高等数学第十一讲幂级数
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第十一讲 幂级数
§11.1 幂级数
幂级数的一般概念.型如
∑∞
=-0
0)(n n
n
x x a
和 ∑∞
=0
n n n x a 的幂级数.幂级数由系数数列
}{n a 唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如∑∞
=0
n n n x a 的幂级数.
幂级数是最简单的函数项级数之一. 一、知识结构 1、幂级数的收敛域 定理1（Abel 定理）若幂级数∑n
n
x
a 在点0≠=x x 收敛, 则对满足不等式|
| ||x x <的任何x ,幂级数
∑n
n
x
a 收敛而且绝对收敛；若在点x x =发散,则对满足不等式
|| ||x x >的任何x ，幂级数∑n n x a 发散.
证明
∑n n x a 收敛, {n n x a }有界.设|n n x a |≤M , 有|n n
n
n n n Mr x
x x a x a ≤⋅=||
|||,其中 1 ||
<=x
x
r .∑+∞ ∑n n x a 和 ∑-n n x x a )(0的收敛域的结构：幂级数∑n n x a 收敛域的结构 是关于点0=x 的对称区间， ∑-n n x x a )(0的收敛域的结构是关于点0x x =的对称区间. 定义幂级数的收敛域长度的一半为收敛半径R ，收敛半径 R 的求法. 定理2 对于幂级数 ∑n n x a , 若∞ →n lim ρ=n n a ||, 则 （ⅰ）+∞<<ρ0时, R ρ 1 = ; （ⅱ）ρ=0时+∞=R ;（ⅲ） ρ=∞+时 0=R . 证明 ∞ →n lim =n n n x a ||∞ →n lim ||||||x x a n n ρ=, (强调开方次数与x 的次数是一致的). ⇒ …… 由于∞ →n lim ⇒=+ | || |1ρn n a a ∞→n lim ρ=n n a ||, 因此亦可用比值法求收敛半径. 幂级数∑n n x a 的收敛区间:) , (R R - . 幂级数 ∑n n x a 的收敛域: 一般来说, 收敛区间⊂收敛域. 幂级数 ∑n n x a 的收敛域 是区间) , (R R -、] , (R R -、) , [R R -或] , [R R -之一. 2、幂级数的一致收敛性 定理3 若幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ，则该幂级数在区间) , (R R -内闭一致收 敛. 证明 ∀] , [b a ⊂) , (R R -, 设} || , || max {b a x =, 则对∈∀x ] , [b a , 有 || ||n n n n x a x a ≤, 级数∑n n x a 绝对收敛, 由优级数判别法⇒ 幂级数∑n n x a 在] , [b a 上一致收敛.因此,幂级数∑n n x a 在区间) , (R R -内闭一致收敛. 定理4 设幂级数∑n n x a 的收敛半径为R ) 0 (>,且在点R x =( 或R x -= )收敛, 则幂级数 ∑n n x a 在区间] , 0 [R ( 或] 0 , [R - )上一致收敛 . 证明 n n n n n R x R a x a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=. ∑n n R a 收敛, 函数列⎪⎭ ⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n R x 在区间] , 0 [R 上递减且一 致有界,由Abel 判别法,幂级数 ∑n n x a 在区间] , 0 [R 上一致收敛. 易见,当幂级数 ∑n n x a 的收敛域为] , [R R -(R ) 0>时,该幂级数即在区间 ] , [R R -上一致收敛 . 3、幂级数的性质 （1）逐项求导和积分后的级数 设 ∑∞ == '1 )(n n n x a ∑∞ =-1 1 n n n x na ①， ∑⎰ ∞ ==1 n x n n dt t a ∑ ∞ =++1 1 1n n n x n a ②， ①和②仍为幂级数. 我们有 定理5 幂级数 ∑∞ =-1 1 n n n x na 和 ∑∞ =++11 1 n n n x n a 与∑n n x a 有相同的收敛半径 注: ①和②与 ∑n n x a 虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的 收敛域, 例如级数∑∞ =1n n n x . （2）幂级数的运算性质: 定义1 两个幂级数 ∑∞ =0 n n n x a 和∑∞ =0 n n n x b 在点0=x 的某邻域内相等是指：它们在该邻 域内收敛且有相同的和函数. 定理6 ∑∞ =0 n n n x a =∑∞ =0 n n n x b ) 1 ( , +∞<≤=⇔n b a n n . 定理7 设幂级数∑∞ =0 n n n x a 和∑∞ =0 n n n x b 的收敛半径分别为a R 和b R , },min{b a R R R =, 则 （ⅰ） ∑∑=n n n n x a x a λλ, λ , ||a R x <— 常数，0≠λ. （ⅱ） ∑∞ =0n n n x a +∑∞ =0 n n n x b =n n n n x b a )(0 +∑∞ =, R x ||<. （ⅲ） ( ∑∞ =0 n n n x a )(∑∞=0 n n n x b )=n n n x c ∑∞=0 , ∑=-=n k k n k n b a c 0 , R x ||<. （3）幂级数的和函数的性质