小专题(三) 特殊平行四边形中的最值问题
最新人教版八年级数学下册 解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
∴∠APB＝∠APP′＋∠BPP′
＝90°＋45°＝135°.
思路二：同思路一的方法．
【类比探究】如图②，将△BPC绕点B逆时针旋转 90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP′≌△CBP，
∴∠PBP′＝90°，BP′＝BP＝1， AP′＝CP＝ 11 .
在Rt△PBP′中，BP＝BP′＝1，
BE PM BC PN BC EH S△BPC＝S△BEC，∴ ＋ ＝ .又 2 2 2 PM EH PN ∵BE＝BC，∴ ＋ ＝ ，即PM＋PN ＝ 2 2 2
EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝ BC＝1，∴EH＝
2 2
，∴PM＋PN＝
2 . 2
◆类型二
正方形中利用旋转性解题
4．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点 O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP. 求证：BP＋CP＝OP.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90° 至△OBE(如图所示)，
∴OE＝OP，BE＝CP，
∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP. ∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°. ∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，
∴BP＋CP＝ 2 OP.
5．(2018· 烟台中考)【问题解决】一节数学课上，老
师提出了这样一个问题：如图①，点P是正方形 ABCD内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3.你能求出
∠APB的度数吗？小明通过观察、分析、思考，形成
了如下思路： 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到
△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到 △CP′B，连接PP′，求出∠APB的度数． 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程． 【类比探究】如图②，若点P是正方形ABCD外一点，
12特殊平行四边形的最值问题(1)
特殊平行四边形的最值问题知识回顾：1.两点之间线段最短2.点到直线的距离，垂线段最短3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边习题讲练：类型一：根据两点之间线段最短求最值1.如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，点E 是边AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，若AB ＝4，则PB +PE 的最小值是（ ）A ．1B ．C ．2D ．22.如图，正方形ABCD 的面积为16，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为( )3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，矩形内部有一动点P 满足S △PAB ＝31S 矩形ABCD ，则点P 到A ，B 两点的距离之和PA ＋PB 的最小值为_____________.类型二：根据垂线段最短求最值4.如图，在△ABC 中，AC ＝5，BC ＝12，AB ＝13，点E 是BC 边上一点，ED ⊥BC 交AB 于D ，DF ⊥AC 于点F ，则线段EF 的最小值为 ．5.如图，在边长为4的菱形ABCD 中，BD ＝4，E 、F 分别是AD 、CD 上的动点（包含端点），且AE +CF ＝4，连接BE 、EF 、FB ．（1）试探究BE 与BF 的数量关系，并证明你的结论；（2）求EF 的最小值．类型三：根据三角形三边关系求最值7.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为．8.如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点C、D分别在边ON，OM上滑动，AB＝9，BC＝6，在滑动过程中，点A到点O的最大距离为9.如图，E、F分别是正方形ABCD的边AD，DC上两个动点，满足AE＝DF，连接AF，BE，它们相交于点H，连接DH，若正方形的边长为4，求线段DH长度的最小值．巩固练习：1.如图，点P是边长为2的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（）A．1 B．2 C．2D．42.菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为（）3.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10 B．8 C．5 D．64.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是．。
人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 专题练习(附答案)
第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。
八年级下数学解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法
