环节的增益为G(s)=K 频率特性函数为G(j)=K
伯德图的绘制（续）
• 绘制相位曲线图步骤：
–
–
画相位曲线在低频段的渐近线，为n×90°。
画近似相位曲线，在每个转折频率处改变 ±90°（一阶）或±180°（二阶）。 确定各单个相位曲线的渐进线，使得相位的 改变与上步骤一致，画每个相位曲线草图。 在图上把每个相位曲线相加。
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伯德图的绘制举例
• 例5.1已知系统开环传递函数，绘制伯德图。
伯德图
• 伯德图(又称为频率特性的对数坐标图) :伯 德图将幅频特性和相频特性分别绘制。 • 幅频特性坐标横轴取信号角频率的对数 lg标定，但标写的数值为值。纵轴以分 贝为单位等分标定，其值为20lgA()dB 。 • 相频特性横轴和幅频特性相对应，纵轴为 φ()的度数。 • 常采用折线方式来近似绘制 。
4.前馈校正
校正方案（续3）
5.前置校正
6.干扰补偿
校正方法
• 确定校正装置的结构和参数的过程称为选 择校正方法。目前主要有分析法和综合法 两类。
比例环节伯德图
5.2.2惯性环节
1 惯性环节增益为 G(s) Ts 1 1 对数幅频 L( ) 20 lg 20 lg 1 (T ) 2 1 (T ) 2 特性：
1 当 (T )2 1 时，即 T 1 L( ) 20 lg1 0 T 1 2 当 (T ) 1 时，即 T
5.1.2基本概念
频率特性法是通过系统开环的频率特性图像 来对系统性能指标进行分析以及对系统加以 综合、校正的方法。它避免求解闭环极点， 其图形化方式具有极强的直观性。 频率特性法使得可以通过实验所确定的系统 频率响应来推断未知系统的传递函数。而且 设计者可以控制系统的带宽，以及控制系统 对不期望噪声和扰动响应的某些指标。 频率特性法的不足在于频域和时域之间缺乏 直接联系，需要靠各种设计准则来调整频率 响应特性以达到满意的暂态响应。