二次函数综合题类型
二次函数综合压轴题型
二次函数综合压轴题型
二次函数综合压轴题型是一种难度较大的数学题目，通常涉及到二次函数的性质、图像、最值以及与其他数学知识的综合应用。
以下是一些常见的二次函数综合压轴题型的例子：
1. 二次函数与几何的综合：这类题目通常会涉及到二次函数图像与几何图形（如三角形、矩形、圆等）的结合，需要利用几何知识解决二次函数问题。
2. 二次函数与一次函数的综合：这类题目通常会涉及到两个函数图像的交点、性质以及与不等式相关的知识点，需要综合考虑一次函数和二次函数的性质。
3. 二次函数与方程根的综合：这类题目通常会涉及到求二次方程的根、判断根的情况以及与二次函数图像的关系，需要利用二次函数的性质和判别式的知识。
4. 二次函数的最值问题：这类题目通常会涉及到求二次函数的最值，需要利用配方法、顶点式等二次函数的性质和公式。
5. 二次函数的实际应用题：这类题目通常会涉及到生活中的问题，如抛物线的运动、物体下落等，需要将实际问题转化为数学问题，利用二次函数的知识求解。
解二次函数综合压轴题型需要熟练掌握二次函数的性质、图像和公式，同时还需要具备一定的数学思维和推理能力。
在解题过程中，要注意灵活运用所学知识，多角度思考问题，寻找最佳的解题方法。
题库-二次函数性质综合题
二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b 或b =(舍)， ∴二次函数解析式为y =27x +;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b 舍)或b (舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =2或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =27x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2=4 ,4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a-，24b a -）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a -=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a+)2+1−2(1)4a a +， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C与直线y3=x-3 除顶点外的另一交点为M，此时点M的横坐标即为m的最大值，由2(2)13y xy x⎧=--⎨=-⎩，解得x=2或x=3，∴m的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C与直线l都过点a（h，-1）．第8题解图②当0＜a≤1时，k＞0，在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数点，即当x=h+3时，y2＞y1恒成立．∴k（h+3）-kh-1＞a（h+3-h）2-1，整理得：k＞3a．又∵0＜a≤1，所以0＜3a≤3，所以k＞3．9.已知二次函数23 2y ax bx=+-的图象与y轴交于点B，（1）若二次函数的图象经过点A（1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线x=1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a，当x>n时，y随x的增大而增大，请求出n的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x=-1,且直线y=2x-2与直线l也关于直线x=-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l的上方，在1<x<2这一段位于直线y=2x-2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a bba⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525ab⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a -< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。
二次函数综合题分类解析
二次函数综合题分类解析
二次函数，又称二项式函数，是很常见的数学概念，在多个学科中，如数学、物理、经济、医学等，都有应用。
而二次函数的综合题，则是指在一道题中给出多个二次函数成分，最终求出正确答案的题型。
在数学学习中，二次函数的综合题可以分为四类：
一、常用二次函数综合题：这类题型以给出的函数求解最终结果为主，如：求函数f(x) = ax + bx + c在x=3时的值，求被定义域
为[-2，2]的函数g(x)在2处的值等。
二、函数曲线图形综合题：这类题型要求考生掌握函数图像的形状，题目中会有参数没有给出，考生要根据图形的形状进行推断，如：函数y=2x + 4x + a的图象是一条不等式，求a的值。
三、二次函数最值及单调性综合题：这类题型要求考生给出的函数的最值，和函数的单调性，有时会给出函数的一次导数和二次导数，如：函数f(x) = ax + bx + c，求f(x)的极大值、极小值，函数在(2,5)处是单调递增还是递减？
四、求解综合题：这类题型要求考生根据题目提供的信息，综合推断，从而求解函数，如：已知函数f(x)的最大值为5，求ax + bx + c = 0的解。
以上就是关于二次函数综合题分类解析的全部内容。
从上面的讲解可以看出，二次函数综合题不但基础知识要求比较高，同时还需要考生有扎实的数学基础和较强的推理能力，仅仅依靠死记硬背是无法做好此类题型的。
因此，在平时学习中，考生除了要做好此类综合题
的做题练习之外，还应多加分析，仔细分析每一道题，看懂题意，把握主旨，在理解的基础上，总结出经验，才能真正提高解题能力和逻辑思维能力。
二次函数中常见的几种综合题型
二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。
1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。
2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。
1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。
①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。
二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。
1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。
二次函数(十二大题型综合归纳 )(学生版)--新九年级数学