解题技巧专题：特殊平行四边形中的解题方法◆类型一特殊四边形中求最值、定值问题一、利用对称性求最值【方法10】1．(2017·青山区期中)如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．第1题图第2题图2．(2017·安顺中考)如图，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为________．二、利用面积法求定值3．如图，在矩形ABCD中，点P是线段BC上一动点，且PE⊥AC，PF⊥BD，AB＝6，BC＝8，则PE＋PF的值为________．【变式题】矩形两条垂线段之和→菱形两条垂线段之和→正方形两条垂线段之和(1)(2017·眉山期末)如图，菱形ABCD的周长为40，面积为25，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB、AD的垂线段PE、PF，则PE＋PF等于________．变式题(1)图变式题(2)图(2)如图，正方形ABCD的边长为1，E为对角线BD上一点且BE＝BC，点P为线段CE 上一动点，且PM⊥BE于M，PN⊥BC于N，则PM＋PN的值为________．◆类型二正方形中利用旋转性解题4．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是__________．5．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，∠EAF＝45°.求证：S△AEF＝S△ABE＋S△ADF.6．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，P为正方形ABCD外一点，且BP⊥CP，连接OP.求证：BP＋CP＝2OP.参考答案与解析1.245解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE .当点D ，P ，E 三点共线的时候DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，且DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，OA ＝12AC ＝4，OB ＝12BD ＝3，∴AB ＝5.∵S 菱形ABCD＝12AC ·BD ＝AB ·DE ，∴12×8×6＝5·DE ，∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245.2．6 解析：如图，设BE 与AC 交于点P ，连接BD .∵点B 与D 关于AC 对称，∴PD ＝PB ，∴PD ＋PE ＝PB ＋PE ＝BE ，即P 为AC 与BE 的交点时，PD ＋PE 最小，为BE 的长度．∵正方形ABCD 的边长为6，∴AB ＝6.又∵△ABE 是等边三角形，∴BE ＝AB ＝6.故所求最小值为6.故答案为6.3.245解析：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠ABC ＝90°.∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝10，∴OB ＝OC ＝12AC ＝5.如图，连接OP ，∵S △OBP ＋S △OCP ＝S △OBC ，∴OB ·PF 2＋OC ·PE2＝S △OBC ，∴5·PF 2＋5·PE 2＝S △OBC .∵S △OBC ＝14S矩形ABCD ＝14AB ·BC ＝14×6×8＝12，∴5·PF 2＋5·PE 2＝12，∴PE ＋PF ＝245.【变式题】(1)52 解析：∵菱形ABCD 的周长为40，面积为25，∴AB ＝AD ＝10，S △ABD＝252.连接AP ，则S △ABD ＝S △ABP ＋S △ADP ，∴12×10(PE ＋PF )＝252，∴PE ＋PF ＝52.(2)22解析：连接BP，过点E作EH⊥BC于H.∵S△BPE＋S△BPC＝S△BEC，∴BE·PM2＋BC·PN2＝BC·EH2.又∵BE＝BC，∴PM2＋PN2＝EH2，即PM＋PN＝EH.∵△BEH为等腰直角三角形，且BE＝BC＝1，∴EH＝22，∴PM＋PN＝EH＝22.4．3 25．证明：延长CB到点H，使得HB＝DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABH ＝∠D＝90°，AB＝AD.∴△ADF绕点A顺时针旋转90°后能和△ABH重合，∴AH＝AF，∠BAH ＝∠DAF.∵∠HAE＝∠HAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝90°－∠EAF＝90°－45°＝45°，∴∠HAE＝∠EAF＝45°.又∵AE＝AE，∴△AEF与△AEH关于直线AE对称，∴S△AEF＝S△AEH ＝S△ABE＋S△ABH＝S△ABE＋S△ADF.6．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠BOC＝90°.将△OCP顺时针旋转90°至△OBE(如图所示)，∴OE＝OP，BE＝CP，∠OBE＝∠OCP，∠BOE＝∠COP.∵BP⊥CP，∴∠BPC＝90°.∵∠BOC＋∠OBP＋∠BPC＋∠OCP＝360°，∴∠OBP＋∠OCP＝180°，∴∠OBP＋∠OBE＝180°，∴E，B，P在同一直线上．∵∠POC＋∠POB＝∠BOC＝90°，∠BOE＝∠COP，∴∠BOE＋∠POB＝90°，即∠EOP＝90°.在Rt△EOP中，由勾股定理得PE＝OE2＋OP2＝OP2＋OP2＝2OP.∵PE＝BE＋BP，BE＝CP，∴BP＋CP＝2OP.。
12特殊平行四边形的最值问题(1)
12特殊平行四边形的最值问题(1) 特殊平行四边形的最值问题知识回顾：1.两点之间的线段最短。
2.点到直线的距离最短是垂线段。
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
题讲练：类型一：根据两点之间线段最短求最值1.在菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=120°，点E是边AB的中点，P是对角线AC上的一个动点。
求PB+PE的最小值。
