在Matlab中数据拟合的研究应用
matlab麦夸特法数据拟合
MATLAB麦夸特法数据拟合一、背景介绍MATLAB是一种强大的数学分析工具，广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
在数据拟合方面，MATLAB提供了多种方法来处理实验数据，其中麦夸特法（Marquardt Method）是一种常用的非线性最小二乘拟合方法。
通过使用麦夸特法，我们可以将实验数据与理论模型进行拟合，找到最优的参数，从而更好地理解数据背后的规律。
二、麦夸特法原理1. 麦夸特法是一种迭代算法，用于最小化误差函数，其核心思想是通过不断调整参数的值，使得误差函数的值逐渐趋近于最小值。
2. 在每一次迭代中，麦夸特法将误差函数在当前参数值处进行线性化，然后求解线性化函数的最小二乘解，从而得到新的参数值。
3. 通过不断迭代，可以逐步逼近最优的参数值，使得拟合效果得到改善。
三、使用MATLAB进行麦夸特法数据拟合的步骤1. 准备实验数据：首先需要准备好实验数据，将实验数据存储在MATLAB中的数组或矩阵中。
2. 构建拟合模型：根据实验数据的特点和拟合的需求，选择合适的拟合模型，并用函数的形式表示出来。
3. 初值设定：对拟合模型的参数进行初值设定，这些初值将作为麦夸特法的起始点。
4. 调用麦夸特法函数：MATLAB提供了专门的函数来实现麦夸特法数据拟合，例如“lsqnonlin”函数。
需要将实验数据、拟合模型、初值等作为输入参数传入该函数。
5. 获取拟合参数：调用麦夸特法函数后，可以得到拟合的最优参数值，以及拟合的误差值。
6. 拟合效果评估：通过对比实验数据与拟合模型预测值的差异，评估拟合效果的好坏。
四、实例演示假设我们有以下实验数据，需要使用麦夸特法进行数据拟合：x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.3, 10.5];我们选择使用二次多项式模型进行拟合，即y = ax^2 + bx + c。
接下来，我们将演示如何使用MATLAB进行数据拟合。
步骤1：准备实验数据x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.3, 10.5];步骤2：构建拟合模型fun = (p,x) p(1)*x.^2 + p(2)*x + p(3);步骤3：初值设定p0 = [1, 1, 1];步骤4：调用麦夸特法函数p = lsqnonlin((p) fun(p,x) - y, p0);步骤5：获取拟合参数a = p(1);b = p(2);c = p(3);步骤6：拟合效果评估x_fit = linspace(1,5,100);y_fit = a*x_fit.^2 + b*x_fit + c;plot(x, y, 'o', x_fit, y_fit);通过以上MATLAB代码演示，我们成功使用麦夸特法对实验数据进行了二次多项式拟合，并获得了最优的拟合参数。
matlab 三元函数参数拟合
matlab 三元函数参数拟合Matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的函数库和强大的数值计算能力，可以用于各种数据处理、分析和建模的任务。
本文将介绍如何使用Matlab进行三元函数参数拟合。
在实际的科学研究和工程应用中，经常需要对一些复杂的非线性函数进行参数拟合。
三元函数就是其中一种常见的函数形式。
三元函数是指具有三个自变量的函数，形如f(x,y,z)。
在进行三元函数参数拟合时，我们需要找到一组合适的参数，使得拟合函数和实际观测数据之间的差异最小化。
我们需要准备好用于拟合的实际观测数据。
这些数据通常以矩阵的形式存储，每一行表示一个观测点，每一列表示一个自变量。
在Matlab中，可以使用矩阵来表示这些数据，并使用plot函数将其可视化。
接下来，我们需要选择适合的拟合函数形式。
在三元函数参数拟合中，常见的函数形式包括多项式、指数函数、对数函数等。
我们可以根据实际问题的特点选择合适的函数形式。
在Matlab中，可以使用polyfit函数进行多项式拟合，使用fittype和fit函数进行其他函数形式的拟合。
在选择了合适的函数形式后，我们需要使用拟合算法来求解参数。
Matlab提供了多种拟合算法，包括最小二乘法、最大似然估计等。