二次函数(十二大题型综合归纳)题型1：二次函数的概念1以下函数式二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=2x-12-4x2C.y=ax2+bx+c a≠0D.y=x-1x-22二次函数y=2x x−3的二次项系数与一次项系数的和为()A.2B.-2C.-1D.-4题型2：二次函数的值3已知二次函数y=x2+2x-5，当x=3时，y=．4已知二次函数y=ax2+2c，当x=2时，函数值等于8，则下列关于a,c的关系式中，正确的是()A.a+2c=8B.2a+c=4C.a-2c=8D.2a-c=45二次函数y=ax2+bx-3a≠0的图象经过点2,-2，则代数式2a+b的值为．题型3：二次函数的条件6已知y=mx m-2+2mx+1是y关于x的二次函数，则m的值为()A.0B.1C.4D.0或47关于x的函数y=a-bx2+1是二次函数的条件是()A.a≠bB.a=bC.b=0D.a=0题型4：列二次函数关系式8已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为．题型5：特殊二次函数的图像和性质9关于二次函数y =-34x 2-1的图像，下列说法错误的是()A.抛物线开口向下B.对称轴为直线x =0C.顶点坐标为0,-1D.当x <0时，y 随x 的增大而减小，当x >0时，y 随x 的增大而增大10抛物线y =34x 2与抛物线y =-34x 2+3的相同点是()A.顶点相同B.对称轴不相同C.开口方向一样D.顶点都在y 轴上11如果二次函数y =ax 2+m 的值恒大于0，那么必有()A.a >0，m 取任意实数B.a >0，m >0C.a <0，m >0D.a ，m 均可取任意实数12对于二次函数y =-3(x -2)2的图象，下列说法正确的是()A.开口向上B.对称轴是直线x =-2C.当x >-2时，y 随x 的增大而减小D.顶点坐标为2,013二次函数：①y =-13x 2+1；②y =12(x +1)2-2；③y =-12(x +1)2+2；④y =12x 2；⑤y =-12(x -1)2；⑥y =12(x -1)2．(1)以上二次函数的图象的对称轴为直线x =-1的是(只填序号)；(2)以上二次函数有最大值的是(只填序号)﹔(3)以上二次函数的图象中关于x 轴对称的是(只填序号)．14设函数y 1=x -a 12，y 2=x -a 22，y 3=x -a 3 2．直线x =b 的图象与函数y 1，y 2，y 3的图象分别交于点A b ,c 1，B b ,c 2 ，C b ,c 3，()A.若b <a 1<a 2<a 3，则c 2<c 3<c1B.若a 1<b <a 2<a 3，则c 1<c 2<c 3C.若a 1<a 2<b <a 3，则c 3<c 2<c 1 D.若a 1<a 2<a 3<b ，则c 3<c 2<c 115已知二次函数y =(x -m )2，当x ≤1时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是．16已知关于x 的一元二次方程x 2-(2m +1)x +m 2-1=0有实数根a ，b ，则代数式a 2-ab +b 2的最小值为．题型6：与特殊二次函数有关的几何知识17在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a x-42+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB⎳x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．18在平面直角坐标系内有线段PQ，已知P(3，1)、Q(9，1)，若抛物线y=(x-a)2与线段PQ有交点，则a的取值范围是．19二次函数y=-x+3的图象上任意二点连线不与x轴平行，则t的取值范围2+h t≤x≤t+2为．题型7：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质20下列抛物线中，与抛物线y=x2-2x+8具有相同对称轴的是()A.y=4x2+2x+4B.y=x2-4xC.y=2x2-x+4D.y=-2x2+4x21若抛物线y=x2+ax+1的顶点在y轴上，则a的值为()A.2B.1C.0D.-222抛物线y=x-1x+5图象的开口方向是(填“向上”或“向下”)．23当二次函数y=ax2+bx+c有最大值时，a可能是()A.1B.2C.-2D.324已知抛物线y=x2-2bx+b2-2b+1(b为常数)的顶点不在抛物线y=x2+c(c为常数)上，则c应满足()A.c≤2B.c<2C.c≥2D.c>225已知二次函数y=x2-2mx+m的图象经过A1,y1，B5,y2两个点，下列选项正确的是()A.若m<1，则y1>y2B.若1<m<3，则y1<y2C.若1<m<5，则y1>y2D.若m>5，则y1<y2题型8：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题26已知直线y=2x+t与抛物线y=ax2+bx+c a≠0，且点B、B m,n有两个不同的交点A3,5是抛物线的顶点，当-2≤a≤2时，m的取值范围是．27已知抛物线y=x2+bx+c经过点(1，-2)，(-2，13)．(1)求抛物线解析式及对称轴．(2)关于该函数在0≤x<m的取值范围内，有最小值-3，有最大值1，求m的取值范围．28已知二次函数y=mx2-4m2x-3(m为常数，m>0)．(1)若点(-2，9)在该二次函数的图象上．①求m的值：②当0≤x≤a时，该二次函数值y取得的最大值为18，求a的值；(2)若点P(x，y)是该函数图象上一点，当0≤x p≤4时，y p≤-3，求m的取值范围．题型9：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关信息29函数y=ax2+bx+c a≠0与y=kx的图象如图所示，现有以下结论：①c=3；②k=3；③3b+c+6=0；④当1<x<3时，x2+b-1x+c<0．其中正确的为．(填写序号即可)30如图，已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象与x轴交于点A-1,0，与y轴的交点在0,-2和0,-1之间(不包括这两点)，对称轴为直线x=1，下列结论：①4a+2b+c>0；②4ac-b2<8a；③13<a<23；④b>c；⑤直线y=k i(k i>0，i=1，2，3，⋯，2023)与抛物线所有交点的横坐标之和为4046；其中正确结论的个数有()A.2个B.3个C.4个D.5个题型10：二次函数的应用31如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为8m ，两侧距地面4m 高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为6m ，则这个门洞内部顶端离地面的距离为()A.7.5B.8C.649D.64732某炮兵部队实弹演习发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间x 与高度y 的关系为y =ax 2+bx ．若此炮弹在第5秒与第16秒时的高度相等，则在下列哪一个时间段炮弹的高度达到最高．