2.在正方形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小。
求这个最小值。
3.在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=6.求点P到A，B两点的距离之和PA+PB的最小值。
类型二：根据垂线段最短求最值4.在△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，点E是BC边上一点，ED⊥XXX于D，DF⊥AC于点F。
求线段EF的最小值。
5.在边长为4的菱形ABCD中，BD=4，E、F分别是AD、CD上的动点（包含端点），且AE+CF=4，连接BE、EF、FB。
1）试探究BE与BF的数量关系，并证明你的结论；2）求EF的最小值。
类型三：根据三角形三边关系求最值6.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q，M是AD上动点，MN平行于XXX于N。
求PM+NQ的最小值。
7.在矩形ABCD中，AB=9，BC=6，∠MON=90°，矩形的顶点C、D分别在边ON、OM上滑动。
在滑动过程中，点A到点O的最大距离为9.求矩形的面积。
8.在正方形ABCD中，边长为4，E、F分别是边AD、DC上两个动点，满足AE=DF，连接AF，BE，它们相交于点H，连接DH。
求线段DH长度的最小值。
巩固练：1.在菱形ABCD中，AC=2，P是对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB、BC边上的中点。
求MP+PN的最小值。
2.在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点。
部编数学八年级下册专题06特殊平行四边形的两种考法全攻略(解析版)含答案
专题06 特殊平行四边形的两种考法全攻略类型一、最值问题例1．（将军饮马）如图，在菱形ABCD 中，120ABC Ð=°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB PE +PE 的最小值为（ ）A ．2B C ．1D ．0.5由菱形的对角线互相垂直平分，可得B 、∴1602ABD ABC Ð=Ð=°，PE PB PE +=即DE 就是PB PE +的最小值，例2．（中点模型）如图，矩形,2,4ABCD AB BC ==，点A 在x 轴正半轴上，点D 在y 轴正半轴上，当点A 在x 轴上运动时，点D 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点C 到原点O 的最大距离为（ ）A ．2B ．2C 1D ．【答案】A 【详解】如图，取AD 的中点H ，连接CH ，OH ，Q 矩形ABCD ，2AB =，4BC =，2CD AB \==，4AD BC ==，例3．（截补模型）如图，在Rt ABC △中，90C =o ∠，2AC BC ==，点D 、E 分别是边BC 、AC 上的动点．且BD CE =，连接AD 、BE ，则AD BE +的最小值为______．∵90ACB Ð=°，AC =∴90FBD ACB Ð=Ð=∵BD CE =，∴(SAS BDF CEB ≌△△AC=，以BC为对角线作正方形BDCE，连例4．（瓜豆模型）如图，平面内三点A，B，C，4AB=，3接AD，则AD的最大值是______．【变式训练1】如图，矩形ABCD 中，84AB AD ==，，E 为AB 的中点，F 为EC 上一动点，P 为DF 中点，连接PB ，则PB 的最小值是___________．当点F 与点C 重合时，点P 在1P 当点F 与点E 重合时，点P 在2P ∴PP EC ∥且1PP CE =．【变式训练2】如图，已知线段12AB =，点C 在线段AB 上，且ACD V 是边长为4的等边三角形，以CD 为边的右侧作矩形CDEF ，连接DF ，点M 是DF 的中点，连接MB ，则线段MB 的最小值为_______________．【答案】6【详解】∵ACD V 为等边三角形，∴AC AD =，60DAC Ð=°，∵四边形DCFE 是矩形，点M 是DF 的中点，∴DM ＝CM ，【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，边长2AB =，点Q 是边CD 的中点，点P 是线段AC 上的动点，则DP PQ +的最小值为 _____．【变式训练4】如图，在菱形ABCD 中，10AB =，16AC =，点M ，N 在AC 上，且2MN =，连接BM ，DN ，则BM DN +的最小值为 ______【变式训练5】如图，在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，且3BA =，4AC =，点D 是斜边BC 上的一个动点，过点D 分别作DM AB ^于点M ，DN AC ^于点N ，连接MN ，则线段MN 的最小值为_____．类型二、动点问题例1．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴，建立平－向点D运动，面直角坐标系．正方形ABCD的边长是方程28160-+=的根．点P从点B出发，沿BC CDx x-向点C运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个同时点Q从点E出发，沿EB BC△的面积为单位长度．当点P运动到点D时，P、Q两点同时停止运动，设点P运动的时间为t秒，AQPS．(1)求点C的坐标；(2)求S关于t的函数关系式；△是以AP为底边的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．