专题四：无理数整数部分与小数部分
无理数课件
区别
定义不同
有理数是可以表示为两个整数之 比的数，而无理数则无法表示为
有限小数或无限循环小数。
性质不同
有理数具有封闭性，即任何两个 有理数的四则运算结果仍为有理 数；而无理数则不具有封闭性， 例如√2与-√2相加结果仍是无理
数。
表示方式不同
有理数可以通过有限小数或无限 循环小数表示，而无理数则只能
在几何学中，圆的周长与其直径的比 值是$pi$，这是一个无理数。这意味 着我们无法用两个整数的比来表示圆 的周长与其直径的关系。
02
无理数的性质
无理数的加法性质
总结词
无理数的加法性质是指两个无理数相加，其结果仍是无理数。
详细描述
无理数的加法性质是基于实数的完备性定理，即任意两个无理数相加，其结果 仍是无理数，不会化简为有理数。例如，$sqrt{2} + sqrt{3}$ 仍是无理数。
通过无限不循环小数表示。
联系
01
02
03
实数包含关系
有理数和无理数共同构成 了实数的集合，即实数包 括有理数和无理数。
运算结果
在四则运算中，有理数和 无理数的运算结果可能是 有理数也可能是无理数， 取决于具体的运算过程。
数学应用
在几何学、三角学等领域 ，有理数和无理数都发挥 着重要的作用，共同构成 了数学的基础。
详细描述
无理数的加法运算与有理数的加法运算类似，需要将无理数表示为相同的分数形式或小数形式，然后 进行加法运算。例如，计算$sqrt{2} + sqrt{3}$时，可以将$sqrt{2}$表示为分数或小数，然后与 $sqrt{3}$相加。
无理数的乘法运算
总结词
无理数的乘法运算需要遵循实数的乘法 法则，包括正数乘正数、负数乘负数等 。
浅谈无理数的整数部分、小数部分
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浅谈无理数的整数部分、小数部分
作者：黄冬林
来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2008年第09期
作者简介田载今，祖籍山西省崞县.20世纪60年代后期至90年代初期，先后在中学、中等师范学校和高等师范院校工作，从事过中学数学、高等数学、数学教育理论等多门课程的教学工作.1993年从首都师范大学数学系调到人民教育出版社中学数学室工作，1999年任编审、课程教材研究所研究员.先后参加了多种数学教材的研究、编写和修订，这些教材包括全日制
普通高级中学《数学》教科书、九年义务教育初级中学《数学》教科书、中等师范学校《数学》教科书.担任义务教育数学课程标准实验教材副主编，曾任《数学通报》编委、北京市数
学会理事、北京市数学教育研究会理事，发表数学教育研究方面的文章30余篇.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。
无理数的性质与运算方法
无理数的性质与运算方法无理数是指不能表示为两个整数的比值形式的实数，它们的小数部分是无限不循环的。
与有理数相比，无理数在数学领域有着独特的性质和运算方法。
本文将就无理数的性质和运算方法进行探讨。
一、无理数的性质1. 无理数的无限性：无理数的小数部分是无限不循环的，不断的重复数字形成无穷长的小数。
以π为例，其小数部分为3.14159265...，这种无限性使得无理数在计算和测量中具有更高的精度。
2. 无理数的无重复性：无理数的小数部分没有重复的数字，这意味着无理数的每一位数字都是唯一的。
以黄金分割数φ为例，其小数部分为1.6180339887...，其中没有出现重复的数字，这种无重复性使得无理数在几何和艺术领域有着重要的应用。
3. 无理数的无穷性：无理数的小数部分没有结束的位置，它可以一直延伸下去。
以自然对数的底数e为例，其小数部分为2.718281828...，无论我们计算多少位的小数，都无法得到一个确定的结束位置。
二、无理数的运算方法无理数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将分别介绍这些运算的具体方法。
1. 无理数的加法：要进行无理数的加法，首先要将两个无理数表示为相同精度的十进制小数，然后按位相加即可。
例如，对于√2和√3的加法运算：√2 = 1.414213562...√3 = 1.732050808...将它们表示为相同精度的小数后，按位相加即可得到无理数的和。
2. 无理数的减法：无理数的减法与加法运算类似，首先将两个无理数表示为相同精度的小数，然后按位相减即可。
例如，对于√5和√2的减法运算：√5 = 2.236067978...√2 = 1.414213562...将它们表示为相同精度的小数后，按位相减即可得到无理数的差。
3. 无理数的乘法：无理数的乘法是将两个无理数的小数部分相乘，并对结果进行四舍五入处理。
例如，对于√2和√3的乘法运算：√2 = 1.414213562...√3 = 1.732050808...将它们的小数部分相乘后，得到一个新的无理数。
新北师大版数学八年级上册《认识无理数》精品教学课件
思考：若 =2，则为多少？
可能是整数吗？可能是分数吗？
事实上，我们发现既不 是整数，也不是分数，
所以不是有理数
无理数的概念
事实上，=1.41421356…是一个无限不循环小数
在数学中，我们将无限不循环小数称为无理数
你能举一个无理数的例子吗？
π
判断无理数需满足
①无限小数
②不循环小数
（）
（）
（）
（）
巩固练习
三、填空题
如图是一个边长为1的正方形网格图，该图中长度
为无理数的线段有
.