我们可以根据实际问题的需求选择合适的算法。
在Matlab中，可以使用lsqcurvefit函数进行最小二乘法拟合，使用mle函数进行最大似然估计拟合。
在进行参数拟合时，我们需要注意一些问题。
首先，拟合函数的选择应该与实际问题的特点相符。
如果拟合函数选择不当，可能导致拟合结果不准确。
其次，拟合参数的初始值也很重要，不同的初始值可能导致不同的拟合结果。
因此，我们可以尝试不同的初始值，选择最优的拟合结果。
在进行参数拟合后，我们需要对拟合结果进行评估。
常见的评估指标包括残差平方和、决定系数等。
我们可以使用Matlab提供的相关函数来计算这些指标，并根据评估结果来判断拟合效果的好坏。
matlab 三元函数参数拟合
matlab 三元函数参数拟合Matlab是一种常用的科学计算软件，它提供了丰富的函数库和工具箱，可以用于各种数学建模和数据分析任务。
其中，三元函数参数拟合是一种常见的数据拟合方法，通过使用三元函数来拟合实际观测数据，从而找到最合适的参数值，使得拟合曲线与观测数据尽可能接近。
三元函数参数拟合通常用于拟合非线性的数据集，其中包含三个自变量和一个因变量。
在实际应用中，我们通常会遇到这样的问题：给定一组具有三个自变量（x1、x2和x3）和一个因变量（y）的观测数据，我们希望找到一个三元函数（例如，三元多项式函数、指数函数或对数函数等），使得该函数可以最好地拟合这组数据。
为了进行三元函数参数拟合，我们首先需要选择一个合适的函数形式，然后确定函数中的参数。
在Matlab中，可以使用curve fitting工具箱中的函数来实现这个目标。
首先，我们需要将观测数据表示为一个矩阵，其中每一行包含一个观测点的自变量和因变量值。
然后，我们可以使用curve fitting工具箱中的fit函数来进行拟合操作。
fit函数的输入参数包括拟合模型（即所选的三元函数形式）、观测数据矩阵和一些可选的参数。
通过调用fit函数，Matlab会自动进行拟合计算，并返回拟合结果。
拟合结果包括拟合函数的参数值以及一些统计信息，例如拟合曲线与观测数据的残差平方和。
在使用fit函数进行三元函数参数拟合时，我们还可以指定一些额外的约束条件。
例如，我们可以限制参数的取值范围，或者使某些参数具有固定的值。
这些约束条件可以通过在fit函数中指定一些选项来实现。
三元函数参数拟合在科学研究和工程实践中有广泛的应用。
例如，在生物医学领域，研究人员可以使用三元函数参数拟合来拟合药物动力学数据，从而估计药物的消除速率和分布容积。
在金融领域，三元函数参数拟合可以用来拟合股票价格模型，从而预测未来的股价走势。
在化工工程中，三元函数参数拟合可以用来拟合反应动力学模型，从而优化反应条件。
MATLAB函数拟合指令MATLAB拟合函数使用说明
MATLAB函数拟合指令MATLAB拟合函数使用说明一维数据拟合：在MATLAB中，可以使用polyfit和fit函数进行一维数据的拟合。
1. polyfit函数：polyfit函数用于将数据集拟合到一个多项式模型。
语法如下：```[p, S] = polyfit(x, y, n)```其中，x和y表示数据集的x轴和y轴值，n是一个整数，表示拟合的多项式阶数。
p是一个包含多项式系数的向量，S是一个结构体，包含了拟合误差和其他信息。
2. fit函数：fit函数用于将数据集拟合到自定义的非线性函数模型。
语法如下：```f = fit(x, y, model)```其中，x和y表示数据集的x轴和y轴值，model表示自定义的非线性函数模型。
可以使用fittype函数创建一个函数模型对象，例如：```model = fittype('a * exp(b * x)');```然后，将这个函数模型传递给fit函数即可。
多维数据拟合：在MATLAB中，可以使用fit函数进行多维数据的拟合。
1. fit函数：fit函数也可以用于多维数据的拟合，只需将数据集转换为table格式。
语法如下：```f = fit(x, y, model)```其中，x和y表示多维数据集的自变量和因变量，model表示自定义的非线性函数模型。
自定义函数模型的建立：除了使用内置的多项式模型和其他简单模型，也可以自定义非线性函数模型。