(3)当AQP由题意得：EQ t =，2BP t =，∴2AQ AE EQ t =+=+，2BQ t =-，2222222(2)44,(2)(2)AQ t t t PQ BP t t \=+=+++=-+2544t t =-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2244544t t t t ++=-+，解得0=t (舍去)或2，∴4BP =，∴当0t 2££，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()44P ，；②24t <£时，如图：由题意得：EB BQ t +=，2BC CP t +=，∴2BQ t BE t =-=-，6CQ BC BE t t =+-=-，224CP t BC t =-=-，282PD BC CD t t =+-=-，22224(2)AQ AB BQ t \=+=+-2420t t =-+2222(6)PQ CQ CP t =+=-22(24)52852t t t +-=-+当AQ PQ =时，22AQ PQ =，∴2242052852t t t t -+=-+，解得2t =(舍去)或4，∴0DP =，∴()04P ，；∴当24t <£，AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，()04P ，，综上所述，当AQP △是以AP 为底边的等腰三角形时，点P 的坐标为()44，或()04，例2.如图，在长方形ABCD 中，4AB =，3BC =，点E 为AD 延长线上一点，且6AE =，点P 从点A 出发，沿A —B —C —D 向终点D 运动．同时点Q 从点B 出发，沿B —C —D —E 向终点E 运动，它们的速度均为每秒1个单位长度．设APQ △的面积为S ，点P 运动的时间为t 秒．(1)当2t =时，S = ；当72t =时，S = ．(2)当07t <£时，用含t 的代数式表示S ．直接写出结果并化简．(3)当点P 在CD 边上，且APQ △为等腰三角形时，直接写出t 的取值或者范围．【变式训练1】如图，在ABCD Y 中，ABC Ð为锐角，5AB =，9BC =，36ABCD S =Y ．动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度沿A B C D A ®®®®运动．同时，动点Q 从点A 出发，以每秒3个单位的速度沿A D C B A ®®®®运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点P 的运动时间为t 秒．(1)点P 在BC 上运动时，CP =_____________；点P 在CD 上运动时，CP =_____________．（用含t 的代数式表示）(2)点P 在CD 上，PQ BC ∥时，求t 的值．(3)当直线PQ 平分ABCD Y 的面积时，求t 的值．(4)若点Q 的运动速度改变为每秒a 个单位．当972t << ，ABCD Y 的某两个顶点与P 、Q 所围成的四边形为菱形时，直接写出a 的值．【变式训练2】如图，长方形ABCD 中，AD BC ∥，90B Ð=°，104AD BC cm AB cm ===，，动点P 从点B 出发，以每秒1cm 的速度沿B A D ®®的方向，向终点D 运动；动点Q 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿B C ®的方向向终点C 运动．以PQ 为边向右上方作正方形PQMN ，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设点P Q 、同时出发，运动时间为t 秒0t （＞）．(1)当04t ＜＜时，AP ＝______（用含t 的代数式表示）；(2)当点N 落在AD 边上时，求t 的值；(3)当正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形时，求重叠部分的面积S （用含t 的代数式表示）；(4)请直接写出当t满足什么条件时，正方形PQMN与长方形ABCD的重叠部分为三角形．如图3，当M 点运动到D 点处时，∵10214CQ t CQ PM PM t ===-﹣，，，∴2014t t -=-（1），解得6t =，∴当6t =时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形，∴46t ££时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；如图4，当Q 点运动与C 点时，10t =，此时正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为三角形；∴610t ＜＜时，正方形PQMN 与长方形ABCD 的重叠部分为四边形，如图5，【变式训练3】已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝9，点M在AD上，且AM＝4，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，沿B﹣C﹣D﹣A向终点A运动，运动时间为t秒．(1)当点P在BC边上时，BP＝，CP＝．（用含t的代数式表示）(2)点P在运动过程中，△ABP是直角三角形时，t的取值范围为．(3)点P在运动过程中，△DMP是等腰三角形时，t的值为．(4)连接CM，当点P在线段CM的垂直平分线上时，t的值为．【答案】(1)t，9﹣t(2)0＜t≤9或13≤t＜22(3)1或7或6.5当点P 在线段BC 上时，CP =MP =9-t ，PH =t -4，MH =4，∵△MPH 是直角三角形，∴2222MH PH PM CP +=＝即()()222449t t -=+-，∴t ＝4.9，当点P 在线段AD 上时，同法可得PM ＝CPCP =MP =18-t ，DP =t -13，CD =4∵△CDP 是直角三角形，∴2222CD DP PM CP +=＝即()()22241318t t =+--，∴t ＝13.9．综上所述，满足条件的t 的值为4.9或13.9．故答案为：4.9或13.9．。
小专题(九) 特殊平行四边形中的折叠与最值问题
第5题图
5.如图，在矩形纸片 中， ， ，点 为 边上的动点（点 不与点 ， 重合）.将纸片沿 折叠，则 的最小值为___．
8
第6题图
6.如图，正方形纸片 的边长为4， ， ， 分别是边 ， ， 上的一点，将纸片沿 折叠，使点 恰好落在 边的中点 处，点 的对应点为点 ，则折痕 的长为_____.
