等比数列求和(详细教案)
等比数列求和教案
课题：等比数列的前n项和（一课时）教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容《等比数列的前n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数列》第四节的内容。
是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标●知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．●过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。
●情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神,感受数学的美。
等比数列求和(详细教案)
= .
⑶分期付款应用题： 为分期付款方式贷款为a元；m为m个月将款全部付清； 为年利率.
例3某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2009年起，每年年初到银行存入a元，年利率p保持不变，并按复利计算，到2019年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项 的等比数列
则：一天内获知此信息的人数为：
变式3：等比数列 中， （答案： ）
2.等比数列前n项和 的性质
（1）在等比数列 中， ，...，也成等比数列，公差为
注意：是 ，...，成等比数列，而不是 ，...；
（2）若项数为2n，则
（3）
（4） 为等比数列
例2一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数（答案：2,8）
变式1一个项数是偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求
变式2设 是由正数组成的等比数列， 是其前n项和，证明 ；（2）求证：等比数列中有
变式3已知等比数列 中， 求
3.等比数列常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为 ，年增长率为 ，则每年的产量成等比数列，公比为 . 其中第 年产量为 ，且过 年后总产量为：
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
4.设{an}是等比数列，且a1= ，S3= ，则它的通项公式为an= ( )
(A) (B) (C) (D) 或
5.等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为().
等比数列求和教案
精品文档n项和（一课时）等比数列的前课题：教材：浙江省职业学校文化课教材《数学》下册（人民教育出版社）一、教材分析●教学内容n项和》是中职数学人教版（基础模块）（下）第六章《数《等比数列的前列》第四节的内容。
是数列这一章中的一个重要内容, 就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中n项和公式的探究与推必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体．二、学情分析●知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.●认知水平与能力：高二学生具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不列前n 项和公式的推导有所不同，这对学生利因素是：本节公式的推导与等差数列前q 1这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于其是在后面使用的过程中容易出错．三、目标分析依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念，并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标：1.教学目标精品文档．精品文档知识与技能目标●n项和公式的过程，掌握公式的特点，并理解用错位相减法推导等比数列前在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．过程与方法目标●通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、培养学生观察、分析的能力和协作、竞争意识。
情感、态度与价值目标●通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于,磨练思维品质，培养学生主动探索的求知精神和团结协作精神探索、敢于创新，感受数学的美。
等比数列求和公式教学设计
等比数列求和公式教学设计教学设计：等比数列求和公式一、教学目标：1.知识与能力目标：掌握等比数列的概念和性质；理解等比数列求和公式的推导过程；能够运用等比数列求和公式解决实际问题；2.过程与方法目标：合作探究，培养学生的自主学习能力；让学生在实践中运用公式，提高思维能力；3.情感态度与价值观目标：培养学生合作意识和团队精神；加深学生对数学知识的兴趣；培养学生的分析问题和解决问题能力；二、教学重点与难点：1.教学重点：等比数列的概念和性质；2.教学难点：如何引导学生理解和掌握等比数列求和公式的推导过程；如何在实际问题中运用等比数列求和公式；三、教学准备：1.教学资料：教材、课件、黑板、书写工具等；2.实验器材：计算器；3.教学环节和内容安排：导入新课、概念讲解、公式推导、例题演示、合作探究、课堂练习、总结与布置作业。
四、教学过程：1.导入新课（10分钟）通过提问学生已学的等差数列的求和公式，引导学生回顾和思考，并激发学习等差数列求和公式的兴趣。
老师问：“大家回忆一下，我们之前学过的等差数列能用什么方法求和呢？”学生回答：“可以用等差数列求和公式Sn=n(a1+an)/2、”老师说：“非常好，那么我们今天来学习一下等比数列的求和公式。
”2.概念讲解（15分钟）a.等比数列的概念：老师出示等比数列的定义：“等比数列是指一个数列中后一项是前一项乘以同一个固定的数。
”b.等比数列的性质：老师通过举例子来解释等比数列的性质。
-等比数列首项为a，公比为r，第n项为an，则有如下性质：an=a*r^(n-1)（其中，^表示乘方运算）a(n-1)=a*r^n（其中，n-1表示n-1项）(an/an-1)=r（相邻项的比值恒为r）- 当公比，r，<1时，等比数列的前n项和的极限为S=infinity当公比，r，=1时，则无极限值。
当公比，r，>1时，等比数列的前n项和的极限为S=a/(1-r)3.公式推导（15分钟）a.老师引导学生思考如何推导等比数列的求和公式。
等比数列求和教案
等比数列求和教案
一、教学目标
1.理解等比数列求和公式的推导过程和含义；
2.能够运用等比数列求和公式解决实际问题；
3.培养学生的数学思维和逻辑推理能力。
二、教学内容
1.等比数列求和公式的推导；
2.等比数列求和公式的应用。
三、教学重点与难点
重点：等比数列求和公式的推导和应用。
难点：理解等比数列求和公式的本质，解决较复杂的等比数列求和问题。
四、教具和多媒体资源
1.黑板；
2.投影仪；
3.教学软件：PPT。
五、教学方法
1.激活学生的前知：回顾等差数列求和公式及其推导方法；