需要定义一个函数句柄，例如：``````然后，将这个函数句柄传递给fittype函数，创建一个函数模型对象，例如：```model = fittype(func);```最后将这个函数模型对象传递给fit函数。
拟合结果的可视化：拟合结果可以通过绘制原始数据和拟合函数来进行可视化。
可以使用plot函数绘制原始数据点，使用plot函数、plotfit函数或者ezplot函数绘制拟合函数曲线。
总结：MATLAB提供了多种函数拟合方法，可以用于一维和多维数据拟合。
mathlab 直线 拟合
mathlab 直线拟合MATLAB 直线拟合一、概述直线拟合是数学中常见的优化问题，也是 MATLAB 的基本功能之一。
在数据分析、图像处理、机器学习等领域，我们经常需要找到一条直线，使得该直线尽可能地接近一组数据点。
MATLAB 提供了多种方法来进行直线拟合，包括线性回归、多项式拟合等。
二、MATLAB 直线拟合的基本方法⏹线性回归：线性回归是最简单的直线拟合方法，适用于数据点大致呈线性分布的情况。
在 MATLAB 中，可以使用 polyfit 函数进行线性回归拟合。
⏹多项式拟合：如果数据点分布不完全是线性关系，我们可以使用多项式拟合来找到最佳拟合直线。
在 MATLAB 中，可以使用 polyfit 函数进行多项式拟合。
⏹非线性拟合：对于非线性关系的拟合，可以使用 MATLAB 的 fit 函数进行拟合。
fit函数支持多种非线性模型，可以根据实际需求选择合适的模型进行拟合。
三、示例代码下面是一个使用 MATLAB 进行直线拟合的示例代码：% 生成一组数据点x = 1:10;y = 2*x + randn(1,10); % 模拟实际数据点% 使用线性回归进行拟合p = polyfit(x, y, 1); % 1 表示线性回归y_fit = polyval(p, x); % 计算拟合值% 绘制原始数据点和拟合直线plot(x, y, 'o', x, y_fit, '-');legend('Data Points', 'Fitted Line');在上面的代码中，我们首先生成了一组模拟数据点，然后使用 polyfit 函数进行线性回归拟合。
最后，我们使用 polyval 函数计算拟合值，并使用 plot 函数绘制原始数据点和拟合直线。
四、结论直线拟合是MATLAB 的基本功能之一，适用于多种场景。
通过选择合适的拟合方法，我们可以找到最佳拟合直线，进一步分析数据点和拟合结果的关系。
matlab三个自变量拟合函数
matlab三个自变量拟合函数标题：MATLAB三个自变量拟合函数：应用、实现和评估介绍：MATLAB是一种强大的数学软件，广泛应用于科学、工程和数据分析领域。
其中一个重要的功能是拟合函数，通过拟合实验数据来预测和分析未知的变量关系。
本文将深入探讨MATLAB中的三个自变量拟合函数，包括其应用、实现方法和评估准则。
通过对这些方面的探讨，希望读者能够更全面、深刻地理解MATLAB在拟合函数方面的强大能力。
第一部分：三个自变量拟合函数的应用领域介绍三个自变量拟合函数在各个领域的应用，如物理学、生物学、经济学等。
通过实际应用案例，展示三个自变量拟合函数的广泛适用性和重要性。
第二部分：实现三个自变量拟合函数的方法详细介绍MATLAB中三个自变量拟合函数的具体实现方法，包括数据准备、函数选择、参数估计和拟合优度评估等。
提供相关代码示例，以便读者能够根据自己的需求在MATLAB中实现三个自变量拟合函数。
第三部分：评估三个自变量拟合函数的准则讨论评估三个自变量拟合函数准确性和拟合优度的常用指标，如均方根误差、决定系数和预测误差和等。
解释每个指标的意义，并提供实际案例来说明如何使用这些准则进行模型选择和评估。
第四部分：对三个自变量拟合函数的观点和理解根据我的专业背景和经验，分享对三个自变量拟合函数的观点和理解。
探讨其优点、局限性以及未来的发展方向。
提供一些建议和注意事项，帮助读者在实际应用中更好地使用和评估三个自变量拟合函数。
总结：通过本文的深入探讨，读者对MATLAB中的三个自变量拟合函数应用、实现和评估有了更全面、深刻和灵活的理解。
这些函数在各个领域具有广泛的应用，读者可以根据自己的需求和数据特点，灵活运用这些函数进行拟合分析。
也要注意评估准则的选择和合理使用，以获得可靠的拟合结果。
希望读者能够通过本文的阅读，进一步提升在MATLAB拟合函数方面的应用能力和理解水平。