解：作点 关于直线 的对称点 （易知点 在 上），连接 ，交 于点 ，连接 ,则 , .
.此时点 即为所求的使 最小的点.∵正方形 的边长为4， ， 为 的中点， ， . .
过点 作 于点 ,则 .∵四边形 是正方形， .∴四边形 是矩形. ， . .∴在 中， . 的最小值为 .
第3题图
3.如图，在矩形纸片 中， ，将 向内翻折，点 落在 上，记为 ，折痕为 .若将 沿 向内翻折，点 恰好落在 上，记为 ，则下列结论不正确的是( )
D
A. B. C. D.
第4题图
4.（2022·雅安）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠.若 ， ，那么阴影部分的面积为_ __.B来自A. B. C. D.
第2题图
2.（2021·遵义）如图，将矩形纸片 的两个直角进行折叠，使 ， 恰好落在对角线 上， ， 分别是 ， 的对应点，折痕分别为 ， ．若 ， ，则线段 的长是( )
D
A. B. C. D.
【例2】（2022·河南改编）（教材P64“数学活动”变式）如图，对折矩形纸片 ，使 与 重合，得到折痕 ，把纸片展平；再次折叠纸片，使点 落在
上，并使折痕经过点 ，得到折痕 ，同时得到线段 ， .请你猜想 的度数是多少，并证明你的结论.
解：猜想： .证明：连接 .∵直线 是 的垂直平分线，点 在 上，
专题02 特殊平行四边形中的四种最值问题(原卷版)
专题02特殊平行四边形中的四种最值问题类型一、将军饮马（轴对称）型最值问题A．5B．例2．如图，在矩形ABCD当四边形APQE的周长最小时，A．0B．3例3．如图，在矩形ABCD中，AB在BC边上，连接PQ与OQ，则PQ【变式训练1】如图，正方形ABCD 的周长为24，P 为对角线AC 上的一个动点，E 是CD 的中点，则PE PD +的最小值为（）A ．B ．C ．6D ．5【变式训练2】如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，动点P 满足S △PBC ＝14S 矩形ABCD ，则点P 到B ，C 两点距离之和PB +PC 的最小值为（）A B C D ．【变式训练3】如图，在正方形ABCD 中，4AB =，AC 与BD 交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，且3BM =，P 为对角线BD 上一点，则PM PN -的最大值为_____________．【变式训练4】如图，在正方形ABCD 中，12AB =，E 为BC 边上一点，7CE =．F 为对角线BD 上一动点（不与点B 、D 重合），过点F 分别作FM BC ⊥于点M 、FN CD ⊥于点N ，连接EF 、MN ，则EF MN +的最小值为______．类型二、翻折型最值问题【变式训练1】如图，在矩形ABCD中，3BE=，F是线段BC上的动点，将AB=，4AD，E在AB上，1=△沿EF所在的直线折叠得到'EBFEB F△，连接'B D，则'B D的最小值是（）A．6B．4C．2D．1-类型三、旋转型最值问题例1．如图，正方形ABCD 中，6AB =，E 是边BC 的中点，F 是正方形ABCD 内一动点，且3EF =，连接EF ，DE ，DF ，并将DEF 绕点D 逆时针旋转90︒得到DMN （点M ，N 分别为点E ，F 的对应点）．连接CN ，则线段CN 长度的最小值为_____________．例2．如图，长方形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 为BC 上一点，且2BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，将EF 绕着点E 顺时针旋转30°到EG 的位置，连接FG 和CG ，则CG 的最小值为______．【变式训练1】如图，已知正方形ABCD 的边长为a ，点E 是AB 边上一动点，连接ED ，将ED 绕点E 顺时针旋转90︒到EF ，连接DF ，CF ，则当DF CF +之和取最小值时，DCF 的周长为______．（用含a 的代数式表示）【变式训练2】如图①．已知ABC 是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，点D 是BC 的中点，作正方形DEFG ，使点A ，C 分别在DG 和DE 上，连接AE ，BG ．(1)试猜想线段BG 和AE 的数量关系，并证明你得到的结论；(2)将正方形DEFG 绕点D 逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0︒，小于或等于360︒），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；(3)若2BC DE ==，在（2）的旋转过程中，①当AE 为最大值时，则AF =___________．②当AE 为最小值时，则AF =___________．类型四、PA+KPB 型最值问题A ．27B ．232．如图，在菱形ABCD 中，E ，中点，连接GH ．若45B ∠=︒，A ．3B ．223．如图，四边形ABCD 中，AB//CD ，∠满足∠AMD =90°，则点M 到直线BC5．如图，矩形ABCD中，值为________．8．如图，E、F、G、H分别是正方形9．如图，在四边形ABCD则BD CD+的最小值为______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