无理数的估算
四、应用题
已知 =8，m,n是两个连续的整数，且m<<n，
求m+n的值
课堂小结
有理数：整数和分数统称为有理数
例：1.34，-1， ，0.1010101...
无理数：无限不循环小数称为无理数
无理数的概念
例下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
4
ሶ
3.14，− ，0.5ሶ 7，0.1010001000001…(相邻
3
两个1之间0的个数逐次加2)
无理数的概念
随堂练习
下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
1
ሶ
0.4583，3. 7，-π，− ，18
7
无理数的估算
思考：
1. =2，介于哪两个连续的整数之间？
认识无理数
北 师 大 版 八 年 级 上 册
教学目标
1.理解无理数的概念，并能准确判断给定数为有
理数还是无理数
2.能对无理数进行简单估算
复习导入
之前我们学过哪些数？
整数、小数、分数、正数、负数……
无理数实例
无理数实例
摘要：
一、无理数的定义
二、无理数的分类
1.超越数
2.非超越数
三、无理数的性质
1.无法表示为整数比例
2.无限不循环小数
四、无理数的实例
1.圆周率π
2.自然对数的底数e
3.黄金比例φ
正文：
无理数是指不能表示为整数比例的实数，它的小数部分无限不循环。
在数学中，无理数有着广泛的应用，它们在几何、微积分等领域中发挥着重要作用。
根据无理数的性质，它们可以分为超越数和非超越数。
超越数是指不能表示为任何整系数多项式的根的无理数，如圆周率π和自然对数的底数e。
而非超越数则可以表示为某些整系数多项式的根，如黄金比例φ。
无理数的性质使得它们在数学中具有一些独特的特征。
例如，它们的小数
部分无限不循环，这意味着它们不能用有限的整数来表示。
此外，无理数的运算和有理数有所不同，需要采用特定的方法进行处理。
在无理数中，有许多著名的实例，如圆周率π、自然对数的底数e 和黄金比例φ。
圆周率π是一个超越数，它的小数部分无限不循环且无法表示为整数比例。
自然对数的底数e 也是一个超越数，它的小数部分同样无限不循环。
黄金比例φ是一个非超越数，它可以表示为某些整系数多项式的根。
总之，无理数是一种特殊的实数，它们在数学中具有独特的性质和应用。
中考重点无理数的性质和计算
中考重点无理数的性质和计算无理数是指不能用两个整数的比来表示的实数。
它们具有一些特殊的性质和计算规则，对于中考而言，了解并掌握无理数的性质和计算方法是非常重要的。
本文将详细介绍无理数的性质和计算，帮助读者对该知识点有更深入的理解。
一、无理数的性质无理数具有以下几个特点：1. 无限不循环性：无理数的小数部分是无限不循环的，这与有理数的小数部分有所不同。
以圆周率π为例，它的小数部分为3.1415926...，无线不循环。
2. 无理数的整数部分和小数部分无关：无理数的整数部分和小数部分之间是相互独立的，它们并没有直接的关系。
例如开根号2的整数部分是1，小数部分为0.4142135...。
3. 无理数不能表示为两个整数的比：无理数不能化简为两个整数的比，因为它们的小数部分是无限不循环的。
这是与有理数的明显区别。
二、无理数的计算无理数的计算主要包括近似值计算和运算规则两方面。
1. 无理数的近似值计算：由于无理数的小数部分是无限不循环的，我们无法得到其准确值，但可以通过近似值来表示。
例如，我们通常将圆周率π记作3.14或3.1416，在实际计算中使用近似值是很常见的。
2. 无理数的运算规则：无理数的加法、减法、乘法和除法遵循一定的规则。
例如，两个无理数相加时，先将它们化为近似值，然后按照有理数的加法法则进行计算；两个无理数相乘时，也先将它们化为近似值，然后按照有理数的乘法法则进行计算。
三、无理数的应用无理数在数学和实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何学中的无理数：无理数在几何学中有重要的应用，比如在直角三角形中，勾股定理中就会涉及到√2、√3等无理数。
2. 物理学中的无理数：无理数在物理学中的应用很广泛，比如在力学中，运动的加速度、速度等往往会涉及到无理数的计算。
3. 金融学中的无理数：无理数在金融学中的应用也非常重要，比如在利率计算、货币兑换等方面经常需要用到无理数。
总结：无理数的性质和计算方法是中考重点考察的内容之一。
人教版数学七年级下册--无理数的两部分 文本素材
无理数的两部分
四川李军
在解决实数的有关问题时，常会遇到与无理数的整数部分和小数部分有关的问题，解决这类问题一般要先确定无理数的整数部分，因为无理数=整数部分＋小数部分，其中无理数本身是已知的，确定无理数的整数部分后，可以利用等式的性质求无理数的小数部分.