()A.第8秒B.第10秒C.第12秒D.第15秒33在2023年中考体育考试前，小康对自己某次实心球的训练录像进行了分析，发现实心球飞行路线是一条抛物线，若不考虑空气阻力，实心球的飞行高度y (单位：米)与飞行的水平距离x (单位：米)之间具有函数关系y =-116x 2+58x +32，则小康这次实心球训练的成绩为()A.14米B.12米C.11米D.10米34某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据(单位：m )．有下列结论：①AB =30m ；②池底所在抛物线的解析式为y =145x 2-5；③池塘最深处到水面CD 的距离为3.2m ；④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离变为1.2m ．其中结论错误的是()A.①B.②C.③D.④35某建筑工程队借助一段废弃的墙体CD，CD长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸(图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上)，设AB =x米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为y1平方米，y2平方米．(1)分别写出y1,y2与x的函数关系式；(2)小红说：“y1的最大值为384．y2的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．题型11：二次函数的解答证明题36已知二次函数y=-x2+bx+c．(1)当b=4,c=3时，①求该函数图象的顶点坐标．②当-1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)当x≤0时，y的最大值为2；当x>0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式．37如图，已知二次函数y=-12x2+bx+c的图象与x轴交于A1，0，B，与y轴交于点C0，-52．CD∥x轴交抛物线于点D．(1)求b，c的值．(2)已知点E在抛物线上且位于x轴上方，过E作y轴的平行线分别交AB，CD于点F，G，且GE= 2GD，求点E的坐标．38在直角坐标系中，设函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)．(1)已知a=1．①若函数的图象经过0，3和-1，0两点，求函数的表达式；②若将函数图象向下平移两个单位后与x轴恰好有一个交点，求b+c的最小值．(2)若函数图象经过-2，m，-3，n和x0,c，且c<n<m，求x0的取值范围．题型12：二次函数压轴题39在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-4x+c与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且点A的坐标为-5,0．(1)求点C的坐标；(2)如图1，若点P是第二象限内抛物线上一动点，求三角形ACP面积的最大值；(3)如图2，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．。
题库-二次函数性质综合题
二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b =72或b =72-(舍)， ∴二次函数解析式为y =277x x ++;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b =7(舍)或b =-7(舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =72或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =277x x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2|=21212()4x x x x +-=4 , ∴212b +＝4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a -，24b a-）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a-=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a +)2+1−2(1)4a a+， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C 与直线y 3=x -3 除顶点外的另一交点为M ， 此时点M 的横坐标即为m 的最大值，由 2(2)13y x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得x =2或x =3， ∴m 的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点a （h ，-1）．第8题解图②当0＜a ≤1时，k ＞0，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在三个横坐标为整数点，即当x =h +3时，y 2＞y 1恒成立．∴k （h +3）-kh -1＞a （h +3-h ）2-1，整理得：k ＞3a ．又∵0＜a ≤1， 所以0＜3a ≤3，所以k ＞3．9.已知二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点B ， （1） 若二次函数的图象经过点A （1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线 x =1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a ，当x>n 时，y 随x 的增大而增大，请求出n 的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l 的上方，在1<x<2这一段位于直线y =2x -2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a b b a⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a-< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
常考二次函数综合题整理(全)
常考二次函数综合题整理 题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三 存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积． （3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四 存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七 存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。