小专题(三) 特殊平行四边形中的最值问题
【例】 (盐城中考)如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线
段AB、AD、
AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝43，∠BAD＝60°，且AB＞43.
(1)求∠EPF的大小；
(2)若AP＝6，求AE＋AF的值；
(3)若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值
和最小值．
【思路点拨】 (1)求∠EPF的大小，就是解△EFP，通过作底边上的高转化为直角三角形解决；(2)
这里∠BAD＋∠EPF＝180°，PE＝PF，可通过构造全等三角形解决问题；(3)观察图形，作PM⊥AB
于M，AP的长随PM大小的变化而变化．
【方法归纳】 动态图形中最值问题关键要改变思考的角度，善于转化为另一个量的最值问题考虑．
1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动
时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，运动过程中，
点D到点O的最大距离是多少？
2．以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B
两点，求线段AB的最小值．
参考答案
【例】(1)过点P作PG⊥EF，垂足为G.
∵PE＝PF，PG⊥EF，∴FG＝EG＝23，∠FPG＝∠EPG＝12∠EPF.
∵EP＝4，∴在Rt△FPG中，由勾股定理得PG＝2.∴PG＝12PF.∴∠PFG＝30°.∴∠FPG＝60°.∴
∠EPF＝2∠FPG＝120°.
（20作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为M、N.在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，
∴点P到AB、AD两边的距离相等，即PM＝PN.
∵在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，
∴Rt△PME≌Rt△PNF.∴FN＝EM.
在Rt△PMA中，∠PMA＝90°，∠PAM＝12∠DAB＝30°，∴AM＝33.
同理：AN＝33.∴AE＋AF＝(AM－EM)＋(AN＋NF)＝AM＋AN＝63.
（3）当EF⊥AC，点P在EF右侧时，AP有最大值，
当EF⊥AC，点P在EF左侧时，AP有最小值．故AP的最大值为8，AP的最小值为4.
针对训练
1.取AB的中点E，连接OE、DE、OD，
∵OD≤OE＋DE，∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大．
∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝12AB＝1，DE＝AD2＋AE2＝12＋12＝2.
∴OD的最大值为2＋1.
2.∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.
∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°.∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°.∴∠COA＝
∠DOB.
∵在△COA和△DOB中，∠OCA＝∠ODB，OC＝OD，∠AOC＝∠BOD，
∴△COA≌△DOB.∴OA＝OB.
∵∠AOB＝90°，
∴△AOB是等腰直角三角形．
由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝2OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵四边形CDEF是正方形，
∴FC⊥CD，OD＝OF＝OC.
∴CA＝DA.
∴OA＝12CF＝1.∴
AB＝2.
∴AB的最小值为2.