在本文中，我们深入探讨了MATLAB中的三个自变量拟合函数，包括polyfitn、fitrgp和lsqnonlin。
matlab曲线拟合函数并预测
Matlab曲线拟合函数并预测一、背景介绍（300-500字）在科学研究和工程领域，我们经常需要对实验数据进行分析和预测。
而Matlab作为一种强大的数学软件工具，提供了丰富的函数和工具，可以对实验数据进行曲线拟合和预测。
本文将介绍Matlab中的曲线拟合函数，并结合实际案例来展示如何使用这些函数进行数据分析和预测。
二、Matlab曲线拟合技术（800-1000字）1. 数据导入和处理在进行曲线拟合之前，我们首先需要将实验数据导入Matlab，并进行处理。
这包括数据的清洗、预处理以及数据结构的转换等。
Matlab提供了丰富的数据导入和处理函数，可以帮助我们快速地将实验数据准备好，以便进行后续的分析和拟合。
2. 曲线拟合函数在Matlab中，曲线拟合函数是实现曲线拟合的核心工具。
通过这些函数，我们可以根据实验数据的特征以及我们对拟合曲线的要求，选择合适的曲线模型，并进行拟合。
Matlab提供了多种曲线拟合函数，包括多项式拟合、指数拟合、对数拟合等，以满足不同需求的实验数据分析。
3. 曲线拟合参数估计除了选择合适的曲线模型外，曲线拟合还需要进行参数估计。
Matlab提供了丰富的参数估计函数，可以帮助我们对拟合曲线的参数进行准确的估计，从而得到最优的拟合结果。
4. 曲线拟合质量评价作为对曲线拟合结果的评价，我们需要进行拟合质量的评估。
Matlab提供了多种曲线拟合质量评价指标，包括均方差、决定系数等，可以帮助我们评估拟合结果的准确性和可靠性。
三、曲线拟合与预测实例分析（1200-1500字）以某种实验数据为例，我们通过Matlab进行曲线拟合和预测分析。
我们将实验数据导入Matlab，并进行预处理；选择合适的曲线模型进行拟合，并进行参数估计；我们评价拟合结果的质量，并得出结论；基于拟合曲线，我们进行预测分析，并与实际数据进行对比。
通过这个实例分析，我们可以更加深入地理解Matlab曲线拟合技术的应用和价值。
如何在Matlab中进行数据拟合
如何在Matlab中进行数据拟合数据拟合是数据分析和建模中的一个重要环节，它可以帮助我们找到一个数学函数或模型来描述一组观测数据的变化规律。
在Matlab中，有多种方法和工具可以用来进行数据拟合，本文将介绍其中几种常用的方法和技巧。
一、线性回归线性回归是最简单和常见的数据拟合方法之一。
在Matlab中，我们可以使用polyfit函数来实现线性回归。
该函数基于最小二乘法，可以拟合一个给定度数的多项式曲线到一组数据点上。
假设我们有一组观测数据的x和y坐标，我们可以使用polyfit函数拟合一个一次多项式来获得最佳拟合曲线的系数。
代码示例如下：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [1, 3, 5, 7, 9];p = polyfit(x, y, 1); % 一次多项式拟合```拟合得到的系数p是一个向量，其中p(1)表示一次项的系数，p(2)表示常数项的系数。
通过这些系数，我们可以得到一次多项式的表达式。
用polyval函数可以方便地计算在指定x值处的拟合曲线上的y值。
代码示例如下：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [1, 3, 5, 7, 9];p = polyfit(x, y, 1);x_new = 6;y_new = polyval(p, x_new); % 在x_new处的预测值```二、非线性回归除了线性回归，我们还经常遇到需要拟合非线性数据的情况。
Matlab提供了curve fitting toolbox（曲线拟合工具箱），其中包含了很多用于非线性数据拟合的函数和工具。
在使用曲线拟合工具箱之前，我们需要先将需要拟合的非线性函数进行参数化。
常见的方法包括使用指数函数、对数函数、正弦函数等对原始函数进行转换，之后再进行拟合。
例如，我们有一组非线性数据，并怀疑其与指数函数有关。