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二次函数综合题常见题型
一、线段最值
1、如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．
7)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截2、如图，二次函数的图象经过点D(0，3
9
得的线段AB的长为6.
⑴求二次函数的解析式；
⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；
⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
3、如图，已知直线
1
1
2
y x
=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2
1
2
y x bx c
=++与直
线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。
⑴求该抛物线的解析式；
⑵动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。
⑶在抛物线的对称轴上找一点M，使||
AM MC
-的值最大，求出点M的坐标。
4、如图，已知ABC
=,点A、C在x轴上，点B坐标
∠=︒，AC BC
ACB
∆为直角三角形，90
为（3，m）（0
m>），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；
（2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连结PQ并延长交BC于点E，连结BQ Array并延长交AC于点F，试证明：()
FC AC EC
+为定值．
二、周长
5、已知：抛物线()20y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标．
（3）若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE PC ∥交x 轴于点E ．连接PD 、PE ．设CD 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式． 试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
A C x y
B O
6、如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．
三、面积
7、如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；
（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．
四、等腰三角形
8、如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．
9、已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（﹣1，0），如图所示：抛物线y=ax2+ax﹣2经过点B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
.
五、平行四边形
11、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P
是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
11、如图，抛物线y=x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y=x﹣5上．
（1）求抛物线顶点A的坐标；
（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD 的形状；
（3）在直线l上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
12、如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线y=x2+bx﹣2的图象过C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？
（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形P ACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
13、已知抛物线y=x2+1（如图所示）．
（1）填空：抛物线的顶点坐标是（0，1），对称轴是x=0（或y轴）；
（2）已知y轴上一点A（0，2），点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
八、相似
14、如图，抛物线与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
15、如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为
顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标；
（3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
如图，已知抛物线y=ax2﹣5ax+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于点A（1，0）和点B．（1）求抛物线的解析式；
（2）求直线BC的解析式；
（3）若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．
十、抛物线与圆
16、如图，抛物线n mx x y ++=221交轴于A 、B 两点，交轴于点C ， 点P 是它的顶点，点A 的横坐标是3，点B 的横坐标是1．
（1） 求、的值；
（2）求直线PC 的解析式；
（3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由． （参考数据，
，）
26．如图，抛物线y=﹣x2+mx+n的图象经过点A（2，3），对称轴为直线x=1，一次函数y=kx+b 的图象经过点A，交x轴于点P，交抛物线于另一点B，点A、B位于点P的同侧．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若PA：PB=3：1，求一次函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，当k＞0时，抛物线的对称轴上是否存在点C，使得⊙C同时与x轴和直线AP都相切，如果存在，请求出点C的坐标，如果不存在，请说明理由．。