2.教学策略：通过讲解、示范、小组讨论、案例分析等方式，
使学生掌握等比数列求和公式及其应用；
3.学生活动：小组讨论、案例分析、解题练习。
六、教学过程
1.导入：通过回顾等差数列求和公式及其推导方法，引出等
比数列求和公式的推导方法。
2.讲授新课：通过讲解、示范、小组讨论等方式，引导学生
推导等比数列求和公式，并理解其含义和应用。
3.巩固练习：通过案例分析、解题练习等方式，让学生运用
等比数列求和公式解决实际问题。
4.归纳小结：总结等比数列求和公式的推导方法和应用，强
调解题思路和技巧。
七、评价与反馈
1.设计评价策略：小组讨论、案例分析、解题练习等；
2.为学生提供反馈，针对不同学生的情况给予建议和指导，
以便学生更好地理解和掌握等比数列求和公式及其应用。
八、作业布置
1.完成教学软件中的相关练习题；
2.自己收集一些等比数列求和的实际问题，尝试运用所学知
识解决。
等比数列求和教案
等比数列求和教案教学设计要点：1.情境设计：用古印度的棋盘数米的典故来设置问题情境，激发学生学习动机，将实际问题转化为等比数列求和，引入新课。
2.教学内容处理：（1）补充等比数列的定义和相关概念的基本练习（写在小黑板上）（2）补充等比数列求和的相关练习（3）补充错位相减法的相关联系教学过程：（一）创设问题情境，引入新课（预计5分钟）1.问题情境在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。
西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得太容易了，就同意了他的要求。
国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么呢？大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？2.学生根据已有的数学经验独立探究，自行列出算式，初步尝试解决问题，教师巡视，进行个别指导。
3.合作讨论、交流探究的结果（请一位同学将大家认可的结果写在黑板上）4.引导学生将结论推广到一般的情形。
揭示课题：等比数列求和（板书课题）（二）层层递进、探索新知（预计15分钟）1.等比数列求和的意义：快速估算数列和的数值，2.推导公式：方法一：基本推导（错位相减）：板书：设1131211121......-+++++=+++=n n n q a q a q a q a a a a a S师：同学们，我们已经知道等比数列的后一项是前一项的固定倍数，大家注意观察n S 的结构，由等比数列的定义出发，看：，，，， 312121111q a q q a q a q q a q a q a =⋅=⋅=⋅n n q a q q a 111=⋅-，每一项乘以一个q 都会变成后面一项，这正是等比数列特有的性质，大家这时有什么想法啊？生：可以把整个n S 乘以q ，得：n n n q a q a q a q a q a S q 1131211...+++++=⋅。
《等比数列求和》教案.doc
等比数列的前n项和（第一课时）一、教材分析1.从在教材中的地位与作用来看《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为进一步学习“数列的极限”等内容作准备。
就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。
就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力的良好载体。
2.从学生认知角度来看从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
3. 学情分析教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。
4. 重点、难点教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。
二、目标分析1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。
等比数列求和教案
2.5等比数列的前n 项和(一)教学目标1、 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力（二）教学重、难点重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式（三）学法与教学用具学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题教学用具：投影仪（四）教学设想教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。
一般地，对于等比数列 a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n由等比数列的通项公式,上式可以写 Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①① 式两边同乘以公比q 得 qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ②①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成 Sn=qq a a n --11（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了[相关问题]①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=na 1② 公式可变形为Sn=q q a n --1)1(1=1)1(1--q q a n （思考q>1和q<1时分别使用哪个方便） ③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个[例题分析]例1 求下列等比数列前8项的和: (1)21,41,81,．．．；(2) a 1=27, a 9=2431,q<0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q<0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程[随堂练习]第66页第1.2.3题[课堂小结](1)等比数列的前n项和公式中要求q≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2)如果已知a1, a n,q,n,Sn五个量中的任意三个就可以求出其余两个《等比数列的前n项和》教学案例设计一、设计思想1、设计理念本课的教学设计基于“人人都能获得必要得数学”即平等性的考虑，坚持面向全体学生，努力设计“适合学生发展得数学教育”，体现“人人学数学”，“不同的人学不同的数学”的理念。
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课 题
等比数列求和
学习内容与过程
知识点
1.等比数列前n 项和公式
（1）当{ EMBED Equation.3 |1 q 时， ① 或 ②
（2）当q=1时，
注意：（1）知三求二：, q, n ，，五个中知道任意两个便可建立方程组求出另外两个；
（2）当已知, q, n 时用公式①；当已知, q, 时，用公式②.