我们可以通过以下代码进行拟合：```x = [1, 2, 3, 4, 5];y = [2.1, 3.9, 6.2, 8.1, 12];fun = @(p, x) p(1)*exp(p(2)*x) + p(3); % 指数函数p0 = [1, 0.5, 0]; % 初始值p = lsqcurvefit(fun, p0, x, y); % 非线性拟合```其中，fun是一个匿名函数，表示我们拟合的非线性函数形式，p是待求解的参数向量。
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在Matlab中数据拟合的研究应用 而解决数据拟合问题最重要的方法变是最小二乘法，矛盾方程组和回归分析。而本论文主要研究的就是最小二乘法。
在科学实验，统计研究以及一切日常应用中，人们常常需要从一组测定的数据（例如N个点（(,)(0,1,,)iixyim）去求得自变量x和因变量y的一个近似解表达式()yx，这就是由给定的N个点(,)(0,1,,)iixyim求数据拟合的问题。 插值法虽然是函数逼近的一种重要方法，但他还存在以下的缺陷：一是由于测量数据的往往不可避免地带有测试误差，而插值多项式又通过所有的点(,)iixy，这样就使插值多项式保留了这些误差，从而影响了逼近精度。此时显然插值效果是不理想的。二是如果由实验提供的数据较多，则必然得到次数较高的插值多项式，这样近似程度往往既不稳定又明显缺乏实用价值。因此，怎样从给定的一组实验数据出发，寻求已知函数的一个逼近函数()yx，使得逼近函数从总体上来说与已知函数的偏差按某种方法度量能达到最小而又
不一定过全部的点(,)iixy，这就需要介绍本论文主要研究的最小二乘法曲线拟合法。
一．数据拟合的原理及依据 1．最小二乘法的基本原理 从整体上考虑近似函数()px同所给数据点(,)iixy (,)(0,1,,)iixyim误差
()(0,1,,)iiirpxyim的大小，常用的方法有以下三种：一是误差
()(0,1,,iiirpxyim绝对值的最大值0maxiimr，即误差向量01(,,,)tmrrrr的
-的范数；二是误差绝对值的和0miir，即误差向量r的1-范数；前两种方法简单，自然，
但不便于微分运算，后一种方法相当于考虑2-的范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误 差平方和20miir来度量误差01(,,,)mrrrr的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定的数据(,)(0,1,,)iixyim，在取定的函数类中，求()px，使误差()(0,1,,)iiirpxyim的平方和最小，即 22
00()minmmiiiiirpxy
从几何意义上讲，就是寻求与给定点(,)(0,1,,)iixyim的距离平方和为最小的曲线()ypx。函数()px称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数()px的方法成为曲线拟合
的最小二乘法。 在曲线拟合中，函数类可有不同的选取方法。 2．多项式拟合 假设给定数据点(,)(0,1,,)iixyim，为所有次数不超过()nnm的多项式构成
的函数类，现求一0()nknkkpxax，使得 22
000()minmmnkniikiiiikIpxyaxy
（1）
称为多项式拟合，满足上式的()npx称为最小二乘拟合多项式。特别地，当1n时，称为线性拟合或直线拟合。 显然
2
00mnkkiiikIaxy
为01,,,naaa的多元函数，因此上述问题即为求01(,,,)nIIaaa的极值问题，由多元函数求极值的必要条件，得
0020mnkjkiiiikjIaxyxa
， 0,1,,jn （2）
即 000nmmjkjikiikiixaxy， 0,1,,jn （3） （3）式是关于01,,,naaa的线性方程组，用矩阵表示为 000021100001200001mmmniiiiiimmmmniiiiiiiiinmmmmnnnniiiiiiiiimxxyaxxxaxyaxxxxy
（4）
（3）式或（4）式称为正规方程组或法方程组。 可以证明，方程组（4）的系数矩阵是一个对称正定矩阵，故存在唯一解。从（4）式
中解出,0,1,,kakn，从而可得多项式
0()nknkkpxax （5）
可以证明，（5）式中的()npx满足（1）式，即()npx为所求的拟合多项试。我们把 20()mniiipxy称为最小二乘拟合多项式()npx的平方误差，记作