如何确定一个无理数的整数部分与小数部分呢？对于一个无理数，首先应利用放缩法判断它介于哪两个连续整数之间，然后确定无理数的整数部分，最后确定无理数的小数部分.一般情况下，对于无理数M:（1）M>0，如果n<M<n+1（n为正整数），那么M的整数部分为n，而小数部分为Ｍ－n；（2）M<0，如果－n<M<－（n－1）（n为正整数），那么Ｍ的整数部分为－n，而小数部分为Ｍ＋n.具体应用如下：
例1.
定即可.
，
所以
的整数部分为4 4.
所以
从而有
4
跟踪训练1..
例2如果x，y分别表示x－y
__________.
分析：x和小数部分y，再代入所求式子计算即可.
，
所以
x=4，小数部分 4.
所以x－y448.
故填8.
跟踪训练2a和b之间，且，求a+b的值. 答案
1.的整数部分为－4，小数部分为4
3 3.
2. 7。
七年级下册数学压轴题训练——整数部分与小数部分
实数压轴题训练——整数部分与小数部分1．阅读下面的文字，解答问题：的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用-1的小数部分，你同意小明的表示方法吗？1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：23，的整数部分为2-2）．请解答：（1） 的整数部分是 ，小数部分是 .（2a b ，求a +b（3）已知： =x +y ，其中x 是整数，且0＜y ＜1，求x -y 的相反数．2 1.414≈，于是我们说：的整数部分为11”．则：（13的整数部分为________，小数部分则可记为________；（2）已知3a ，7-的小数部分为b ，那么a b +的值是________；（3）已知x 的整数部分，y 的小数部分，求1(x y --的平方根．31.414≈，于是我们说：11”．则：（11的整数部分是__________，小数部分可以表示为__________；（22的小数部分是a ，7-b ，那么a b +=__________；（3x 的小数部分为y ，求1(x y --的平方根．4．阅读下面的文字，解答问题．由于<2的整数部分为1-1，根据以上的内容，解答下面的问题：的整数部分是，小数部分是；的整数部分是，小数部分是；-的值．(3)若设2+x，小数部分是y，求x y5的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜2，1，1，1，根据以上的内容，解答下面的问题：（1的整数部分是______，小数部分是______；（2）1+的整数部分是______，小数部分是_____；（3）若设2+x，小数部分是y，求x的值．6的小数部分我们不可能全部地写出来，-1事实上，小明的表示方法是有道理的，的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．请据此解答：（1的整数部分是，小数部分是．（2a的整数部分为b，求a+b（3）若设x，小数部分为y，求（y-x）2的值．7．阅读下面的文字，解答问题:的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用1的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分.由此我们得到一个真命题:x y+，其中x是整数且0＜y＜1，那么x＝1，y1.请解答:（1a＋b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝b＝.（2）如果90x＋y，其中x是整数，且0＜y＜1，求x59-y的平方根.（3）如果6的整数部分为m，6n，求m-n的值.8．阅读下面文字，然后回答问题．的整数部分是1﹣1表示．x+y，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x＝1，y﹣1．请解答下列问题：（1a+b，其中a是整数，且0＜b＜1，那么a＝，b＝；（2c+d，其中c是整数，且0＜d＜1，那么c＝，d＝；（3）已知m+n，其中m是整數，且0＜n＜1，求|m﹣n|的值．9．阅读下面的文字，解答问题：∵22＜7＜32，∵2＜3的整数部分为2﹣2）请解答：（1的整数部分是_____，小数部分是_____．（2a的整数部分为b，求a+b的值．。