（3）在判断是否为等比数列时需要注意讨论q 是否为零，例如a ，a ，a ，...；在利用等比数列求和公式时，需要讨论的是公比q 是否为1，例如
（4）等比数列求和公式的函数理解：当时，，它可以看作指数函数与常数函数的复合函数
公式的推导方法一：
一般地，设等比数列它的前n 项和是
由
得
∴当时， ① 或 ②
当q=1时，
公式的推导方法二：
有等比数列的定义，
根据等比的性质，有
即 （结论同上）
围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式．
公式的推导方法三：
＝
＝＝
（结论同上）
例1 已知等比数列的前n 项和为，若，求数列的公比 （答案：）
变式1：求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
解：由
，
从第5项到第10项的和为-=1008
变式2：一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？
解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项的等比数列
则：一天内获知此信息的人数为：
变式3：等比数列中， （答案：）
2. 等比数列前n 项和的性质
（1）在等比数列中，，...，也成等比数列，公差为
注意：是，...，成等比数列，而不是，...；
（2）若项数为2n ，则
（3）
（4）为等比数列
例2 一个等比数列的首项是1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数 （答案：2,8）
变式1 一个项数是偶数的等比数列，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求
变式2 设是由正数组成的等比数列，是其前n 项和，证明；（2）求证：等比数列中有
变式3 已知等比数列中，求
3.等比数列常见应用题：
⑴生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a ，年增长率为r ，则每年的产量成等比数列，公比为r +1. 其中第n 年产量为1)1(-+n r a ，且过n 年后总产量为：
.)1(1]
)1([)1(...)1()1(12r r a a r a r a r a a n
n +-+-=+++++++-
⑵银行部门中按复利计算问题. 例如：一年中每月初到银行存a 元，利息为r ，每月利息按复利计算，则每月的a 元过n 个月后便成为n r a )1(+元. 因此，第二年年初可存款：
)1(...)1()1()1(101112r a r a r a r a ++++++++=)1(1]
)1(1)[1(12r r r a +-+-+.
⑶分期付款应用题：a 为分期付款方式贷款为a 元；m 为m 个月将款全部付清；r 为年利率. ()()()()()()()()1111111......11121-++=⇒-+=+⇒++++++=+--m m
m m m m m r r ar x r r x r a x r x r x r x r a
例3 某家庭打算以一年定期的方式存款，计划从2009年起，每年年初到银行存入a 元，年利率p 保持不变，并按复利计算，到2019年年初将所有存款和利息全部取出，共取出多少元？
变式1某牛奶厂2002年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到万元）？
变式2 （购房问题）某家庭打算在2010年的年底花40万元购一套商品房，为此，计划从2004年初开始，每年年初存入一笔购房专用存款，使这笔款到2010年底连本带息共有40万元。
如果每年的存款数额相同，依年利息2%并按复利计算，问每年应该存入多少钱？
课堂检测
1. 在等比数列中，首项，末项，公比，求项数( )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
2.随着市场的变化与生产成本的降低，每隔年计算机的价格降低，年价格为元的计算机到年时的价格应为（）
A．元B．元C．元D．元
3.若是等比数列，其公比是，且，，成等差数列，则等于（）
A．或B．或C．或D．或
4.设{a n}是等比数列，且a1=，S3=，则它的通项公式为a n= ( )
(A) (B) (C) (D)或
5. 等比数列{a n}中，a2＝9，a5＝243，则{a n}的前4项和为().
A．81 B．120 C．168 D．192
6.设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（）
A．B．C．D．
7．在等比数列= （）
A．B．C．D．
8．在中,是以为第三项, 为第七项的等差数列的公差,是以为第三项, 为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是（）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．以上都不对
9．等比数列的各项均为正数，且，则（）
A．B．C．D．
10．和的等比中项为.
11．在等比数列中,,则
12.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，则
13.在等比数列{a n}中，已知S n＝3n＋b，则b的值为_______.
14.在等比数列中，，，则=
15.在等比数列中，如果，，那么为
16.若、、成等比数列，则函数的图象与轴交点的个数为．
17.在等比数列中,和是方程的两个根,则
18.在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．
19. 在等比数列，已知，，求.
20．设是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，
（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和．
21： {a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a n＋1＝S n(n＝1，2，3…)．求证：数列{}是等比数列．
22．数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）求数列的前项和．
23.在等比数列中，求的范围。
解：
当时，；
当时，为偶数；
∴。