22
20()mniiirpxy
由（2）式可得 222000mnmk
ikiiikiryaxy
（6）
多项式拟合的一般方法可归纳为以下几步： （1）由已知数据画出函数粗略的图形——散点图，确定拟合多项式的次数n：
（2）列表计算00,1,,2mjiixjn和00,1,,2mjiiixyjn：
（3）写出正规方程组，求出01,,,naaa： （4）写出拟合多项式0()nknkkpxax 在实际应用中，nm或n《m：当nm时所得的拟合多项式就是拉格朗日或牛顿插值多项式。 3．曲线拟合的最小二乘法
在科学实验数据处理中，往往要根据一组给定的实验数据，求出
自变量x与因变量y的函数关系，这是为待定参数，由于观测数据总有误差，且待定参数ai的数量比给定数据点的数量少(即n＜m)，因此它不同于插值问题.这类问题不要求通过点，而只要求在给定
点上的误差的平方和最小.当
时，即 (5.8.1) 这里是线性无关的函数族，假定在上给出一组数据，以及对应的一组权，这里为权系数，要求使最小，其中 (5.8.2) 这就是最小二乘逼近，得到的拟合曲线为y=s(x)，这种方法称为曲线拟合的最小二乘法. (5.8.2)中实际上是关于的多元函数，求I的最小值就是求多元函数I的极值，由极值必要条件，可得 (5.8.3) 根据内积定义(见第三章)引入相应带权内积记号
(5.8.4)
则(5.8.3)可改写为 这是关于参数的线性方程组，用矩阵表示为 (5.8.5)
(5.8.5)称为法方程.当线性无关，且在点集上至多只有n个不同零点，则称在X上满足Haar条件，此时(5.8.5)的解存在唯一(证明见［3］).记(5.8.5)的解为
从而得到最小二乘拟合曲线 (5.8.6) 可以证明对，有
故(5.8.6)得到的即为所求的最小二乘解.它的平方误差为 (5.8.7) 均方误差为
在最小二乘逼近中，若取，则，表示为
(5.8.8) 此时关于系数的法方程(5.8.5)是病态方程，通常当n≥3时都不直接取作为基，其具体方法下节再讨论，下面只给出n=1的例子。 4．用正交多项式作最小二乘拟合
在最小二乘拟合中若，模型取为(5.8.8)时，由于法方程是病态方程，因此使用时应取为关于给定点的正交多项式，可避免求解病态方程组.类似定义9.3给出以下定义.
设给定拟合数据及权可构造多项式，其中，且
(5.9.16) 则称是关于点集.带权的正交多项式族，为k次正交多项式. 根据定义，若令. 由递推关系得 (5.9.17) 利用正交性
求得及为 (5.9.18) 令，由法方程(5.8.5)可求得解 (5.9.19) 从而得到最小二乘拟合曲线 (5.9.20) 它仍然是多项式函数，即.用计算机计算时求系数及与求系数可同时进行.当k=0,1,…,n时若有时，计算停止，此时即为所求. 将向量空间中两向量正交（即垂直）的概念推广到连续函数空间，任两函数，内积就称它们为正交，函数序列两两正交，称为正交函数族，若为n次多项式，则当它满足（5.9.2）就称为正交多项式。
正交多项式有很多重要性质，其中以正交性，递推关系和在区间[a,b]上有n个单实根的三个性质最重要。最常用也是最重要的正交多项式是Legendre多项式和Chebyshev多项式，它们是函数逼近的重要工具，在数值积分中也有重要应用，Legendre多项式是区间[-1,1]
上权函数 的正交多项式，其正交性由（5.9.7）式给出，递推关系式（5.9.8）都
有具体应用是必须知道的。而Chebyshev 多项式是区间[-1,1]上，权函数的正交多项式。它表示为 由此表达式直接利用三角公式则可具体得到正交性（5.9.10）和递推关系（5.9.11）及其他重要性质。
用正交多项式作最小二乘拟合，应根据给定数据及权定义关于离散点集带权的正交多项式它本质上与在区间[-1,1]上定义的正交多项式相似，只是把积分变成求和，再以所得到关于点集正交的多项式作基求最小二乘的拟合曲线，这就避免了用一般多项式拟合出现解法方程的病态问题，当然这种做法通常都在计算机上计算，不必记公式，只要能利用已有软件算出拟合曲线即可。
5．最小二乘拟合多项式的存在唯一性
定理1 设节点01,,,nxxx互异，则方程组
000021100001200001mmmniiiiiimmmmniiiiiiiiinmmmmnnnniiiiiiiiimxxyaxxxaxyaxxxxy
(4)
的解存在唯一。